PCSI Définition : la cinématique est l étude et la description des mouvements des corps sans préoccupation des causes qui les produisent.

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1 1 PCS Quelques notions de cinématique 1. bjet et cadre de l étude Définition : la cinématique est l étude et la description des mouvements des corps sans préoccupation des causes qui les produisent. En cinématique du point, on se ramènera à l étude du mouvement d un point (centre de masse d un solide) ou d un objet ponctuel c est à dire dont le repérage ne nécessite que trois coordonnées de position pour le problème étudié. En pratique, il faut que ses dimensions soient très inférieures au distances caractéristiques du problème étudié. Eemple : la Terre (raon T 6400 km) si on étudie son mouvement autour du soleil (raon orbital moen orbite 150 millions de km). 2. epères Pour repérer la position d un mobile au cours du temps, l observateur a besoin de repères : epère d espace : (,,,) origine et un sstème d aes liés à un solide de référence. epère de temps : horloge (dans laquelle se produit un phénomène périodique) et origine. emarque : Deu observateurs mesureront une même durée entre deu événements quelque soit l endroit où ils se trouvent et leur mouvement propre, on dit que le temps est absolu. 3. éférentiels d observation Définition : l ensemble repère de temps et d espace est le référentiel : c est l ensemble des points fies pour un observateur associé à une horloge. Eemples : référentiel local (lié au sol), référentiel géocentrique, référentiel de Copernic. 4. ouvement et trajectoire La trajectoire (ensemble des positions successives du point dans le référentiel) dépend du référentiel dans lequel on se place, on dit que le mouvement est relatif. Eemple : un corps en mouvement dans un référentiel peut être immobile dans un autre référentiel. 1

2 1 epérage du point 1. Base orthonormée directe Pour plus de simplicité, nous n utiliserons que des bases orthonormées directes ( e 1, e 2, ) : La norme des vecteurs est égale à l unité. Les vecteurs sont orthogonau deu à deu. La base est directe si = e 1 e 2. produit vectoriel, voir cours de mathématiques. Le sens de est donné par la règle du tire bouchon : si on visse le tire bouchon de e 1 vers e 2, il progresse selon. Autre règle, celle de la main droite : tous les doigts de la main droite tendus selon e 1, e 2 sortant de la paume, releve le pouce, il indique la direction et le sens de. u encore, si on place le pouce de la main droite suivant e 1 et l indee suivant e 2, le majeur est selon. Eemples : e 1 e 2 e 2 e 1 vers nous e 2 e 1 e2 e 1 e 1 e 2 vers le fond e 1 e 2 e 1 e 1 e 2 e 2 2. Sstèmes usuels de coordonnées Cf. Pol L espace est rapporté à trois aes orthogonau (,,) repère d origine : (,,,). 2.a. Coordonnées cartésiennes (,,) Le sstème d aes est muni de la base ( e, e, e ) orthonormée directe. abscisse, ordonnée et la cote sont les coordonnées cartésiennes de. Vecteur position : = J + J + = e + e + e Distance à l origine telle que 2 =. = ( e + e + e ).( e + e + e ) = 2 e. e + e. e +... = d où = J e H e e (,,) PCS Page 2/??

3 1 2.b. Coordonnées clindro polaires (ou clindriques) : (r,,) Quand un problème fait intervenir une direction privilégiée (rotation autour d un ae fie par eemple), il est parfois plus simple d utiliser le sstème suivant : se projette en dans le plan (), on définit alors r = le raon polaire et = (,) l angle polaire. e H e r e e r e e r e e e r e e er e r = e er r, et sont les coordonnées clindriques (ou clindropolaires) de. e r est le vecteur radial tel que = r e r. e est le vecteur orthoradial obtenu par rotation de e r de + π autour de : on parle de base 2 locale car e r et e dépendent de la position de. Á contrario, la base cartésienne est fie. Vecteur position : = + = r er + e Distance de l origine à : = r2 + 2 Lien avec le sstème cartésien : e = r cos et = r sin soit r 2 = : Pthagore. e r = cos e + sin e et e = sin e + cos e. emarques : e e = d e r et de même e r = d e d d la déviation par rapport à d un vecteur de la base mobile revient à lui faire effectuer une rotation de + π. 2 e er 2.c. Coordonnées polaires : (r,) Si le mouvement est plan, le mobile se déplace dans un plan (), on se place alors dans ce plan = 0 : coordonnées clindriques sans. 2.d. Coordonnées sphériques : (r,, φ) Quand un problème fait intervenir un point privilégié (rotation autour d un point par eemple), il est parfois plus simple d utiliser le sstème suivant : PCS Page 3/??

