Polynômes. Chapitre 11. Ensemble des polynômes K[X] I.1 Polynômes

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1 Chapitre Polynômes Les buts de ce chapitre sont : Connaître les définitions, Raisonnement sur le degré et sur le terme dominant, Connaître et savoir utiliser la formule du produit de deux polynômes, Connaître et savoir utiliser la formule de Taylor pour les polynômes, Théorème sur la divisibilité des polynômes, Notions sur la factorisations dans C dans R, entre autre comment passer de l une à l autre. Ce chapitre est généralement celui qui pose le plus de difficultés en première année de BCPST, il est important de comprendre les principes, sans se focaliser sur les notations qui sont difficiles. Pour cela, il faut surtout être capable de refaire les exemples et les exercices classiques. Il est important de lier les polynômes à plusieurs chapitres : les complexes, avec en particulier la formule de Moivre, et les racines n-ième de l unité. l analyse avec les dérivées, le théorème de Rolle et le théorème des valeurs intermédiaires, la formule de Taylor. $\ CC BY: Comme pour les chapitre d algèbre linéaire, on note K le corps, c est-à-dire, K R ou C. I Ensemble des polynômes K[X] I. Polynômes Définition. On appelle fonction polynôme une fonction P : naturel n et n + éléments a, a,..., a n tels que : K K, telle qu il existe un entier x K, P(x) a + a x + a x + + a n x n n a k x k l élément a i est appelé coefficient d indice i du polynôme P, on appelle polynôme nul (noté ), le polynôme dont tous les coefficients sont nuls, on appelle polynôme constant tout polynôme dont le seul coefficient non nul est a, k

2 CHAPITRE. POLYNÔMES on appelle monôme tout polynôme qui ne contient qu un seul coefficient, i.e. du type x a k x k. On note K[X] l ensemble des polynômes à coefficients dans K. Dans toute la partie sur les polynômes, on utilise la convention. Exemple: P X 4 3X + 5 est un polynôme de R[X], alors que Q ix + e i π 4 X + j est un polynôme de C[X]. Le binôme de Newton permets d affirmer que la fonction x ( + x) n est un polynôme. Pour bien comprendre ce qu est un polynôme, montrons qu il existe des polynômes P, P et P tels que i [[, ]], θ R, P i (cos θ) cos(iθ). Pour P, cela s écrit : θ R, P (cos(θ)). Ainsi, le polynôme qui convient est P, i.e. le polynôme constant. Pour P, cela s écrit : θ R, P (cos(θ)) cos(θ). Ainsi, un polynôme qui convient est P X, i.e. l identité. Pour P, cela s écrit : θ R, P (cos(θ)) cos(θ) cos (θ) sin (θ) cos (θ). Ainsi, un polynôme qui convient est P X. Lien entre C[X] et R[X] Tout polynôme de R[X] (à coefficients réels) peut être vu comme un polynôme de C[X] (à coefficients complexes donc). Dans ce sens, on peut écrire : R[X] C[X]. Par contre, les propriétés d un polynôme réel peuvent être très différentes si on le regarde comme un polynôme à coefficients complexes ou si on le regarde comme un polynôme à coefficients réels. Par exemple X + vu comme un polynôme réel, n admet pas de racines, et est irréductible, par contre, vu comme un polynôme complexe, X + (X i)(x + i), est réductible et a deux racines distinctes. Notations avec des X Si on note X la fonction identité K K, alors X est alors la fonction x x, etc. Ainsi, on a l égalité de fonctions : P a + a X + a X +... a n X n. Il faut autant que possible préférer cette notation avec un X, qui signifie que l on étudie le polynôme formel obtenu comme une fonction définie à partir de la fonction identité. On écrit alors indifféremment P a + a X + a X +... a n X n, ou P(X) a + a X + a X +... a n X n. Attention : Avec cette notation, on n écrit pas «soit X K» ni X K car la lettre X désigne la fonction identité et non un scalaires. On utilise par contre x lorsque l on évalue le polynôme au point x K et que l on considère la valeur de la fonction P(x) en ce point. De même, l écriture P(X) signifie que P est le polynôme nul, par contre l équation P(x) d inconnue x R signifie que l on recherche les racines de P. Enfin, lorsqu on écrit P(cos(θ)), on considère en fait la composée (P cos)(θ). Unicité des coefficients D après la définition deux fonctions polynômes sont égales sur K, si et seulement si elles sont égales en tout point de K. Cela implique (c est admis) que les coefficients sont égaux.

