SOS Maths Sujet de brevet

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1 CTIVITES NUMERIQUES (12 POINTS) SOS Maths Sujet de brevet On donne : = B = C = (1 2 ) 7 2 1) Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 2) Ecrire B sous la forme a b où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible. ) Développer et réduire C et donner le résultat sous la forme a + b, où a et b sont des nombres entiers. On considère l'expression : E = (x + 2) 2 - (5-2x )(x + 2). 1) Développer et réduire l'expression E. 2) Factoriser E. ) Calculer la valeur de E pour x = ) Résoudre l'équation (x + 2)(5x - ) = 0. Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux? Exercice : Une élève de CP fait des courses pour elle et ses camarades : La première fois, elle achète 5 crayons et 2 gommes pour 10,90. La seconde fois elle achète 8 crayons et gommes pour 17,20. En utilisant un système d équations, aider l élève de CP à retrouver le prix de chaque article. CTIVITES GEOMETRIQUES (12 POINTS) 1)Construire un triangle BC tel que BC = 7 cm, BC= 7 et CB = 5. 2)Prouver que ce triangle est un triangle rectangle. )Calculer la longueur C puis donner la valeur arrondie au mm. 1)Dans un repère orthonormé (O, I, J) tel que OI = OJ = 1cm, placer les points (0 ; 4) B( ; 2) C(- 1 ; - 4). 2) Calculer la longueur BC, donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième. ) En admettant que B = 1 et C = 65 cm, démontrer que le triangle BC est rectangle en B. 4) Placer dans le repère le point E image du point C par la translation de vecteur B. Démontrer que le quadrilatère BCE est un rectangle. S Exercice : Sur la figure ci-contre on a un cône de révolution tel que S = 12 cm. Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que S = cm (la figure ci-contre n est pas à l échelle) 1)Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône. 2)Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône? ) Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner la valeur arrondie au cm.

2 PROBLEME (12 POINTS) Monsieur Martin habite Petitville. Monsieur Gaspard habite à une distance de 900 km de Petitville. huit heures du matin les deux personnes commencent à rouler l un vers l autre : Monsieur Martin quitte Petitville et roule à 60 km.h -1. Monsieur Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90 km.h -1. On note x le temps écoulé depuis huit heures du matin (x est exprimé en heures). insi, quand il est huit heure du matin, x = 0. près avoir roulé une heure, c est à dire quand x = 1, Monsieur Martin est à 60 km de Petitville et Monsieur Gaspard est lui à 810 km de Petitville. 1) quelle distance de Petitville Monsieur Martin se situe-t-il Quand x = 4? quand x = 10? 2) quelle distance de Petitville Monsieur Gaspard se situe-t-il Quand x = 4? quand x = 10? ) Exprimer en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Martin de Petitville. Exprimer en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Gaspard de Petitville 4) On donne les fonctions suivantes f : x a 60x et g : x a x. Recopier sur la copie les tableaux suivants et les compléter : x x f (x) g(x) 5) Représenter graphiquement les fonctions f et g sur une feuille de papier millimétré en prenant en abscisse : 1 cm pour une durée d une heure. En ordonnée : 1 cm pour une distance de 100 km. 6) l aide d une lecture graphique, déterminer : a) La durée au bout de laquelle les deux personnes se croisent. b) quelle distance de Petitville se croisent-ils? Faire apparaître les pointillés nécessaires. 7) a) Retrouver le résultat de la question 6) a) en résolvant une équation. b) Retrouver le résultat de la question 6) b) par le calcul.

