Oscillations forcées en mécanique

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1 Lycée Viette TSI Oscillations forcées en écanique I. Oscillateur aorti souis à une ecitation Lorsque l'oscillateur ( aorti par frotteent fluide ) est souis à une force ecitatrice (t) ω (t) son équation différentielle s'écrit : && + & + ω. Q La solution de cette équation est : (t) libre (t) + forcée (t) libre (t) solution de l'équation hoogène ( indépendante de l'ecitation ). Cette solution a été étudiée en preière partie de écanique. Elle s'annule au bout de quelques teps caractéristique. forcée (t) solution particulière, elle a la êe fore que (t). Au bout de quelques t carac. seule cette solution subsiste. Les conditions initiales perettent de déteriner les deu constantes qui apparaissent dans libre (t) s'applique sur (t) et non sur seuleent libre (t) Si (t) est une constante, la solution forcée correspond à la position d'équilibre. Ce cas est l'équivalent d'une réponse à un échelon pour un circuit électrique. Si (t) est une fonction sinusoïdale la solution forcée forcée (t) sera une fonction sinusoïdale de êe pulsation ( réponse haronique). Si (t) est une fonction périodique ( période T ) elle peut être décoposée en soe de. π.n fonctions sinusoïdales de pulsations ω, la solution forcée forcée (t) sera une soe de fonctions sinusoïdales de pulsations n n T ω. π.n T II. Oscillations sinusoïdales forcées, résonance. Etude des oscillations forcées d'un pendule élastique horizontal && λ & + ( ω ) && + & + cos ( ω.t ). k...cos.t λ k k λ ω ω et. ξ. ω. ξ && +. ξ. ω. & + ω. cos ( ω.t ) Q Q La solution d'une telle équation est la soe de deu teres : sol. de l éq. hoo. ( régie libre ) cette solution s'annule "assez" rapideent sol. particulière : c'est la solution dite forcée, elle est de la fore : forcée (t) X.cos ( ω.t - ϕ ) X est l'aplitude de la réponse à l'ecitation forcée -ϕ est la phase de (t) / (t) X et ϕ se déterinent à l'aide de la résolution coplee. Au bout de quelques t carac. (t) forcée (t), par la suite seule cette solution nous intéresse. Pour déteriner (t), la éthode coplee est la plus pratique ( la éthode de resnel peut aussi être utilisée ). ( ) & (& ) && (&& ) (t) R e (t) (t) R e (t) (t) Re (t) (t) X e (t) & j. ω.(t) && (t) ω ².(t) (t) e j( ω.t ϕ ) j. ω.t Rabeu Michel Page

2 Lycée Viette TSI L'équation différentielle devient : ². j e j. ϕ X.j.... j. ( ) ξ ω ω + ω ω e k ω X u ( ω ω ² ) + 4. ξ². ω u. ω² ω ( u² ) + Q La variable réduite est notée u ( étant la fonction recherchée ) π ω ω π ϕ + tan + tan Q u. ξ. ω. ω u ϕ varie de à π j. ω.t j. ϕ ω + ξ ω ω + ω X. ( ω ω ² ) +.j. ξ. ω. ω e π La vitesse a pour epression : (t) & ω.x.cos ω.t ϕ +. ω V ω.x ω ω + 4. ξ². ω u + ω u Q ω.λ.x ϕ.ω.x cas où ω < ω. ω.x ϕ varie de à π Ipédance écanique U Z ( analogie avec Z ) V I π j( ϕ ) ω Z e Z. ω + 4. ξ². ω. ω. u + V V ω u Q Puissance fournie par l'ecitateur P r r π.v π π t.v.cos( ω.t).v.cos( ω.t ϕ+ ) cos(. ω.t ϕ+ ) + cos( ϕ ) ( ) Rabeu Michel Page

3 Lycée Viette TSI La puissance instantanée varie sinusoïdaleent dans le teps sa valeur oyenne est :.V π.v * cos( ϕ ) sin( ϕ ) Re.V analogie avec U.I.cos(ϕ) Cette puissance copense les pertes par frotteent. r r π Pfrot ( t ) λ.v.v λ.v ².cos ²( ω.t ϕ + ) λ.v ² Pfrot ( t) analogie avec la perte par effet Joule -R.I.V ² V ² sin ϕ λ λ.. Z ².sin(ϕ) λ.v. Résonance Etudions en fonction de u P ( ) P ( ) t + t frot ω ω l'epression de la puissance oyenne transférée à l'oscil- lateur. Q. λ λ.. ω V.² ω ω + 4. ξ². ω + Q. u ω u La puissance oyenne passe par un aiu pour u ( ω ω ) Q. a. λ.. ω a + Q. u u A la résonance ( ω ω ) la puissance oyenne transférée à l'oscillateur est aiale Q 5 résonance aiguë en fonction de u Q,5 résonance floue Rabeu Michel Page

