EXERCICES. VARIABLES ALÉATOIRES : une et deux dimensions

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1 EERCICES VARIABLES ALÉATOIRES : une et deux dimensions. Une variable aléatoire possède une densité constante sur l intervalle (-c, c) et sa variance est. Calculez la constante c, la moyenne, la médiane, la fonction de répartition et les percentiles(aussi appelés quantiles) suivants p = 0.05, 0.0, 0.5, Le pourcentage A d un certain additif dans un carburant détermine son prix de vente. Si A est inférieur à 70%, le carburant se vend 0.5/litre et s il est supérieur à 70%, le carburant se vend 0.58/litre. Calculez le revenu moyen/litre en supposant que A est distribué uniformément. 3. Une variable x a une densité de probabilité fx( x ) définie par : cx 0 x c> 0 fx( x) = c (4 x) x 4 0 ailleurs Calculez : c, moyenne, variance, écart-type, fonction de répartition et les percentiles d ordre p = 0.05, 0.5, 0.50, 0.75, Une variable aléatoire x a une densité de probabilité f(x) x défini par : c exp( x) x 0 c> 0 fx( x) = 0 x< 0 Calculez : c, moyenne, variance, écart-type, fonction de répartition, médiane (percentile d ordre 0.50), 90-ième percentile, 99-ième percentile. 5. Un manufacturier d appareils de télévision offre une garantie d un an sur la lampe-écran. Il estime que le temps (ans) avant la première panne est une variable T dont la densité de probabilité f () t est définie par T /4exp( t/4) t 0 ft () t = 0 t< 0 Quel pourcentage des appareils sera réparé durant la période de garantie? b. Si une vente rapporte un profit de 00$ et que le coût de réparation est de 00$, quel est le profit moyen réalisé par le manufacturier? 6. Le temps (heures) avant la première panne d une lampe-écran d un appareil de télévision est une variable T dont la fonction de répartition FT () t est définie par : exp( ct) t 0 c> 0 FT() t = 0 t< 0 où c est une constante. Calculez la densité de probabilité de T. b. On sait que 50% des lampes-écrans tombent en panne en moins de 500 heures. Quelle est la probabilité que la première panne arrive après 3000 heures?

2 7. Le moteur d une voiture neuve est garanti pour an. La durée de vie (ans) T du moteur est une variable exponentielle de moyenne égale à 3 ans. Le profit réalisé par la vente de la voiture est de 000$ et le coût de réparation est >50 pour que E(P) = 0 Quel est le profit moyen? b. Jusqu à quelle limite pourrait-on étendre la garantie sans perdre de l argent? c. Refaire les calculs (a) et (b) avec une moyenne de ans et une moyenne de 4 ans. 8. Un manufacturier d appareils de télévision offre une garantie de un an. Le temps d utilisation avant la première panne est une variable exponentielle avec une moyenne de 0000 heures. Il en coût 300$ pour fabriquer l appareil, 50$ pour le réparer et il est vendu 400$. Quel est le profit moyen du manufacturier si l on suppose que les appareils sont en usage continu (par exemple dans les aérogares)? 9. Une molécule dans un gaz possède une vitesse V qui est une variable aléatoire de densité avexp( v ) v 0, a > 0 fv( v) = 0 v < 0 Déterminez la constante a b. Déterminez la fonction de répartition de V. c. L énergie cinétique E d une molécule est donnée par E = mv / Calculez P(E < 8m). 0. Un ingénieur doit régler une machine automatique qui produit r objets à l heure. La proportion d articles défectueux θ s accroît avec r. Il y a un profit de.00$ pour chaque article non-défectueux. On sait que la proportion de défectueux obéit à la densité 0.00r (0.00) r θ 0<θ< f( θ= ) 0 ailleurs Si on fixe r et θ, montrez que le profit par heure est égal à r ( θ). b. Si on fixe r, montrez que le profit moyen par heure est égal à (000r - 0r )/ (00 + r). c. Montrez que le profit par heure moyen maximum est atteint avec r = 5. Un lot de 0 articles contient 3 articles défectueux. On tire (sans remise) les articles un à la fois et on examine à chaque tirage si l article est défectueux ou non. soit la variable aléatoire représentant le nombre d articles tirés afin d obtenir un deuxième article défectueux ; trouvez la fonction de masse de probabilité p (x), sa moyenne et son écarttype.. Une boîte de N articles contient D (D < N) articles qui sont défectueux. On tire les articles un à la fois et on vérifie si l article est défectueux ou non. Trouvez la probabilité que la γ ième ( γ D) articles défectueux soit trouvé au nième tirage ( n N).

