BACCALAUREAT BLANC- Corrigé. MATHEMATIQUES SERIE E.S.

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1 BACCALAUREAT BLANC- Corrigé. Avril 202- Lycée de la côtière- La Boisse. MATHEMATIQUES SERIE E.S. Exercice : QCM. L équation f (x)=0 admet une unique solution en -3 a 2. La courbe représentative de f admet asymptote d équation y= car (Remarque : il y a aussi une asymptote d'équation x=2 ) f (x)=. c 3. ln[ f (x)] existe lorsque f (x)>0 donc pour tout réel x de ] ; -3[ ]2 ; + [ c. 4. L équation ln[ f (x)]= admet une solution sur ]2;[ et une solution sur ];+ [ : b. 5. Sur l intervalle [ ; + [, ln[ f (x)] change de signe car on sait que f (x) ] 2 [ ; sur une partie de l'intervalle ];+ [, donc ln( f ( x)) y est négatif ; sur l'autre partie de cet intervalle, ln( f ( x)) est positif. c.. Le nombre dérivé de la fonction ln[ f (x)] en x = est variation en 2 alors f ' ( f ' ( 2) f ( 2) 2) = 0 donc finalement le nombre dérivé de ln( f ( x)) en 2, mais comme f change de sens de est 0 a.. 7. On note g la fonction définie par g(x) = e f(x), alors g est définie sur ] ; 2[ ]2 ; + [ (car exp(u) et u ont le même domaine de définition) c 8. On note g la fonction définie par g(x) = e f(x), alors : f (x)= x 2 et e X =0 donc par composition : X g(x) x 2 = 0 a x< 2

2 Exercice 2 :. Recopier l arbre ci-dessous et le compléter à l aide des données de l énoncé. 0,5 0, F B M 2. a. p (F)= (0,+)=0,5 La probabilité que le client demande des fraises sachant qu il achète une barquette de fruits est de 0,5. p 0,7 0,3 F B b. On cherche p (B)= 0,7=0,3 3. et forment une partition de l'univers. On utilise la formule des probabilités totales. p(f)= p( F)+ p( F)= p ( F) p()+ p ( F) p()= 0,5+ 0,7=0,58 La probabilité que le client achète une barquette de fraises est égale à 0,58. p( F ) 4. On cherche p F ( ) = = 0,5 0,57 p(f) 0,58 La probabilité que le client achète une barquette de fruit à déguster sachant qu'il a acheté une barquette de fraises est de 0,57 environ. 5. Le producteur vend 5 euros la barquette de fruits à déguster, quel que soit le fruit, 3 euros la barquette de framboises à confiture et 2 euros la barquette de fraises à confiture ; On note x i les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et p i leur probabilité. a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On justifiera les réponses. Valeur x i P( F) P( B) Probabilité associée : p i p()= = 0, 4 0, 7 = 0, 4 0, 3 = 0, 28 = 0, 2 b. E= 5+0,28 2+0,2 3=3,92. L'espérance de gain est de 3,92. c. 50 3,92=588 Pour 50 barquettes vendues, il peut espérer un gain de C'est une répétition d expériences de Bernoulli (tirages indépendants, épreuves identiques) On peut modéliser cette expérience par une loi binomiale de paramètres et 3. L'événement cherché est le contraire de l'événement «aucun des trois ne prend une barquette de fruits à déguster» La probabilité cherchée est donc p= p( )= 3 =0,93