4 1 n définit le vecteur e r = associé à la la coordonnée r =. n repère aussi le point par l angle orienté = (, ) associé au vecteur e qui appartient au plan (, ), qui est orthogonal à e r et dirigé par. Enfin on utilise l angle ϕ entre et avec le projeté orthogonal de dans le plan associé au vecteur e φ tel que ( e r, e, e φ ) soit une base orthonormée directe. L epression du vecteur position est alors etrêmement simple : = r e r. Toutefois, la difficulté est «cachée» dans le fait que e r dépend de et de φ Lien avec le sstème cartésien : = cos φ = r sin cos φ = sin φ = r sin sin φ e e φ r e r e e φ e e φ = r cos n a donc = r 2 emarque : Attention à ne pas confondre avec le sstème précédent! 2.e. Choi du sstème de coordonnées l doit être fait de façon à simplifier les équations du mouvement. Cf. Suite. 3. Vecteur vitesse d un point dans un référentiel donné v(/) 3.a. Définition Soit un point dont la trajectoire est C dans. Si il est en à l instant t et en à l instant t + t, alors par définition, sa vitesse instantanée est v = lim t 0 t v est colinéaire à, il est donc tangent à la trajectoire. n a = + = et v = lim t 0 t ( ) d = lim v(/) = t 0 t dérivée temporelle de dans C v PCS Page 4/??

5 1 3.b. Epression de v en coordonnées cartésiennes n avait = e + e + e et donc, v = d = ẋ e + d e + ẏ e + d e + ż e + d e e e r, les vecteurs e, e et e sont fies dans, leur dérivée par e rapport au temps est nulle soit d e = 0, d e = 0 et d e = 0 et il reste v = ẋ e + ẏ e + ż e d où v = v = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 la vitesse numérique. emarque : on peut aussi écrire d = = d. e + d. e + d. e et par division par, on obtient également v = d = ẋ e + ẏ e + ż e 3.c. En coordonnées clindro polaires n avait, = r e r + e et donc v = d = ṙ e r + r d e r + ż e + d e Le vecteur e étant fie dans, d e = 0 e r = cos e + sin e, e = sin e + cos e soit e e e d d d H r d dr rd d e r d = e d e r = d d e r d = e et v = ṙ e r + r e + ż e d Vitesse numérique v = v = ṙ 2 + (r ) 2 + ż 2. emarque : on peut retrouver ce résultat avec d = = dr e r + rd e + d e v = d ṙ e r + r e + ż e = 4. Vecteur accélération 4.a. Définition L accélération d un point matériel par rapport à un référentiel est : ( ) ( d v d 2 ) a(/) = = dérivée temporelle du vecteur v par rapport à 2 4.b. Epression de a En coordonnées cartésiennes : r d e = 0, d e v = ẋ e + ẏ e + ż e a = d v = ẍ e + ẋ d e + ÿ e + ẏ d e + e + ż d e = 0 et d e = 0 et il reste a = ẍ e + ÿ e + e et a = a = ẍ 2 + ÿ accélération numérique PCS Page 5/??

