Espaces de dimension finie

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1 [ édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1 Espaces de dimension finie Bases en dimension finie Dimension d un espace Exercice 1 [ ] [Correction] Soit E l ensemble des fonctions f : R R telles qu il existe a, b, c R pour lesquels : x R, f (x) = (ax 2 + bx + c) cos x (a) Montrer que E est sous-espace vectoriel de F (R, R). (b) Déterminer une base de E et sa dimension. Exercice 2 [ ] [Correction] Soient p N et E l ensemble des suites réelles p périodiques i.e. l ensemble des suites réelles (u n ) telles que n N, u(n + p) = u(n) Montrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci. Exercice 3 [ ] [Correction] Soient p N et E l ensemble des suites complexes p périodiques i.e. l ensemble des suites (u n ) telles que n N, u(n + p) = u(n) (a) Montrer que E est un C-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci. (b) Déterminer une base de E formée de suites géométriques. Exercice 4 [ ] [Correction] Soit E = R R. Pour tout n N, on pose f n : x x n. (a) Montrer que ( f 0,..., f n ) est libre. (b) En déduire dim E. Exercice 6 [ ] [Correction] On pose e 1 = (1, 1, 1), e 2 = (1, 1, 0) et e 3 = (0, 1, 1). Montrer que B = ( e 1, e 2, e 3 ) est une base de R 3. Exercice 7 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et e = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E. On pose ε 1 = e 2 + 2e 3, ε 2 = e 3 e 1 et ε 3 = e 1 + 2e 2 Montrer que ε = (ε 1, ε 2, ε 3 ) est une base de E. Exercice 8 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et e = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E. Soit ε 1 = e 1 + 2e 2 + 2e 3 et ε 2 = e 2 + e 3 Montrer que la famille (ε 1, ε 2 ) est libre et compléter celle-ci en une base de E. Exercice 9 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel muni d une base e = (e 1,..., e n ). Pour tout i {1,..., n}, on pose ε i = e e i. (a) Montrer que ε = (ε 1,..., ε n ) est une base de E. (b) Exprimer les composantes dans ε d un vecteur en fonction de ses composantes dans e. Exercice 5 [ ] [Correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie n N et δ une application à valeurs réelles définie sur l ensemble des sous-espaces vectoriels de E. On suppose F, F sous - espaces vectoriels de E, F F = {0 E } = δ(f + F ) = δ(f) + δ(f ) Déterminer δ. Exercice 10 [ ] [Correction] [Lemme d échange] Soient (e 1,..., e n ) et (e 1,..., e n) deux bases d un R-espace vectoriel E. Montrer qu il existe j {1,..., n} tel que la famille (e 1,..., e n 1, e j ) soit encore une base de E.

2 [ édité le 28 décembre 2016 Enoncés 2 Sous-espaces vectoriels de dimension finie Exercice 11 [ ] [Correction] Soient F, G deux sous-espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E de dimension finie n N. Montrer que si dim F + dim G > n alors F G contient un vecteur non nul. Exercice 16 [ ] [Correction] Soit E un espace vectoriel de dimension finie. (a) Soient H et H deux hyperplans de E. Montrer que ceux-ci possèdent un supplémentaire commun. (b) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que dim F = dim G. Montrer que F et G ont un supplémentaire commun. Exercice 12 [ ] [Correction] Dans