Annexe A. Algèbre vectorielle

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1 Annexe A Algèbre vectorielle Un vecteur est une quantité comportant plus d une dimension. Dans ce cours, un vecteur a une grandeur et une direction. Par exemple, le vecteur vitesse comporte une grandeur (ex. 100 km/h) et une orientation (ex. vers l Est). Les vecteurs sont représentés par des flèches. La longueur de la flèche est sa grandeur et la direction dans laquelle pointe la flèche, son orientation. Le vecteur déplacement (figure A.1) est la flèche qui relie le point de départ au point d arrivée en ligne droite. Le chemin ou parcours emprunté est la trajectoire. Arrivée Déplacement Trajectoire Départ Figure A.1 Vecteur déplacement et trajectoire. A-1

2 A-2 Physique des mécanismes A.1 Système de coordonnées Une flèche seule dans le vide ne représente pas grand chose. Il faut la considérer par rapport à un cadre de référence, ou référentiel pour qu elle ait une signification. Deux systèmes de coordonnées peuvent être utilisés pour décrire un vecteur : les coordonnées rectangulaires (ou cartésiennes) et les coordonnées polaires. A.1.1 Coordonnées rectangulaires Dans le système de coordonnées rectangulaires à deux dimensions, deux axes gradués perpendiculaires servent de références. La grandeur de la projection du vecteur sur chacun des axes permet d établir à la fois la grandeur du vecteur et son orientation. En coordonnées rectangulaires on décrit un vecteur à l aide de ses composantes sur chacun des axes. Par convention, le premier axe est l axe x et le second, l axe y. Les composantes sont indicées en utilisant leur axe respectif tel qu illustré à la figure A.2. y a r = ( a x, a ) = y ( 4, 3 ) 3 4 x Figure A.2 Représentation d un vecteur en coordonnées rectangulaires.

3 Annexe A. Algèbre vectorielle A-3 A.1.2 Coordonnées polaires Dans le système de coordonnées polaires, un pôle (ou origine) et un axe gradué servent de références. La distance entre l origine et la pointe du vecteur donne sa grandeur. L angle entre l axe de référence et le vecteur donne son orientation. En coordonnées polaire on décrit un vecteur par sa longueur r et son orientation tel qu illustré à la figure A.3. r a = ( ar, a ) ( 5, 53,13) = θ 53,13 Figure A.3 Représentation d un vecteur en coordonnées polaires. Il est possible de passer d un système de coordonnées cartésiennes à polaires et vice versa en utilisant les transformations suivantes : a r = Ò a 2 x + a 2 y (A.1) et a =arctan 3 4 ay a x a x = a r cos a (A.2) (A.3) a y = a r sin a. (A.4)

4 A-4 Physique des mécanismes Attention! Il faut toujours faire très attention quand on calcule la fonction inverse d une tangente avec une calculatrice. Celle-ci ne donne que des angles dans le premier et quatrième quadrants, comme si seulement le numérateur (ou a y ) pouvait être négatif. Si a x est négatif, il faut ajouter 180 au résultat de la calculatrice. II I (-,+) (+,+) Quadrants non couverts par le résultat d une calculatrice (-,-) (+,-) III IV Figure A.4 Quadrants exclus de la fonction tangente 1 d une calculatrice. A.2 Addition de vecteurs Tout comme les scalaires, les vecteurs peuvent s additionner. Deux méthodes peuvent être utilisées pour additionner des vecteurs : la méthode géométrique et la méthode des composantes. A.2.1 Méthode géométrique Pour additionner deux vecteurs de façon géométrique, il faut mettre bout à bout les deux vecteurs en respectant leur orientation. Le vecteur additionné est donc translaté pour que son origine coïncide avec l extrémité du premier vecteur. La méthode géométrique est bien adaptée aux coordonnées polaires. Puisqu on connaît la longueur des vecteurs et leur angle respectif, on peut calculer la résultante par trigonométrie à l aide de la loi des sinus et celle des cosinus. Ainsi, à la figure A.5

5 Annexe A. Algèbre vectorielle A-5 le vecteur c obtenu par la somme vectorielle de ą et b peut être obtenu en utilisant les relations suivantes =180+b a (A.5) c 2 r = a 2 r + b 2 r 2a r b r cos (A.6) b r sin = c r sin (A.7) c = a. (A.8) La soustraction de vecteurs peut être vue comme l addition d un vecteur négatif ą b = ą +( b) (A.9) r r ( a b ) b r a r b r défini de telle sorte que b +( b) =0. (A.10) Figure A.7 Soustraction géométrique de vecteurs. Ce qui correspond à une inversion de la flèche. La pointe devient l origine tel qu illustré à la figure A.7. A.2.2 Méthode des composantes La méthode des composantes est bien adaptée aux coordonnées rectangulaires. Il su t d additionner les composantes respectives pour obtenir les composantes du vecteur résultant

6 A-6 Physique des mécanismes b r a r β c θ γ b r c r Figure A.5 Addition géométrique de deux vecteurs. b r b θ a r ( 90 a ) + ( + b ) γ = 90 θ θ a θ Figure A.6 Détermination géométrique de l angle entre deux vecteurs.

7 Annexe A. Algèbre vectorielle A-7 ą + b = c (A.11) c x = a x + b x c y = a y + b y. De façon similaire ą b = d (A.12) d x = a x b x d y = a y b y. A.3 Produit scalaire Le produit scalaire est la multiplication de la projection d un vecteur sur un second vecteur par la grandeur de ce second vecteur. Le résultat est un scalaire. ą b = a r b r cos (A.13) a = a x b x + a y b y + a z b z. (A.14) Le produit scalaire est commutatif θ a cosθ b ą b = a x b x + a y b y + a z b z Figure A.8 Projection de ą sur b. = b x a x + b y a y + b z a z = b ą. (A.15)

8 A-8 Physique des mécanismes Les composantes rectangulaires d un vecteur peuvent être vues comme étant les produits scalaires du vecteur avec des vecteurs unitaires selon chacun des axes. a x = ą į, a j = ą j, a k = ą k. (A.16) Les vecteur į, j et k constituent une base orthoz normée k r i r j r y į =(1, 0, 0) j =(0, 1, 0) (A.17) x Figure A.9 Base orthonormée. k =(0, 0, 1). Ainsi on obtient une nouvelle façon d écrire un vecteur à l aide de ses composantes ą = a x į + a y j + a z k. (A.18) A.4 Produit vectoriel a asinθ Le produit vectoriel est la multiplication de la grandeur d un vecteur par la composante perpendiculaire à ce vecteur d un second vecteur. Le résultat est un vecteur ą b = a r b r sin (A.19) θ b Figure A.10 Parallélogramme de côtés ą et b. La grandeur du vecteur résultant c du produit vectoriel ą b donne l aire du parallélogramme ayant comme côtés les vecteurs ą et b.

9 Annexe A. Algèbre vectorielle A-9 L orientation du vecteur c est donné par la règle de la main droite (figure A.11). Le produit vectoriel n est donc pas commutatif. a b a b = c c Figure A.11 Rêgle de la main droite pour le produit vectoriel. La base į, j et k est construite en utilisant le produit vectoriel į j = k. Les composantes rectangulaires du vecteur résultant du produit vectoriel sont données par le déterminant ą b = - į j k a x a y a z =(a y b z a z b y )į (a x b z a z b x ) j +(a x b y b x a y ) k. b x b y b z - (A.20)

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