MMC - Mécaniques des Milieux Continus

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1 INA de Rouen - MECA3 - Année MMC - Mécaniques des Milieux Continus ommaire 1 Rappels mathématiques et notations indicielles Vecteurs Tenseurs du deuxième ordre Analyse vectorielle Outils de l analyse Théorème de la divergence Description du mouvement 5.1 Description lagrangienne Position Définitions Description eulérienne Vitesse Trajectoire Définitions Déformations Cas général : grandes déformations Introduction Tenseur des déformations Hypothèse des petites perturbations (HPP) Conséquences Composantes du mouvement au voisinage d un point Etats particuliers de déformation Cinématique d un milieu continu Cinématique lagrangienne Cinématique eulérienne Représentation des efforts et lois de conservation Expression générale des lois de conservation et chématisation des efforts Lois de conservation utiles Contraintes Définitions et conventions Propriétés Etats particuliers des contraintes Représentation géométrique des contraintes Introduction sur le tricercle de Mohr Construction du cercle de Mohr Notions de lois de comportement Exemples simples de comportement en milieu fluide Elasticité linéaire isotrope dans les solides Loi de comportement générale Cas d un matériau isotrope

2 8 Application à un cas de traction uniaxiale Données du problème Résolution du problème Expression des conditions aux limites Détermination des contraintes Calcul des déformations Calcul des déplacements à une constante près

3 1 Rappels mathématiques et notations indicielles 1.1 Vecteurs Vecteur : v = v i ei Application linéaire : w = A v = w i = A i j v j Produit matriciel : C = AB = C i j = A ik B k j Produit avec une transposée : C = A t B = C i j = A ik B jk Produit scalaire : v w = v i w i = v k w k Le produit scalaire est invariant par changement de base. Changement de repère : oit Q i j matrice de passage de e i à e j Changement direct v = Q v Vecteurs de la base e i = Q i j e j Changement retour v = t Q v ei = Q ji e j Vecteurs quelconques v i = Q i jv j v i = Q ji v j Matrices A i j = Q ikq jl A kl A i j = Q kl Q l j A kl { 1 si i = j ymbole de Kronecker : δ i j = 0 sinon On a aussi δ i j = e i e j = Q ik Q jk 1. Tenseurs du deuxième ordre Expression : A = A i j ei e j Propriétés : ymétrie si A i j = A ji (A = t A) Antisymétrie si A i j = A ji (A = t A) Isotropie si A i j = aδ ji (A = a 1) ( ) ( ) 1 1 Parties symétrique et antisymétrique : A i j = A i j + AA i j = (A i j + A ji ) + (A i j A ji ) ( ) ( Parties sphérique (hydrostatique) et déviatorique : A i j = A h i j + A i j = Akk 3 δ i j + A i j A ) kk 3 δ i j Invariants fondamentaux : On pose l équation caractéristique det(a x1) = 0 = x 3 + I 1 x I x + I 3 = 0 I 1 = Tr(A) I = 1 ( Tr (A) Tr ( A )) I 3 = det(a) 1.3 Analyse vectorielle Outils de l analyse Fonction scalaire f Fonction vectorielle v Fonction tensorielle A Divergence Rotationnel Gradient Laplacien grad( f ) = f ei = f,i ei x i f = f xi = f,ii div( v ) = v i = v i,i x i div(a) = A i j, j ei rot( v) = Ei jk v k, j ei grad( v ) = v i, j ei e j v = v i, j j ei 3

4 1.3. Théorème de la divergence Fonction scalaire f Fonction vectorielle v Fonction tensorielle A Expression générale f n d = grad( f )dv D D v n d = div( v )dv D D A n d = div(a)dv D D Expression indicielle f n i d = f,i dv D D v i n i d = v i,i dv D D A i j n j d = A i j, j dv D D 4