R 4 on considère les vecteurs u = (1, 0, 1, 0), v = (0, 1, 1, 0), w = (1, 1, 1, 1), x = (0, 0, 1, 0) et y = (1, 1, 0, 1). Soit F = Vect (u, v, w) et G = Vect (x, y). Quelles sont les dimensions de F, G, F + G et F G? Exercice 13 [ ] [Correction] Soit U, V et W trois sous-espaces vectoriels d un R-espace vectoriel de dimension finie n. (a) On suppose dim U + dim V > n. Montrer que U V n est pas réduit au vecteur nul. (b) On suppose dim U + dim V + dim W > 2n. Que dire de l espace U V W? Exercice 14 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et F 1,..., F n des sous-espaces vectoriels de E. On suppose que E = F F n. Montrer qu il existe G 1,..., G n sous-espaces vectoriels tels que : Supplémentarité 1 i n, G i F i et E = G 1 G n Exercice 15 [ ] [Correction] Dans R 3, déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants : (a) F = Vect(u, v) où u = (1, 1, 0) et v = (2, 1, 1) (b) F = Vect(u, v, w) où u = ( 1, 1, 0), v = (2, 0, 1) et w = (1, 1, 1) (c) F = { (x, y, z) R 3 x 2y + 3z = 0 }. Exercice 17 [ ] [Correction] Montrer que deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel de dimension finie qui sont de même dimension ont un supplémentaire commun. Exercice 18 [ ] [Correction] Soient K un sous-corps de C, E un K-espace vectoriel de dimension finie, F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels de E. (a) On suppose dim F 1 = dim F 2. Montrer qu il existe G sous-espace vectoriel de E tel que F 1 G = F 2 G = E. (b) On suppose que dim F 1 dim F 2. Montrer qu il existe G 1 et G 2 sous-espaces vectoriels de E tels que F 1 G 1 = F 2 G 2 = E et G 2 G 1. Exercice 19 [ ] [Correction] Soit (e 1,..., e p ) une famille libre de vecteurs de E, F = Vect(e 1,..., e p ) et G un supplémentaire de F dans E. Pour tout a G, on note (a) Montrer que (b) Soient a, b G. Montrer F a = Vect(e 1 + a,..., e p + a) F a G = E a b = F a F b Rang d une famille de vecteurs Exercice 20 [ ] [Correction] Déterminer le rang des familles de vecteurs suivantes de R 4 : (a) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (1, 1, 1, 1), x 2 = (1, 1, 1, 1) et x 3 = (1, 0, 1, 1).

3 [ édité le 28 décembre 2016 Enoncés 3 (b) (x 1, x 2, x 3, x 4 ) avec x 1 = (1, 1, 0, 1), x 2 = (1, 1, 1, 0), x 3 = (2, 0, 1, 1) et x 4 = (0, 2, 1, 1). Exercice 21 [ ] [Correction] Dans E = R ] 1;1[ on considère : 1 + x f 1 (x) =, f 2(x) = Quel est le rang de la famille ( f 1, f 2, f 3, f 4 )? 1 + x, f 3(x) = 1 2, f 4(x) = Exercice 22 [ ] [Correction] Soit (x 1,..., x n ) une famille de vecteurs d un K-espace vectoriel E. Montrer que pour p n : rg(x 1,..., x p ) rg(x 1,..., x n ) + p n Hyperplans en dimension finie Exercice 23 [ ] [Correction] Dans R 3, on considère le sous-espace vectoriel H = { (x, y, z) R 3 x 2y + 3z = 0 } x 2 Exercice 26 [ ] [Correction] Soit E un espace de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E distinct de E. Montrer que F peut s écrire comme une intersection d un nombre fini d hyperplans. Quel est le nombre minimum d hyperplans nécessaire? Exercice 27 [ ] [Correction] Soient D une droite vectorielle et H un hyperplan d un K-espace vectoriel E de dimension n N. Montrer que si D H alors D et H sont supplémentaires dans E. Exercice 