Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES

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1 Algèbre - cha 4 /9 Dans tout le chaitre K désigne R ou C, n et désignent des entiers naturels non nuls.. OPERATIONS SUR LES MATRICES. Notion de matrice Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Définition : On aelle matrice à n lignes et colonnes à coefficients dans K un tableau à n lignes et colonnes de nombres de K résenté de la manière suivante : a a A =. a n a n Cette matrice se note également A = (a ij ) i n, j, ou lus simlement (a ij ) quand n et sont connus. Si =, A est aelée une matrice colonne ; Si n =, A est aelée une matrice ligne ; Si n =, A est aelée une matrice carrée d ordre n. Les éléments a ii ( i n ) sont aelés éléments diagonaux, et (a ; ;a nn ) est aelée la diagonale de A Notations : M n, (K) désigne l ensemble des matrices à n lignes et colonnes sur K. On note M n (K) = M n,n (K). On note 0 n ou 0 la matrice dont tous les éléments sont nuls. Définition 2 : On aelle matrice identité de M n (K) la matrice I n = ( ij ) i n, j n 0 où ii = i, et ij = 0 i j. I n = M n(k) 0 Définition 3 : Soit A = (a ij ) une matrice de M n (K). On dit que A est une matrice diagonale si (i ; j) ( ) 2 ;n, (i j) (a ij = 0). On note D = diag(λ ; ; λ n ) une telle matrice, et D n (K) l ensemble des matrices diagonales d ordre n. On dit que A est une matrice triangulaire suérieure si (i ; j) ;n, (i > j) (a ij = 0). ( ) 2 On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si (i ; j) ( ;n ) 2, (i < j) (a ij = 0).

2 Algèbre - cha 4 2/9.2 Oérations sur les matrices Définition 4 : On aelle addition dans M n, (K) la loi notée + définie ar : (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ). Remarque : Pour l addition les deux matrices doivent être de même format! Définition 5 : On aelle multilication ar un scalaire la loi notée. définie ar : λ.(a ij ) = (λa ij ) (avec λ K). Proriétés : Soit ( A;B;C) ( M n, (K) ) 3 (A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A Si 0 est la matrice nulle (tous les coefficients sont nuls), A + 0 = A A + (-)A = 0 ( λ ; µ ) K 2, ( λµ ) A = λ ( µ A) λ K, λ ( A + B) = λ A + λ B Définition 6 : Soient A = (a ik ) M n, (K) et B = (b kj ) M,q (K), on aelle roduit de A ar B et on note A B ( ou lus simlement AB) la matrice C = (c ij ) M nq (K) définie ar : c ij = k= a ikb kj i n, j q Remarque : AB est défini si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Proosition : Soient A = (a ik ) M n, (K) et B = (b kj ) M,q (K). La j ième colonne de AB est le roduit de A ar la j ième colonne de B. La i ième ligne de AB est le roduit de la i ième ligne de A ar B. Proriétés : ( A;B;C) M n, (K) M,q (K) M q,r (K), (AB) C = A (BC) ( A;B;C) M n, (K) M,q (K) M,q (K), A (B + C) = AB + AC ( A;B;C) M n, (K) M q,n (K) M q,n (K), (B + C) A = BA + CA (A; B) M n, (K) M,q (K), λ K, ( λa)b = A( λb) = λ(ab) A M n (K), A I n = I n A = A et 0A = A0 = 0 (où 0 est la matrice nulle)

3 Algèbre - cha 4 3/9 Attention! Le roduit de matrices n est as commutatif. Proosition 2 : Formule du binôme de Newton our les matrices (A ; B) (M n (K)) 2 n, n N, si A.B = B.A, alors :( A+ B) = A B k.3 Transosition n n k n k Définition 7 : On aelle transosée de la matrice A = (a ij ) M n, (K) la matrice t A = (a ij ) M,n (K) telle que a ij = a ji our i, j n. k= 0 Définition 8 : Soit A = (a ij ) une matrice de M n (K). On dit que A est une matrice symétrique si t A = A. On note S n (K) l ensemble des matrices symétriques d ordre n. On dit que A est une matrice antisymétrique si t A = - A. On note A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques d ordre n. Proosition 3 : (A ; B) (M n (K)) 2, t (A.B) = t B. t A.4 Matrices inversibles Définition 9 : On dit qu une matrice carrée A M n (K) est inversible s il existe une matrice de M n (K), notée A -, telle que AA - = A - A = I n. L ensemble des éléments inversibles de M n (K) est aelé groue linéaire et noté GL n (K). Proosition 4 : (A ; B) (GL n (K))², AB GL n (K), et (AB) - = B - A -. Proosition 5 : Si A GL n (K) alors t A GL n (K) et ( t A) - = t (A - ). Proosition 6 : D D n (K) est inversible si et seulement si i {,,n} λ i 0. On a alors : D - = diag(λ -,,λ n - ) Remarque : de même une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont différents de SYSTEMES LINEAIRES 2. Définitions Définition 0 : On aelle système linéaire de n équations linéaires à inconnues ax + a2x2 + + ax = b (x ; x 2 ; ; x ) K a 2x a 22x 2 a 2x b2 le système S : = a nx + a n2x2 + + a nx = bn où les coefficients a ij et b j ( i n, j ) sont éléments de K. Résoudre le système S, c est chercher l ensemble des -ulets solutions.

