S1 Fiche Cours-S1 n 1

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1 Fiches du cours de mathématiques CH11.1 S1 Fiche Cours-S1 n 1 Exemple n (Très facile) Si vous ne l'avez pas fait, effectuez le travail demandé dans le paragraphe 1.d du cours sur les complexes. Appliquez ce que vous venez de lire pour effectuer les tâches ci-dessous. a) Stockez 1+j dans la mémoire A et 3+4j dans la mémoire B. Ensuite stockez A+B dans la mémoire C, A.B dans la mémoire D puis A/B dans la mémoire E. b) Uniquement à l'aide de votre calculatrice, calculez les valeurs approchées du module et de l'argument des complexes qui se trouvent dans les mémoires A, B, C, D, E. Exemple n 01.0 (Facile) a) Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O; u ; v ) où l'unité vaut 1 cm. Placez les points L,M,N image des complexes l = 3 + j ; m = - 3 ; n = - j. b) Sur votre graphique, mesurez le module et l'argument du complexe l = 3 + j. c) Calculez les valeurs exactes du module et de l'argument du complexe l = 3 + j. d) Écrivez la forme exponentielle du complexe l = 3 + j. Exemple n (Facile) Complétez le tableau ci-dessous par des valeurs approchées avec une incertitude relative de l'ordre de 10-3 (4 chiffres significatifs). Vous exprimerez les arguments en radians. z 1 = sin(1,1) + j 1,9 z = ln(148).exp(0,6j) z 3 = z 1. z z 4 = z + z 3 z 5 = z 3 z 4 z 6 = z 3 5 Re (z) Im (z) z arg (z) z 7 = z 5 0,1835 Barème en DS (exercice noté sur 4 points) : - 0,5 par faute - 0,5 par non respect de l'incertitude. Exemple n (Facile) a) Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O; u ; v ) où l'unité vaut cm. Placez les points M1 et M image des complexes z 1 = -,45 + 1,41j et z = j. b) Sur votre graphique, mesurez le module et l'argument des complexes z 1 et z. c) Calculez les valeurs exactes du module et de l'argument des complexes z 1 et z. d) Écrivez la forme exponentielle des complexes z 1 et z.

2 CH11. JooBle - HSE Exemple n (Facile) Déterminez les solutions, dans C, de l'équation 3z - z + 1 = 0. Exemple n (Facile) Déterminez les solutions, dans C, de l'équation (3+j)z +(13-13j)z -40-5j = 0. Exemple n (Difficile) Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O; u ; v ) où l'unité vaut cm. On considère le complexe z = - + 3j. a) Pour chaque racine cubique de z, écrivez sa forme exponentielle (en valeur exacte) puis sa forme cartésienne (en valeur approchée). b) Placez les points images de z et de ses racines cubiques. Exemple n 0.01 (Facile) Taille (en cm) Calculez la moyenne ainsi que les écarts-type σ n et σ n-1 de la série statistique "Taille". Exemple n 0.0 (Moyen) Nombre d'enfants Effectif a) Calculez le mode et la médiane de la série statistique "Nombre d'enfants" (Effectif total : 00). b) Calculez la moyenne ainsi que les écarts-type σ n et σ n-1 de la série statistique "Nombre d'enfants". Exemple n 0.03 (Moyen) Note ]0;3] ]3;6] ]6;9] ]9;1] ]1;15] ]15;18] ]18;0] Effectif a) Calculez le mode et la médiane de la série statistique "Notes" (Effectif total : 40). b) Calculez la moyenne ainsi que les écarts-type σ n et σ n-1 de la série statistique "Notes". Exemple n (Facile) On considère les fonctions f et g définies par f(x) = 3x-5 et g(x) = sin(x). Calculez gof(x) et fog(x) Exemple n 03.0 (Facile) On considère les fonctions f, g, h définies par f(x) = x ; g(x) = 3 x ; h(x) = 1 x. Calculez hogof(x). Exemple n (Facile) On considère un triangle ABC rectangle en B tel que A = 0,61 rad et BC = 3, cm. Calculez les longueurs AB et AC.