3 3 3. Une famille de densité de probabilité utilisée pour représenter la distribution des revenus, la taille des villes, la taille des entreprises, etc s appelle la loi de Pareto. Elle est définie par la fonction de densité 0 x <θ k > 0 f ( ;, ) k xkθ = kθ x θ k x + a. Déterminez une expression explicite (sans signe d intégration) pour la fonction de répartition Fxkθ ( ;, ). b. Calculez P( < < 3) si k = et θ =. c. Déterminez une expression explicite pour le p-ième percentile x p. d. Calculez la médiane si k = et θ =. e. Si k >, déterminez une expression pour la moyenne et calculez si θ = et k =. f. Si k >, déterminez une expression pour l écart-type. 4. Le temps d attente (en minutes) pour être servi à un guichet est une variable aléatoire continue T ayant une fonction de densité ft (): t 0 t < 0 ft () t = / 0 t < 3 t 4 t Déterminez la fonction de répartition F T. b. Calculez PT [ > T > ]. c. Calculez la moyenne et la médiane de T. d. Calculez l écart-type de T. 5. Une variable a une densité de probabilité f ( x ) définie par : a. Déterminez la constante c. 3 fx( x) = 0 b. Calculez la fonction de répartition F ( x ). c. Calculez la variance. d. Calculez le 90 e percentile. x c< x< c ailleurs 3

4 4 6. On prend au hasard un point à l intérieur d une sphère de rayon r. La probabilité que ce point appartient à une région sphérique est proportionnelle au volume de cette région. Soit la distance du point choisi au centre de la sphère. a. Déterminer la fonction de répartition de b. Déterminer la fonction de densité de. 7. Une variable aléatoire suit la loi double exponentielle si sa densité de probabilité f ( ;, ) x αβ est: α x exp( ) x α β β f ( x; αβ, ) = x α exp( ) x α β β où α et β sont deux paramètres tels que <α<, β> 0. a. Déterminez la fonction de répartition F (x; α,β). b. Calculez la moyenne et l écart-type de c. Déterminez une expression pour le p-ième percentile de et calculer l écart interquartile (différence entre le 75 ième percentile et le 5 ième percentile) d. Calculez le coefficient d aplatissement β de. Rappel : β = (μ 4 / σ 4 ) 3 où μ 4 = E( μ ) 4 μ = E() (moyenne de ) σ = (E( μ ) ) 0.5 (écart type de ) 8. Soit une variable aléatoire continue qui satisfait la condition suivante P[ > x] = ( µ x+ )exp( µ x) x 0, µ> 0 Déterminez la fonction de répartition F ( x ; µ ). Déterminez la fonction de densité f ( x ; µ ). Calculez la moyenne de Calculez l écart-type de. 9. Soit py, ( xy, ) une fonction de probabilité conjointe définie par le tableau suivant : y 0 x - /6 /6 /6 0 /6 /6 /6 /6 /6 6/6 Calculez les fonctions de probabilités suivantes : marginale de, conditionnelle de Y si =0, conditionnelle de Y si =, conditionnelle de si Y = Calculez P( = -, 0 Y < ). Les variables et Y sont-elles indépendantes? Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre et Y. 4

5 5 0. Un vecteur aléatoire V = ( Y, ) a pour fonction de masse de probabilité p v x θ x= 0,,, K x y x y p = &&& V( xy, ) x!exp( θ) p ( p) si y = 0,, K, x y 0 ailleurs a. Déterminez : loi de probabilité marginale de, loi de probabilité conditionnelle de Y étant donné = x b Déterminer la loi marginale de Y. c. Calculez : moyenne de, écart-type de, moyenne de Y, écart type de Y. d. Les variables et Y sont-elles indépendantes?. On désigne par un nombre choisi au hasard sur l intervalle (0. ) et par la suite un nombre Y est choisit au hasard sur l intervalle (0, x) où x est la réalisation de Déterminez la densité marginale de et la densité conditionnelle de Y si = x. b. Calculez P( + Y > ). c. Déterminez la densité de Y f Y (y). d. Calculez : moyenne de, moyenne de Y, écart type de, écart type de Y, coefficient de corrélation entre et Y.. Pour chacune des densités conjointes f, ( xy, ) calculez : C, les densités marginales, les y moyennes, les variances et le coefficient de corrélation. Préciser si les variables sont indépendantes. 0 x 000 c/000 f, Y( xy, ) = 0 y 0 0 ailleurs 0 x,0 y, c f ( xy, ) = x y. 0 ailleurs, Y, Y 0 x c(5 x y /) f ( xy, ) = 0 y. 0 ailleurs cxyexp( x y ) f, Y( xy, ) = xy, 0. 0 ailleurs 5