4 Algèbre - cha 4 4/9 Définition : Soient A = (a ij ) et B = b. b n A est aelée matrice du système S, ( A B ) est aelée matrice augmentée du système. x Remarque : En notant X = on obtient que X est solution de S dans K si et seulement x si A X = B : interrétation matricielle de S. Définition 2 : Si B = 0, on dit que le système est homogène et on le note alors S 0. Définition 3 : Un système linéaire est dit de Cramer si la matrice associée est inversible. Proosition 7 : Un système de Cramer admet une solution unique : X = A - B Remarque : Un système de Cramer homogène admet our unique solution (0 ; ; 0) K. 2.2 Systèmes équivalents Définition 4 : On aelle oérations élémentaires sur les lignes d un système ou d une matrice : la ermutation (ou l échange) de deux lignes notée L i L j le roduit d une ligne ar λ (λ K*) notée L i λl i l addition à une ligne d une autre ligne multiliée ar λ (λ K) notée L i L i + λl j Remarque : on définit de même les oérations élémentaires sur les colonnes d une matrice. Définition 5 : Deux systèmes S et S sont dits équivalents si l on asse de l un à l autre ar une suite finie d oérations élémentaires sur les lignes. On note S S. Deux matrices A et A sont dites équivalentes en lignes si elles se déduisent l une de l autre ar une suite finie d oérations élémentaires sur les lignes. On note A A. Proosition 8 : Si l on asse d un système S à un autre système S ar une suite finie d oérations élémentaires sur les lignes, la matrice augmentée de S s obtient en effectuant la même suite d oérations élémentaires sur la matrice augmentée de S. Définition 6 : On aelle matrice élémentaire de M n, (K) la matrice E ij M n, (K) telle que E ij = (δ ki δ hj ) k n, h (tous les termes sont nuls sauf le terme a ij qui est égal à.) Remarque : A = (a ij ) = n aijeij. i= j=

5 Algèbre - cha 4 5/9 Définition 7 : On aelle matrice de transosition de M n (K) toute matrice P ij de la forme : P ij = I n E ii E jj + E ij + E ji = Proosition 9 : ( ) ( ) 2 i; j ;n, A M n, (K), la matrice P ij A se déduit de A en échangeant les lignes L i et L j (L i L j ) Proosition 0 : ( i; j) ( ;n ) 2, la matrice P ij est inversible, d inverse elle-même. Définition 8 : On aelle matrice d affinité de M n (K) toute matrice D i ( ) de la forme : D i ( ) = I n + ( ) E ii = Proosition : i ;n, λ K, A M n, (K), la matrice D i ( )A se déduit de A en multiliant la ligne L i ar (L i λl i ). Proosition 2 : i ; n, λ 0,, la matrice D i ( ) est inversible, d inverse D i λ. Définition 9 : On aelle matrice de transvection de M n (K) toute matrice T ij ( ) de la forme : T ij ( ) = I n + E ij = Proosition 3 : ( ) ( ) 2 i; j ;n, λ K, A M n, (K), la matrice T ij ( )A se déduit de A en remlaçant la ligne L i ar elle-même additionnée de la ligne L j multiliée ar ( L i L i + λl j ) Proosition 4 : ( ) ( ) 2 i; j ;n, λ K, la matrice T ij ( ) est inversible, d inverse T ij (- ). Remarque : Chaque oération élémentaire sur une matrice A corresond au roduit de cette matrice ar une matrice carrée inversible. Théorème : Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions

6 Algèbre - cha 4 6/9 2.3 Matrice échelonnée Définition 20 : On aelle matrice échelonnée en lignes toute matrice vérifiant les conditions suivantes : Si une ligne est entièrement nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi Si le remier terme non nul de la i ième ligne est en osition j, soit la (i +) ième ligne est nulle, soit son remier terme non nul est en osition k > j. On aelle système échelonné tout système dont la matrice est échelonnée en lignes. On aelle ivot le remier coefficient non nul de chaque ligne non entièrement nulle. Une matrice échelonnée en ligne est dite échelonnée réduite en lignes lorsque tous les ivots sont égaux à et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne. Exemles: Contre exemle : n est as une matrice échelonnée. Théorème 2 : Toute matrice non nulle est équivalente en lignes à une unique matrice échelonnée réduite en lignes. 2.4 Algorithme du ivot de Gauss On considère un système linéaire de n équations à inconnues. ❶ On se ramène à un système équivalent tel que a 0 (en ermutant éventuellement L avec une autre ligne), uis on divise L (la nouvelle remière ligne!) ar a (le nouveau!). ❷ i 2;n, Li Li ail. On a ainsi éliminé l inconnue x dans toutes les équations à artir de L 2. Le nouveau système est de la forme : x + a2x ax = b a 22x a 2x = b2 a x a x = b n2 2 n n On considère désormais le système de n - équations formé des lignes L 2 à L n. - Si tous les coefficients sont nuls, l algorithme est achevé. - Sinon, on considère le sous-système de n- équations formé des lignes L 2 à L n et des colonnes C i à C + où C i est la remière colonne non nulle, uis on alique les étaes ❶ et ❷ au sous-système. De roche en roche en reroduisant un nombre fini de fois ces étaes on obtient un système dont la matrice augmentée est échelonnée.

7 Algèbre - cha 4 7/9 2.5 Ensemble des solutions d un système linéaire Définition 2 : On aelle rang d un système S, noté rg(s), le nombre de ivots de la matrice échelonnée réduite du système équivalent. Remarque : le rang d un système ne déend as du second membre. On considère un système linéaire S de n équations à inconnues, de rang r. On se ramène au cas où le système est échelonné et, quitte à changer l ordre des inconnues, on suose que le nombre de 0 qui commencent chaque ligne augmente de à chaque ligne. On note A = (a ij ) la matrice échelonnée associée au système, et (b i ) la matrice colonne du second membre Si r = n = Le système s écrit : x + a x a x = b x a x = b xn = b 2 2 n n 2 2n n 2 On est dans le cas d un système de Cramer. Il admet une unique solution quel que soit son second membre. On trouve la solution en «remontant» les équations du système à artir de x n = b n. n Si r = n < Le système s écrit : x + a x a x + a x = b x a x + a x = b 2 2 n n j j j= n+ 2 2n n 2 j j 2 j= n+ x + a x = b n nj j n j= n+ Le système admet une infinité de solutions quel que soit son second membre. En «remontant» les équations du système on exrime les inconnues x n, x n-,, x (aelées inconnues rinciales) à l aide des inconnues x n+,, x (aelées inconnues secondaires ou aramètres). Remarque : Le nombre de aramètres est égal à la différence du nombre d inconnues et du rang.

8 Algèbre - cha 4 8/ Si r = < n Le système s écrit : x + a2x ax = b x a 2x = b2 x = b 0 = b 0 = b + n Définition 22 : Les équations 0 = b i sont aelées équations de comatibilité. - Si les équations de comatibilité sont la tautologie 0 = 0, le système admet une unique solution quel que soit son second membre. On trouve la solution en «remontant» les équations du système à artir de x = b. 2- Sinon, le système n a as de solution (il est dit système incomatible) Si r < et r < n Le système s écrit : x + a x a x + a x = b x a x + a x = b 2 2 r r j j j= r+ 2 2r r j j 2 j= r+ x + a x = b 0 = b r j j r j= r+ 0 = b r+ n - Si les équations de comatibilité sont la tautologie 0 = 0, le système admet une infinité de solutions quel que soit son second membre. En «remontant» les équations du système on exrime les inconnues x r, x r-,, x (aelées inconnues rinciales) à l aide des inconnues x r+,, x (aelées inconnues secondaires ou aramètres). 2- Sinon, le système n a as de solution (le système est dit incomatible) Bilan Proosition 5 : Un système linéaire de rang r à inconnues et n équations admet 0, ou une infinité de solutions. S il admet une infinité de solutions, celles-ci déendent de r aramètres. Si le système est de Cramer il a toujours une unique solution, sinon l existence de solutions déend du second membre.

9 Algèbre - cha 4 9/9 2.6 Structure de l ensemble des solutions d un système linéaire Proosition 6 : L ensemble des solutions d un système S est soit vide, soit de la forme X 0 + S H où X 0 est une solution articulière de S et S H est l ensemble des solutions du système homogène associé à S. 2.7 Inversion de matrice Proosition 7 : Soit A M n (K). Les roositions suivantes sont équivalentes : i) A GL n (K) ii) Le système AX = 0 n admet que la solution nulle iii) A I n iv) Pour tout B, le système AX = B admet une unique solution v) Pour tout B, le système AX = B admet au moins une solution. Inversion d une matrice ar résolution d un système linéaire Pour inverser une matrice A, on résout le système AX = Y où Y est un vecteur colonne générique. On obtient ainsi X en fonction de Y sous la forme BY, où B M n (K) est l inverse de A. Inversion d une matrice ar le ivot de Gauss D arès la roosition 4, si une matrice est inversible alors on eut la transformer en I n en faisant des oérations sur les lignes. En faisant les mêmes oérations sur les lignes de la matrice identité, on obtient A -.