1 Taux d évolution et pourcentages

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1 1 Taux d évolution et pourcentages Exercice 1 Taux d évolution et pourcentages Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes en justifiant : 1. Dans un camping le nombre de clients est passé de 225 en été 2012 à 207 en été 2013, le taux d évolution de la fréquentation est d environ 8,7 % entre 2012 et Un article neuf coûtant 25e est vendu avec une réduction de 15 %, son prix réduit est donc de 21,25 e. 3. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 3,5 % est 0, Un entreprise procède à un licenciement économique de 14 % de ses employés ce qui représente la suppression de 49 postes. Il y avait donc environ 56 employés avant le licenciement. 5. Pendant trois années consécutives, le chiffre d affaires d une entreprise augmente de 20 %, on peut donc affirmer que globalement le chiffre d affaires a augmenté de 60 %. 6. Une baisse de 10 % n est pas compensée par une augmentation de 10 %. Exercice 2 Taux global Calculer le taux global résultant des évolutions successives indiquées pour chacune des lignes du tableau suivant : Taux 1 Taux 2 Taux 3 Taux global 15 % 10 % 5 % 20 % 10 % 5 % 0,2 0,1 0,05 0,5 0,25 0,01 Exercice 3 Taux réciproque 1. Le prix de l essence augmente de 15 % dans une station service, quel devrait être le taux d évolution à appliquer pour retrouver sa valeur initiale (autrement dit le taux réciproque)? 2. Calculer le taux réciproque d une baisse de 50 %. 3. a) Calculer le taux d évolution global résultant de trois baisses successives de 20 %. b) Calculer le taux d évolution réciproque permettant de compenser ces trois baisses. Exercice 4 Pour s entraîner Le prix d un produit de grande consommation diminue de 10 % en janvier 2012 puis augmente de 5 % en février 2012 et augmente encore de 20 % en mars Calculer le taux d évolution global du prix durant le premier trimestre Quel devrait être le taux d évolution du deuxième trimestre pour que le prix retrouve sa valeur initiale? Exercice 5 Taux moyen de deux évolutions L observation des prix des locations immobilières sur une commune proche du littoral durant l été 2012 montre une augmentation de 15 % en juin suivie d une augmentation de 35 % en juillet Quel est le taux d évolution global sur ces deux mois? 2. Un journal affirme que le taux d évolution moyen mensuel est de 25 %, qu en pensez vous? 3. Calculer précisément le taux d évolution moyen mensuel sur la période de juin à juillet. 4. Sur une commune plus éloignée du littoral on constate une augmentation de 10 % en juin suivie d une augmentation de 20 % en juillet. Déterminer le taux d évolution moyen. N. SANS 1 Lycée Français Jean Giono

2 2 Les suites Activité 1 Lire un article de presse Au premier janvier 2010, personnes habitent en Guyane. La Guyane est le plus grand département français avec une surface près de huit fois supérieur à celle de la Gironde, le deuxième département le plus vaste. Sa densité de population n?est que de trois habitants par km 2 tandis que la densité moyenne en France est autour de 100 habitants par km 2. Une démographie guyanaise quasi-exponentielle Depuis 1999, année du dernier recensement général de la population, la population guyanaise a augmenté de habitants, soit une hausse de 46 % en onze ans et donc de 3,5 % en taux de croissance annuel moyen. A titre de comparaison, si la France hexagonale suivait le même rythme d?évolution, elle gagnerait plus de 2 millions habitants par an. 1. Les pourcentages indiqués sont-ils cohérents avec les valeurs annoncées? 2. Justifier la phrase «une démographie guyanaise quasi-exponentielle». 