6 6 3. Deux variables aléatoires ont une densité conjointe de probabilité kx ( + y ) 0 x a, 0 y b f, Y( xy, ) = 0 ailleurs Calculez la constante k. Calculez P[0 < < a/,0 < Y < b /]. Calculez les densités marginales. Les variables sont-elles indépendantes? 4. Soit,, 3 trois variables aléatoires indépendantes de moyenne µ et de variance σ et Y = + Z = a + b 3 Calculez le coefficient de corrélation linéaire entre Y et Z. 5. Soit une variable dénotant l heure de la journée où une marchandise est envoyée et Y l heure de la journée où la marchandise est reçue. La densité conjointe de (, Y ) est définie par 0 x< y 4 88 f, Y( xy, ) = 0 ailleurs a. Calculez la densité marginal de et celle de Y. b. Calculez les densités conditionnelles Y = y et Y = x.. c. Calculez la probabilité que la réception de la marchandise ait lieu au plus tard 6 heures après son envoi. 6. On note par la pression du pneu avant droit et Y la pression du pneu avant gauche d une voiture. On suppose que la densité conjointe de ( Y, ) est définie par c( x+ y) 0 x 30, 0 y 30 f, Y( xy, ) = 0 ailleurs où c est une constante. Calculez la constante c. b. Quelle est la probabilité que la pression du pneu avant droit soit inférieure à la pression du pneu avant gauche. c. Les variables sont-elles indépendantes? 6

7 7 7. La densité conjointe f Y, de deux variables et Y est définie par 4xy 0 x,0 y,0 x + y f, Y( xy, ) = 0 autrement a. Calculez P[ + Y 0.5 ]. b. Calculez la densité marginale de. c. Les variables sont-elles indépendantes? 8. Soit une variable aléatoire discrète ayant la distribution suivante 3 p (x) a. Calculez la moyenne µ et la variance σ de b.. Donnez la liste de tous les échantillons distincts de taille n = 3 (il y en a 7). c. Calculez la distribution d échantillonnage de = /3( + + ). d. Calculez la moyenne et la variance de. e. Vérifiez que Var ( ) = var () / Dans une banque, un caissier électronique permet de retirer des billets, de 50$ ou 00$ à l aide d une carte magnétique. Il se peut aussi que le client ne puisse retirer d argent si le compte n est pas approvisionné ou si le client à fait une erreur de manipulation. Le nombre de clients utilisant l appareil dans un intervalle de 5 minutes est une variable aléatoire dont la masse de probabilité p ( x ) est 0 p (x) Le montant total Y retiré en 5 minutes est une variable dont la masse de probabilité conditionnelle est p Y = (y) = 0. si y = 0 = 0.7 si y = = 0. si y = Montrez que y p Y = 0 (y) p Y = (y) Les variables aléatoires et Y sont-elles indépendantes? Justifiez votre réponse. Calculez la probabilité P( =, Y = 00) Calculez la probabilité P( Y = 0). Calculez le nombre moyen de clients utilisant l appareil en une heure. 7

8 8 30. Deux signaux et Y indépendants sont émis selon une distribution uniforme durant un intervalle de temps T (fixe). Calculez la probabilité que la réception soit brouillée si un bouillage apparaît dès que la différence de temps entre les deux signaux est inférieure ou égale à b ou 0 < b< T. 3. Soit la densité conjointe de probabilité ( x+ y) f, Y( x, y) = cxy exp x, y 0 λ Montrez que C = λ - 4. x / λ x x / λ y / λ y y / λ F, Y( xy, ) = e e e e λ λ. P( + Y.> λ) = 8/3e = La densité de probabilité conjointe de deux variables (, Y ) est définie par : 3 x, x x y f, Y( x, y ) = 4. 0 ailleurs Calculez i. Les densités marginales de et Y. ii. Le coefficient de corrélation linéaire entre et Y. Les variables et Y sont-elles indépendantes? 33. On considère l expérience de jeter deux tétraèdres distincts dont les 4 faces sont numérotées,, 3, 4. Soit la variable dénotant le numéro de la face sur laquelle repose le premier tétraèdre et la variable dénotant le numéro de la face sur laquelle repose le second tétraèdre. Calculez la masse de probabilité conjointe de (, ) Calculez la masse de probabilité conjointe de (, Y) où Y = max(, ). Calculez la masse de probabilité marginale de et celle de Y Les variables et Y sont-elles indépendantes? 34. Deux procédés de fabrication indépendants produisent des cylindres évidés et des pistons pour un assemblage. Le diamètre extérieur des pistons est représenté par une variable distribuée uniformément sur l intervalle (98.5, 00.5) tandis que le diamètre intérieur des cylindres est représenté par une variable Y distribuée uniformément sur l intervalle (99, 0). Calculez la probabilité d effectuer l insertion du piston dans le cylindre. 8