28 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n N, H un hyperplan de E et D une droite vectorielle de E. À quelle condition H et D sont-ils supplémentaires dans E? Exercice 29 [ ] [Correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E, distinct de E. Montrer que F peut s écrire comme une intersection d un nombre fini d hyperplans. Quel est le nombre minimum d hyperplans nécessaire? Soient u = (1, 2, 1) et v = ( 1, 1, 1). Montrer que B = (u, v) forme une base de H. Exercice 24 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie supérieure à 2. Soit H 1 et H 2 deux hyperplans de E distincts. Déterminer la dimension de H 1 H 2. Exercice 25 [ ] [Correction] Soient H un hyperplan et F un sous-espace vectoriel non inclus dans H. Montrer dim F H = dim F 1

4 [ édité le 28 décembre 2016 Corrections 4 Corrections Exercice 1 : [énoncé] (a) E = Vect( f 0, f 1, f 2 ) avec f 0 (x) = cos x, f 1 (x) = x cos x et f 2 (x) = x 2 cos x. E est donc un sous-espace vectoriel et ( f 0, f 1, f 2 ) en est une famille génératrice. (b) Supposons α f 0 + β f 1 + γ f 2 = 0. On a x R, (α + βx + γx 2 ) cos x = 0. Pour x = 2nπ, on obtient α + 2nπβ + 4n 2 π 2 γ = 0 pour tout n N. Si γ 0 alors α + 2nπβ + 4n 2 π 2 γ ±. C est exclu. Nécessairement γ = 0. On a alors α + 2nπβ = 0 pour tout n N. Pour n = 0, puis n = 1 on obtient successivement α = β = 0. Finalement ( f 0, f 1, f 2 ) est une famille libre. C est donc une base de E et dim E = 3 Exercice 2 : [énoncé] On vérifie aisément que E est un sous-espace vectoriel de R N. Pour tout 0 i p 1, on note e i la suite définie par { [ ] 1 si n = i p e i (n) = 0 sinon On vérifie aisément que les suites e 0,..., e p 1 sont linéairement indépendantes et on a p 1 u E, u = u(i)e i La famille (e 0,..., e p 1 ) est donc une base de E et par suite dim E = p. Exercice 3 : [énoncé] (a) On vérifie aisément que E est un sous-espace vectoriel de C N. Pour tout 0 i p 1, on note e i la suite définie par [ ] 1 si n = i p e i (n) = 0 sinon On vérifie aisément que les suites e 0,..., e p 1 sont linéairement indépendantes et on a p 1 u E, u = u(i)e i La famille (e 0,..., e p 1 ) est donc une base de E et par suite dim E = p. i=0 i=0 (b) Soit q C. La suite géométrique (q n ) est élément de E si, et seulement si, n N, q n+p = q n ce qui équivaut à affirmer que q est une racine p-ième de l unité. Considérons alors les suites u 1,..., u p avec u j (n) = ( e 2iπ j/p) n = ω n 2iπ j/p j avec ω j = e Les suites u 1,..., u p sont éléments de E. Pour affirmer qu elles constituent une base de E, il suffit de vérifier qu elles forment une famille libre. Supposons Pour n N, on a l équation λ j u j = 0 λ j ω n j = 0 Soit k {1,..., p} fixé. En multipliant l équation précédente par ω n k et en sommant les équations obtenues pour n = 0, 1,..., p 1, on obtient En permutant les deux sommes p 1 n=0 λ j p 1 ( ) λ j ω j ω 1 n k = 0 n=0 ( ) ω j ω 1 n k = 0 Le nombre ω j ω 1 k est une racine p-ième de l unité et, lorsque j k, celle-ci diffère de 1, de sorte que p 1 ( ) ω j ω 1 n si j k k = 0 p si j = k On obtient ainsi n=0 λ p pδ j,k = 0 et donc λ k = 0. Ceci valant pour tout k {1,..., p}, on peut conclure à la liberté de la famille (u 1,..., u p ).

