TD4 : Variables aléatoires discrètes finies

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1 MA0 Probabilités Variables aléatoires discrètes finies Exercice On considère le jeu suivant le joueur paie euros pour jouer. Ensuite, il lance trois dés équilibrés. Pour chaque Pile qu il obtient, il gagne euros On désigne par X le nombre de Pile obtenus et par Y le gain (algébrique) du joueur.. Exprimer Y en fonction de X.. Donner la loi de X puis calculer E(X) et V (X).. Déterminer E(Y ) et V (Y ). Le joueur est-il gagnant en moyenne?. Expliciter la loi de Y. Exercice On tire, au hasard et sans remise, cartes d un jeu de cartes. Soit X le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de X et son espérance.. Un jeu consiste à miser euros et à recevoir a > 0 euros par roi obtenu. Soit G X la variable aléatoire égale au gain en euro. (a) Exprimer G X en fonction de X et de a et calculer l espérance de G X. (b) Pour quelles valeurs de a le jeu est-il favorable au joueur? (c) Donner la loi de G X. Exercice On dispose de deux dés un dé cubique D comporte face marquée 0, faces marquées, faces marquées. un dé D comportant faces marquées 0, faces marquées, face marquée.. On lance le dé D et on note X le nombre obtenu. Déterminer la loi de X son espérance, sa variance.. Mêmes questions pour X le nombre obtenu en lançant le dé D.. On lance D et D simultanément, (a) Calculer l espérance de Z = X + X et de T = X X (b) Déterminer la loi de Z, de T et de R = X X. Exercice Deux urnes U et U contiennent des boules blanches et noires en nombres respectifs b, n, b, n non nuls. On effectue un premier tirage dans une urne choisie au hasard et on remet la boule obtenue dans son urne d origine. Si l on obtient une boule blanche (resp. noire), le ème tirage se fait dans U (resp. U ). Au ième tirage, si la boule obtenue est blanche (resp. noire), le (i + )ème tirage se fait dans U (resp. U ). On considère la variable aléatoire X i définie par X i = si l on obtient une boule blanche au ième tirage et X i = 0 sinon.. Donner la loi de X puis de X.. Montrer que la suite (P (X i = 0)) i N est une suite arithmético-géométrique.. On suppose ici que b = 0, b =, n =, n = 7. (a) Donner l expression de P (X i = 0) en fonction de i puis celle de P (X i = ). (b) Calculer lim P (X i = 0) et lim P (X i = ). Interprétation du résultat. i + i + Exercice On dispose de deux urnes U et U, de six boules numérotées de à 6 ainsi que d un dé équilibré. Initialement, l urne U contient les boules numérotées et, l urne U contient les boules numérotées,, et 6. On appelle échange l expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d urne la boule portant le numéro obtenu avec le dé. Pour n N, on note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans U après n échanges successifs.. Les cinq premiers lancers du dé donnent,,,,. Quel est le contenu de U à l issue du cinquième échange?. Quelle est la loi de X? Calculer son espérance mathématique E(X ).. Déterminer la loi de X.. En général, quelles sont les valeurs possibles de X n?. Montrer que pour tout entier n de N, on a P (X n+ = 0) = 6 P (X n = ), P (X n+ = 6) = 6 P (X n = ) {,.., }, P (X n+ = ) = 7 6 P (X n = ) + + P (X n = + ) En déduire que, pour tout entier n de N E(X n+ ) = E(X n) +. Calculer alors E(X n ) en fonction de n, puis lim E(X n). n + L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne

2 MA0 Probabilités PHEC Correction feuille d exercices correction de l exercice. Le nombre de "Pile" s appelle X, pour chaque "Pile", le joueur gagne euros donc l obtention de X "Pile" fait gagner X euros au joueur et étant donné qu il paie euros (donc il les perd dé nitivement), le gain du joueur est Y = X. Il est évident que X() = [[0; ]] et 8 [[0; ]]; P (X = ) = = = = 8 ce que l on peut aussi écrire P (X = 0) = 8 ; P (X = ) = 8 ; P (X = ) = 8 ; P (X = ) = 8 Justi cation du calcul de probabilité L évènement X = signi e que le joueur a obtenu "Pile". On choisit dés parmi les ( choix possibles), la probabilité que ces dés donnent "Pile" est égale à et la probabilité que les autres donnent Face est X E(X) = P (X = ) = = X E(X ) = P (X = ) = = V (X) = E(X ) (E(X)) =. Puisque Y est une fonction a ne de X (i.e. Y est de la forme Y = ax + b); on a immédiatement E(Y ) = E(X ) = E(X) = 0 et V (Y ) = V (X ) = V (X) = En moyenne, le joueur n est ni perdant, ni gagnant.. Le tableau X 0 Y = X P (Y = ) = P (X = ) = P (X = 0) = montre que Y () = f ; ; ; gensuite, on a 0 8 = 8 P (Y = ) = P (X = ) = P (X = ) = 8 = 8 P (Y = ) = P (X = ) = P (X = ) = 8 P (Y = ) = P (X = ) = P (X = ) = 8 correction de l exercice. Bien entendu, puisque les pioches sont sans remise, on peut piocher rois donc X() = [[0; ]] et 8 [[0; ]]; P (X = ) = ou sous une forme plus explicite P (X = 0) = = 7 96 ; P (X = ) = 8 P (X = ) = = 7 P (X = ) = = 9 79 ; P (X = ) = = 79 8 = 96 Justi cation du calcul de probabilité L évènement X = signi e que l on a pioché rois. Pour les cas favorables, on choisit cartes parmi les rois disponibles ( choix) et les autres cartes parmi les = 8 8 cartes qui ne sont pas des rois ( choix) et pour les cas possibles, on choisit cartes parmi les disponibles. Un calcul direct fournit l espérance de X E(X) = X P (X = ) = = 8. (a) Le nombre de rois obtenus est égal à X Etant donné que chaque roi apporte a euros, les X rois apportent ax rois et le joueur doit payer euros (donc il les perd dé nitivement) donc le gain G X du joueur est égal à G X = ax La variable G X étant une expression a ne en X (i.e. de la forme ax + b), le cours nous donne directement E(G X ) = E(aX ) = ae(x) = a 8 /8 abdellah bechata L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne

3 MA0 Probabilités PHEC Correction feuille d exercices (b) Le jeu est favorable au joueur en moyenne si E(G X ) > 0, a 8 > 0, a 8 >, a > 6 = ; Par conséquent, le jeu est favorable au joueur en moyenne si et seulement chaque roi rapporte au moins, euros. (c) Le tableau ci-contre Ensuite, puisque a est non nul, on a ou encore, sous une forme plus explicite, X 0 G X a a a a montre que G X () = f ; a ; a ; a ; a g = fa ; [[0; ]] P (G X = a ) = P (ax = a ) = P (X = ) = 8 P (G X = ) = P (ax = ) = P (X = 0) = 7 96 P (G X = a ) = P (ax = a ) = P (X = ) = 9 79 P (G X = a ) = P (ax = a ) = P (X = ) = 96 P (G X = a ) = P (ax = a ) = P (X = ) = 7 96 P (G X = a ) = P (ax = a ) = P (X = ) = 79 correction de l exercice. Il est évident que X () = f0; ; g et P (X = 0) = 6 ; P (X = ) = 6 ; P (X = ) = 6 Je laisse le lecteur véri er que E(X ) = ; E(X ) = 7 et V (X ) = 9. De même, on a X () = f0; ; g et P (X = 0) = 6 ; P (X = ) = 6 ; P (X = ) = 6 Je laisse le lecteur véri er que E(X ) = ; E(X ) = et V (X ) = 9. (a) Par linéarité de l espérance, on a E(Z) = E(X + X ) = E(X ) + E(X ) = + = E(T ) = E(X X ) = E(X ) E(X ) = = (b) Les tableaux suivants nous donnent l univers de chaque variable Z = X + X X = 0 X = X = T = X X X = 0 X = X = X = 0 0 X = 0 0 X = X = 0 X = X = 0 R = X X X = 0 X = X = X = X = 0 donc Z() = [[0; ]]; T () = [[ ; ]]; R() = f0; ; ; g X = 0 Etant donné que les résultats des dés soient indépendants, les variables X et X sont indépendantes et les calculs suivants donnent la loi de chacune des variables. Loi de Z P (Z = 0) = P (X = 0 \ X = 0) = P (X = 0)P (X = 0) = P (Z = ) = P (X = 0 \ X = ) + P (X = \ X = 0) = P (X = 0)P (X = ) + P (X = )P (X = 0) = 8 L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne /8 abdellah bechata