6 1 En coordonnées clindro polaires : v = ṙ e r + r e + ż e a = d v = r e r + ṙ d e r + ṙ e + r e + r d e + e + ż d e avec d e = 0, d er = e et d e = e r il reste, a = ( r r 2 ) e r + (r + 2ṙ ) e + e emarques : La composante de a suivant e r, a r = r r 2 est l accélération radiale et a = r + 2ṙ = 1 r est l accélération orthoradiale. Accélération numérique, a = a = a 2 r + a 2 + a2 En coordonnées polaires, a = ( r r 2 ) e r + (r + 2ṙ ) e. dr 2 4.c. Différence entre base et référentiel La vitesse ou l accélération est définie par rapport à un référentiel (aes liés à un observateur muni d une horloge et une origine) mais son epression vectorielle peut être donnée dans différentes bases. l ne faut pas confondre base et référentiel. Eemples de mouvements 1. ouvement uniformément accéléré Si on a a un vecteur constant (champ de pesanteur uniforme par eemple), par intégrations successives et en tenant compte des conditions initiales, a = d v v = a.t + v 0 avec v 0 la vitesse du mobile à l instant initial (t = 0) et ensuite, = 1 2 at2 + v 0 t + 0 où 0 est la position initiale de. Pour résoudre dans ce cas, il est inutile de projeter sur une base mais c est un cas particulier et en général, il faut bien choisir la base de projection, c est à dire le sstème de coordonnées à utiliser. 2. ouvement quelconque, sens du vecteur accélération Par définition, l accélération est la dérivé de la vitesse. n en déduit qu elle est orientée vers «l intérieur» des courbes lorsque l on représente la trajectoire. Schéma à faire XXX 3. ouvement circulaire Les eemples suivants sont très importants et doivent être maitrisés à la perfection. PCS Page 6/??

7 1 3.a. Vecteur vitesse et vecteur accélération ω e r = e r a e e r v e ω =. e e e a e e v er Le mobile décrit le cercle de raon r = constant, de centre à la vitesse angulaire ω = d = (en radian par seconde). Le mouvement étant plan, on utilise les coordonnées polaires le centre du repère est en on place les aes de façon à avoir = (,). Vitesse du mobile : v = d v = d( e r) Accélération du mobile : a = d v = d(v e ) et ici, = r e r avec r = constant d où = d e r =. e = v. e avec v = ω = = dv e + v d e = dv e v e r a = dv. e v2. e r emarque : on peut définir le vecteur rotation ω =. e de norme ω =, de direction, celle de l ae de rotation et dont le sens est donné par la règle du tire-bouchon. 3.b. Cas du mouvement circulaire uniforme Dans le cas d un CU autour d un point H de l ae (), r = = Cte et = Cte et ω = ω. e constant. v= e Cte même si v = = cte car le vecteur change de direction à chaque instant, on a donc a 0. Le vecteur accélération est alors centripète : a = r 2 e r on retiendra la forme a = ω 2. et en coordonnées clindropolaires (si = Cte 0), a = ω 2. H où H est le projeté de sur l ae de rotation. e ω H e r v a V du solide dans des cas simples Définition : n appelle solide ou solide indéformable un sstème phsique étendu pour lequel la distance entre tous les couples de points reste constante. emarque : Cela implique aussi que les angles restent constant. PCS Page 7/??

8 1 1. Solide en translation Définition : Lors d un mouvement de translation, le champ des vecteurs vitesses est uniforme à chaque instant. Dis autrement, si on considère deu instants t 1 et t 2 et deu points quelconques du solide A et B, alors à t 1 v A (t 1 ) = v B (t 1 ) à t 2 v A (t 2 ) = v B (t 2 ) mais on n a pas nécessairement v A (t 1 ) = v A (t 2 ) Autrement dit les vitesses du solides sont «constantes dans l espace» (mais pas nécessairement dans le temps). translation quelconque translation circulaire 2. Solide en rotation autour d un ae fie Définition : Un solide est dit en mouvement de rotation autour d un ae fie si tous ses points sont en mouvement circulaire autour de l ae. Si on repère un point du solide en coordonné polaire (r,) avec le vecteur e colinéaire avec l ae et l origine du repère sur l ae, alors on appelle vitesse angulaire de rotation du solide la grandeur ω(t) = (t) emarque : La définition de la vitesse angulaire est en fait indépendant du choi du point. vecteur vitesse : Le mouvement du point est circulaire autour de l ae, donc la distance r ne varie pas au cours du temps. En utilisant les coordonnées polaires sa vitesse est donc v() = r e = rω e Tous les points du solide ont donc leur vecteur vitesse selon e et de norme d autant plus grande qu ils sont loin de l ae de rotation. PCS Page 8/??

9 1 Table des matières PCS Lcée Poincaré