3 CORRIGE CTIVITES NUMERIQUES (12 POINTS) = = = 7 14 = = 42 B = C = (1 2 ) 2. B = C = (2 ) 2 B = C= B = (2 7 5) C = B = 10 C = 1 4 = 7 4 On considère l'expression : E = (x + 2) 2 - (5-2x )(x + 2). 1) E = (x + 2) 2 - (5-2x )(x + 2). 2) E = (x + 2) 2 - (5-2x )(x + 2). E = 9x x +4 [15x +10 6x 2 4x ] E = (x +2)(x +2) (5 2x )(x +2) E= 9x 2 +12x +4 15x 10 +6x 2 +4x E = (x +2)[ (x +2) (5 2x )] E = 15x 2 +x 6 E = (x +2)[x x ] E= (x +2)(5x ) ) En utilisant l expression développé 4) pour qu un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit E = 15 ( 2) 2 + ( 2) 6 qu un des facteurs soit nul E = (x + 2)(5x - ) = 0 donc E = 52 x +2=0 ou 5x = 0 Exercice n x = 0 2 ou 5x = 0+ x = 2 x désigne le prix d un crayon et y celui d une gomme.on a donc : 5 x + 2 y = 10,90 8 x + y = 17,20 40x +16y = 87,20 15x + 6y = 2,70 40x +15y=86 16x +6y=4,40 par différence on a par différence on a y =1,20 x = 1,70 x = 1,70 Vérification : 5 1, ,20 = 10,90 et 8 1,70 + 1,20 = 17,20 Un crayon coûte 1,70 et une gomme 1,20. ou x = 5 = 0,6 Cette équation a pour solution 2 et 0,6 Seule 0,6 est un nombre décimal.

4 CTIVITES GEOMETRIQUES (12 POINTS) Exercice n 1 2 ) La somme des angles d un triangle est égale à 180 donc BC = 180 (5+7)=90 BC = 90 Le triangle BC est rectangle en. ) Calcul de la longueur C : Je sais que BC est un triangle rectangle en cos BC = C CB C B Exercice n 2 cos 7 = C 7 C = 7 cos 7 C 5,6 cm 2 ) BC ( 1) 2 ( 4) donc 4 6 BC Finalement : BC = = 16+6 = B La longueur exacte de BC est 52 et la valeur arrondie au dixième, 7,2 1 ) D une part B ² + BC ² = 1 ² + 52 ²= = 65 D autre part C ² = 65 ² = 52 On sait que B ² + BC ² = C ² On peut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore Donc triangle BC est rectangle en B E -2 - C -4 5 ) Démonstration que le quadrilatère BCE est un rectangle : Je sais que E est l image de C par la translation de vecteur B donc BCE est un parallélogramme. Je sais de plus que BC Or si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle Donc BCE est un rectangle. Exercice n 1 ) Valeur exacte du volume du grand cône : Le volume d un cône se calcule avec la formule V = π r ² h π 7² 12 V = π 49 4 V = V = 196 π La valeur exacte du volume du cône est 196 π 2 ) Coefficient de réduction : Il est égal au rapport S S, soit 12, soit 1 4. Le coefficient de réduction est 1 4 ) Valeur exacte du volume du petit cône : Ce volume est égal au produit du grand cône par 1 4 V = 196 π 1 4 V = 196 π 1 64 V = 196 π 64 = π =,0625 π La valeur exacte du volume du cône est,0625 π

5 PROBLEME (12 POINTS) 1 ) Distance à laquelle se situe M.Martin quand x = 4 et x = 10 : On utilise la formule d = v t Pour x = 4 : d = 60 4= 0 Pour x = 10 : d = 60 10= 600 M.Martin se situe à 0 km de Petitville pour x = 4 et à 600 km pour x = 10 2 ) Distance à laquelle se situe M.Gaspard quand x = 4 et x = 10 : elle est égale à 900 km moins la distance déja parcourue à 90 km.h -1 Pour x = 4 : d = = 540 Pour x = 10 : d = = 0 M.Gaspard se situe à 540 km de Petitville pour x = 4 et à 0 km pour x = 10 ) Expression en fonction de x de la distance qui sépare : M.Martin de Petitville : d = v t = 60 x M.Gaspard de Petitville : distance initiale distance déjà parcourue = x Les formules sont 60 x pour M.Martin et x pour M.Gaspard 4 ) Calcul des valeurs du tableau : x f(x) x g(x) ) Représentations graphiques : f et g sont des fonctions affines donc leurs représentations graphiques sont des droites. On peut se servir des tableaux pour les construire : f (x) = 60 x g(x) = x 6 ) Par lecture graphique : a) Les personnes se croisent au bout de 6 heures, b) Elles se croisent à 60 km de Petitville. 7 ) Calcul des valeurs du 6 : Lorsque les deux personnes se croisent, elles sont à la même distance de Petitville, donc cela revient à résoudre l équation : 60 x = x 60 x + 90 x = x = 900 x = x = 6 C est au bout de 6 heures que les personnes vont se croiser = 60, donc Elles seront à 60 km de Petitville.