Exercices : les fonctions exponentielles

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1 Eercices : les fonctions eponentielles Attention la rédaction présentée dans ces corrections d eercices est moins détaillée que celle que j attends de vous en devoir. Pour le modèle de la rédaction, regardez votre cours. Ces corrigés sont là uniquement pour vous donner la solution finale avec parfois un peu de détail de calcul. Eercice 5 de la feuille : A = 2 2 = 4 B = 3 D = 0,1 0,1 2 0,13 0,1 2 = 0,1 1 0,1 = 10 0,1 = 9,9 Eercice 6 de la feuille : A = 2 2 0,5 B = 3 1 = 3 C = 1,4 2+8 D = 0,2 +1 (on aura remarqué que 0,04 = 0,2 2 ) Eercice 7 de la feuille : A = 4(0,5 0,5 1 0,5 0,5 2 ) = 4 0,5 (0,5 0,25) = 4 0,5 0,25 = 0,5 B = 2(2,5 1 2,5 +2,5 2 2,5 ) = 2 2,5 (2,5+2,5 2 ) = 17,5 2,5 D = 10 7 Eercice 8 de la feuille : 1. f(1) = 0, = 25,04 et f( 1) = 0, = 25,04 f(2) = 625,0016 = f( 2) 2. f(0,5) = 5,2 = f( 0,5) f(1,5) = 125,008 = f( 1,5) 3. On a l impression que quelle que soit la valeur de on a f() = f( ). 4. Pour démontrer cela nous allons partir de f( ) et essayer de le transformer pour retomber sur f(). Pour tout réel : f( ) = 0, = 0, = (0,04 1 ) +(25 1 ) = 25 +0,04 = f() On a donc montré que pour tout réel, f() = f( ). Eercice 9 de la feuille : 1. f(1) = 3,75 et f( 1) = 3,75 f(2) = 15,9375 et f( 2) = 15, f(0,5) = 1,5 et f( 0,5) = 1,5 f(1,5) = 7,875 et f( 1,5) = 7, On a l impression que quelle que soit la valeur de on a f( ) = f(). 4. Pour démontrer cela nous allons partir de f( ) et essayer de le transformer pour retomber sur f(). Pour tout réel : f( ) = 4 0,25 = 4 1 0,25 1 = (4 1 ) (0,25 1 ) = 0,25 4 = f() On a donc montré que pour tout réel, f( ) = f(). TES-TL Page 1 Eercices : les fonctions eponentielles

2 Eercice 10 de la feuille : 1. g( 2) 0,1111, g( 1) 0,0333, g(0) = 0,01, g(1) = 0,003, g(2) = 0, g() = 0,3 0, ,3 0,3 1 0,3 = 0,3 (0, ,3 1) = 0,3 ( 0,01) 3. On sait que pour tout réel, 0,3 > 0 et de plus 0,01 < 0 donc par produit, g() < 0. Eercice 14 de la feuille : 1. Pour trouver l équation d une parabole par lecture graphique il faut utiliser la forme canonique y = α( β) 2 +γ. On trouve les valeurs de β et γ grâce au coordonnées du sommet de la parabole. On a donc β = 0 et γ = 2 et ainsi y = α Pour trouver α on va se servir d un point de la parabole dont on peut bien lire les coordonnées mais qui ne soit pas le sommet. On choisit ici le point (2,4). Comme il appartient à la parabole il doit vérifier son équation : L équation de C 1 est donc y = 0, = α α = On trouve la valeur de q en regardant le point de la courbe C 2 d abscisse 1. Son ordonnée nous donne la valeur de q. C 2 a pour équation y = a) On remarque que la quantité dont Mika cherche le signe est la différence entre l équation de C 1 et celle de C 2. Donc pour connaitre le signe de cette quantité il lui suffit de regarder sur le graphique si C 1 est au dessus ou en dessous de C 2. Si C 1 est au dessus de C 2 alors 2 + 0,5 2 2 sera positif. Si C 1 est en dessous de C 2 alors 2+0,5 2 2 sera négatif. b) Si < 2, alors 2+0,5 2 2 > 0 Si > 2, alors 2+0,5 2 2 < 0. Eercice 41 page 84 : 1. f() = e 1 et g() = e 2 2. f() = e 2+5 et g() = e 2+3 Eercice 42 page 84 : 1. (e 1)(e +3) = e e +3e e 3 = e 2 +2e e e +1 = e +1 e +1 2e e +1 = e +1 2e = 1 e e +1 e e 1 1+e = 1 e 1+ 1 = e e 1 e e 1 e = e +1 e e +1 = e 1 e +1 e TES-TL Page 2 Eercices : les fonctions eponentielles