5 Description du mouvement.1 Description lagrangienne On identifie chaque particule du système par ses coordonnées a i dans la configuration K 0. On exprime toute grandeur physique à l instant t en fonction des coordonnées de la particule à laquelle elle est attachée..1.1 Position La position à l instant t de la particule située initialement en M 0 (a 1,a,a 3,t) s exprime par la fonction vectorielle x = ϕ ( a,t) = x i = ϕ i (a 1,a,a 3,t). En description lagrangienne, les variables sont les a i, c est donc selon elles que l on dérive. Jacobien de ϕ : J(a 1,a,a 3,t) = det ( grad ( ϕ )) Variation de volume : dω t = J(a 1,a,a 3,t)dΩ 0 Conditions sur le Jacobien : J(a 1,a,a 3,t 0 ) = 1 et 0 < J < +.1. Définitions Ligne d émission d un point P à l instant t d : La particule au point P i est passé par P à l instant t i. L ensemble de ces particules passées par le point P à l instant t i forment la ligne d émission du point P à l instant t d. L exemple associé est grossièrement celui d un panache de fumée : toutes les particules sorties du cratère d un volcan forment la ligne d émission depuis le volcan (en considérant le bouche du volcan comme le point P). Cette ligne d émission est ici le panache de fumée. Vitesse : V = d ϕ ( a,t) dt Accélération : γ = d ϕ ( a,t) dt. Description eulérienne A tout instant t, la configuration actuelle K t est prise comme configuration de référence pour décrire l évolution à l instant t + dt...1 Vitesse On dispose à chaque instant de la vitesse V de la particule située en M t ( x ) dans la configuration actuelle : t, M Ω t, nous avons V ( x,t) La description eulérienne est une description par les vitesses. On obtient V ( x,t) à partir de V ( a,t) en s arrangeant pour faire disparaître les a i grâce aux expressions de position et de vitesse... Trajectoire Connaissant V ( x t), on peut remonter à la trajectoire de M( x ) en intégrant le système d x = V ( x,t)dt avec la condition initiale x t=t0 = a..3 Définitions Ligne de courant à un instant t d : Elle se caractérise par le fait que V ( x,t) est tangent en chacun de ses points. On doit vérifier dx V = dx 1 0 = V 1 ( x,t d ) = dx V ( x,t d ) = dx 3 V 3 ( x,t d ) Mouvement stationnaire (ou permanent) : V ( x,t) = V ( x ) - Indépendance du temps. Mouvement semi-permanent : V ( x,t) = λ(t) V ( x ) 5

6 3 Déformations 3.1 Cas général : grandes déformations Introduction On considère deux vecteurs da = MM dans la configuration K 0 et son transformé dx = M t M t dans la configuration K t. On a da dx On définit le tenseur gradient de transformation F par dx = F da = Fi j = dx i da j En considérant la variation du produit scalaire de deux vecteurs, on se rend réellement compte des déformations de longueur et d angle. On pose le tenseur de dilatation par dx δx = da Cδa = C = T FF 3.1. Tenseur des déformations Tenseur des déformations de Green-Lagrange : E = 1 (C 1) et E i j = 1 (C i j δ i j ) Allongement dans la direction n : ε( n ) = M tm t MM MM = 1 + E i j n i n j 1 Glissement dans les directions m et n : γ( m,n n ) = π ( M t M t, MM ) = arcsin Relations déplacements-déformations : E i j = 1 ( ui + u j + u ) k u k a j a i a i a j 3. Hypothèse des petites perturbations (HPP) On se situe dans un cas où déformations et déplacements sont petits. ( ) E i j m i n j (1 + ε( n ))(1 + ε( m )) 3..1 Conséquences Tenseur des déformations linéarisé : ε i j = 1 ( ui + u ) j a j a i = ε = 1 ( grad( u ) + T grad( u ) ) Allongement : ε( n ) = ε i j n i n j = ε( e i ) = ε i j δ i j Glissement : γ( m, n ) = ε i j m i n j = γ( e i e j ) = ε i j pour i j Variation relative de volume : En repère principal, V V ε 1 + ε + ε 3 Parties sphérique et déviatorique : Dans le repère considéré, la partie sphérique caractérise le changement de volume (mais pas de forme) de l objet tandis que la partie déviatorique constate du changement de forme à volume constant. 3.. Composantes du mouvement au voisinage d un point ( ) Expression du mouvement : M M t = u i + u i da j = u i + du i u i + u i dx j i a j x j On a u i = 1 ( ui + u ) j + 1 ( ui u ) j = ε i j + ω i j x j x j x i x j x i Tenseur antisymétrique des rotations : ω = 1 ( grad( u ) T grad( ) u ) = 0 ω 3 ω ω 3 0 ω 1 ω ω 1 0 6

