4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 1 sur 7

Transcription

1 EXERCICE 1 SI un triangle ABC est rectangle en A ALRS ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC] SI un triangle ABC est rectangle en B ALRS ABC. est inscrit dans un cercle de diamètre [AC] SI un triangle DEF est rectangle en F SI un triangle IJK est rectangle en I SI un triangle LMN est rectangle en L EXERCICE 2 ALRS DEF est inscrit dans un cercle de diamètre [DE] ALRS IJK est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [JK] ALRS LMN est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [MN] SI ABC est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [BC] SI ABC est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [AB] SI DEF est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [DE] SI IJK est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [JK] SI ADG est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AG] EXERCICE 3 ALRS ABC est rectangle en A ALRS ABC est rectangle en C ALRS DEF est rectangle en F ALRS IJK est rectangle en I ALRS ADG est rectangle en D SI l angle BMC est droit ALRS le point M appartient au cercle de diamètre [BC] SI l angle ABC est droit ALRS le point B appartient au cercle de diamètre [AC] SI l angle EMF est droit SI l angle SAT est droit SI l angle IJK est droit ALRS le point M appartient au cercle de diamètre [EF] ALRS le point A appartient au cercle de diamètre [ST] ALRS le point J appartient au cercle de diamètre [IK] 4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 1 sur 7

2 EXERCICE 4 SI un point M appartient au cercle de diamètre [BC] SI un point A appartient au cercle de diamètre [IJ] ALRS l angle BMC est droit (U ALRS BMC EST RECTANGLE EN M) ALRS l angle IÂJ est droit SI un point C appartient au cercle de diamètre [AB] ALRS l angle AC ^ B est droit SI un point appartient au cercle de diamètre [KL] ALRS l angle K ˆ L. est droit SI un point E appartient au cercle de diamètre [DF] ALRS l angle DE ˆ F est droit EXERCICE 5 Sans tracer les médiatrices de ces 3 triangles, construire leur cercle circonscrit : Il suffit de prendre le milieux de l hypoténuse comme centre du cercle circonscrit EXERCICE 6 Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants sont-ils rectangles? ( est le centre du cercle). J E C A B D F K I M P N Non, car aucun côté du triangle ABC n est un diamètre du cercle DEF est rectangle E, car -[DF] est un diamètre - E est un point du cercle Non, car J et K sont sur le cercle [KI] n est pas un diamètre de celui ci Non car, [MN] est bien un diamètre, mais P n est pas sur le cercle EXERCICE 7 A l 4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 2 sur 7

3 _2.xml EXERCICE 7 B Parmi les points suivants, entourer ceux qui appartiennent au demicercle de diamètre [MN] sans tracer ce demi-cercle, en utilisant uniquement l équerre. C E F G B H D I J A M N 4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 3 sur 7

4 EXERCICE 8 Sans utiliser l équerre a. Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 3 cm. EXERCICE 9 a. Existe-t-il un point P tel que les triangles EFP, GHP et IJP soient rectangles en P? b. Construire un triangle DEF rectangle en E tel que FDE= 45. b. Existe-t-il un point P tel que les triangles ABP, BCP et ACP soient rectangles en P? 4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 4 sur 7

5 EXERCICE 10 Sans utiliser l équerre, construire un triangle ABC rectangle en A tel que BC = 12 cm et ABC = 45. Il suffit de tracer un cercle de diamètre [BC], puis un angle ABC de mesure 45, la demi droite [BA) coupe le cercle en un point A, ABC est le triangle demander, car son cercle circonscrit a pour diamètre [AB] Comment démontrer que ABC est isocèle en A?, Car l angle ACB fait =45. EXERCICE 11 a. Tracer un segment [BC] de longueur 6 cm. b. En utilisant la règle graduée et le compas, marquer un point A tel que le triangle ABC soit rectangle en A et tel que AB = 4 cm. Je trace un cercle de diamètre [BC], puis un cercle de rayon 4cm, il coupe le cercle de diamètre [BC] en un point A qui forme un triangle rectangle avec B et C c. Y a-t-il plusieurs emplacements possibles pour le point A? Il y a deux solutions possibles A et A 4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 5 sur 7

6 EXERCICE 12 ABC est un triangle rectangle en A, tel que BC = 5 cm. est le milieu de [BC]. C A EXERCICE 13 est le milieu d un segment [IJ] et K est un point du plan tel que K= J. n veut démontrer que le triangle IJK est rectangle en K. a. Placer les points et K. 5 cm B a. Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété)? SI un triangle est rectangle ALRS Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. b. En déduire l égalité de 3 longueurs : (Si un triangle est rectangle Alors la longueur de la médiane issue de l angle droit est la moitié de celle de l hypoténuse) A =B =C c. Combien mesure le segment [A]? Expliquer. A=C= 1 CB 2 donc A=2,5cm b. Pourquoi les points I, J et K appartiennent-ils au même cercle? est le milieu d un segment [IJ] donc I=J K = J d après l énoncé Donc I=J=K c. Citer la propriété pour démontrer qu un triangle est rectangle appliquée à cet énoncé. HYPTHESES Dans le triangle IJK, [K] est la médiane relative à la base [IJ] K= I=J=1/2 IJ PRPRIETE Si dans un triangle, la médiane issue d un sommet à une longueur égale à la moitié du côté opposé alors ce triangle est rectangle en ce sommet CNCLUSIN IJK est rectangle en K EXERCICE 14 DEF est un triangle isocèle en D. E est le symétrique de E par rapport D. Démontrer que le triangle EFE est rectangle en F. HYPTHESES Dans le triangle EFE, D est le milieu de [EE ] est le symétrique de E par rapport D. Et DE=DF car DEF est un triangle isocèle en D DE= DF=DE =1/2 EE [DE] est la médiane relative à la base [EE ] PRPRIETE Si dans un triangle, la médiane issue d un sommet à une longueur égale à la moitié du côté opposé alors ce triangle est rectangle en ce sommet 4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 6 sur 7

7 CNCLUSIN EFE est rectangle en F EXERCICE 15 (C) est un cercle de centre. A et M sont deux points de (C) non diamétralement opposés. La perpendiculaire en M à (AM) recoupe (C) en B. a. Faire une figure. b. Démontrer que est le milieu de [AB]. N est un autre point du cercle (C). c. Démontrer que ANB est un triangle rectangle. HYPTHESES AMB est un triangle rectangle en M, car (AM) (MB) ( C) est le cercle circonscrit du triangle AMB, car A, M et B sont des points du cercle (C). PRPRIETE SI un triangle est rectangle ALRS Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. CNCLUSIN donc est le milieu de [AB]. Hypothèses N est un point du cercle [AB] est un diamètre du cercle, d après la question précédante PRPRIETE Si un triangle est défini par le diamètre d un cercle et un autre point du cercle, alors ce triangle est rectangle Conclusion Le triangle ABNest rectangle en N Exercice 16 (HYPTHESES) on sait que [A] est un diamètre de (C ) et M (C ) (PRPRIETE) or Si le sommet M d un angle MA appartient au cercle de diamètre [A] alors l angle MA est droit (CNCLUSIN) donc MA est rectangle en M 4 triangles rectangles et cercles exercices correction.doc Page 7 sur 7