3 CHAPITRE. POLYNÔMES 3 Proposition. Soit P et Q deux polynômes de K[X], tels que : x K, P(x) Q(x) P n a k X k P k m b k X k alors m n et k [[, n]], a k b k. Autrement dit, si deux polynômes sont égaux en tous points alors ils ont le même degré et les même coefficients. Démonstration. Cette propriété est admise. En particulier, si un polynôme est nul pour tout x K, alors ce polynôme est nul. k Le polynôme est donc défini de manière unique par ses coefficients. On peut écrire : un polynôme est une suite finie d éléments de K. À quoi sert l étude des polynômes? En mathématique, on utilise la notation «avec des grands X», de manière à pouvoir définir pour un polynôme P n k a k X k. Cela permet de définir le polynôme indépendamment de la fonction polynomiale de K K. L étude générale des polynômes est hors programme, mais l on peut simplement remarquer que l étude d un polynôme a un intérêt qui dépasse le cadre de l étude d une fonction : Exemple: Soit P le polynôme P X + X +, de l égalité de polynôme : X(X + ), et donc X(X + ). On en déduit que si une matrice M vérifie M + M + I n, alors on a : M(M + I n ) I n et donc M est inversible avec M (M + I n ). D une manipulation de polynôme, on a déduit des propriétés sur les matrices. On a vu dans la partie?? le lien entre les racines du polynômes P X ax b et les suites récurrentes linéaires d ordre, dont la relation de récurrence est n N, u n+ au n+ + bu n. Exemple: Supposons que l on cherche les fonctions f : R R tels que x R, f(f(x))+3f(x)+x. On peut écrire cette égalité sous la forme : f f + 3f + I d (égalité de fonctions ici). De l étude du polynôme X +3X +, en particulier de la factorisation X +3X + (X +)(X +), on peut déduire que pour toute fonction f : f f + 3f + I d f (f + I d ) (f + I d ). Ainsi, on voit que deux solutions évidentes sont les fonctions : f I d et f I d (ceux ne sont pas les seules). On retiendra en particulier le réflexe d utiliser la factorisation des polynômes dans d autres domaines que l étude des polynômes. I. Degré d un polynôme Dans l écriture P(x) n n+ a k x k, si on ajoute un a n+, alors on a : P(x) k toujours ajouter des a k nuls pour augmenter n. Pour éviter cela on définit : k a k x k. Ainsi on peut Définition. On appelle degré d un polynôme non nul P, l indice maximal du coefficient non nul. Autrement dit si n est le degré de P, alors a n et k > n, a k, i.e. P s écrit P n k a k X k sans termes nuls à la fin.

4 CHAPITRE. POLYNÔMES 4 On le note d(p) ou parfois deg(p). Par convention, on pose que le degré du polynôme nul est. On note K n [X], l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Si d(p) n, on appelle terme dominant de P, son monôme de plus haut degré, i.e. a n x n, on appelle coefficient dominant de P, le coefficient de son terme dominant, i.e. a n, on appelle coefficient constant ou terme constant le coefficient a, on appelle polynôme unitaire un polynôme dont le coefficient dominant est égal à. I.3 Opérations dans K[X] Multiplication par un scalaire Définition 3. Soit P K[X], et λ K, on définit le produit de λ et P par : (λp) : x λp(x) C est clairement un polynôme dont les coefficients sont le produits des coefficients de P par λ. Proposition. Si λ, λp et P ont même degré. Addition Définition 4. Soit P et Q deux polynômes de K[X], on définit la somme de P et de Q comme la fonction : (P + Q) : x P(x) + Q(x). C est aussi un polynôme de K, dont les coefficients sont la somme des coefficients de P et de Q. Ainsi, si P s écrit : P n k a k X k et Q n k b k X k, alors : (P + Q) Proposition 3. Pour tout polynôme P et Q, on a : Plus précisément, si d(p) d(q), alors n (a k + b k )X k. k d(p + Q) max(d(p), d(q)). d(p + Q) max(d(p), d(q)). Démonstration. On reprends les notations de ci-dessus. Si k > max(d(p), d(q)), alors a k et b k sont nuls donc a k +b k. Si les degrés sont différents, alors on a par exemple a k et b k, donc a k +b k a k. Le cas d un polynôme nul se déduit d après la convention n N, < n. Bien sûr, si k max(d(p), d(q)), alors a k et b k sont non nuls, donc a k + b k peut être nul (ou pas). Ce qui fait que la somme de deux polynôme de même degré peut être de degré inférieur, l exemple le plus parlant est que si on fait P P on obtient le polynôme nul. On retiendra en particulier que la somme de polynôme de degré inférieur ou égal à n est un polynôme de degré inférieur ou égal à n, i.e. la somme de deux éléments de K n [X] est un élément de K n [X].. De manière à conserver les règles d addition des degrés.