7 Vecteur ω adjoint de ω : ω = Expression finale : ω 1 ω ω 3 ( ) M M t = u i + ε i j dx j + ω i j dx j i Expression vectorielle : M M t = u + ε dx + ω dx 3..3 Etats particuliers de déformation Extension simple : ε = α β β Déformation sphérique : ε = α α α γ 0 0 Glissement simple : ε = γ

8 4 Cinématique d un milieu continu 4.1 Cinématique lagrangienne Expression d une dérivée particulaire : Pour une grandeur A (scalaire, vectorielle ou tensorielle), on a A = da dt Gradient de transformation : dx = F( a,t) da avec F( a,t) = grad ( V ( a,t) ) Taux de dilatation volumique : J( a,t) = d Ω t dω 0 Taux de déformation lagrangien : E = 1 ( T FF + T F F ) = 1 ( ( V ) T grad ( a,t) grad ( ϕ( ) a,t) + T grad ( ϕ( ) ( V )) a,t) grad ( a,t) 4. Cinématique eulérienne Dérivée particulaire : dx = grad ( V ( x,t) ) dx ( dx ) Taux de déformation eulérien : δx = dx D δx avec D = 1 ( ( V ) ( T grad ( V )) x,t) + grad ( x,t) dx Taux d allongement : D 11 = dx Taux de glissement : γ = D i j pour i j Taux de dilatation volumique : d Ω ( t V ) = div ( x,t) = Tr(D) dω t Fluide incompressible : d Ω t dω t = 0 Taux de rotation : Ω = 1 ( ( V ) ( grad ( V )) x,t) T grad ( x,t) Vecteur tourbillon : Vecteur Ω adjoint de Ω par Ω dx = Ω dx Mouvement irrotationnel : Ω = 0 8

9 5 Représentation des efforts et lois de conservation 5.1 Expression générale des lois de conservation et chématisation des efforts Enoncé : Une variation d une quantité caractérisée par une densité volumique A dans un domaine D provient : de la variation interne de cette quantité caractérisée par A V = A (densité volumique) t des échanges avec l extérieur à travers la frontière D caractérisée par une densité surfacique A Première forme : d AdV = A V dv + A d dt D D D Représentation des efforts : Pour représenter les efforts selon A et A V, on doit poser ceci : Les efforts appliqués à distance (telle la pesanteur) seront caractérisés pas une densité volumique f les efforts appliqués par contact seront caractérisés par une densité surfacique T qui dépend du point d application et de la normale n en ce point : vecteur contrainte T = σ n econde forme (pour utilisation pratique) : D après les théorèmes de la divergence, on obtient 5. Lois de conservation utiles da ( V ) dt + Adiv A V div( a ) = 0 = da dt + AV i,i A V a i,i = 0 Conservation de la masse dans un système fermé : On a V i,i = 1 dρ ρ dt Expression de la loi de conservation sous cette condition : ρ d ( ) A dt ρ = A V + a i,i Conservation de la quantité de mouvement : Equation du mouvement ρ γ = f + div(σ) Conservation du moment cinétique : Elle conditionne la symétrie du tenseur σ 9

10 6 Contraintes 6.1 Définitions et conventions Vecteur contrainte : T ( d f n ) = lim d 0 d avec n la normale extérieure sortante. x Décomposition : T = T n n + Tt t σ Tenseur des contraintes σ : T = σ n T i = σ i j n j σ 3 σ 1 σ 3 σ 1 σ 13 σ 31 σ 33 σ 11 x 1 Changement de repère : σ b i j = Q ikq jl σ kl On a (de façon très moche) pour revenir au premier repère T = σ n = ( Q 1 Q ) σ ( Q 1 Q ) n = Q 1 ( Qσ Q 1)( Q n ) = Q 1 ( σ b n b ) x 3 Représentation schématique des σ i j = T b Il faut penser que le changement de repère affecte le tenseur comme sa normale, notamment quand on utilise le cercle de Mohr. 6. Propriétés ymétrie : σ i j = σ ji Classification des contraintes : σ i j avec i = j : contrainte normale σ i j avec i j : contrainte tangentielle Dimensions : σ i j est une pression Invariants : σ I = Tr(σ) σ II = 1 Tr( σ ) σ III = 1 3 Tr( σ 3) Parties sphérique et déviatorique : Dans le repère considéré, la partie sphérique est responsable des variations de volume tandis que la partie déviatorique est responsable des variations de forme à volume constant. 6.3 Etats particuliers des contraintes Traction ou compression simple : σ = σ x 1 Tension ou compression hydrostatique : σ = σ σ σ 10