3. Au premier janvier 2014, la Guyane comptait habitants. Cette donnée permet-elle de confirmer cette croissance «quasi-exponentielle» de la population guyanaise? Exercice 6 Suite définie par son terme général Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n par u n = (2n+1) Calculer les quatre premiers termes de la suite (u n ) puis u Déterminer l expression de u n+1 en fonction de n. 3. Peut on affirmer que u n +1 = u n+1? Justifier. Exercice 7 Utilisation de la calculatrice Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n par v n = 1 n 1 n Calculer les trois premiers termes de la suite (v n ) sous forme d une fraction irréductible sans la calculatrice. 2. Utiliser la calculatrice pour vérifier les calculs et donner une valeur approchée de v 15. Rappel : Utiliser le mode table de votre calculatrice. 3. Établir l expression de v n+1 en fonction de n sous la forme d un seul quotient. Exercice 8 Suite définie par récurrence Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n par u 0 = 1 et u n+1 = 2u n Calculer les quatre premiers termes de la suite (u n ). 2. En utilisant le mode RECUR de la calculatrice et des paramétrages adaptés, déterminer u Déterminer à l aide de la calculatrice le premier indice n tel que u n > Exercice 9 - Formules sur les suites arithmétiques 1. Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r = 3 et de premier terme u 1 = 9. a) Calculer u 2, u 3 et u 4. b) Exprimer u n en fonction de n. c) Calculer u Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0 = 2 et u 6 = 20. a) Calculer r. b) Exprimer u n en fonction de n. c) Calculer u 20. N. SANS 2 Lycée Français Jean Giono

3 Exercice 10 - Représentation graphique et variation d une suite arithmétique Soit la suite arithmétique (u n ) de raison 2 et de premier terme u 0 = Cette suite est-elle croissante ou décroissante? 2. Exprimer u n en fonction de n. 3. Représenter les 6 premiers termes de la suite dans un repère (O, ı, j ). Exercice 11 - Formules sur les suites géométriques 1. Soit u n une suite géométrique de raison q = 1 2 et de premier terme u 1 = 8. a) Calculer les quatre premiers termes de cette suite. b) Exprimer u n en fonction de n. c) Calculer u 10. d) Représenter les 6 premiers termes de cette suite dans un repère (O, ı, j ). Exercice 12 - Méthodes pour déterminer la nature d une suite Pour déterminer la nature d une suite : 1. Calculer les quatre premiers termes de cette suite. 2. Regarder si elle est arithmétique ou géométrique ou ni arithmétique ni géométrique. 3. Prouver sa nature dans le cas où elle est arithmétique ou géométrique. Dans le cas où cette suite est arithmétique : montrer que pour tout entier n, la différence de deux termes consécutifs est une constante. Cette constante est la raison. Pour tout entier n, u n+1 u n = constante. Dans le cas où cette suite est géométrique : montrer que l on aboutit à n importe quel terme en multipliant son terme précédent par une constante appelée la raison. Pour tout entier n, u n+1 = u n q. Dans le cas où la suite ne s annule pas, montrer que pour tout entier n, le quotient de deux termes consécutifs est une constante appelée la raison. Pour tout entier n, u n+1 u n = q. Parmi les suite suivantes, préciser leur nature : 1. u n = 3+2n 2. v n = 3 2 n 3. a n+1 = a n +0,1a n avec a 0 = 2 4. b n+1 = b n 100 avec b 0 = c n+1 = 2c n 10 avec c 0 = 7 Exercice 13 Nature d une suite 1. Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par u n = 5n 2. a) Calculer les quatre premiers termes de la suite (u n ) et établir une conjecture sur la nature de (u n ). b) Démontrer que pour tout entier naturel n, u n+1 u n = 5. Conclure. 2. Démontrer que la suite (v n ) définie par v n = 1 3n est une suite arithmétique dont on donnera la raison 2 et le premier terme. N. SANS 3 Lycée Français Jean Giono