4 MA0 Probabilités PHEC Correction feuille d exercices Loi de T P (Z = ) = P (X = \ X = 0) + P (X = \ X = ) + P (X = 0 \ X = ) = P (X = )P (X = 0) + P (X = )P (X = ) + P (X = 0)P (X = ) = P (Z = ) = P (X = \ X = ) + P (X = \ X = ) = P (X = )P (X = ) + P (X = )P (X = ) = 8 P (Z = ) = P (X = \ X = ) = P (X = )P (X = ) = P (T = ) = P (X = 0 \ X = ) = P (X = 0)P (X = ) = P (T = ) = P (X = 0 \ X = ) + P (X = \ X = ) = P (X = 0)P (X = ) + P (X = )P (X = ) = P (T = 0) = P (X = 0 \ X = 0) + P (X = \ X = ) + P (X = \ X = ) = P (X = 0)P (X = 0) + P (X = )P (X = ) + P (X = )P (X = ) = 0 P (T = ) = P (X = \ X = 0) + P (X = \ X = ) = P (X = )P (X = 0) + P (X = )P (X = ) = P (T = ) = P (X = \ X = 0) = P (X = )P (X = 0) = 9 Loi de R P (R = 0) = P (X = 0 \ X = 0) + P (X = 0 \ X = ) + P (X = 0 \ X = ) + P (X = \ X = 0) +P (X = \ X = 0) = P (X = 0)P (X = 0) + P (X = 0)P (X = ) + P (X = 0)P (X = ) + P (X = ) P (X = 0) +P (X = ) P (X = 0) = P (R = ) = P (X = \ X = ) = P (X = )P (X = ) = P (R = ) = P (X = \ X = ) + P (X = \ X = ) = P (X = )P (X = ) + P (X = )P (X = ) = 8 P (R = ) = P (X = \ X = ) = P (X = )P (X = ) = En résumé, on a P (Z = 0) = P (T = ) = P (R = 0) = P (Z = ) = 8 P (T = ) = P (R = ) = P (Z = ) = P (T = 0) = 0 P (R = ) = 8 P (Z = ) = 8 P (T = ) = P (R = ) = P (Z = ) = P (T = ) = 9 correction de l exercice. Loi de X X () = f0; g L obtention de la première boule dépend de l urne choisie (et au premier tirage, elle est aléatoire) donc, en utilisant le système complet d évènements (U ; U ); on a P (X = 0) = P (U \ (X = 0)) + P (U \ (X = 0)) = P (U )P U (X = 0) + P (U )P U (X = 0) = n + b + n n = b n + b n + n n b + n (b + n )(b + n ) P (X = ) = P (U \ (X = )) + P (U \ (X = )) = P (U )P U (X = ) + P (U )P U (X = ) = b + b + n b = b b + b n + b n b + n (b + n )(b + n ) Justi cation des calculs de probabilités Puisque l on choisit au hasard (donc avec équiprobabilité) l une des deux urnes, il est évident que P (U ) = P (U ) = P U (X = 0) On pioche dans l urne U et l on souhaite ne pas obtenir une boule blanche, c est-à-dire que l on pioche une boule noire. L urne U contenant n boules noires et b + n boules au total donc la probabilité de piocher une n boule noire est égale à b + n P U (X = 0) On pioche dans l urne U et l on souhaite ne pas obtenir une boule blanche, c est-à-dire que l on pioche L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne /8 abdellah bechata

5 MA0 Probabilités PHEC Correction feuille d exercices une boule noire. L urne U contenant n boules noires et b + n boules au total donc la probabilité de piocher une n boule noire est égale à b + n P U (X = ) On pioche dans l urne U et l on souhaite obtenir une boule blanche. L urne U contenant b boules b blanches et b + n boules au total donc la probabilité de piocher une boule blanche est égale à b + n P U (X = ) On pioche dans l urne U et l on souhaite obtenir une boule blanche. L urne U contenant b boules b blanches et b + n boules au total donc la probabilité de piocher une boule blanche est égale à b + n Loi de X Par construction, on a X () = f0; g La variable X représente le fait que l on a pioché une boule blanche ou non au second tirage. Or le choix de l urne dans laquelle on pioche dépend de l obtention ou non d une boule blanche au premier tirage, c est-à-dire des évènements (X = 0) et (X = ) On introduit naturellement le système complet d évènements (X = 0); (X = ) pour calculer P (X = 0) et P (X = ) P (X = 0) = P (X = 0 \ X = 0) + P (X = \ X = 0) = P (X = 0)P (X)(X = 0) + P (X = )P (X=)(X = 0) = n (b + n ) + n (b + n ) n + b (b + n ) + b (b + n ) (b + n )(b + n ) b + n (b + n )(b + n ) P (X = ) = P (X = 0 \ X = ) + P (X = \ X = ) = P (X = 0)P (X)(X = ) + P (X = )P (X=)(X = ) = n (b + n ) + n (b + n ) (b + n )(b + n ) n b + n b + b (b + n ) + b (b + n ) b b + n (b + n )(b + n ) b + n On ne peut guère plus simpli er les calculs. Justi cation des calculs de probabilités