11 Etat de contrainte de révolution : σ = Cisaillement pur : σ = 0 0 σ σ σ σ σ Etat plan des contraintes : σ = 0 0 σ σ Représentation géométrique des contraintes Introduction sur le tricercle de Mohr On considère l état de contrainte qui s exerce sur une facette n : T = T n n + Tt t. On représente cet état des contraintes dans l espace (T n, T t ). On choisit σ 1 > σ > σ 3 les contraintes principales. T t σ 3 σ σ 1 T n Lorsque n varie, l état de contrainte reste dans la zone hachurée Construction du cercle de Mohr Le cercle de Mohr est un représentation de l état de contraintes supposé plan dans l espace (T n,t t ) lorsque n varie. x x T x 1 t θ 0 θ n x 1 On va chercher à exprimer T à partir de n puis T n et T t à partir de T 1, T et θ. La direction principale est définie à θ = θ 0 avec T t = 0. On obtient : { Tn = a + Rcos((θ 0 θ)) T t = Rsin((θ 0 θ)) avec a = σ 11 + σ ) et R = ( σ11 σ + σ Ceci nous permet d établir le cercle de Mohr. Il est à noter qu une variation d un angle θ pour n amène une variation de θ sur le cercle. 1 11

12 T t T t max x 1 σ 1 M 1 = ( σ11 σ 1 ) σ R a θ 0 Ω σ 11 σ 1 T n 1

13 7 Notions de lois de comportement De manière générale, une loi de comportement relie σ, ε et certaines autres variables et/ou vitesses ( ε, T, T,... ). Une loi de comportement introduit une spécificité par rapport au matériau et implique une relation universelle valable en tout repère. 7.1 Exemples simples de comportement en milieu fluide La loi de comportement en milieu fluide relie σ et D. Fluide Newtonien : σ i j = Pδ i j +λd kk δ i j +µd i j avec P = f (ρ,t ) la pression absolue λ et µ coefficients de viscosité ρ masse volumique Fluide Newtonien : λ et µ indépendants de D. Fluide incompressible visqueux : D kk = 0 = σ i j = Pδ i j + µd i j avec d déviateur de D Fluide incompressible non visqueux (dit parfait ou pascalien : µ = 0 et D kk = 0 = σ i j = Pδ i j 7. Elasticité linéaire isotrope dans les solides 7..1 Loi de comportement générale A partir de l inégalité de Clausius-Duhem issue des deux principes de la thermodynamique, on a : σ i j εi j = W + Φ avec σ i j εi j la puissance fournie W la puissance stockée (potentiel élastique) Φ la puissance dissipée De cette inégalité dans le cas d une transformation élastique linéaire, on déduit l expression générale de la loi d élasticité : σ i j = A i jkl ε kl σ = Aε avec A le tenseur d élasticité (ou de rigidité) ε i j = i jkl σ kl ε = σ avec le tenseur de souplesse : = A 1 A et sont des tenseurs du 4 e ordre. Propriétés de A : ymétrie de A : A i jkl = A kli j ymétrie de σ : σ i j = A i jkl ε kl = σ ji = A jikl ε kl = A i jkl = A jikl ymétrie de σ : σ i j = A i jkl ε kl = A i jlk ε lk = A i jkl = A i jlk Ces propriétés sont identiques pour. σ 11 A 1111 A 11 A 1133 A 113 A 1113 A 111 ε 11 σ A 11 A A 33 A 3 A 13 A 1 ε Représentation de la loi en notation ingénieur : σ 33 σ 3 = A 3311 A 33 A 3333 A 333 A 3313 A 331 A 311 A 3 A 333 A 33 A 313 A 31 ε 33 ε 3 σ 13 A 1311 A 13 A 1333 A 133 A 1313 A 131 ε 13 σ 1 A 111 A 1 A 133 A 13 A 113 A 11 ε 1 Notion d isotropie : Physiquement, l anisotropie est le fait qu un matériau ne répond pas de la même façon selon la direction d une même sollicitation. Elle peut être naturelle ou artificielle (issue d une industrie humaine). Mécaniquement, cela correspond à la dépendance du repère choisi. i anisotropie, on a alors A i jkl = Q imq jn Q kp Q lq A mnpq Pour un matériau isotrope, A est invariant : A i jkl = Q im Q jn Q kp Q lq A mnpq 7.. Cas d un matériau isotrope Loi de comportement : Pour répondre à la condition d isotropie, le tenseur d élasticité est de la forme : A i jkl = λδ i j δ kl + µ ( ) δ ik δ jl + δilδ jk avec λ et µ les coefficients de Lamé. Expression des contraintes : σ i j = λε kk δ i j + µε i j Expression des déformations : ε i j = 1 µ σ λ i j µ(3λ + µ) σ kkδ i j 13