3 Fiches du cours de mathématiques CH11.3 S1 Fiche Cours-S1 n Exemple n 05.0 (Facile puis difficile) On considère le signal défini par i(t) = 3cos(ωt) - 5sin(ωt) avec ω = rd/s. a) Calculez k et ϕ tels que i(t) = k.sin(ωt+ϕ). Vérifiez vos résultats en superposant les représentations graphiques de 3cos(ωt) - 5sin(ωt) et de k.sin(ωt+ϕ). b) Utilisez les résultats de la question précédente pour déterminer à quels instants ce signal passe par la valeur -4. c) Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé ( O;i; j) où l'unité vaut 3 cm. Tracez la droite d'équation 3X - 5Y = - 4 puis tracez le cercle trigonométrique. Utilisez cette figure pour vérifier les résultats de la question précédente. Exemple n (Facile) Yeux\Cheveux blond brun noir roux bleu gris brun Le tableau ci-dessus décrit la série statistique à variables "Cheveux-Yeux". a) Écrivez le tableau représentant la série marginale "Cheveux". b) Écrivez le tableau représentant la série conditionnelle "Cheveux sachant que les yeux sont gris". Exemple n 06.0 (Facile) On considère les séries statistiques décrites ci-dessous (l'effectif total est 10). X Y 4,85 5,57 5,5 5,7 6,89 7,01 7,47 7,41 7,55 7,5 a) Calculez la moyenne ainsi que les écarts-type σn et σ n-1 pour la série statistique "X". b) Calculez la moyenne ainsi que les écarts-type σn et σ n-1 pour la série statistique "Y". c) Calculez le coefficient de corrélation linéaire puis l'équation de la droite de régression de Y en fonction de X. d) En utilisant la régression linéaire, estimez la valeur de Y qui correspond à X = 510. e) En utilisant la régression linéaire, estimez la valeur de X qui correspond à Y = 6.

4 CH11.4 JooBle - HSE Exemple n (Facile) Le tableau ci-dessous donne les résultats de mesures réalisées sur une population de 00 individus dans laquelle il s'agit d'étudier le lien entre les caractères X et Y. X Y Effectif a) Calculez la moyenne ainsi que les écarts-type σn et σ n-1 pour la série statistique "X". b) Calculez la moyenne ainsi que les écarts-type σn et σ n-1 pour la série statistique "Y". c) Calculez le coefficient de corrélation linéaire puis l'équation de la droite de régression de Y en fonction de X. d) Un individu vérifie X = 100, en utilisant la régression linéaire, estimez son caractère Y. e) Un individu vérifie Y = 30, en utilisant la régression linéaire, estimez son caractère X. Exemple n (Facile) Calculez mentalement une valeur approchée de 3,134. Exemple n 07.0 (Facile) Calculez les dérivées des fonctions ci-dessous. f1(x) = cos(x) ; f(x) = e -3x ; f3(x) = x 3 + 3x 5x + 9. On considère la fonction g définie par g(x) = sin (x). π a) On rappelle que cos 8 = + π Calculez la valeur exacte de g 16 Exemple n (Difficile) π et sin 8 =. b) Calculez g'(x) lorsqu'il existe. c) A l'aide de votre calculatrice, vérifiez votre calcul en comparant la table des valeurs de g ' avec la table obtenue en dérivant numériquement g. Exemple n (Moyen) On effectue 1 tirages, avec remise, dans une boîte contenant 66 billets verts et 34 billets rouges.. a) Calculez la probabilité d'obtenir aucun billet vert. b) Calculez la probabilité d'obtenir entre 3 et 5 billets verts.. Exemple n 08.0 (Moyen) De 10 heures à 1 heures, vous assurez la permanence d'un standard qui reçoit en moyenne 8 appels par heure. a) Calculez la probabilité de recevoir 17 appels. b) Calculez la probabilité de recevoir un nombre d'appels compris entre 10 et 15. c) A 11 h 07, juste après avoir répondu à un appel, vous décidez de vous octroyer une pause de 6 minutes. Calculez la probabilité de recevoir un appel pendant cette pause.