9 9 35. Une variable continue suit une distribution logistique de paramètres de localisation α et d échelle β a pour fonction de répartition F ( x; αβ, ) définie par : x α F ( x; αβ, ) = /(+ exp ( )) β < x <, <α<, β> 0 Déterminez la densité de probabilité f ( x; αβ, ). Montrez que : f ( x; αβ, ) = F ( x; αβ, )( F ( x; αβ, )) β Montrez que la variable Y = ( x α)/ β est distribuée selon la loi logistique de paramètre de location 0 et de paramètre d échelle. On montre que EY ( ) = 0 et ET( Y) = π. Déterminez E( ) et ET( ). 3 p Montrez que le p-ième percentile (0< p < ) x p de x est : xp =α+βln p. 36. La quantité de chaleur Q dégagée par un conducteur de résistance R (ohn) traversé par un courant I (amp) durant un temps T (minutes) est : Q = 0.4 I RT Les variables I, R, T sont indépendantes à et leurs moyennes et écart-types sont données dans le tableau variable moyenne écart-type I 0 0. R T Calculez la moyenne et l écart-type de Q. 37. L inégalité de Tchebycheff et le rapport signal-bruit Une inégalité célèbre due à Tchebycheff s énonce comme suit : σ P[ µ ] pour toute variable aléatoire de moyenne µ= E( ) et d écart-type ET( ) =σ. En particulier P µ 4.5σ 0.95 P µ 0σ 0.99 Démontrez que l inégalité de Tchebycheff peut se formuler ainsi : x P µ δ σ µ δ µ pour toute variable de moyenne µ 0. 9

10 0 37. (suite) Déduire de l inégalité précédente que l erreur relative de l estimation de µ par sera petite avec une probabilité élevée si le quotient µ / σ est grand. Le quotient µ / σ est appelé le rapport signal-bruit et sa réciproque σ / appelée le coefficient de variation. À partir de quelles valeur du rapport signal-bruit peut-on affirmer que : x p µ <δ = µ α pour α = 0.0, 0.05, 0.0 et δ = 0., 0.5 Calculez le rapport signal-bruit pour les distributions suivantes : ab., i. Uniforme (constante) sur l intervalle [ ] ii. Exponentielle de paramètre λ. µ est 0

11 RÉPONSES a) c = 3 b) E() = 0 c) F ( x) = 0 si x < 3 = ( x+ 3)/ 3 si 3 x 3 = si x 3 d) , , , $ 3 a) c = 0.5 b) E() = c) σ = /3 d) F(x) = 0 si x < 0 = x / 8 si 0 < x < = (/8)(4-x) si < x < 4 = si x > 4 e) p = 0.05 p = 0.63, p = 0.5 p =.4, p = 0.5 p =.00 p = 0.75 p =.59, p = 0.99 p = a) c = b) c) d) - ln (-p) e) p = 0.5 p = 0.69, p = 0.90 p =.30, p = 0.99 p = a) 0. b) 55.76$ 6 a) c e c t b) c = c) a) 99,3$ b) à l infini c) 90.63$ et $ $ 9 a) a = b) -exp (-v ) c) -e -6 p (x) = (/0) (x-)(0-x) x =, 3, 4,,9 moyenne de = E() = 5.5 écart type de = ET() =.4 p (x) = [Comb(D, γ -)*Comb (N D, x γ + ) / Comb( N, x )]* [(D - γ + )/(N x + )] où Comb(a, b) = nombre de combinaisons de b parmi a = a! / b! (a-b)! a, b entiers 3 a) F ( xk ;, θ ) = ( θ/ x) k x θ b) 5 / 36 c) p = θ ( p ) /k d) e) E() = k θ /(k-) k > f) σ = k 0.5 (k-) - (k ) -0.5 θ k > 4 a) F ( t) = 0 t < 0 T = t 0 t < = 3 t t b) /8 c) d) 3

