Les fonctions affines par morceaux

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Valentine St-Denis
il y a 7 ans
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1 Chapitre Les onctions aines par morceaux. Fonction aine.. Déinition et propriétés Déinition. Soit m et p deux réels. La onction déinie sur R par (x) mx + p est appelée une onction aine. Remarque. On a deux cas particuliers : si p 0, la onction est une onction linéaire ; si m 0, la onction est une onction constante. Propriété. On considère une onction aine déinie par (x) mx + p : si m > 0, alors est strictement croissante sur R ; si m 0, alors est constante sur R ; si m < 0, alors est strictement décroissante sur R. Tableaux de variations d une onction aine : Si m > 0 : Si m 0 : Si m < 0 : Théorème. Soit une onction déinie sur R. La onction est une onction aine si et seulement si pour tous réels distincts a et b, le quotient (b) (a) est constant. Cela signiie que l accroissement de la onction est proportionnel à l accroissement de la variable. Démonstration : Soit une onction aine. On a : (x) mx + p. Montrons que pour a b, le quotient

2 2 Les onctions aines par morceaux (b) (a) est constant : (b) (a) (mb + p) (ma + p) mb ma m() m Soit une onction vériiant (b) (a) m pour tous réels a et b. On pose p (0). Alors, pour tout x R, on a : (x) (0) m donc : (x) p m x 0 x Ainsi : (x) mx + p pour tout x R. De plus (0) p m 0 + p, donc (x) mx + p pour tout x R. Remarque.2 (Détermination de m et p) Si est une onction aine déinie par (x) mx + p, alors : p (0) et pour tout a R et tout b a, on a m (b) (a)...2 Représentation graphique Propriété.2 Dans un repère (O; i, j) du plan, la représentation graphique de la onction aine déinie par : x mx + p est la droite D de coeicient directeur m et passant par le point P (0 ; p). y mx + p est l équation réduite de la droite D. Remarque.3 Si la onction aine est linéaire, la droite D passe par l origine du repère. Si la onction aine est constante, la droite D est parallèle à l axe des abscisses. Interprétation graphique des coeicients m et p : p est l ordonnée du point d intersection de d avec l axe des ordonnées (yy ). m est la diérence des ordonnées de deux points M et N de d tels que x N x M +. d M N m > 0 p j p d i M N m < 0 Théorème.2 Soit deux droites d et d d équations respectives y mx + p et y m x + p dans un repère (O; i, j) du plan. Les droites d et d sont parallèles si et seulement si elles ont le même coeicient directeur. d//d m m

3 .2 Fonction aine par morceaux 3.2 Fonction aine par morceaux.2. Préliminaires : les valeurs absolues Déinition.2 Soit x un nombre réel. On appelle valeur absolue de x, et on note x le nombre : Remarque.4 Pour tout réel x, on a x 0. Propriété.3 Pour tout x réel, on a : x x. x { x si x 0 x si x 0 Démonstration : Si x 0, alors x 0 et on a donc : x x et x ( x) x, ainsi x x. Si x 0, alors x 0 et on a donc : x x et x x, ainsi x x. Représentation graphique de la onction valeur absolue : y x Exemple. Exemple x 3 Donc : 2x 3 { 2x 3 si 2x 3 0 (2x 3) si 2x 3 0 { 2x 3 si x 3 2 2x + 3 si x 3 2

4 4 Les onctions aines par morceaux.2.2 Fonction aine par morceaux Déinition.3 Une onction est dite aine par morceaux si elle est déinie sur plusieurs intervalles disjoints par des onctions aines. Exemple.3 La onction déinie ci-dessous est une onction aine par morceaux : { 2x pour x ] ; 3] (x) x + 8 pour x ]3; + ] Ici, on aurait pu choisir comme intervalles ] ; 3] et [3; + ] (avec 3 comme valeur commune) car si x 3, 2x 5 et x Donc la valeur 3 a une même image par les deux onctions aines Remarque.5 La représentation graphique d une onction aine par morceaux est constituée de la réunion de plusieurs segments ou demi-droites. Exemple.4 On obtient souvent une onction aine par morceaux lorsque l expression contient des valeurs absolues. La onction déinie sur R par (x) 2x est une onction aine par morceaux. En eet, pour x ] ; ], (x) 2x et pour x [ ; + [, (x) 2x Interpolation linéaire Lorsqu on ne connaît que quelques points d une courbe C représentant une onction, on peut relier ces points par des segments ; on obtient alors une courbe C i appelée courbe d interpolation linéaire de la courbe C associée aux points connus. La courbe C i est la représentation graphique d une onction aine par morceaux. Exemple.5 Un automobiliste quitte son domicile à 0 h. On donne dans le tableau suivant la distance parcourue à certaines heures : ou presque.... Les intervalles peuvent avoir des valeurs communes, à condition que l image de ces valeurs par les onctions aines soit unique. (Voir Exemple.3)

5 .2 Fonction aine par morceaux 5 heure h 2h30 3h 5h distance parcourue (km) On note t la durée du trajet, et (t) la distance parcourue après t heures de trajet.. Peut-on donner une expression de la onction en onction de t? Justiier. 2. Tracer la courbe d interpolation linéaire correspondant aux valeurs connues. 3. Déterminer la onction aine par morceaux g qui lui est associée. Solution :. On ne peut pas donner d expression de en onction de t car la distance parcourue dépend de la vitesse à chaque instant, donnée qui nous est inconnue distance(km) ,5 3 5 duree (h) 3. On a (0) 0 et () 65 donc on en déduit que sur { l intervalle [0; ], (t) 65t. a + b 65 On a () 65 et (2, 5) 245, on résout le système a 2, 5 + b 245 t [; 2, 5], (t) 20t 55. On a (2, 5) 245 et (3) 280. On résout le système t [; 2, 5], (t) 70t On a (3) 280 et (5) 460. On résout le système t [; 2, 5], (t) 90t + 0. Finalement, on obtient : 65t si t [0; ] 20t 55 si t [; 2, 5] (t) 70t + 70 si t [2, 5; 3] 90t + 0 si t [3; 5] { a 2, 5 + b 245 a 3 + b 280 { a 3 + b 280 a 5 + b 460

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