4 Lycée Viette TSI Q 5 résonance aiguë P ( t) a en fonction de u Q,5 résonance floue inesse de la résonance Elle est caractérisée par la largeur du pic à i-hauteur ( bande passante à - db ) u Q. u + u ± u² ± u u Q Q ω u Q ; u Q u Q ω.q.q.q.q Q ω ω u.u ou ω.ω ω Si Q est élevé la résonance est aiguë ( analogie avec R.L.C. ) Etude de la vitesse au voisinage de la résonance V Q.. ω λ ω ω + ξ ω. 4. ². + Q. u + Q. u ω u u V atteint aussi sa valeur aiale pour u ( ω ω ) ( V) ai λ Il y a aussi résonance de vitesse pour ω ω ( filtre de vitesse passe bande ) Q 5 résonance aiguë V (u) Q,5 résonance floue Rabeu Michel Page 4

5 Lycée Viette TSI Etude de l'aplitude de l'élongation pour u X X f(u) ( ) ω ω ² + 4. ξ². ω. ω² u² + Q.(u² )² X Q.. ω u² + Q.(u² )² [ +.Q.(u² ) ] u. f'(u) u² + Q.(u² )² f'(u) pour u et u.q k et X quand u et passe par un aiu si Q > si Q >> Q. (X ) et u a i. ω Rearques Contraireent à O c > et V, X ne passe par un aiu que si 5 et le aiu n'est pas atteint pour Ω ω Q > Etude de la phase Q 5 X (u) Q Q, π ϕ + tan Q u u ϕ varie de à π Si u ϕ ( et sont en phase, est en quadrature retard sur V ) Si u ϕ π ( et sont en opposition de phase, est en quadrature avance sur V ) Si u ϕ π ( est en quadrature retard /, et V sont en phase ) Rabeu Michel Page 5

6 Lycée Viette TSI Réalisation epérientale Q 5 ϕ(u) Q R oteur ( ω ) O O O Etude statique Le oteur ne tourne pas O est fie / R la asse est iobile / R. O repère alors la position de O et O la position de M ( O et O points fies de R ). Systèe { le obile M de asse } Référentiel : R supposé galiléen Bilan des forces : { P r et T r } parfois il y a aussi la poussée d Archiède r r r P + T k. ( léq l ). g Etude dynaique ( le oteur ne tournant pas ) Systèe { le obile M de asse } Référentiel : R supposé galiléen Bilan des forces : { P r, T r et f r } r r r r P + T + f. a M / R.g - k.( l éq + l ) - λ &. && OM λ k && +. ξ. ω. & + ω. avec. ξ. ω et ω Suivant les valeurs de λ, on obtient l un des trois régies ( pseudo-périodique, critique, et apériodique ). Ces régies s annulent assez rapideent. Rabeu Michel Page 6

7 Lycée Viette TSI Etude dynaique ( le oteur tourne ) O est en ouveent de translation / R uuuuuur r r r O 'O ' A.cos( ω.t).e a ω.a.cos( ω.t).e / R Systèe { le obile M de asse } Référentiel : R supposé galiléen Bilan des forces : { P r, T r et r f } r r r r P + T + f a M R. / ( éq + ).g - k. ( ) OM l l - λ.& / R. && / R ' O O ' ( ) k. + k. λ.& / R. && && / R / R +. ξ. ω.& / R + ω. ω.a.cos ω.t tout se passe coe si on ajoutait une force suppléentaire k..e r Etude énergétique ( le oteur tourne ) Appliquons le théorèe de la puissance cinétique à M dec r r r r r r P P.v + f.v + T.v dt r.. & &&.g. & λ.& k. l + l.& (( éq ) ) or : k. ( l éq l ) +.g.. & &&.& k..& d où : λ ( ) λ. && λ.& k. ( ) k k && + & + ide étude dynaique Rabeu Michel Page 7