3 Exercice 3 : La représentation graphique C f ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur ]0;+ [ dans un repère (O ; i, j). On note f ' la fonction dérivée de f. La courbe C f vérifie les propriétés suivantes : - les points ainsi marqués sont à coordonnées entières et appartiennent à la courbe tracée - la tangente au point A d'abscisse e est parallèle à l'axe des abscisses - la droite tracée est la tangente à C f au point d'abscisse B. Faire attention aux unités sur chacun des axes.. Par simple lecture graphique : a. f ()= 2. b. L'équation de la tangente à C f au point d'abscisse est y=4 x 2. 'après le sens de variation de la fonction, on cherche une dérivée qui soit négative sur ]0 ;e [ et positive sur ]e ;+ [. Or seules C 2 et C 3 conviennent pour le moment. Or comme le coefficient directeur de la tangente à C f au point d'abscisse est égal à 4, on sait que f '()=4. ans ce cas, seul la courbe C 3 convient. 3. f (x)=ax ln( x)+b a. f est dérivable comme produit et sommes de fonctions dérivables. f =uv+w onc f '=u ' v+uv'+w ' Ce qui donne : f '(x)=a ln(x)+ax =aln( x)+a x b. f '(e )=a ln(e )+a=a ( )ln(e)+a= a +a=0 onc le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse - vaut 0, et cette tangente est horizontale. c. On sait que f ()= 2 et f '()=4 onc : { a ln()+b= 2 aln()+a=4 { b= 2 a=4. Cette fonction est donc f (x)=4 xln(x) 2

4 Exercice 4 : Partie A - Étude d une fonction f. a. x=+ et e X =+ donc par composition : e x =+ X + x=+ 2. onc par produit 5( x)e x =+ et : e x b. On sait par croissance comparée que x + x f (x)=+ =+ donc par quotient : x + e même =0 x + e x onc par somme : f ( x)= x + Cela signifie que la droite d'équation y= est asymptote à (C) en + a. f est dérivable comme produit, composée et somme de fonctions dérivables f =uv+w donc f '=u' v+v' u+w ' 5 =0 e x x u(x)=5( x) u '(x)=5 v( x)=e x v '(x)= e x w(x)= w '(x)=0 f '(x)= 5 e x e x (5( x))=e x ( 5 5( x))=e x (5( ( x)))=e x (5( x, 4)) f (x)=5(x,4)e x. b. e x >0 pour tout réel x et x,4 est une expression affine changeant de signe en,4 ; 5>0 On a : x,4 + e x x-,4 0 + f '(x) f(x) + f (,4) f (,4)=5(,4)e,4 += 5 e,4 + 2,3 c. Cf question précédente 3. a. f est - continue et strictement décroissante sur ] ;,4]. - f (,4) > 2,3 et f (x) = + - 4,5 [ 2,3;+ [ 'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x)=4,5 admet une unique solution sur l'intervalle ] ;, 4] b. A l'aide du tableau de la calculatrice, on trouve 0,58 Pour la suite, on admettra que sur [ 2;+ [ l'équation f (x)=4,5 admet une seconde solution notée et on admet que 3,4.

5 c. En tenant compte du tableau de variations de la fonction f, on a : x,4 + f(x) + 4,5 4,5 f (,4) L ensemble des solutions, dans l intervalle [0 ; 7], de l inéquation f (x) 4,5 est S=[ ; ] Partie B - Application. a. Le coût marginal est minimum pour x=,4 tonnes (Cf partie précédente) et C(,4) 2,3 donc le coût minimum est d'environ 2,3 milliers d'euros. b. On cherche x tel que C M ( x)<4,5 x [ ; ]. Le coût marginal est-il inférieur à 4,5 si on fabrique entre 0,58 et 3,4 tonnes de produit. 2. La fonction coût total C T est une primitive de la fonction coût marginal. a. C T est dérivable comme produit de fonctions dérivables et C T ' (x)=5 e x +(5 x+9) ( )e x( x +=e x (5 5 x 9)+ = e x ( 5 x)+=e 5 x ) +=5( x)e x + Comme C T ' =C M On en déduit que C T est une primitive de C M. b. Ici, on sait que C T (0)=2 ( C T est en milliers d'euros) Or C T (x)=(5 x+9)e x + x+k C T (0)=9 +k=2 k= 7 Finalement C T (x)=(5 x+9)e x 7