DS 3 3 DECEMBRE Maths 1 ES

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1 DS 3 3 DECEMBRE 2015 Durée : 2h Avec Calculatrice NOM : Prénom : La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l argumentation. Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Bilan Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 Ex 7 Ex 8 / 30 / 7 / 2 / 1 / 5 / 4 / 2 / 5 / 4 Déterminer l image ou le(s) antécédents d un nombre par tableau, lecture graphique ou calcul Lire graphiquement un nombre dérivé Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a Interpréter graphiquement un nombre dérivé Déterminer un coefficient multiplicateur pour plusieurs évolutions successives Déterminer un coefficient multiplicateur réciproque Résoudre une équation du second degré Acquis + ou - Non acquis Non fait Exercice 1-7 points - Sur la figure ci-dessous les droites d 1, d 2, d 3 et d 4 sont tangentes à la courbe C f représentative d'une fonction f dérivable sur R. 1. Déterminer graphiquement f(0), f(2), f(4) et f(8). 2. Déterminer graphiquement les nombres dérivés f (0), f (2), f (4) et f (8). 3. En déduire les équations réduites des tangentes d 1, d 2, d 3 et d 4. Exercice 2-2 points - Soit f une fonction et soit C f sa courbe représentative Déterminer l équation de la tangente à C f au point d abscisse 2 sachant que : f( 2) = 7 et f ( 2) = 3

2 Exercice 3-1 points - f est une fonction dont la courbe admet une tangente au point d abscisse 5 Cette tangente a pour équation : y = 3x + 1 En déduire la valeur de f (5) Exercice 4-5 points - Soit f une fonction définie sur R par f(x) = x 2 + 2x 5 et soit C sa courbe représentative 1. Calculer l équation de la tangente à C au point d abscisse 3, sachant que f (3) = Tracer, sur le document donné en annexe, pour x [ 4 ; 4], la courbe C ainsi que sa tangente au point d abscisse 3. Exercice 5-4 points - Soit une fonction f dont on vous donne les renseignements suivants : f( 3) = 1 et f ( 3) = 4 f(0) = 4 et f (0) = 0 f(4) = 1 et f (4) = 3 Sans calculer leur équation, tracer, sur le document donné en annexe, les trois tangentes, puis tracer une courbe représentative possible de f pour x [ 4 ; 5] Exercice 6-2 points - En 2010, La France comptait environ 2,7 millions de chômeurs. Le pourcentage du nombre de chômeurs représente environ 9,5% de la population active. Quel est le nombre de personnes composant la population active en 2010? Exercice 7-5 points - Le calcul du revenu imposable d un contribuable commence par un abattement de 10% sur le salaire perçu, suivi d un abattement de 20% sur la somme ainsi obtenue. 1. Quel taux d abattement unique est équivalent à ces deux abattements? 2. L ordre dans lequel sont effectués ces deux abattements a-t-il une influence sur le résultat? Expliquer. 3. Le salaire annuel perçu par M. Dupont est de Quel est le revenu «net» imposable après ces deux abattements? 4. Le revenu «net» imposable de M. Dupond est de Quel est le salaire annuel perçu par M. Dupant avant ces deux abattements? Exercice 8-5 points - Sur un compte épargne rémunéré au taux annuel de t%, une personne effectue un premier versement de 1600 puis, un deuxième versement de 400 au début de la deuxième année. À la fin de la deuxième année, cette personne dispose sur son compte d'une somme de Calculer le taux d'intérêt de ce compte épargne.

3 ANNEXE DS 3 3 DECEMBRE 2015 NOM : Prénom : Bilan Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 Ex 7 Ex 8 / 30 / 7 / 2 / 1 / 5 / 4 / 2 / 5 / 4 Déterminer l image ou le(s) antécédents d un nombre par tableau, lecture graphique ou calcul Lire graphiquement un nombre dérivé Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a Interpréter graphiquement un nombre dérivé Déterminer un coefficient multiplicateur pour plusieurs évolutions successives Déterminer un coefficient multiplicateur réciproque Résoudre une équation du second degré Acquis + ou - Non acquis Non fait Exercice 4