conditionnelles P (X)(X = 0) L évènement (X = 0) est réalisé, c est-à-dire que l on a pioché une boule noire au premier tirage donc le second tirage s e ectue dans l urne U On souhaite la réalisation de l évènement (X = 0), c est-à-dire que l on n veut piocher une boule noire au second tirage, qui s e ectue dans l urne U Cette probabilité est alors égale à b + n P (X=)(X = 0) L évènement (X = ) est réalisé, c est-à-dire que l on a pioché une boule blanche au premier tirage donc le second tirage s e ectue dans l urne U On souhaite la réalisation de l évènement (X = 0), c est-à-dire que l on n veut piocher une boule noire au second tirage, qui s e ectue dans l urne U Cette probabilité est alors égale à b + n P (X)(X = ) L évènement (X = 0) est réalisé, c est-à-dire que l on a pioché une boule noire au premier tirage donc le second tirage s e ectue dans l urne U On souhaite la réalisation de l évènement (X = ), c est-à-dire que l on veut piocher une boule blanche au second tirage, qui s e ectue dans l urne U Cette probabilité est alors égale à b b + n P (X=)(X = ) L évènement (X = ) est réalisé, c est-à-dire que l on a pioché une boule blanche au premier tirage donc le second tirage s e ectue dans l urne U On souhaite la réalisation de l évènement (X = ), c est-à-dire que l on veut piocher une boule blanche au second tirage, qui s e ectue dans l urne U Cette probabilité est alors égale à b b + n. Les évènements (X i+ = 0) et (X i+ = ) correspondent au fait que l on pioche une boule noire ou une boule blanche au (i + )-ième tirage, ces pioches dépendant bien entendu du fait que l on pioche dans l urne U ou U Le choix de l urne dépend de la pioche d une boule blanche ou d une boule noire au i-ième tirage, c est-à-dire des évènements (X i = 0) et (X i = ) Pour les calculs demandés, on introduit par conséquent, le système complet d évènements (X i = 0) et (X i = ) Calcul de P (X i+ = 0) en fonction de P (X i = 0) et P (X i = ) P (X i+ = 0) = P (X i = 0 \ X i+ = 0) + P (X i = \ X i+ = 0) = P (X i = 0)P (Xi)(X i+ = 0) + P (X i = )P (Xi=)(X i+ = 0) = P (X i = 0) n + P (X i = ) n b + n b + n P (X i+ = ) = P (X i = 0 \ X i+ = ) + P (X i = \ X i+ = ) = P (X i = 0)P (Xi)(X i+ = ) + P (X i = )P (Xi=)(X i+ = ) = P (X i = 0) b b + n + P (X i = ) b b + n L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne /8 abdellah bechata

6 MA0 Probabilités PHEC Correction feuille d exercices Justi cation des calculs de probabilités conditionnelles P (Xi)(X i+ = 0) L évènement (X i = 0) est réalisé, c est-à-dire que l on a pioché une boule noire au i-ième tirage donc le (i + )-ème tirage s e ectue dans l urne U On souhaite la réalisation de l évènement (X i+ = 0), c est-à-dire que l on veut piocher une boule noire au (i + )-ème tirage, qui s e ectue dans l urne U Cette probabilité est alors égale à n b + n P (Xi=)(X i+ = 0) L évènement (X i = ) est réalisé, c est-à-dire que l on a pioché une boule blanche au i-ième tirage donc le (i + )-ème tirage s e ectue dans l urne U On souhaite la réalisation de l évènement (X i+ = 0), c est-à-dire que l on veut piocher une boule noire au (i + )-ème tirage, qui s e ectue dans l urne U Cette probabilité est alors égale à n b + n P (Xi)(X i+ = ) L évènement (X i = 0) est réalisé, c est-à-dire que l on a pioché une boule noire au i-ième tirage donc le (i + )-ème tirage s e ectue dans l urne U On souhaite la réalisation de l évènement (X i+ = ), c est-à-dire que l on veut piocher une boule blanche au (i + )-ème tirage, qui s e ectue dans l urne U Cette probabilité est alors égale à b b + n P (Xi=)(X i+ = ) L évènement (X i = ) est réalisé, c est-à-dire que l on a pioché une boule blanche au i-ième tirage donc le (i + )-ème tirage s e ectue dans l urne U On souhaite la réalisation de l évènement (X i+ = ), c est-à-dire que l on veut piocher une boule blanche au (i + )-ème tirage, qui s e ectue dans l urne U Cette probabilité est alors égale à b b + n. Les évènements (X i = 0) et (X i = ) formant un système complet d évènements donc P (X i = 0) + P (X i = ) =, P (X i = ) = P (X i = 0) L expression de P (X i+ = 0) en fonction de P (X i = 0) et P (X i = ) obtenue à la question nous donne P (X i+ = 0) = P (X i = 0) ( P (X i = 0)) = 7 9 donc la suite (P (X i = 0)) in est bien une suite arithmético-géométrique. Explicitation de P (X i = 0) Détermination de la constante L L = 7 L +, 7 L =, L = 7 = 9 P (X i = 0) + = 7 P (X i = 0) + 9 Par conséquent, la suite u i = P (X i = 0) est géométrique de raison (revoir les nombreuses explicitations des 7 suites arithmético-géométriques) et, en utilisant la question, on a donc 8i N ; u i = i u 0, P (X i = 0) 7 i 9 = 7 P (X = 0) On exprime u i en fonction de u car la probabilité P (X 0 = 0) n a pas de sens. Explicitation de P (X i = ) P (X i = ) = P (X i = 0) = 7 7 9, P (X i = 0) = i 7. Puisque ]0; [, on a lim 7 P (X i = 0) = 9 et lim i!+ P (X i = ) = i!+ Interprétation après un nombre su samment grand nombre de tirages, la probabilité de piocher une boule blanche est très proche de 9 et la probabilité de piocher une boule noire est proche de correction de l exercice. Nous allons donner les di érents contenus des deux urnes à chaque lancer initialement après lancer après lancers après lancers après lancers après lancers U, U U, U U U U,,,6 U,,,,6 U,,,6 U,,,,6 U,,,,,6 U,,,,6 i donc l urne U contient uniquement la boule n à l issue du cinquième échange L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne /8 abdellah bechata

7 MA0 Probabilités PHEC Correction feuille d exercices Après le premier changement, l urne U contient soit une boule supplémentaire (si le dé a donné un numéro présent dans l urne U ); soit une boule en moins (si le dé a donné un numéro présent dans l urne U ) Par conséquent, l urne U contenant initalement boules, après un échange l urne U contient ou boules donc X () = f; g L évolution du contenu de l urne U dépendant clairement du numéro obtenu avec le dé, on introduit le système complet d évènements D i ; où l évènement D i est dé ni par D i " le dé fournit le numéro i " P (X = ) = P (D \ X = ) + P (D \ X = ) + P (D \ X = ) +P (D \ X = ) + P (D 6 \ X = ) + P (D \ X = ) = P (D )P D (X = ) + P (D )P D (X = ) = = P (X = ) = P (D \ X = ) + P (D \ X = ) + P (D \ X = ) + P (D \ X = ) +P (D \ X = ) + P (D 6 \ X = ) = P (D )P D (X = ) + P (D )P D (X = ) + P (D )P D (X = ) + P (D 6 )P D6 (X = ) = = Justi cation des calculs de probabilités P (D \ X = ) L évènement D \ X = est impossible car il signi e que le dé a fourni le numéro, donc la boule numéro qui était présent dans l urne U est déplacé dans l urne U ; ce qui implique qu à l issue du premier changement l urne U contient les boules numéro,, donc trois boules, ce qui contredit la réalisation de l évènement X = P D (X = ) l évènement D est réalisé, c est-à-dire que le dé a fourni le numéro, donc la boule numéro quitte l urne U et à l issue du premier changement l urne U contient uniquement la boule numéro donc une boule. Par conséquent, l évènement X = se réalise nécesssairement, ce qui implique que P D (X = ) = Il est alors immédiat que E(X ) = + = 7. Comme précédemment, après le premier changement, l urne U contient soit une boule supplémentaire (si le dé a donné un numéro présent dans l urne U ); soit une boule en moins (si le dé a donné un numéro présent dans l urne U ) Par conséquent, l urne U ; qui contient après changement soit boule, soit boules, contient après le deuxième changement 0 boule ou boules ou boules ou boules donc X () = f0; ; g. Le contenu de l urne U après deux changements dépend