3 Eercice 45 page 84 : Consigne supplémentaire : faire le tableau de signe de f et g. f() = e (2 2 ) = e (2 ) = e (2 ) e 2 f() g() = e (1 4 2 ). Pour le tableau de signe, on résout : = 0 = 1 2 ou = 1 2 e g() Eercice 46 page 84 : f() = e ( 2 2+3) g() = e ( ) Eercice 47 page 84 : 1. e 2 1 = 0 e 2 = 1 e 2 = e 0 2 = 0 = 0 S = {0} { } 3 2. S = 4 Eercice 48 page 84 : 1. (2 5)(e +1) = = 0 ou e +1 = 0 2 = 5 ou e = 1 S = { } 5 2 = 5 2 ou impossible 2. e 2+1 = 1 e e2+1 = e = 1 = 1 S = { 1} TES-TL Page 3 Eercices : les fonctions eponentielles

4 Eercice 49 page 84 : 1. S = {0} 1 2. e +2 = 0 2 e ( 2) +2 = 0 e +2 = 2 impossible S = Eercice 50 page 84 : 1. e e = 0 e (1 ) = 0 e = 0 ou 1 = 0 impossible ou = 1 S = {1} 2. 2 e 3e +2e = 0 e ( 2 3+2) = 0 e = 0 ou = 0 impossible ou = 1 ou = 2 S = {1;2} Eercice 34 page 83 : 1. a) Production au premier février : P(1) = 3,12, 3120 briques par jour Production au 15 mars : P(2,5) 3,31, 3310 briques par jour b) P(+0,5) = 3 1,04+0,5 = 1,04 0,5 1,0198 P() 3 1,04 En 15 jours la production augment de 1,98 % environ. 2. Lorsque q > 1, la fonction q est croissante donc comme 1,04 > 1, la fonction P est croissante. 3. a) On voit que pour P devient supérieur à 4 lorsque est entre 7 et 8 donc c est au mois d août que la production dépasse 4000 briques par jour. b) Grâce au tableau de valeurs on retrouve que entre = 7 et = 8 P passe d une valeur plus petite que 4 à une valeur plus grande que 4. Eercice 36 page 83 : 1. Comme 1,05 > 1, f est une fonction croissante. Comme 1,05 est croissante, la fonction 1 est décroissante et en multipliant par 7 on 1,05 ne change pas le sens de variation donc g est décroissante. De plus f passe de f(10) 1,63 à f(30) 4,32 et g passe de g(10) 4,30 à g(30) 1,62 donc il semble que les fonctions f et g se croisent. 2. a) f() = g() 1,05 = 7 1,05 1,05 1,05 = 7 (1,05 2 ) = 7 1,1025 = 7 b) α 19,94 3. Le pri d équilibre est donc égal à 19,94 euros. Pour ce pri, l offre et la demande sont égales et valent f(19,94) = g(19,94) 2,65 c est-à-dire 2650 livres. Eercice 54 page 85 : 1. vrai car f(2) = 0 2. vrai car f () = (+2)e +e = (+2+1)e = (+3)e. 3. vrai car l équation est y = f (0)( 0)+f(0) et f (0) = 3 et f(0) = 2. Attention pour les eercices 56 à 61 il n y a que la solution finale et il manque toute la rédaction!!!! TES-TL Page 4 Eercices : les fonctions eponentielles