12 5 a) b) 0 x < 3 x + F ( x) = x x c) E() = 0 Var () = 3/5 d) i) F ( ) = ( xr /) 0 x r 3 ii) f ( x x ) = x 0 x r 3 r 7 a) 8 a) ( α x) F ( x) = exp si x α β ( x α) = exp si x α β b) E() = α écart type de = ET() = β () 0.5 c) p = α + β ln(p) si 0 < p < 0.5 d) 3 = α - β ln(p) si 0.5 < p < IQ = écart interquartile = (p=0.75) (p=0.5) =.38 β F x e x µ ( ; µ ) = x ( +µ ) 0 µ b) ( ; µ ) =µ x f x xe c) E() = / μ d) ET() = / μ 9 a) p (x) = 4/6 si x = - = 3/6 si x = 0 = 9/6 si x = p Y = 0 (y) = /3 si y = 0,, p Y = (y) = /9 si y = 0 = /9 si y = = 6/9 si y = p Y = (x) = /9 si x = - = /9 si x = 0 = 6/9 si x = b) /8 c) Non d) 0.0

13 3 0 a) p (x) = θ x e - θ / x! x = 0,,, loi de Poisson de paramètre θ b) p Y (Y) = (pθ) y e - pθ / y! y = 0,,, loi de Poisson de paramètre pθ p Y = x (y) = Comb(x, y) p y (-p) x y loi binomiale de paramètres (x, p) où Comb(x, y) = x! / (y! (x y)!) : nombre de combinaisons de y dans x c) E() = θ Var () = θ E(Y) = pθ Var(Y) = pθ d) Non a) f (x) = 0 < x < f Y = x (y) = / x 0 < y < x b) c) f Y (y) = - ln(y) 0 < y < d) E() = ½ ET() = () -0.5 E(Y) = ¼ ET(Y) = (7) 0.5 / a) c = /0 f (x) = / < x <000 f Y (y) = /0 0 < y < 0 E() = 500 Var() = E(Y) = 5 Var (Y) = 8.33 coefficient de corrélation = ρ = 0 b) c = f (x) = (-x) 0 x < f Y (y) = y 0 < y < les variables sont indépendantes E() = /3 Var() = /8 E(Y) = /3 Var(Y) = /8 coefficient de corrélation = ρ = 0.5 c) c = /4 f (x) = (9-x)/4 0 < x < f Y (y) = (8-y) /4 0 < y < les variables sont dépendantes f Y = y (x) = (5-0.5y x) /( 8 y) 0 < x <, 0 < y < f Y = x (y) = (5-0.5y x) /( 9 x) 0 < x <, 0 < y < E() = 9/ Var() = 4344 E(Y) = 0/ Var(Y) = 46/44 E(Y) = 6/7 coefficient de corrélation = ρ = les variables sont dépendantes d) c = 4 f (x) = x exp( x ) x > 0 f Y (x) = y exp( y ) y > 0 E() = E(Y) = (π / ) 0.5 Var() = Var(Y) = (4 π) / 4 coefficient de corrélation = ρ = 0 les variables sont indépendantes 3

14 4 3 a) k = 3 / [ab (a + b )] b) /6 c) f (x) = kb (b + x ) / 3 0 < x < a f Y (y) = kb (a + y ) / 3 d) non, les variables sont dépendantes 4 ρ= 5 a) b) a ( a + b ) f ( x) = (4 x)/88 0 x 4 f ( y) = y /88 0 y 4 Y f Y = y( x) = /4 0 x y f = xy ( ) = /4 x x y 4 Y c) < y < b 6 a) c =/5000 b) 0.50 c) non 7 a) /6 b) f (x) = x( - x) 0 < x < c) non 8 a) E() =. Var() = 0.49 d) E( ) =. Var( ) = 0.63 = Var(x) / 3 9 b) non c) 0. d) 0.35 e) [ (b/t))] 3 a) i i 3 f ( x) = ( x ) 4 x 3 fy ( y) = y 0 y a) ii coefficient corrélation = 0 b) non 33 a) p, = ( x, x) = /6 x =,, 3, 4 x =,, 3, 4 b) Y 3 4 / /6 / /6 /6 3/6 0 4 /6 /6 /6 4/6 c) p (x) = ¼ x =,, 3, 4 p Y (y) = /6 si y = = 3/6 si y = = 5/6 si y = 3 = 7/6 si y = 4 d) non 4

15 c) α δ d) i 3 (b + a) /(b - a) (loi uniforme) ii) (loi exponentielle) 5