4 Activité 2 Un premier algorithme... On donne ci-dessous le tableau d effectifs, en million, de la population africaine depuis Année Population 227, ,8 482,2 638,7 819,5 1011,2 Un statisticien propose de modéliser la population africaine tous les dix ans par une suite géométrique de raison q = 1,28. Pour tout entier n, on note p n la population africaine estimée par ce modèle, en million, l année n. Ainsi p 0 = 227,3. 1. Comparer le résultat obtenu par ce modèle en 2010 aux données réelles. 2. Si ce modèle reste valable dans le futur, conjecturer vers quelle valeur tendra la population africaine. Estimer au cours de quelle décennie la population africaine dépassera 2 milliards. 3. Que fait l algorithme suivant? ENTREES seuil INITIALISATION n PREND LA VALEUR 0 u PREND LA VALEUR TRAITEMENT TANT QUE u<seuil FAIRE u PREND LA VALEUR u*1.28 n PREND LA VALEUR n+1 FIN TANT QUE annee PREND LA VALEUR *n SORTIES AFFICHER "La population aura depasse ce seuil dans la decennie precedant" AFFICHER annee Le programmer (sur Algobox ou sur calculatrice) et l utiliser pour déterminer quand la population dépassera 3 milliards. Exercice 14 Vive le sport Le nombre d adhérents d un club sportif augmente de 5 % chaque année. En 1990, il y avait 500 adhérents. Question : le nombre d adhérents peut-il doubler et, si oui, en quelle année? Pour chaque année à partir de 1990 on note u n le nombre d adhérents l année 1990+n. 1. Quelle est la valeur de u 0? de u 1? 2. Préciser la nature de la suite (u n ) puis exprimer u n en fonction de n. 3. Répondre à la question. Exercice 15 Placements On dit qu un capital produit : des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital ; des intérêts composés si à la fin de chaque période, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux intérêts. Alexandre dispose de 4 000e qu il souhaite placer à la banque. Celle-ci lui propose deux placements : un placement A à intérêts simples à un taux de 5 % par an ; un placement B à intérêts composés à un taux de 4 % par an. Question : Alexandre a entendu dire que les placements à intérêts composés étaient généralement plus intéressants que les placements à intérêts simples. Cette rumeur est-elle fondée? On appelle A n le montant du capital obtenu après n années avec le placement A et B n le montant du capital obtenu après n années avec le placement B. N. SANS 4 Lycée Français Jean Giono

5 1. a) Déterminer A 0, A 1, A 2 et A 3. b) Montrer que (A n ) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. c) Exprimer A n en fonction de n. 2. a) Déterminer B 0, B 1, B 2 et B 3. b) Montrer que (B n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. c) Exprimer B n en fonction de n. 3. a) À l aide de la calculatrice, déterminer les valeurs de A n et B n jusqu à n = 20. b) Que peut-on en conclure? Activité 3 Formule de la somme... Activité 2 p 14 du livre Déclic. Exercice 16 Les baux Un étudiant loue un chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail : Premier contrat : un loyer de 200 e pour le premier mois, puis une augmentation de 5 e par mois jusqu à la fin du bail ; Second contrat : un loyer de 200e pour le premier mois, puis une augmentation de 2 % par mois jusqu à la fin du bail. Question : Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans? 1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois. 2. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c est-à-dire celui du 36 è mois. 3. Répondre à la question. Exercice 17 Algorithme le retour On se place dans la situation de l activité 2. En fait l usine en question stocke sa production au fur et à mesure pour honorer une commande de peinture. Question : L usine pourra-t-elle honorer une commande de 15000L et, si oui, en combien de jours? Et de L? 1. Que fait l algorithme suivant? ENTREES n INITIALISATION u PREND LA VALEUR 1000 s PREND LA VALEUR 1000 TRAITEMENT POUR k ALLANT DE 1 A n u PREND LA VALEUR u*0.98 s PREND LA VALEUR s+u FIN POUR SORTIES AFFICHER s 2. Modifier cet algorithme afin qu il indique si un seuil peut être atteint et, si oui, en combien de jours puis utiliser l algorithme modifié pour répondre à la question. 3. Par le calcul, déterminer la limite de la suite (S n ) où S n est la quantité de peinture stockée au bout de n jours (avec n entier naturel). Que peut-on alors conseiller aux dirigeants de l usine? N. SANS 5 Lycée Français Jean Giono