5 CHAPITRE. POLYNÔMES 5 Produit Définition 5. Soit P et Q deux polynômes de K[X]. On définit le produit de P et Q comme la fonction : x K, (PQ)(x) P(x)Q(x). C est aussi un polynôme, d après la proposition suivante : Proposition 4. Si P n a k X k et Q k PQ n+m l m b k X k, alors : k c l X l, avec c l i+jl (i,j) [,n] [,m]] En particulier, on voit que le terme constant (resp. le coefficient dominant) de PQ est égal au produit des termes constants (resp. des coefficients dominants) de P et de Q. En particulier aussi, on a : d(pq) d(p) + d(q) avec la convention n. Voici plusieurs moyens de comprendre la notation : c l { double : c est la somme sur (i, j) [[, n]] [[, m]] i+j l i+jl } a i b j a i b j. Déjà, il s agit a priori d une somme, ensemble des couples vérifiant une propriété. En fait, si on représente les couples (i, j) dans un tableau, l ensemble des couples (i, j) vérifiant la propriété correspond à une diagonale. Voici un exemple pour n 4 et m 3 : on représente les couple (i, j) et la somme i + j : i j Ce tableau montre que pour l [[, 7]], le terme c l est obtenu en faisant la somme sur tous les termes du tableau qui contiennent l, cela correspond donc à une des diagonales en couleur. Ainsi, on voit qu il ne s agit pas d une somme double sur un tableau, mais d une somme simple le long d une diagonale. Autre manière de voir : si i [[, n]], et l [[, n + m]] il y a un et un seul j [[, m]] tel que i + j l, c est de manière évidente j l i. On peut donc écrire : c l min(l,n) i l n a i b l i a i b l i a i b l i. i i Les deux dernières somme se comprennent avec la convention qu un coefficient qui n existe pas est nul. Ainsi, si i > n, a i, et si i > l, b l i. Avec cette convention, la somme va indifféremment de à l ou de à n (en fait dans tous les cas, cette somme s arrête à min(l, n) ). De même, on a la formule : c l min(l,m) j m l a l j b j a l j b j a l j b j. j j Enfin, comme peut le vérifier sur l exemple ci-dessus, certaines couleur ne correspondent qu à une case :

6 CHAPITRE. POLYNÔMES 6 si l, le seul couple (i, j) qui correspond est (i, j) (, ), ce qui signifie que le terme constant de PQ est le produit des termes constants de P et de Q. si l n + m, le seul couple (i, j) qui correspond est (i, j) (n, m), ce qui signifie que le coefficient dominant de PQ est le produit des coefficients dominants de P et de Q. Au final, la formule à retenir est : c l l l a i b j a i b l i a l j b j. i+jl i j Démonstration. Pour la démontrer, il suffit de développer le produit : ( n ) m PQ a i X i b j X j a i b j X i+j i j i n j m Cette écriture signifie simplement que le produit PQ se fait en choisissant un terme a k X k de P et en le multipliant par un terme b j X j de Q, on ajoute ainsi n m termes du type a i b j X i+j, pour obtenir la somme indiqué. Pour calculer cette somme double, on regroupe les termes selon la valeur de l i + j, qui peut aller de à n + m. Cela revient dans le tableau précédent, à regrouper le tableau en partie de même couleur. De manière théorique cela se montre avec la formule : [[, n]] [[, m]] n+m l { } (i, j) i + j l union disjointe, qui signifie que l on peut créer une partition de l ensemble des couples (i, j) en sous-ensemble tel que i + j l. On a donc : a i b j X i+j a i b j X l i n j m n+m l i+jl Proposition 5. En conséquence immédiate, on a que : n P c l X l, n avec c l a i a l i. k i En particulier : d(p ) d(p) et même k N, d(p k ) kd(p). Enfin, on obtient que K[X] est intègre : Proposition 6. Soit P et Q deux polynômes tels que le produit PQ soit égal au polynôme nul, i.e. PQ, alors P ou Q est le polynôme nul. Démonstration. Démonstration évidente en remarquant que d(p) + d(q), donc forcément d(p) ou d(q) est égal à.