14 Application en tension/compression hydrostatique : σ = σ σ 0 ε = ε ε 0 = σ =(3λ + µ)ε 0 0 σ 0 0 ε 3λ + µ On introduit alors le module de rigidité à la compression : K = 3 Glissement simple : σ = 0 σ γ σ ε = γ = σ 1 = µγ 1 De fait, µ est appelé module de cisaillement. Traction simple : σ = σ ε = ε λ + µ ε 11 = 0 ε 0 = µ(3λ + µ) σ 11 λ ε 33 ε = µ(3λ + µ) σ 11 3λ + µ On identifie le module de Young ou d élasticité E = 3 le coefficient de Poisson ν = ε λ = ε 11 (λ + µ) Nouvelle expression de la loi d élasticité isotrope : ε i j = 1 + ν E σ i j ν E σ kkδ i j 14

15 8 Application à un cas de traction uniaxiale 8.1 Données du problème On considère une poutre droite de section quelconque. Cette poutre subit une traction uniaxiale F e 3. on matériau est considéré isotrope, élastique, linéaire (coefficients E et ν). on poids propre est négligé. G centre de gravité et centre géométrique de la section : x 1 d = x d = Résolution du problème On considère a priori que σ = σ 11 σ 1 σ 13 σ 1 σ σ 3 σ 13 σ 3 σ Expression des conditions aux limites urface de coupe : Equilibre des forces : T d = F e 3 En projection : σ 13 d = 0 σ 3 d = 0 σ 33 d = F urface latérale : n = n 1 n T i = σ i j n j = 0 = 0 Equilibre des moments : GM T d = 0 avec GM = x 1 x 0 En projection : x σ 33 d = 0 x 1 σ 33 d = 0 (x 1 σ 3 x σ 13 )d = 0 σ 11 n 1 + σ 1 n = 0 σ 1 n 1 + σ n = 0 σ 13 n 1 + σ 3 n = Détermination des contraintes A priori, on a donc σ = σ 33 Equations d équilibre interne : En posant l hypothèse quasi-statique ( γ = 0 ) et en négligeant le poids propre ( f = 0), on pose les équations d équilibre interne : div(σ) = 0. Ici, les équations se réduisent à σ 33 x 3 = 0 donc σ 33 est une constante. On obtient que σ 33 = F d après l équilibre des forces sur la section de coupe. Comme σ 33 = F satisfait toutes les équations, c est la solution attendue Calcul des déformations ε i j = 1 + ν E σ i j ν E σ kkδ i j = σ 33 ν ν 0 avec σ 33 = F E

16 8..4 Calcul des déplacements à une constante près Avec l HPP, on a ε i j = 1 ( ui + u ) j x j x i ε 11 = u 1 = ν σ 33 u 1 = u 1 = ν σ 33 x 1 E Ainsi, ε = u 1 = ν σ x 1 E x 1 + ϕ 1 (x,x 3 ) 33 = u = u 1 = ν σ 33 x 1 E u 1 ε 33 = = σ x 1 E x + ϕ (x 1,x 3 ) 33 u 1 u 3 = = σ 33 x 1 E x 1 E x 3 + ϕ 3 (x 1,x ) u 1 + u ϕ 1 = 0 ε 1 = 0 x x 1 u et ε 13 = 0 = 1 + u 3 ϕ = 0 = 1 ε 3 = 0 x 3 x 1 u + u 3 ϕ = 0 x 3 x x + ϕ x 1 = 0 x 3 + ϕ 3 x 1 = 0 x 3 + ϕ 3 x = 0 16