6 Exercice 18 Suite auxiliaire Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par u 0 = 1 et u n+1 = 2u n 2+3u n. 1. Calculer u 1 et u La suite (u n ) est elle arithmétique? Justifier. 3. On admet que pour tout entier n, u n 0 et on pose v n = 2 u n. a) Calculer les trois premiers termes de la suite (v n ). b) Démontrer que la suite (v n ) est arithmétique. c) Déterminer l expression de v n en fonction de n. d) En déduire l expression de u n en fonction de n. Activité 4 Une suite arithmético-géométrique Un fournisseur fait une étude sur la fidélité de sa clientèle depuis l année n = 0, où il y a eu 200 clients. Chaque année, sa clientèle est composée de 50 % des clients de l année précédente auxquels s ajoutent 400 nouveaux clients. 1. Soit u n le nombre de clients l année n. Justifier que u n+1 = 0,5u n +400, puis calculer u 1,u 2, u 3 et u À l aide de la calculatrice, conjecturer vers quelle valeur semble tendre u n lorsque n devient grand. 3. On considère la suite (v n ) définie par v n = u n 800. a) Vérifier que v n+1 = 0,5v n. b) Quelle est la nature de la suite (v n )? c) En déduire l expression de v n, puis celle de u n, en fonction de n. d) Étudier la limite de la suite (u n ). Que peut on en déduire concernant le nombre de clients du fournisseur? Exercice 19 Suite arithmético géométrique Le 1 er janvier 2005, une grande entreprise compte 1500 employés. Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10 % de l effectif du 1 er janvier partira à la retraite au cours de l année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l entreprise embauche 100 jeunes dans l année. Question : Comment va évoluer sur le long terme le nombre d employés dans cette entreprise? Pour tout entier n on appelle u n le nombre d employés le 1 er janvier de l année (2005+n). 1. Déterminer u 0, u 1, u 2 et u 3 2. a) Montrer que u n+1 = 0,9u n b) Cette suite est-elle arithmétique? Cette suite est-elle géométrique? 3. On pose v n = u n a) Déterminer v 0, v 1, v 2 et v 3. b) Montrer que (v n ) est géométrique. c) En déduire v n en fonction de n. d) En déduire u n en fonction de n. e) En déduire quel sera l effectif de l entreprise le 1 er janvier de l année 2027 f ) En déduire la limite de la suite (u n ). Comment l interpréter? N. SANS 6 Lycée Français Jean Giono

7 Exercice 20 Suite arithmético géométrique bis Un étudiant souhaite s acheter une super collection de CD d une valeur de e. Pour économiser une telle somme, il ouvre un compte épargne à la banque qui rapporte 0,25 % mensuellement. À l ouverture, il dépose 100e le premier d un mois et ensuite 50e le 1er de chaque mois. Question : Quel sera le nombre de mois nécessaires pour l achat de la collection? On pose c 0 = 100 et on note c n le capital le premier de chaque mois après le versement initial. 1. Calculer les capitaux c 1, c 2 et c 3 du premier, deuxième et troisième mois. 2. Montrer que (c n ) vérifie une relation de récurrence de la forme c n+1 = ac n +b, où a et b sont des réels à déterminer. 3. On pose u n = c n a) Montrer que cette suite est géométrique. b) En déduire u n puis c n en fonction de n. 4. Répondre à la question. Exercice 21 Suite arithmético géométrique ter Monsieur X désire financer un voyage dont le coût est de 6 000e. Pour ce faire, il a placé 2 000e le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire, à intérêts composés au taux annuel de 3,5 % (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). À partir de l année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 e supplémentaires sur ce livret. Question : En quelle année aura-t-il assez d argent pour financer son voyage? On désigne par C n le capital, exprimé en euros, disponible le 1 er janvier de l année (2003+n), où n est un entier naturel. Ainsi, on a C 0 = a) Calculer le capital disponible le l er janvier b) Établir, pour tout entier naturel n, une relation entre C n+1 et C n. 2. Pour tout entier naturel n, on pose : u n = C n a) Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison. b) Exprimer u n en fonction de n. c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : C n = (1,035) n Répondre à la question. Exercice 22 Au bac! Antilles Guyane Juin 2014 Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8 % de ses précédent abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés. En 2013 le nombre d abonnés est de 20 millions. On s intéresse au nombre d abonnés, en millions, pour l année n. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n, par : { u0 = 20 u n+1 = 0,92u n +3. Le terme u n donne une estimation du nombre d abonnés pour l année 2013+n. Partie A 1. a) En utilisant cette modélisation, l opérateur décide d arrondir les résultats à À quoi correspond ce choix d arrondi? b) Déterminer le nombre d abonnés en 2014 et en On définit la suite (v n ) par v n = u n 37,5 pour tout entier naturel n. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme. N. SANS 7 Lycée Français Jean Giono

8 3. Exprimer v n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 17,5 0,92 n +37,5. 4. Déterminer le nombre d abonnés en millions en Arrondir les résultats à Déterminer la limite de la suite (u n ). 6. L opérateur peut-il espérer dépasser 30 millions d abonnés? Partie B Compte tenu des investissements, l opérateur considère qu il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d abonnés dépassera 25 millions. 1. Recopier et compléter l algorithme suivant afin de déterminer le nombre d années nécessaires à partir de 2013 pour que l opérateur fasse des bénéfices. Variables : N un nombre entier naturel non nul U un nombre réel Traitement : Affecter à U la valeur 20 Affecter à N la valeur 0 Tant que... affecter à U la valeur 0,92 U +3 affecter à N la valeur N +1 Fin Tant que Sortie : Afficher En quelle année l opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois? 3 Comme au BAC Exercice 23 - D après sujet bac Pondichéry 2014 Une association décide d ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le centre ouvre ses portes le 1 er janvier 2013 avec 115 oiseaux. Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier d une année restent présents le 1 er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. On s intéresse au nombre d oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite (u n ) admettant pour premier terme u 0 = 115, le terme u n donnant une estimation du nombre d oiseaux l année 2013+n. 1. Calculer u 1 et u 2. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats? 2. Les spécialistes déterminent le nombre d oiseaux présents dans le centre au 1 er janvier de chaque année à l aide d un algorithme. a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme 3 permet d estimer le nombre d oiseaux présents au 1 er janvier de l année 2013+n. Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. Variables : Variables : Variables : U est un nombre réel U est un nombre réel U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers Début Début Début Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 0,6 U +120 à U Affecter 0,4 U +115 à U Affecter 0,4 U +120 à U Fin Pour Fin Pour Fin Pour Afficher U Afficher U Afficher U Fin Fin Fin algorithme 1 algorithme 2 algorithme 3 b) Donner, pour tout entier naturel n, l expression de u n+1 en fonction de u n. 3. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 200. a) Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser v 0. N. SANS 8 Lycée Français Jean Giono

