Vecteurs de l espace

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1 Vecteurs de l espace Définitions règles de calcul On étend à l espace la notion de vecteur définie dans le plan, ainsi que les opérations associées : somme de vecteurs multiplication par un réel Définition- Vecteur A tout couple de points de l espace, on associe le vecteur de la façon suivante : Si, le vecteur a pour direction la droite, pour sens celui de vers, pour norme la distance Si, le vecteur est le vecteur nul, noté Il n a ni direction, ni sens sa longueur est nulle Définition Égalité de vecteurs Deux vecteurs qui ont même direction, même sens même longueur sont dits égaux Relation de Chasles Pour tous points de l espace, on a Règle du parallélogramme Soit Le point tel est le 4 ème somm du parallélogramme Colinéarité, alignement parallélisme Définition Vecteurs colinéaires Dire que deux vecteurs non nuls de l espace sont colinéaires signifie qu il existe un nombre réel λ tel que Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous vecteurs Propriétés Points alignés - Parallélisme Trois points de l espace sont alignés si, seulement si, les vecteurs sont colinéaires Les droites sont parallèles si, seulement si, les vecteurs sont colinéaires N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Propriété définition Caractérisation vectorielle d une droite Soit un point de l espace un vecteur non nul L ensemble des points tels que, étant un réel quelconque est la droite où On dit que est un vecteur directeur de Propriété Caractérisation vectorielle d un plan Soit un point de l espace deux vecteurs non colinéaires L ensemble des points tels que, étant des réels quelconques, est le plan passant par Les vecteurs sont appelés vecteurs directeurs du plan Preuve Dans le plan, soit les points tels que Les vecteurs sont non colinéaires Donc pour tout point de, le vecteur se décompose en fonction de Ainsi, il existe deux réels tels que Réciproquement, on considère un point du plan de coordonnées dans le repère Alors donc Ainsi Propriété Plans parallèles Deux plans qui ont deux vecteurs directeurs en commun sont parallèles Vecteurs coplanaires Définition Vecteurs coplanaires Dire que les vecteurs, sont coplanaires signifie que pour un point quelconque de l espace, les points définis par, sont dans un même plan Remarque Si les vecteurs non nuls sont colinéaires, les points sont alignés Donc il existe au moins un plan qui contient la droite le point Ainsi les vecteurs sont coplanaires Donc si deux des trois vecteurs sont colinéaires, alors les trois vecteurs sont nécessairement coplanaires N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Propriété, sont des vecteurs de l espace tels que ne sont pas colinéaires, sont coplanaires si, seulement si, il existe deux réels tels que Preuve Pour un point quelconque de l espace, sont définis par, ne sont pas colinéaires, ce sont donc deux vecteurs directeurs du plan, sont coplanaires signifie que appartient au plan, c est-à-dire qu il existe tels que, c est-à-dire Repérage dans l espace Définition Repère de l espace Un repère de l espace, noté ( ;, est formé d un point d un tripl de vecteur non coplanaires est appelé origine du repère Si,, le repère ( ;, est dit orthonormé si les droites sont perpendiculaires deux à deux si Théorème Coordonnées d un point d un vecteur 1 Pour tout point de l espace, il existe un unique tripl de nombres réels tels que sont les coordonnées du point dans le repère ( ; est l abscisse, est l ordonnée est la cote de 2 Si, par définition les coordonnées de sont les coordonnées du point Théorème Décomposition d un vecteur dans une base, sont des vecteurs non coplanaires de l espace Pour tout vecteur, il existe un unique tripl de nombres réels tels que sont les coordonnées du vecteur dans la base,, ) N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 Preuve Existence est un point de l espace le plan défini par O les deux vecteurs non colinéaires On pose La droite passant par, de vecteur directeur pas coplanaires On note le plan ne sont pas parallèles car, ne sont leur point d intersection appartient à, donc il existe des nombres réels tels que D autre part, d après la relation de Chasles donc un réel tel que Or sont colinéaires, il existe Donc Unicité On suppose qu il existe deux tripls Si, alors de nombres réels tels que Or ceci n est pas possible car ne sont pas coplanaires donc On obtient alors donc car sont non colinéaires Propriétés Calculs sur les coordonnées Tous les résultats de la géométrie plane s étendent par adjonction d une troisième coordonnée Dans un repère ( ;, soit, Alors : Le vecteur Pour tout réel, le vecteur Le vecteur Le milieu I du segment La distance entre les points, avec, est Représentations paramétriques Dans tout ce paragraphe, le plan est muni d un repère ( ; quelconque Théorème Représentation paramétrique d une droite La droite passant par le point tels que, avec de vecteur directeur, ce qui équivaut à est l ensemble des points avec Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite est le paramètre N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 Preuve Comme appartient à la droite, il existe un nombre réel tel que Ce qui se traduit analytiquement par, Remarques Une droite a une infinité de représentations paramétriques puisque ni le point directeur ne sont uniques ni le vecteur Exemple On donne les points a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite b) Le point C() appartient-il à la droite? c) Déterminer les coordonnées du point pour qu il appartienne à la droite a) est un vecteur directeur de la droite Un système d équations paramétriques de la droite est : b) Le point appartient à la droite si, seulement si il existe un réel qui vérifie le système d équations paramétriques : Un tel n existe pas donc n appartient pas à c) Le point appartient à la droite si seulement si Le point Théorème - Représentation paramétrique d un plan Le point appartient au plan passant par le point de vecteur directeur si, seulement si il existe un couple de réels tels que Ce système est appelé représentation paramétrique du plan Exemple est le cube ci-contre On note le point d intersection de la droite avec le plan On se place dans le repère N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 1) a) Justifier qu il existe deux nombres réels tels que b) Calculer les coordonnées du point en fonction de de 3) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite b) Calculer alors les coordonnées du point I 1) a) sont deux vecteurs non colinéaires du plan, ils forment donc un couple de vecteurs directeurs de ce plan appartient au plan donc il existe deux réels tels que 1) b) Dans le repère, on a, Le plan est défini par le point deux vecteurs directeurs non colinéaires 2) a) Dans le repère, on a Un vecteur directeur de est D où la représentation paramétrique b) On a donc N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6