5 [ édité le 28 décembre 2016 Corrections 5 Exercice 4 : [énoncé] (a) Supposons λ 0 f λ n f n = 0. On a x R : λ 0 + λ 1 x + + λ n x n = 0. Si λ n 0 alors λ 0 + λ 1 x + + λ n x n ± c est absurde. x + Nécessairement λ n = 0 puis de même λ n 1 =... = λ 0 = 0. Finalement ( f 0,..., f n ) est libre. (b) Par suite n + 1 dim E pour tout n N, donc dim E = + Exercice 5 : [énoncé] Pour F = F = {0 E }, on obtient δ({0 E }) = 0 Pour x 0 E, posons f (x) = δ(vect x). On a évidemment x 0 E, λ R, f (λx) = f (x) Soient x et y non colinéaires. On a Or on a aussi Vect(x) Vect(y) = Vect(x, y) Vect(x, y) = Vect(x, x + y) = Vect(x) Vect(x + y) car x et x + y ne sont pas colinéaires. On en déduit f (x) + f (y) = f (x) + f (x + y) Ainsi f (x + y) = f (x) et de façon analogue f (x + y) = f (y) donc f (x) = f (y). Finalement la fonction f est constante. En posant α la valeur de cette constante, on peut affirmer f = α. dim car, par introduction d une base, un sous-espace vectoriel peut s écrire comme somme directe de droites vectorielles engendrées par ces vecteurs de base. Exercice 6 : [énoncé] Supposons λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 = 0. On a λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0 λ 1 + λ 3 = 0 qui donne λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. La famille B est une famille libre formée de 3 = dim R 3 vecteurs de R 3, c est donc une base de R 3. Exercice 7 : [énoncé] Supposons λ 1 ε 1 + λ 2 ε 2 + λ 3 ε 3 = 0 E. On a Or (e 1, e 2, e 3 ) est libre donc (λ 3 λ 2 )e 1 + (λ 1 + 2λ 3 )e 2 + (2λ 1 + λ 2 )e 3 = 0 E λ 3 λ 2 = 0 λ 1 + 2λ 3 = 0 2λ 1 + λ 2 = 0 puis λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. La famille ε est une famille libre formée de 3 = dim E vecteurs de E, c est donc une base de E. Exercice 8 : [énoncé] Les vecteurs ε 1 et ε 2 ne sont pas colinéaires donc forme une famille libre. Pour ε 3 = e 2 (ou encore par exemple ε 3 = e 3 mais surtout pas ε 3 = e 1 ), on montre que la famille (ε 1, ε 2, ε 3 ) est libre et donc une base de E. Exercice 9 : [énoncé] (a) Supposons λ 1 ε λ n ε n = 0 E. On a (λ λ n )e λ n e n = 0 E donc λ 1 + λ λ n = 0 λ λ n = 0. λ n = 0 qui donne λ 1 =... = λ n = 0. La famille ε est une famille libre formée de n = dim E vecteurs de E, c est donc une base de E. (b) λ 1 ε λ n ε n = µ 1 e µ n e n donne λ 1 + λ λ n = µ 1 puis λ λ n = µ 2. λ n = µ n λ 1 = µ 1 µ 2.. λ n 1 = µ n 1 µ n λ n = µ n

6 [ édité le 28 décembre 2016 Corrections 6 Exercice 10 : [énoncé] Par l absurde, supposons la famille (e 1,..., e n 1, e j ) liée pour chaque j {1,..., n}. Puisque la sous-famille (e 1,..., e n 1 ) est libre, le vecteur e j est combinaison linéaire des vecteurs e 1,..., e n 1 et donc Cela entraîne ce qui est absurde. Exercice 11 : [énoncé] On sait donc j {1,..., n}, e j Vect(e 1,..., e n 1 ) e n E = Vect(e 1,..., e n) Vect(e 1,..., e n 1 ) dim F + G = dim F + dim G dim F G dim F G = dim F + dim G dim F + G or dim F + G dim E = n donc dim F G > 0. Par suite F G possède un vecteur non nul. Exercice 12 : [énoncé] (u, v, w) forme une famille libre donc une base de F. Ainsi dim F = 3. (x, y) forme une famille libre donc une base de G. Ainsi dim G = 2. (u, v, w, x) forme une famille libre donc une base de R 4. Ainsi F + G = E et dim F + G = 4. Enfin dim F G = dim F + dim G dim F + G = 1 Exercice 13 : [énoncé] (a) Puisque U + V E, on a dim(u + V) n. La formule des quatre dimensions donne alors dim U + dim V dim(u V) = dim(u + V) n L hypothèse de travail fournit alors dim(u V) > 0. (b) Introduisons l espace W = U V. Par la fomule des quatre dimensions On a donc dim W = dim U + dim V dim(u + V) dim U + dim V n dim W + dim W dim U + dim V + dim W n > n L