9 b) Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. c) En déduire que pour tout entier naturel n, u n = ,4 n. d) La capacité d accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant? Justifier la réponse. 4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1 er janvier. Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1 er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l on suppose que l évolution du nombre d oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. Correction exercice 22 - sujet BAC Antilles Guyane Juin 2014 Partie A 1. a) En utilisant cette modélisation, l opérateur décide d arrondir les résultats à Ce choix d arrondi correspond à obtenir les résultats au millier d abonnés près. b) Le nombre de millions d abonnés en 2014 est u 1 = 0,92u 0 +3 = 0, = 21,4. Le nombre de millions d abonnés en 2015 est u 2 = 0,92u 1 +3 = 0,92 21,4+3 = 22,688. On définit la suite (v n ) par v n = u n 37,5 pour tout n de N ; donc u n = v n +37,5. 2. v n+1 = u n+1 37,5 = 0,92u n +3 37,5 = 0,92(v n +37,5) 34,5 = 0,92v n +34,5 34,5 = 0,92v n v 0 = u 0 37,5 = 20 37,5 = 17,5 Donc la suite (v n ) est géométrique de raison q = 0,92 et de premier terme v 0 = 17,5. 3. On déduit que, pour tout n de N, v n = v 0 q n = 17,5 0,92 n. Comme, pour tout n de N, u n = v n +37,5, on peut dire que u n = 17,5 0,92 n +37, = donc le nombre de millions d abonnés en 2020 est u 7 : u 7 = 17,5 0, ,5 27, < 0,92 < 1 donc la suite géométrique (v n ) de raison 0,92 a pour limite 0. Comme u n = v n +37,5, la suite (u n ) a pour limite 37,5. 6. Comme la limite de la suite (u n ) est de 37,5, cela veut dire que u n se rapprochera de la valeur 37,5 donc dépassera à un moment donné la valeur 30. À la calculatrice, on trouve u 10 29,898 et u 11 30,506. Partie B 1. On complète l algorithme pour déterminer le nombre d années nécessaires à partir de 2013 pour que l opérateur fasse des bénéfices : Variables : N un nombre entier naturel non nul U un nombre réel Traitement : Affecter à U la valeur 20 Affecter à N la valeur 0 Tant que U < 25 affecter à U la valeur 0,92 U +3 affecter à N la valeur N +1 Fin Tant que Sortie : Afficher N 2. L opérateur fera des bénéfices dès que n vérifiera u n > 25 ; on résout cette inéquation : u n > 25 17,5 0,92 n +37,5 > 25 12,5 > 17,5 0,92 n 12,5 17,5 > 0,92n Nous ne savons pas résoudre ce type d équation pour l instant. À la calculatrice, on trouve u 4 24,963 et u 5 25,966. Donc l opérateur fera des bénéfices la première fois pour n = 5 soit en N. SANS 9 Lycée Français Jean Giono

10 Correction exercice 24 - sujet BAC Pondichéry Avril On sait que u 0 = 115 ; sur ces 115 oiseaux, 40% restent présents ce qui en fait 115 0,40 = 46. De plus, 120 nouveaux oiseaux sont accueillis en 2013 donc il y en aura au 1 er janvier 2014 : u 1 = = 166. De même au 1 er janvier de l année 2015, il y en aura u 2 = 166 0, Il faut donner les résultats à l unité près puisqu il s agit d un nombre d oiseaux. 2. a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme 3 permet d estimer le nombre d oiseaux présents au 1 er janvier de l année 2013+n. Variables : Variables : Variables : U est un nombre réel U est un nombre réel U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers Début Début Début Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 0,6 U +120 à U Affecter 0,4 U +115 à U Affecter 0,4 U +120 à U Fin Pour Fin Pour Fin Pour Afficher U Afficher U Afficher U Fin Fin Fin algorithme 1 algorithme 2 algorithme 3 Dans ces trois algorithmes, la variable U contient le nombre d oiseaux recueillis l année 2013+i, où i est un nombre entier compris entre 1 et N. Dans l algorithme 1, on multiplie le nombre d oiseaux de l année 2013+n par 0,6 ce qui revient à en prendre 60% alors qu il faut en prendre 40%. Dans l algorithme 2, on multiplie le nombre d oiseaux par le bon coefficient 0,4 mais on ajoute chaque année 115 alors qu il faut ajouter 120 oiseaux, comme le dit le texte. De plus, dans cet algorithme, il ne faudrait pas mettre l instruction "Affecter 115 à U" dans la boucle pour, mais avant d y entrer. b) On peut dire que, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,4u n +120 avec u 0 = On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 200. a) Pour tout n, v n = u n 200 donc u n = v n v n+1 = u n ; or u n+1 = 0,4u n +120, donc v n+1 = 0,4u n = 0,4(v n +200) 80 = 0,4v n = 0,4v n