5 Fiches du cours de mathématiques CH11.5 S1 Fiche Cours-S1 n 3 Exemple n (Facile) On lance un dé. a) Écrivez l'univers Ω de cette expérience aléatoire. b) Écrivez l'événement "obtenir un chiffre impair". Exemple n (Facile) Un bassin contient 00 grenouilles vertes et 600 grenouilles rousses. On prélève une grenouille au hasard, calculez la probabilité d'obtenir une grenouille rousse. Exemple n (Moyen) Les fruits de la société "Bofruit" sont susceptibles de contenir toxiques A et B. Une étude statistique a montré que le toxique A était présent dans % des fruits, alors que le toxique B était présent dans 5 % des fruits. La présence du toxique A est indépendante de celle du toxique B. On prélève un fruit au hasard, calculez la probabilité des événements suivants : a) Le fruit contient les deux toxiques. b) Le fruit ne contient aucun des deux toxiques. c) Le fruit contient un et un seul des deux toxiques. Exemple n (Moyen) On lance dés non truqués. Calculez la probabilité qu'ils affichent le même chiffre. Exemple n (Moyen) On considère trois boîtes. - La boîte n 1 contient 7 billets blancs et 8 billets noirs. - La boîte n contient 84 billets verts et 16 billets rouges. - La boîte n 3 contient 66 billets verts et 34 billets rouges. On effectue deux tirages de la façon suivante : on prend au hasard un billet dans la boîte n 1, ème s 'il est blanc, on effectue le tirage dans la boîte n ème s 'il est noir, on effectue le tirage dans la boîte n 3. a) Calculez la probabilité d'obtenir un billet blanc lors du 1 er tirage. b) Calculez la probabilité d'obtenir un billet vert lors du ème tirage. Exemple n (Moyen) On effectue des tirages, avec remise, dans une boîte contenant 66 billets verts et 34 billets rouges. Calculez la probabilité d'obtenir le premier billet vert au 4 ème tirage.

6 CH11.6 JooBle - HSE Exemple n (Difficile) Une boîte contient 6 billets jaunes, 5 billets verts et 4 billets rouges. On prélève au hasard et sans remise 4 billets dans la boîte. a) Calculez la probabilité d'obtenir 3 billets de la même couleur et 1 billet d'une autre couleur. b) Calculez la probabilité d'obtenir au moins 1 billet vert. Exemple n (Facile) On lance un dé. a) Quelle est la probabilité d'obtenir 3? b) Quelle est la probabilité d'obtenir 3, sachant que le nombre affiché est impair? c) Quelle est la probabilité d'obtenir, sachant que le nombre affiché est impair? Exemple n (Moyen) On lance 4 fois un dé, bien équilibré, comportant 1 face noire, faces blanches, 3 faces rouges. On suppose que le résultat de chaque lancer est indépendant des précédents. a) Calculez la probabilité d'obtenir 3 fois la face noire et une fois la face blanche. b) Calculez la probabilité d'obtenir exactement 3 fois la face noire. Exemple n 08.1 (Moyen) Une boîte contient v papiers verts et r papiers rouges. A chaque tirage, on remet le papier tiré ainsi que n papiers de la même couleur. Quelle est la probabilité pour que le ème papier tiré soit vert? Exemple n (Moyen) On considère trois boîtes. - La boîte n 1 contient 7 billets blancs et 8 billets noirs. - La boîte n contient 84 billets verts et 16 billets rouges. - La boîte n 3 contient 66 billets verts et 34 billets rouges. On effectue deux tirages de la façon suivante : on prend au hasard un billet dans la boîte n 1, ème s 'il est blanc, on effectue le tirage dans la boîte n ème s 'il est noir, on effectue le tirage dans la boîte n 3. Le ème billet est vert, calculez la probabilité que le 1 er billet ait été blanc.