7 CHAPITRE. POLYNÔMES 7 Composition Définition 6. Soit P et Q deux polynômes de K[X]. On définit le polynôme composé de Q par P, par : C est aussi un polynôme. x K, (P Q)(X) P[Q(X)]. Démonstration. Le fait que ce soit un polynôme se démontre facilement : Si Q est un polynôme, alors k N, Q k est aussi un polynôme, donc n k a k Q k est aussi un polynôme. Remarque: Il n existe pas de formule «simple» permettant de calculer les coefficients de P Q en fonctions de ceux de P et Q. Proposition 7. On a : d(p Q) d(p)d(q). Ainsi le degré du polynôme composé est égal au produit des degrés. Le terme dominant est a n (b m ) n. En particulier la composée de polynôme unitaire est unitaire. Démonstration. La preuve se fait en regardant le terme dominant et en éliminant systématiquement les termes inférieurs : i n n m P Q a i (Q(X)) i b j X j i n i a i i a i (b m X m +... ) i a n (b m ) n X nm j n i ) a i ((b m ) i X im +... Autre preuve : le degré de Q k est km, d après les résultats sur le degré d un produit, donc si on écrit P Q n k a k Q k, on a une somme de polynôme de degré différents, donc le degré est le max des degrés, i.e. nm. Dérivation Définition 7. Soit P un polynôme de K[X], on appelle polynôme dérivé, la fonction P (x) dérivée de P. C est aussi un polynôme. Plus précisément, si P n k a k X k. On a : nk P ka k X k si d(p) si d(p) < i.e. si P est constant ou nul Proposition 8. On a d(p d(p) si d(p) ) si d(p) <. Démonstration. Démonstration évidente à partir d une autre formule pour la dérivée (si d(p) > ) : n P (k + )a k+ X k. k

8 CHAPITRE. POLYNÔMES 8 Dérivation successives On peut généraliser cette définition. : Définition 8. Soit P un polynôme de K[X], on définit par récurrence le polynôme dérivé d ordre l par ( P () P, et P (l+) P (l)). Proposition 9. Si n d(p), et P n a k X k, on a : k pour l > n le polynôme P (l) est nul, sinon, pour l n, on a : P (l) n kl a k k! (k l)! Xk l. Pour retrouver cette formule rapidement, il faut retenir : k! (X k ) (l) (k l)! Xk l si l k si l > k. Démonstration. Pour commencer, on peut démontrer facilement par récurrence que : d(p (l) d(p) l si d(p) l ) si d(p) < l. Démontrons ensuite la formule par récurrence sur l. Pour l c est évident ainsi que le cas l, k. Maintenant si on suppose que l + n, et puisque k! (k )! Alors on a : P (l) n kl a k k! (k l)! Xk j. P (l+) (P (l)) ( n n kl+ n kl+ kl ) k! a k (k l)! Xk l a k k!(k l) (k l)! Xk l car le premier terme est nul a k k! (k l )! Xk l Pour la dérivée n-ième du produit, on a la même formule que pour les fonctions. Proposition. On a la formule de Leibniz : (PQ) (n) n k ( ) n P (k) Q (n k) k Démonstration. Démonstration point par point identique à celle dans le cas de fonctions. Remarque: La formule de Leibniz es particulièrement utile pour les polynômes, puisque P (k) si k > d(p). On l utilisera toujours dans le cas où un des polynômes se dérive facilement.