4 Exercice 5

5 Durée : 2h CORRECTION DS 3 3 DECEMBRE 2015 Avec Calculatrice Exercice 1-7 points - Sur la figure ci-dessous les droites d 1, d 2, d 3 et d 4 sont tangentes à la courbe C f représentative d'une fonction f dérivable sur R. 1. Déterminer graphiquement f(0), f(2), f(4) et f(8). f(0), f(2), f(4) et f(8) sont les ordonnées des points de la courbe d'abscisses respectives 0, 2, 4 et 8. Donc f(0) = 2,5 ; f(2) = 0 ; f(4) = 2,5 et f(8) = 1,5. 2. Déterminer graphiquement les nombres dérivés f (0), f (2), f (4) et f (8). Graphiquement, le nombre dérivé f (a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a. Les tangentes d 1 et d 3 sont parallèles à l'axe des abscisses donc leur coefficient directeur est nul. Par conséquent, f (0) = 0 et f (4) = 0 La tangente au point d'abscisse 2, d 2 passe par les points de coordonnées (2; 0) et (1; 2,5) son coefficient directeur est : m = 0 ( 2,5) = 2,5 = 2, Donc f (2) = 2,5. La tangente au point d'abscisse 8, d 4 passe par les points de coordonnées (8; 1,5) et (5,5; 2) son coefficient directeur est : m = 1,5 2 = 0,5 = 0,2 8 5,5 2,5 Donc f (8) = 0,2. 3. En déduire les équations réduites des tangentes d 1, d 2, d 3 et d 4. L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse a est : y = f (a) (x a) + f(a) Les tangentes d1 et d3 parallèles à l'axe des abscisses ont pour équations respectives : y = 2,5 et y = 2,5 La tangente d 2 au point d'abscisse 2 à pour équation y = 2,5 (x 2) + 0 Donc d 2 a pour équation y = 2,5x 5. La tangente d 4 au point d'abscisse 8 à pour équation y = 0,2 (x 8) + 1,5 y = 0,2x + 1,6 + 1,5 Donc d 4 a pour équation y = 0,2x + 3,1.

6 Exercice 2-2 points - Soit f une fonction et soit C f sa courbe représentative Déterminer l équation de la tangente à C f au point d abscisse 2 sachant que : f( 2) = 7 et f ( 2) = 3 Le point de contact a pour coordonnées x = 2 y = f( 2) = 7 Le coefficient directeur de la tangente est a = f ( 2) = 3 Donc son équation s écrit : y = 3x + b Application de la formule : y = f (x A ) (x x A ) + f(x A ) avec : x A = 2 f(x A ) = f( 2) = 7 f (x A ) = f ( 2) = 3 Pour x = 2 on doit avoir y = 7 7 = 3( 2) + b 13 = b La tangente a pour équation : y = 3x + 13 Donc : y = 3(x ( 2)) + 7 y = 3x y = 3x + 13 Exercice 3-1 points - f est une fonction dont la courbe admet une tangente au point d abscisse 5 Cette tangente a pour équation : y = 3x + 1 En déduire la valeur de f (5) On a cette tangente a pour équation : y = 3x + 1 Le coefficient directeur de la tangente est égal à 3 Cette droite est tangente à la courbe au point d abscisse 5 Donc f (5) = 3 Exercice 4-5 points - Soit f une fonction définie sur R par f(x) = x 2 + 2x 5 et soit C sa courbe représentative 1. Calculer l équation de la tangente à C au point d abscisse 3, sachant que f (3) = 8. Appliquons la formule y = f (x A ) (x x A ) + f(x A ) Avec ici x A = 3 d où f(x A ) = f(3) = = = 10 et f (x A ) = f (8) = 8 Alors y = 8 (x 3) + 10 y = 8 x y = 8 x y = 8x 14 Donc la tangente a pour équation : y = 8 x Tracer, pour x [ 4 ; 4], la courbe C ainsi que sa tangente au point d abscisse 3. Tableau de valeur pour la tangente : y = 8 x 14 x 1 3 y 6 8 f(x) = x 2 + 2x 5 x f(x)