à la fois du résultat du lancer du dé et du contenu de l urne U après un changement. Bien entendu, on doit connaitre préalablement le contenu de l urne U après un changement (le dé n étant lancé qu après), on considère le système complet d évènements (X = ) et (X = ) qui décrit justement ce contenu. P (X = 0) = P (X = \ X = 0) + P (X = \ X = 0) = P (X = )P (X=)(X = 0) = 6 = 8 P (X = ) = P (X = \ X = ) + P (X = \ X = ) = P (X = )P (X=)(X = ) + P (X = )P (X=)(X = ) = = 8 P (X = ) = P (X = \ X = ) + P (X = \ X = ) = P (X = )P (X=)(X = ) = 6 = 6 8 Véri cation P (X = 0) + P (X = ) + P (X = ) = Justi cation des calculs de probabilités P (X=)(X = 0) L évènement (X = ) est réalisé et l on souhaite la réalisation de l évènement (X = 0); c est-àdire que l urne U contient après un échange boule (donc l urne U en contient ) et l on souhaite qu à l issue du deuxième échange l urne U contienne 0 boule. Cela n est possible que si le dé fourni le numéro de la boule contenue dans l urne U (a n de déplacer dans l urne U la boule correspondante). Etant donné qu il y a 6 numéros possibles et seul est favorable, la probabilité de réalisation vaut 6 P (X = \ X = 0) L évènement (X = ) signi e que l urne U contient boules après un échange et l évènement (X = 0) signi e que l urne U contient 0 boule au deuxième échange (l échange suivant). La réalisation de l évènement L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne 6/8 abdellah bechata

8 MA0 Probabilités PHEC Correction feuille d exercices (X = ) implique nécessairement qu à l échange suivant l urne U contient ou boules, ce qui contredit la réalisation de l évènement (X = 0) donc P (X = \ X = 0) = 0 P (X=)(X = ) L évènement (X = ) est réalisé et l on souhaite la réalisation de l évènement (X = ); c est-àdire que l urne U contient après un échange boule (donc l urne U en contient ) et l on souhaite qu à l issue du deuxième échange l urne U contienne boules. Cela n est possible que si le dé fourni le numéro d une boule contenue dans l urne U (a n de déplacer dans l urne U la boule correspondante). Etant donné qu il y a 6 numéros possibles et numéros sont favorables, la probabilité de réalisation vaut 6 P (X=)(X = ) L évènement (X = ) est réalisé et l on souhaite la réalisation de l évènement (X = ); c est-àdire que l urne U contient après un échange boules (donc l urne U en contient ) et l on souhaite qu à l issue du deuxième échange l urne U contienne boules. Cela n est possible que si le dé fourni le numéro d une boule contenue dans l urne U (a n de déplacer dans l urne U la boule correspondante). Etant donné qu il y a 6 numéros possibles et numéros sont favorables, la probabilité de réalisation vaut 6 P (X = \ X = ) L évènement (X = ) signi e que l urne U contient boule après un échange et l évènement (X = ) signi e que l urne U contient boules au deuxième échange (l échange suivant). La réalisation de l évènement (X = ) implique nécessairement qu à l échange suivant l urne U contient 0 ou boules, ce qui contredit la réalisation de l évènement (X = ) donc P (X = \ X = ) = 0 P (X=)(X = ) L évènement (X = ) est réalisé et l on souhaite la réalisation de l évènement (X = ); c est-àdire que l urne U contient après un échange boules (donc l urne U en contient ) et l on souhaite qu à l issue du deuxième échange l urne U contienne boules. Cela n est possible que si le dé fourni le numéro d une boule contenue dans l urne U (a n de déplacer dans l urne U la boule correspondante). Etant donné qu il y a 6 numéros possibles et numéros sont favorables, la probabilité de réalisation vaut 6. En général, le nombre de boules dans l urne U prend toutes les valeurs entre 0 et 6 donc X n () = [[0; 6]] (même si pour des valeurs particulières de n, la variable X n ne prend pas toutes les