5 Eercice 56 page 85 : f () = e +2 g () = ( 1)e Eercice 57 page 85 : f () = 6 2e g () = (4 2 2 )e Eercice 58 page 85 : f () = ( )e g () = ( )e = 2 (+3)e Eercice 60 page 85 : f () = (+1)e (+2) 2 g () = ( 1)e = 1 (e ) 2 e Eercice 62 page 85 : 1. 2e 2 0 2e 2 e 1 e e 0 0 S = [0;+ [ Eercice 59 page 85 : f () = ( 1)e 2 g () = (1 )e = 1 (e ) 2 e Eercice 61 page 85 : f () = 1 e g e () = (e +1) e e 2 e 1 ce qui est toujours vrai. S = R. Les inéquations suivantes sont des produits ou des quotients donc nous allons utiliser des tableau de signes pour les résoudre. Eercice 63 page 85 : 1. 2 e 2 + ( 2)e 2. Donc S = [2;+ [. 0,5+3 e 0,5+3 e Donc S =] ;6]. TES-TL Page 5 Eercices : les fonctions eponentielles

6 Eercice 64 page 85 : e (4 2 )e Donc S = [ 2;2] 2. e +1 est la somme de deu quantités positives donc e +1 > 0. Pour avoir le signe de 1 e, on résout : 1 e > 0 1 > e e 0 > e 0 > 1 e e e e Donc S =] ;0]. Pour les eercices 65 à 70 on nous demande le tableau de signe mais pas de résoudre une inéquation donc après le tableau de signe il n y a pas de S = à donner. Je donne uniquement le tableau de signe sans la rédaction. Eercice 65 page 85 : e f() Eercice 66 page 85 : e f() TES-TL Page 6 Eercices : les fonctions eponentielles

7 Eercice 67 page 85 : 2+5 e f() Eercice 68 page 85 : 3 6 e e f() Eercice 69 page 85 : e e 2 f() Eercice 70 page 85 : e + 3 e e 2 f() 2 + Eercice 72 page 85 : f est dérivable sur [0;5] et f () = 3e +2. Comme pour tout réel, e > 0, on a f () > 0. Donc f est strictement croissante sur [0;5] : f () f() e TES-TL Page 7 Eercices : les fonctions eponentielles

8 Eercice 73 page 85 : f est dérivable sur [ 1;3] et f () = 3e 3. Pour trouver le signe de f (), on résout : Donc : 3e 3 0 3e 3 e 1 e e 0 0 f () f() 3e e 3 8 Eercice 74 page 86 : f est dérivable sur R et f est de la forme u() v(). Donc on aura f () = u ()v() + u()v () u() = 2+3 u () = 2 v() = e v () = e Donc f () = 2e +(2+3)e = (2+2+3)e = (2+5)e. On a donc : 2+5 e f () f() 2e 5/2 Eercice 75 page 86 : f est dérivable sur [0;6] et f est de la forme u() v(). Donc on aura f () = u ()v()+u()v () u() = u () = 2 9 v() = e v () = e Donc f () = (2 9)e +( )e = ( )e. On a donc : e f () f() 19 5e 2 e 5 e6 e 6 TES-TL Page 8 Eercices : les fonctions eponentielles

9 Eercice 76 page 86 : f est dérivable sur [ 2;4] et f est de la forme u() v(). Donc on aura f () = u ()v() u()v () v() 2 u() = u () = 2+1 v() = e v () = e Donc f () = ( 2+1)e ( 2 ++5)e (e ) 2 = (2 3 4)e (e ) 2 = e. On a donc : e f () f() e e 7e 4 Eercice 77 page 86 : f est dérivable sur [0;10] et f est de la forme u() v(). Donc on aura f () = u ()v() u()v () v() 2 u() = 2e u () = 2e v() = e +1 v () = e Donc f () = 2e (e +1) 2e e (e +1) 2 = 2e (e +1 e ) (e +1) 2 = 2e (e +1) 2. On a donc : 2e (e + 1) 2 f () f() 1 2e 10 e TES-TL Page 9 Eercices : les fonctions eponentielles