7 Exercice 5-4 points - Soit une fonction f dont on vous donne les renseignements suivants : f( 3) = 1 et f ( 3) = 4 f(0) = 4 et f (0) = 0 f(4) = 1 et f (4) = 3 Sans calculer leur équation, tracer les trois tangentes, puis tracer une courbe représentative possible de f pour x [ 4 ; 5] Pour ne pas avoir à calculer l équation d une droite de coefficient directeur connu et passant par un point M on utilise la méthode suivante : f( 3) = 1 et f ( 3) = 4 La tangente au point A( 3 ; 1) a pour coefficient directeur 4. f(0) = 4 et f (0) = 0 La tangente au point B(0 ;4) a un coefficient directeur = 0, donc c est une droite est horizontale. f(4) = 1 et f (4) = 3 La tangente au point C(1 ; 1) a pour coefficient directeur 2. Exercice 6-2 points - En 2010, La France comptait environ 2,7 millions de chômeurs. Le pourcentage du nombre de chômeurs représente environ 9,5% de la population active. Quel est le nombre de personnes composant la population active en 2010? Pop active NB chômeur Nombre en millions? 2,7 pourcentage 100 9,5? = 100 2,7 9,5 = 28,4211 Donc la population active en 2010 était de 28,42 millions.

8 Exercice 7-5 points - Le calcul du revenu imposable d un contribuable commence par un abattement de 10% sur le salaire perçu, suivi d un abattement de 20% sur la somme ainsi obtenue. 1. Quel taux d abattement unique est équivalent à ces deux abattements? - 10 % - 20 %?? CM 1 = = 0,9 CM 2 = = 0,8 Donc CM T = CM 1 CM 2 = 0,9 0,8 = 0,72 Alors t = (CM 1) 100 = (0,72 1) 100 = 28 Donc l abattement global est de 28% 2. L ordre dans lequel sont effectués ces deux abattements a-t-il une influence sur le résultat? Expliquer. L ordre n a pas d importance puisqu on multiplie les coefficients multiplicateurs! 3. Le salaire annuel perçu par M. Dupont est de Quel est le revenu «net» imposable après ces deux abattements? - 10 % - 20 % 25000?? CM 1 = 0,9 CM 2 = 0,8 CM T = 0,72 Donc V 1 = V 0 CM T = ,72 = Donc le revenu net imposable de M. Dupont après les deux abattements sera de Le revenu «net» imposable de M. Dupond est de Quel est le salaire annuel perçu par M. Dupant avant ces deux abattements? On a V 1 = V 0 CM T D où V 0 = V = = CM T 0,72 Donc le salaire annuel de M. Dupond avant les deux abattements sera de

9 Exercice 8-5 points - Sur un compte épargne rémunéré au taux annuel de t%, une personne effectue un premier versement de 1600 puis, un deuxième versement de 400 au début de la deuxième année. À la fin de la deuxième année, cette personne dispose sur son compte d'une somme de Calculer le taux d'intérêt de ce compte épargne. Soit x le coefficient multiplicateur associé au taux d'intérêt de t%. + t % + t % 1600?? CM = x 400? } 2091 Le montant du capital disponible au bout de deux ans correspondant au premier versement de 1600 est : 1600 x x = 1600x² Le montant du capital disponible à la fin de la deuxième année correspondant au deuxième versement de 400 est : 400 x = 400x Par conséquent, le montant total du capital disponible au bout des deux ans est : 1600x² + 400x D'où x est solution de l'équation 1600x² + 400x = 2091 ou 16x2 + 4x 20,91 = 0 Nous sommes amenés à résoudre une équation du second degré avec a = 16, b = 4 et c = 20,91. Le discriminant du trinôme est Δ = b² 4ac d'où : Δ = 4² 4 16 ( 20,91) = 1354,24 Comme Δ > 0 alors l'équation a deux solutions : b Δ , ,8 x 1 = = = = 1,275 2a b + Δ , ,8 x 2 = = = = 1,025 2a Or x = 1 + t D'où 1 + t avec t > 0 donc la seule solution qui convienne est x = 1,025. = 1,025 t = 2,5 Le taux d'intérêt annuel de ce compte épargne est de 2,5%.