Plan. Probabilités, statistiques, signaux aléatoires. Mohamed CHETOUANI Probabilités et Statistiques. Processus aléatoires

Transcription

1 , statistiques, signaux aléatoires Mohamed CHETOUANI et Statistiques Processus aléatoires Caractérisation temporelle et statistique de signaux aléatoires

2 Rappels de probabilité Notion de probabilité Théorie des probabilités Variables aléatoires Lois discrètes et continues classiques Notion de probabilité Expérience aléatoire (épreuve): Expérience dont on ne peut prévoir à l avance le résultat et qui, dans des conditions identiques peut donner ou aurait donné lieu à des résultats différents. Le résultat d une expérience aléatoire est un événement noté ω. ω est un élément de tous les résultats possibles Ω (univers des possibilités). 4

3 Notion de probabilité Exemple: On jette une pièce de monnaie. On choisit Ω:{ω, ω } où ω représente l événement «le coté visible est pile» et ω «le côté visible est face». La définition des événements est arbitraire et dépend de ce que l on cherche à observer Loi de probabilité: Loi qui régit l expérience aléatoire 5 Théories des probabilités L univers Ω représente l ensemble des événements possibles: P(Ω)= => P(Ø)=0 (ensemble vide) Soit A un événement de probabilité non nulle A Ω de probabilité P(A) Probabilité du contraire: P(A ) =" P(A) 6

4 Théories des probabilités Soit B un événement de l univers Ω de probabilité P(B). Monotonie: A " B # P(A) $ P(B) totales: P(A " B) = P(A) + P(B) # P(A $ B) d un ensemble d événements: n P(") = $ P(# i ) = i= 7 Théories des probabilités d un ensemble d événements: P(") = $ P(# i ) = i= Equiprobabilité: P(" ) = P(" ) =... = P(" n ) n Calcul de probabilité dans le cas équiprobable: nombre d'issues favorables à A P(A) = nombre d'issues possible 8

5 Théories des probabilités Probabilité conditionnelle: Le fait de savoir qu un événement s est produit peut modifier la probabilité que nous attachons à un autre événement. => Notation: P(A B) = P(A B) P(A " B) P(B) 9 Théories des probabilités Formule de Bayes: Recherche des probabilités des causes d événements donnés Exemple: Deux usines fabriquent des ampoules: % des ampoules fabriquées par la ère usine sont défectueuses. % des ampoules fabriquées par la nde usine sont défectueuses. Dans un lot de 000 ampoules, 600 viennent de la ère usine et 400 de la seconde. On tire au hasard une ampoule et celle-ci est défectueuse. Question: Quelle est la probabilité pour que l ampoule défectueuse provienne de la ère usine? 0

6 Théories des probabilités Formule de Bayes: Recherche des probabilités des causes d événements donnés. Soit A l événement «l ampoule provient de la ère usine» et B l événement «l ampoule provient de la nde usine» Soit D l événement «l ampoule est défectueuse» Répondre à la question revient à estimer: P(A D) Théories des probabilités La formule de Bayes permet ce calcul: P(A D) = Réponse: P(A D) = Cas général: P(A " D) P(D) P(A " D) P(D) P(B i A) = P(A B i )P(B i ) P(A) = = P(D A)P(A) P(D) = = P(A B i )P(B i ) n " j= P(A B j )P(B j )

7 Variables aléatoires «Grandeur» variant selon le résultat d une expérience aléatoire. Somme des faces de dés (discrète) Distance entre le point d impact d une flèche et la cible (continue) [km parcouru retard du bus] (vecteur aléatoire de dimension ) Variables aléatoires A chaque élément ω de Ω correspond un nombre réel x associé à la variable aléatoire X 4

8 Variables aléatoires Exemple: On tire au hasard une personne dans une population donnée: L événement élémentaire ω i est : «on a tiré la personne i» On définit les variables aléatoires U, V, W par: U(ω i )= taille de la personne V(ω i )= poids de la personne W(ω i )= année de naissance 5 Variables aléatoires Variable aléatoire discrète ou continue: X(Ω) dénombrable: variable discrète X(Ω) non dénombrable: variable continue 6

9 Variables aléatoires Loi de probabilité d une variable aléatoire: Une variable aléatoire est caractérisée par l ensemble des valeurs qu elle peut prendre et par la probabilité de ces valeurs Variable aléatoire U. Soit u i =,7m P(U=u i ) est la probabilité de tirer au hasard une personne dont la taille est égale à,7m. P(U=u i ) est parfois simplifiée par p ui 7 Variables aléatoires Fonction de répartition: On appelle fonction de répartition d une variable aléatoire X, la fonction F X telle que: 8

10 Variables aléatoires Exemple : 9 Variables aléatoires continues Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d un intervalle donné. Exemple: - masse corporelle, - Distance entre le point d impact d une flèche et la cible (continue) 0

11 Variables aléatoires continues Densité de probabilité: On appelle densité de probabilité tout fonction continue positive de la forme: Telle que: Variables aléatoires continues Densité de probabilité:

12 Variables aléatoires continues Fonction de répartition: La fonction de répartition F X est la primitive de la fonction de densité de probabilité f(x) Variables aléatoires continues Fonction de répartition: Soit X une variable aléatoire continue de densité f et de fonction de répartition F X, alors: 4

13 Variables aléatoires continues Fonction de répartition: Probabilité cumulée 5 Variables aléatoires continues Fonction de répartition: Propriétés: 6

14 Espérance et Variance Espérance mathématique: L espérance d une variable aléatoire E[X] correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. => Moment d ordre 7 Espérance et Variance Propriétés: Si X et Y deux variables aléatoires définies sur un même univers Ω, admettant une espérance alors: 8

15 Espérance et Variance Variance: Si X est une v.a. ayant une espérance E[X], on appelle variance de X: => Moment centré d ordre Et on appelle écart-type de X: 9 Espérance et Variance Variable aléatoire centrée et réduite: Une variable aléatoire X est dite centrée si E[X]=0 Une variable aléatoire X est dite réduite si V[X]= A toute v.a. X d espérance E[X] et de variance V[X] on peut associer la variable suivante: Dite v.a. centrée réduite 0

16 Quelques lois de probabilité Lois de probabilité classiques: Loi uniforme: Densité de probabilité Fonction de répartition Quelques lois de probabilité Lois de probabilité classiques: Loi normale: Densité de probabilité Fonction de répartition

17 Exercices Exercices 4

18 Un signal aléatoire est un phénomène qui dépend à la fois du temps et du hasard 5 Un signal aléatoire est un phénomène qui dépend à la fois du temps et du hasard Caractérisation temporelle (moments temporels): Moyenne temporelle: 6

19 Auto-corrélation temporelle: 7 Caractérisation statistique: Moyenne statistique: 8

20 Caractérisation statistique: Fonction d auto-corrélation statistique: Fonction d inter-corrélation statistique: 9 Stationnarité: Un signal est stationnaire au premier ordre si sa valeur moyenne est constante: Un signal est stationnaire au second ordre si sa valeur moyenne est constante et si sa fonction d auto-corrélation est fonction du retard τ: 4 0

21 Ergodicité: Un signal est ergodique si ses moyennes statistiques et temporelles sont égales (er ordre): Second ordre: les fonctions d auto-corrélation statistique 4 Stationnarité et Ergodicité: 4

22 Exercice 4