Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus

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1 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 1 Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus Introduction Tous les triangles quelconques peuvent être partagés en deux triangles rectangles. Au lieu de faire cette partition on peut gagner du temps en cherchant des formules qui simplifient le calcul dans les triangles quelconques. D un triangle quelconque on connaît a,,. Cherche une formule pour calculer b. Essaie d exprimer la solution sans utilisation de h c. D un triangle quelconque on connaît a,, une formule pour calculer c.. Cherche Essaie de formuler le théorème de Sinus (Sinussatz) en mots.

2 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 2 théorème du sinus On peut formuler le théorème de différentes manières a b c sin( ) sin( ) sin( ) ou bien sin( ) sin( ) sin( ) a b c ou bien a : b : c sin( ) : sin( ) : sin( ). Alors a b sin( ) sin( ) On veut démontrer avec une preuve que première méthode a b sin( ) sin( ) Exprimons de différentes façons l aire d un triangle quelconque : deuxième méthode Conclusion : a b sin( ) sin( ) 1. Partager un triangle quelconque en esquissant h c dans deux triangles rectangles. Exprimer h c une fois avec l angle, une fois avec. 2. h c est maintenant exprimée de deux façons différentes et peut ainsi être éliminée. hc sin( ) hc b sin( ) b hc sin( ) hc a sin( ) a Alors a sin( ) b sin( )

3 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 3 Essaie de compléter les formules x y sin( )... z y sin( ) y sin( )... sin( )... Indique la formule pour l aire du triangle, en connaissant, yz., Avec le théorème du Sinus on peut directement calculer une grandeur du triangle. Indique le calcul formel. a) exemple : s t t sin( ) s sin( ) sin( ) sin( ) b) r r sin( ) c) d)

4 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 4

5 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 5 Exercices résolues Utilise le théorème du Sinus pour calculer des données manquantes d un triangle avec 48, 57, b 47 cm. Solution :

6 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 6 Lorsque l angle d élévation du soleil est de 64º, u n poteau téléphonique qui penche d un angle de 9º par rapport à une ligne formée par le pied du poteau et le soleil projette une ombre de 6.3 m sur le sol. Calcule la hauteur du poteau. solution :

7 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 7 Un point au niveau du sol se trouve à 3 kilomètres au nord d un point Q. Un coureur, partant de Q, se déplace vers le point R dans la direction N25E (c'est-à-dire en direction nord, mais un angle de 25 degrés en direction est. Puis il se déplace de R vers P dans la direction S70W. Calcule la distance parcourue QR 3 3 sin(110) QR sin(110) sin(45) sin(45) 3.98 km RP 3 3 sin(25) QR sin(25) sin(45) sin(45) 1.79 km distance totale 5.78 km La figure représente un téléphérique transportant des passagers d un point A, qui se trouve à 2 km du point B situé au pied de la montagne, à un point P au sommet de la montagne. Les angles d élévation aux points A et B sont 21 respectivement 65 Calculer la distance entre A et P et la hauteur de la montagne. (Solutions : distance=2.6 km, hauteur=935m)

8 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 8 Le théorème du cosinus Dans deux cas on ne peut pas appliquer le théorème du Sinus 1) deux côtés et l angle inclus entre eux 2) trois côtés Dans ces cas nous pouvons appliquer le théorème du cosinus. c a b 2abcos( ) b a c 2ac cos( ) a b c 2bc cos( ) Le carré de la longueur d un côté d un triangle quelconque est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins deux fois le produit de ces côtés par le cosinus de l angle entre ces deux côtés. Preuve du théorème du cosinus On va démontrer a b c 2bc cos( ) en utilisant le théorème de pythagore et la définition de la fonction cos dans le triangle rectangle. a h ( c p) 2 b p 2 2 ( c p) 2 2 p h 2 b p ( c 2 cp p ) 2 2 b c 2c p 2 2 b c cb 2 cos( )

9 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 9 Le théorème du pythagore est un cas spécial du théorème du Cosinus Si 90 alors c a b 2abcos( 90 ) optus cos( )<0 c a b 0 aigu cos( )>0 Attention : Si on veut résoudre la formule a 2 b 2 c 2 2 bc cos( ) par rapport à l angle a b c 2bc cos( ) 2bc cos( ) b c a cos( ) 2 b 2 c 2 a 2bc exercice : a= 6m, b= 5cm, c= 7cm. Calcule les angles. solution : a b c 2bc cos( ) cos( ) b c a 2bc b c a 2bc 1 cos 57.1 b a c 2ac cos( ) cos( ) a c b 2ac a c b 2ac 1 cos

10 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 10 exercice D un triangle quelconque on connaît a 5, c 8, 77 Calcule les données manquantes du triangle. exercice Un parallélogramme possède des côtés de 30 cm et 70 cm et un angle de 65. Calculer la longueur des diagonales.

11 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 11 Résumé Théorème du Sinus ACC Théorème du Cosinus CAC (angle inclus) attention : 2 solutions possibles! AAC CCC Cas spécial ACC avec 2 solutions : Voici un triangle avec a 7cm, b 10cm, 38. Esquisse la construction. Quand est-ce qu il y a 2 solutions?

12 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 12 exercices de base : Fais chaque fois une esquisse Grandeurs données Solutions 1 a= 3 cm, b= 4 cm, c=6 cm a= 9 cm, b= 7 cm, c 13.9 cm 3 a=57.7 cm, b=44.8 cm, c 55.1cm

13 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 13 4 a 37.2 cm b 38.4 cm c 26.1cm 5 a 7 cm b 10 cm / / 23.6 c 11.2 cm / 4.6 cm

14 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 14 Calculer la distance de la terre jusqu à la lune On peut calculer la distance entre la terre et la lune en connaissant le rayon terrestre r et la latitude géographique de deux endroits K et B. En K et B on mesure encore l angle d élévation et de la lune par rapport à l horizon. Détermine la distance x.

15 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 15 production d une carte géographique : la méthode de la triangulation Le réseau actuel de notre triangulation a été établi par l'office fédéral de topographie de 1910 à Il comporte 79 points distants les uns des autres de 30 à 70 km et s'étend sur tout le pays. Le réseau de triangulation le plus détaillé comprend quelque 4'800 repères distants de 3 à 5 km. Pour la hauteur on a fixé comme point de départ «le pierre de Niton» dans le port de Genève à une hauteur de 373,6 mètres au-dessus du niveau de la mer. Sur tous les repères de ce réseau, on a mesuré des angles horizontaux avec les meilleurs théodolites de l'époque. Les coordonnées géographiques (latitude et longitude) de ces repères ont été calculées à partir d'un point central, l'ancien observatoire de Berne dont on avait déterminé les coordonnées par des mesures astronomiques de précision. Calcule les distances horizontales x et y et la hauteur h du sommet de la montagne à l endroit C.

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