étude précédent assure alors que l espace U V W = W W n est pas réduit à l espace nul. Exercice 14 : [énoncé] Posons G 1 = F 1, G 2 le supplémentaire de G 1 F 2 dans F 2, et plus généralement G i le supplémentaire de (G 1 G i 1 ) F i dans F i. Les G i existent, ce sont des sous-espaces vectoriels, G i F i et G 1 G n. Soit x E. On peut écrire x = n x i avec x i F i. Or x i = y i yi i avec yi j G j car F i = ((G 1 G i 1 ) F i ) G i. Par suite x = z z n avec z k = n l=k yl k G k. Par suite E = G 1 G n. Exercice 15 : [énoncé] (a) (u, v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u, v) génératrice de F. C est donc une base de F. D = Vect(w) avec w = (1, 0, 0) est un supplémentaire de F car la famille (u, v, w) est une base de R 3. (b) w = u + v donc F = Vect(u, v). (u, v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u, v) génératrice de F. C est donc une base de F. D = Vect(t) avec t = (1, 0, 0) est un supplémentaire de F car la famille (u, v, t) est une base de R 3. (c) F = {(2y 3z, y, z) y, z R} = Vect(u, v) avec u = (2, 1, 0) et v = ( 3, 0, 1). (u, v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u, v) génératrice de F. C est donc une base de F. D = Vect(w) avec w = (1, 0, 0) est un supplémentaire de F car la famille (u, v, w) est une base de R 3. Exercice 16 : [énoncé] (a) Si H = H alors n importe quel supplémentaire de H est convenable et il en existe. Sinon, on a H H et H H donc il existe x H et x H tels que x H et x H. On a alors x + x H H et par suite Vect(x + x ) est supplémentaire commun à H et H. (b) Raisonnons par récurrence décroissante sur n = dim F = dim G {0 1,..., dim E}. Si n = dim E et n = dim E 1 : ok Supposons la propriété établie au rang n + 1 {1..., dim E}. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension n. Si F = G alors n importe quel supplémentaire de F est convenable. Sinon, on a F G et G F donc il existe x F et x G tels que x G et x F. On a alors x + x F G. Posons F = F Vect(x + x ) et G = G Vect(x + x ).

7 [ édité le 28 décembre 2016 Corrections 7 Comme dim F = dim G = n + 1, par hypothèse de récurrence, F et G possède un supplémentaire commun H et par suite H Vect(x + x ) est supplémentaire commun à F et G. Récurrence établie. Exercice 17 : [énoncé] Notons F et G les sous-espaces vectoriels de même dimension d un espace vectoriel E. Raisonnons par récurrence décroissante sur n = dim F = dim G {0, 1,..., dim E}. Si n = dim E, l espace nul est un supplémentaire commun. Supposons la propriété établie au rang n + 1 {1,..., dim E}. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension n. Si F = G alors n importe quel supplémentaire de F est convenable. Sinon, on a F G et G F donc il existe x F et x G tels que x G et x F. On a alors x + x F G. Posons F = F Vect(x + x ) et G = G Vect(x + x ). Comme dim F = dim G = n + 1, par hypothèse de récurrence, F et G possèdent un supplémentaire commun H et par suite H Vect(x + x ) est supplémentaire commun à F et G. Récurrence établie. Exercice 18 : [énoncé] (a) Par récurrence sur p = dim E dim F 1. Si dim E dim F 1 = 0 alors G = {0 E } convient. Supposons la propriété établie au rang p 0. Soient F 1 et F 2 de même dimension tels que dim E dim F 1 = p + 1. Si F 1 = F 2 l existence d un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel en dimension finie permet de conclure. Sinon, on a F 1 F 2 et F 2 F 1 ce qui assure l existence de x 1 F 1 \ F 2 et de x 2 F 2 \ F 1. Le vecteur x = x 1 + x 2 n appartient ni à F 1, ni à F 2. On pose alors F 1 = F 1 Vect(x) et F 2 = F 2 Vect(x). On peut appliquer l hypothèse de récurrence à F 1 et F 2 : on obtient l existence d un supplémentaire commun G à F 1 et F 2. G = G