valeurs entre 0 et 6). Le contenu de l urne U après n + changements dépend à la fois du résultat du lancer du dé et du contenu de l urne U après n changement. Bien entendu, on doit connaitre préalablement le contenu de l urne U après n changement (le dé n étant lancé qu après), on considère le système complet d évènements (X = ) [0;6]] qui décrit justement ce contenu. P (X n+ = 0) = P (X n = 0 \ X n+ = 0) + P (X n = \ X n+ = 0) +P (X n = \ X n+ = 0) + + P (X n = 6 \ X n+ = 0) = P (X n = ) P (Xn=) (X n+ = 0) = 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = P (X n = 0 \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) +P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = 6 \ X n+ = ) = P (X n = 0)P (Xn)(X n+ = ) + P (X n = )P (Xn=)(X n+ = ) = 6 6 P (X n = 0) + 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = P (X n = 0 \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) +P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) + + P (X n = 6 \ X n+ = ) = P (X n = )P (Xn=)(X n+ = ) + P (X n = )P (Xn=)(X n+ = ) = 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = P (X n = 0 \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) +P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = 6 \ X n+ = ) P (X n+ = ) = P (X n = )P (Xn=)P (X n+ = ) + P X n = )P (Xn=)P (X n+ = = 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne 7/8 abdellah bechata

9 MA0 Probabilités PHEC Correction feuille d exercices P (X n+ = ) = P (X n = 0 \ X n+ = ) + + P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) +P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = 6 \ X n+ = ) = P (X n = )P (Xn=)P (X n+ = ) + P X n = )P (Xn=)P (X n+ = = 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = P (X n = 0 \ X n+ = ) + + P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = \ X n+ = ) +P (X n = \ X n+ = ) + P (X n = 6 \ X n+ = ) = P (X n = )P (Xn=)P (X n+ = ) + P X n = 6)P (Xn=6)P (X n+ = = 6 P (X n = ) P (X n = 6) P (X n+ = 6) = P (X n = 0 \ X n+ = 6) + + P (X n = \ X n+ = 6) + P (X n = \ X n+ = 6) +P (X n = 6 \ X n+ = 6) = P (X n = ) P (Xn=)P (X n+ = 6) = 6 P (X n = ) Justi cation des calculs de probabilités elle est identique à celle de la question, je laisse le lecteur le véri er. En résumé, on a P (X n+ = 0) = 6 P (X n = ) P (X n+ = 6) = 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = 6 6 P (X n = 0) + 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) P (X n+ = ) = 6 P (X n = ) P (X n = 6) 6. En utilisant les relations de récurrence précédentes, on a E (X n+ ) = P (X n+ = ) + P (X n+ = ) + P (X n+ = ) + P (X n+ = ) + P (X n+ = ) + 6P (X n+ = 6) 6 = 6 P (X n = 0) + 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) + 6 P (X n = ) P (X n = 6) P (X n = ) = P (X n = 0) + P (X n = ) + 7 P (X n = ) + P (X n = ) + P (X n = ) + P (X n = ) + P (X n = 6) La relation demandée n apparaissant directement, nous allons expliciter E(X n+ ) E(X n) E(X n) = P (X n = ) + P (X n = ) + P (X n = ) + 8 P (X n = ) + 0 P (X n = ) + P (X n = 6) E(X n+ ) E(X 7 n) = P (X n = 0) + P (X n = ) + P (X n = ) + ( ) P (X n = ) P (X n = ) + P (X n = ) + ( ) P (X n = 6) = P (X n = 0) + P (X n = ) + P (X n = ) + P (X n = ) + P (X n = ) + P (X n = ) + P (X n = 6) = puisque les évènements (X n = ) [0;6]] forment un système complet d évènements. La suite (E(X n )) n étant arithmético-géométrique, on détermine pour commencer la constante L L = L+, L = La suite u n = E(X n ), E(X n ) = u n + est géométrique de raison donc u n = n u 0, E(X n ) = n (E(X 0 ) ), E(X n ) = n En e et, après 0 changement, c est-à-dire à l état initial, l urne U contient boules donc X 0 = et en particulier E(X 0 ) = Puisque ] ; [; on en déduit que lim n!+ E(X n) = L Mathématiques et Informatique FST - Université Paul Cézanne 8/8 abdellah bechata