v 0 = u = = 85 Donc la suite (v n ) est géométrique de raison q = 0,4 et de premier terme v 0 = 85. b) On sait que l expression d une suite géométrique (v n ) de premier terme v 0 et de raison q est : v n = v 0 q n pour tout entier n. Donc v n = 85 0,4 n pour tout entier n. c) On a vu que, pour tout entier n, u n = v n +200 ; or v n = 85 0,4 n, donc pour tout entier naturel n, u n = ,4 n. d) L estimation du nombre d oiseaux l année 2013+n est ,4 n. Le nombre 0,4 n est positif donc le nombre ,4 n est toujours inférieur à 200. Une capacité d accueil de 200 oiseaux est donc suffisante pour ce centre. 4. On cherche à calculer le nombre total d oiseaux présents dans le centre entre le 1 er janvier 2013 et le 31 décembre 2018, autrement dit pour n entier entre 0 et 5 puisque 2018 = ; ce nombre est u 0 +u 1 +u 2 +u 3 +u 4 +u 5. On connaît u 0, u 1 et u 2 ; il reste à calculer u 3, u 4 et u 5 : u 3 = 0,4 u = 0, u 4 = 0,4 u = 0, u 5 = 0,4 u = 0, u 0 +u 1 +u 2 +u 3 +u 4 +u = 1058 Entre le 1 er janvier 2013 et le 31 décembre 2018, il y aura 1058 oiseaux présents au centre ; chacun d eux rapportant 20e, le montant total de la subvention touchée sera de = euros. N. SANS 10 Lycée Français Jean Giono

11 Exercice 25 - Pondichery 2015 sur 5 points Candidats ES n ayant pas suivi l enseignement de spécialité et candidats L Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d abeilles qu il installe dans cette région. Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s attend à perdre 8 % des colonies durant l hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d installer 50 nouvelles colonies chaque printemps. 1. On considère l algorithme suivant : Variables : n est un nombre entier naturel C est un nombre réel Traitement : Affecter à C la valeur 300 Affecter à n la valeur 0 Tant que C < 400 faire C prend la valeur C C 0,08+50 n prend la valeur n+1 Fin Tant que Sortie : Afficher n a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l entier le plus proche. Test C < 400 vrai... Valeur de C Valeur de n b) Quelle valeur est affichée à la fin de l exécution de cet algorithme? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. 2. On modélise l évolution du nombre de colonies par une suite (C n ) le terme C n donnant une estimation du nombre de colonies pendant l année 2014+n. Ainsi C 0 = 300 est le nombre de colonies en a) Exprimer pour tout entier n le terme C n+1 en fonction de C n. b) On considère la suite (V n ) définie pour tout entier n par V n = 625 C n. Montrer que pour tout nombre entier n on a V n+1 = 0,92 V n. c) En déduire que pour tout entier naturel n, on a C n = ,92 n. d) Combien de colonies l apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024? 3. L apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d années il lui faudra pour atteindre cet objectif. a) Comment modifier l algorithme pour répondre à sa question? b) Donner une réponse à cette question de l apiculteur. Exercice 26 - Asie juin 2016 Le 1 er septembre 2015, un ensemble scolaire compte élèves. Une étude statistique interne a montré que chaque 1 er septembre : 10 % de l effectif quitte l établissement; 250 nouveaux élèves s inscrivent. On cherche à modéliser cette situation par une suite (u n ) où, pour tout entier naturel n, u n représente le nombre d élèves le 1 er septembre de l année 2015+n. 1. Justifier qu on peut modéliser la situation avec la suite (u n ) telle que u 0 = 3000 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,9u n Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 0,9. Préciser v 0. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = 500 0,9 n N. SANS 11 Lycée Français Jean Giono