Vect(x) est alors supplémentaire commun à F 1 et F 2. Récurrence établie. (b) Soit F 1 un sous-espace vectoriel contenant F 1 et de même dimension que F 2. F 1 et F 2 possèdent un supplémentaire commun G. Considérons H un supplémentaire de F 1 dans F 1. En posant G 1 = H G et G 2 = G on conclut. Exercice 19 : [énoncé] (a) Soit x F a G, on peut écrire Mais alors x = λ i e i = x λ i (e i + a) λ i.a F G = {0 E } donc λ 1 =... = λ p = 0 puis x = 0 E. Soit x E, on peut écrire x = u + v avec u = p λ i.e i F et v G. On a alors x = λ i (e i + a) + v λ i a F a + G Ainsi F a G = E. (b) Par contraposée : Si F a = F b alors on peut écrire On a alors e 1 + a = λ i e i e 1 = λ i (e i + b) λ i b a F G donc λ 1 = 1 et 2 i p, λ i = 0. La relation initiale donne alors e 1 + a = e 1 + b puis a = b. Exercice 20 : [énoncé] (a) (x 1, x 2, x 3 ) est libre donc rg(x 1, x 2, x 3 ) = 3. (b) Comme x 3 = x 1 + x 2 et x 4 = x 2, on a Vect(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = Vect(x 1, x 2 ). Comme (x 1, x 2 ) est libre, on a rg(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = rg(x 1, x 2 ) = 2. Exercice 21 : [énoncé] On a donc f 1 (x) = car ( f 3, f 4 ) est libre. 1 + x 2 = f 3(x) + f 4 (x), f 2 (x) = rg( f 1, f 2, f 3, f 4 ) = rg( f 3, f 4 ) = 2 2 = f 3(x) f 4 (x)

8 [ édité le 28 décembre 2016 Corrections 8 Exercice 22 : [énoncé] Vect(x 1,..., x n ) = Vect(x 1,..., x p ) + Vect(x p+1,..., x n ). donc rg(x 1,..., x n ) rg(x 1,..., x p ) + rg(x p+1,..., x n ) rg(x 1,..., x p ) + n p. Exercice 23 : [énoncé] u, v H car ces vecteurs vérifient l équation définissant H. (u, v) est libre et dim H = 2 car H est un hyperplan de R 3. On secoue, hop, hop, le résultat tombe. Exercice 24 : [énoncé] H 1 + H 2 est un sous-espace vectoriel de E qui contient H 1 donc dim H 1 + H 2 = n 1 ou n. Si dim H 1 + H 2 = n 1 alors par inclusion et égalité des dimensions : H 2 = H 1 + H 2 = H 1. C est exclu, il reste dim H 1 + H 2 = n et alors dim H 1 H 2 = dim H 1 + dim H 2 dim H 1 + H 2 = n 2. Exercice 25 : [énoncé] On a F F + H E et F H donc F + H = E d où dim F H = dim F 1 via le théorème des quatre dimensions. Supposons D H. Soit x D H. Si x 0 E alors D = Vect(x) H ce qui est exclu. Nécessairement D H = {0 E }. De plus dim H + dim D = dim E donc H D = E Exercice 29 : [énoncé] Posons n = dim E et p = dim F. Soit B = (e 1,..., e p ) une base de F que l on complète en (e 1,..., e n ) base de E. Posons H i = Vect(e 1,..., ê i,..., e n ) Par double inclusion, on montre F = n i=p+1 On ne peut construire une intersection avoir moins d hyperplans car on peut montrer par récurrence que l intersection de q hyperplans est de dimension supérieure à n q. Ainsi, le nombre minimum d hyperplans intersecté pour écrire F est de n p. H i Exercice 26 : [énoncé] Posons n = dim E et p = dim F. Soit B = (e 1,..., e p ) une base de F que l on complète en (e 1,..., e n ) base de E. Posons H i = Vect(e 1,..., ê i,..., e n ) où ê i signifie que le terme est absent de la liste. Par double inclusion F = H p+1... H n. On ne peut pas avoir moins d hyperplans dans cette intersection puisque par récurrence on peut montrer que l intersection de q hyperplans est de dimension supérieure à n q. Exercice 27 : [énoncé] D + H est un sous-espace vectoriel de E contenant H donc dim D + H = n 1 ou n. Si dim D + H = n 1 alors par inclusion et égalité des dimensions D + H = H or D D + H et D H, ceci est donc exclu. Il reste dim D + H = n d où D + H = E. Puisque D + H = E et dim D + dim H = dim E, D et H sont supplémentaires dans E. Exercice 28 : [énoncé] Si D H alors H et D ne sont pas supplémentaires car H D = D {0 E }

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