10 Eercice 78 page 86 : f est dérivable sur [ 2;4] et f est de la forme u() v(). Donc on aura f () = u ()v() u()v () v() 2 u() = 2 +1 u () = 2 v() = e v () = e Donc f () = 2e ( 2 +1)e (e ) 2 = ( )e (e ) 2 = e. On a donc : e f () f() e e Eercice 88 page 88 : f est dérivable sur R et est de la forme e u() +2. Donc on aura f () = u ()e u() u() = 3 u () = 3 Donc f () = 3e 3 g est dérivable sur R et est de la forme 10e u(). Donc on aura g () = 10u ()e u() Donc g () = 10 ( 0,5)e 0,5 = 5e 0,5 u() = 0,5 u () = 0,5 Eercice 89 page 88 : f est dérivable sur R et est de la forme u()e v(). Donc on aura f () = u ()e v() +u() v ()e v() u() = u () = 1 v() = v () = 1 Donc f () = e + ( 1)e = (1 )e g est dérivable sur R et est de la forme e u(). Donc on aura g () = u ()e u() u() = 2 + u () = 2+1 Donc g () = ( 2+1)e 2 + Eercice 90 page 88 : f est dérivable sur R et est de la forme u()e v(). Donc on aura f () = u ()e v() +u() v ()e v() u() = 2 3 u () = 2 v() = 0,1 v () = 0,1 Donc f () = 2e 0,1 +(2 3) ( 0,1)e 0,1 = ( 0,2+2,3)e 0,1 TES-TL Page 10 Eercices : les fonctions eponentielles

11 g est dérivable sur R et est de la forme u()e v(). Donc on aura g () = u ()e v() +u() v ()e v() u() = 5 0,1 u () = 0,1 v() = 2 v () = 2 Donc g () = 0,1e 2 +(5 0,1) 2e 2 = ( 0,2+9,9)e 2 Eercice 91 page 88 : f est dérivable sur R et est de la forme u()e v(). Donc on aura f () = u ()e v() +u() v ()e v() u() = 4 u () = 4 v() = +1 v () = 1 Donc f () = 4e ( 1)e +1 = ( 4+4)e +1 = 4( +1)e +1 g est dérivable sur R et est de la forme 3e u(). Donc on aura g () = 3u ()e u() u() = 1 2 u () = 2 Donc g () = 10 ( 2)e 1 2 = 20e 1 2 Eercice 92 page 88 : f est dérivable sur R et est de la forme u()e v(). Donc on aura f () = u ()e v() +u() v ()e v() u() = 2 +1 v() = u () = 2 v () = 1 Donc f () = 2e +( 2 +1) ( 1)e = ( )e g est dérivable sur R et est de la forme e u(). Donc on aura g () = u ()e u() Donc g () = 1 2 e1 2 u() = 1 2 = u () = 1 2 Eercice 93 page 88 : f est dérivable sur R\{1} et est de la forme e u(). Donc on aura f () = u ()e u(). Or u() = 3 1 est de la forme v() w() donc on aura u () = v ()w() v()w () (w()) 2 Donc u () = 1( 1) ( 3) 1 = ( 1) 2 En conclusion f 2 () = 2e 3 1 ( 1) g est dérivable sur R et est de la forme v() = 3 v () = 1 w() = 1 w () = 1 2 ( 1) 2. 1 e u(). Donc on aura g () = 1 u ()e u() 2π 2π u() = 2 2 Donc g () = 1 2π ( )e 2 /2 = 1 2π e 2 /2 u () = 2 2 = TES-TL Page 11 Eercices : les fonctions eponentielles