12 3. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n+1 u n = 50 0,9 n. En déduire le sens de variation de la suite (u n ). 4. La capacité optimale d accueil est de élèves. Ainsi, au 1 er septembre 2015, l ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves. Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif. Correction exercice a) On recopie et on complète le tableau correspondant à l algorithme donné dans le texte : Test C < 400 vrai vrai vrai vrai vrai faux Valeur de C Valeur de n b) La valeur affichée en sortie d algorithme est 5. Cela veut dire que pour l année 5, c est-à-dire en 2019, le nombre de colonies dépasse pour la première fois On modélise l évolution du nombre de colonies par une suite (C n ) le terme C n donnant une estimation du nombre de colonies pendant l année 2014+n. Ainsi C 0 = 300 est le nombre de colonies en a) D une année sur l autre, l apiculteur perd 8 % de colonies donc il en reste 92 %. De plus, il installe 50 nouvelles colonies chaque printemps donc le nombre de colonies l année n + 1 est le nombre de colonies l année n multiplié par 0,92 auquel on va ajouter 50 : pour tout n, C n+1 = 0,92 C n +50 b) On considère la suite (V n ) définie pour tout entier n par V n = 625 C n ; donc C n = 625 V n. V n+1 = 625 C n+1 = 625 0,92 C n 50 = 575 0,92 (625 V n ) = ,92 V n = 0,92 V n c) D après la question précédente, on peut déduire que la suite (V n ) est géométrique de raison q = 0,92 et de premier terme V 0 = 625 C 0 = 325. Donc, pour tout n, V n = V 0 q n = 325 0,92 n. Comme C n = 625 V n, on peut dire que, pour tout n, C n = ,92 n. d) Le mois de juillet 2024 correspond à n = 10 ; l apiculteur peut espérer posséder C 10 colonies soit : C 10 = , colonies. 3. a) Pour doubler le nombre initial de colonies, il faut atteindre au moins 600 colonies ; il suffit donc de remplacer dans l algorithme la ligne «Tant que C < 400 faire» par la ligne «Tant que C < 600 faire». b) On cherche une valeur de n pour laquelle C n 600 : C n ,92 n ,92 n Or ( 25 ln 325 ln(0,92) ( 25 ln 325 ) ) ln(0,92 n ) ( 25 ln 325 ) n ln(0,92) ln( ,8 donc au bout de 31 années, le nombre de colonies aura doublé. Vérification : C et C ,92n ) ln(0,92) n N. SANS 12 Lycée Français Jean Giono

13 Correction exercice 26 Le 1 er septembre 2015, un ensemble scolaire compte élèves. Une étude statistique interne a montré que chaque 1 er septembre : 10 % de l effectif quitte l établissement; 250 nouveaux élèves s inscrivent. On cherche à modéliser cette situation par une suite (u n ) où, pour tout entier naturel n, u n représente le nombre d élèves le 1 er septembre de l année 2015+n. 1. L année 2015 correspond à n = 0 et on sait que cette année-là, l établissement compte élèves ; donc u 0 = On sait que 10 % des élèves quittent l établissement, donc il en reste 90 %, ce qui revient à multiplier par 0,9. Comme 250 nouveaux élèves s inscrivent chaque année, il faut rajouter 250. Donc, pour tout n, u n+1 = 0,9u n Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n 2500, donc u n = v n a) v n+1 = u n = 0,9u n = 0,9(v n +2500) 2250= 0,9v n = 0,9v n v 0 = u = = 500 Donc la suite (v n ) est géométrique de raison q = 0,9 et de premier terme v 0 = 500. b) D après le cours, on peut dire que pour tout n, v n = v 0 q n = 500 0,9 n. Comme u n = v n +2500, on peut en déduire que pour tout entier naturel n, u n = 500 0,9 n u n+1 u n = ( 500 0,9 n ) (500 0,9 n +2500) = 500 0,9 0,9 n 500 0,9 n = ( ) 0,9 n = 50 0,9 n Pour tout n, 50 0,9 n < 0 ; on en déduit que u n+1 u n < 0 et donc que la suite (u n ) est décroissante. 4. La capacité optimale d accueil est de élèves. Ainsi, au 1 er septembre 2015, l ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves. On veut déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif; cela arrivera la première année pour laquelle l effectif sera inférieur ou égal à Comme la suite (u n ) est décroissante, ce sera également le cas pour les années qui suivront. Voici un algorithme qui répond au problème : Variables n entier et u réel Initialisation n prend la valeur 0 Traitement Sortie u prend la valeur Tant que u > faire n prend la valeur n+1 u prend la valeur 0,9 u+250 Fin de Tant que Afficher n N. SANS 13 Lycée Français Jean Giono