9 CHAPITRE. POLYNÔMES 9 II Formule de Taylor dans C[X] Formule de Taylor en Commençons par un corollaire de la proposition 9 : Proposition. Soit un polynôme P n k a k X k, avec n d(p). Alors on a : k [[, n]], k!a k P (k) (). En conséquence, en remplaçant la valeur de a k par celle trouvé plus haut, on a : P n k Cette formule est appelée formule de Taylor en. P (k) () X k. k! Ce corollaire est évident si on dérive un polynôme, on a en effet : Si P a + a X + a X + + a k X k + + a n X n, alors clairement a P(), puis : P a X + a X + 3a 3 X 3 + ka k X k + + na n X n, donc a P (), puis : P a X + 3 a 3 X + k(k )a k X k + + n(n )a n X n, donc a P (), si on dérive encore une fois on aura 3 a 3 P (3) (), puis 4 3 a 4 P (4) (), etc. Démonstration. La preuve provient de la formule de la proposition 9 : P (k) n lk a l l! (l k)! Xl k Donc le terme constant de P (k) est k!a k, i.e. k!a k P (k) (), ou encore a k P (k) () k!. Remarque: Ainsi, il est équivalent de connaître P et de connaître toutes ses dérivées en. Autrement dit un polynôme est entièrement déterminée par ses dérivée en. Ce n est pas le cas pour les fonctions : par exemple, la fonction f : x e x vérifie, n N, f (n) (), alors que la fonction f n est pas nulle, et ne coïncide avec la fonction nulle sur aucun intervalle. Remarquons en particulier que les dérivées étant locales, si on connaît le polynôme sur ] α, α[, avec α >, alors on le connaît sur R. Là encore, ce n est pas le cas des fonctions : on peut trouver des fonctions C, non identiquement nulle, mais nulle sur [, ]. Ce qui montre au passage que si P et Q sont deux polynômes qui coïncident sur un intervalle du type ] α, α[, alors ils ont les mêmes coefficients. En particulier cela permet de démontrer ce que l on avait admis : si deux polynômes sont égaux sur K, alors ils ont les mêmes coefficients. Dernière remarque, si f est une fonctionk K, on rappelle que le polynôme de Taylor en d ordre n x k n est : k! f (k) (). La proposition montre donc que si la fonction f est un polynôme de degré d, k elle coïncide avec son polynôme de Taylor en dès que l ordre n de la formule de Taylor-Lagrange est supérieur au degré d.. Et aussi en tout α.

10 CHAPITRE. POLYNÔMES Formule de Taylor en α Par un changement de variable, on peut se ramener à n importe quelle α K. C est la formule de Taylor en α. Proposition. Soit P un polynôme de degré n, et α K, on a alors : En particulier, on rerouve : et : k [[, n]], P P n k P(X + α) n k P (k) (α) (X α) k. k! P (k) () X k, k! n k P (k) (α) X k. k! Démonstration. Soit α K, et Q(X) P(X + α), on a alors : P(X + α) Q(X) n k Q (k) () X k k! D où en faisant le changement de variable 3 X X α, on a : P(X) P((X α) + α) n k n k P (k) (α) X k. k! P (k) (α) (X α) k. k! Remarque: Comme on l a vu pour, cette formule montre que P est déterminée par ses dérivées successives en α. Propriété très particulière des fonctions polynômes. Enfin, on voit que si P annule toutes ses dérivées en α, alors P est nul, ce que l on pourra traduire par si P admet une racine d ordre infinie, alors P est nul. L intérêt de la formule de Taylor en α est qu elle permets d exprimer les coefficients d une composition P (X + α) en fonction du polynôme P. Démonstration directe de la formule de Taylor en Pour une démonstration directe de la formule de Taylor en α, on a : 3. Autrement dit en regardant le polynôme composé P (X α).

11 CHAPITRE. POLYNÔMES Démonstration. On va utiliser X (X α + α) et la formule du binôme de Newton. P n a k X k k n a k (X α + α) k k ( ) n k a k k j k j ) n k k j n n j kj n j n j (X α) j α k j ( k a k (X α) j α k j j ) a k ( k j (X α) j j! (X α) j α k j n kj (X α) j P (j) (α) j! a k k! (k j)! αk j La dernière égalité provient de la proposition 9 On pourrait aussi démontrer ce théorème via l analyse, c est à dire en appliquant l égalité de Taylor- Lagrange au polynôme P, jusqu à l ordre n, puisque le reste P (n+) (c). Exemple: Comme application, on peut déterminer l unique polynôme P de degré 3 tel que P(), P (), P () et P (3) (). Ce polynôme est : P X 6 X3. Ce polynôme est unique, car si deux polynômes P et Q sont solutions, la différence R vérifie : R() R () R () R (3) (), et donc en utilisant encore la formule de Taylor, on a R. Il coïncide ainsi que ses dérivées jusqu à l ordre 3 avec la fonction sinus en. C est un résultat général : le polynôme de Taylor de la fonction f en α à l ordre n est l unique polynôme de R n [X]] qui coïncide ainsi que ses dérivées successives avec la fonction f en α. III III. Divisibilité dans K[X] Divisibilité Définition 9. Soit A et B deux polynôme de K[X], on dit que : A divise B si il existe un polynôme Q de K[X]. tel que : QA B. On note alors A B. Le polynôme Q est alors appelé quotient de B par A. On dit aussi que A est un diviseur de B. On réserve cette définition au cas où A est non nul, sinon B est forcément nul et cela a peu d intérêt. Remarque: Ainsi A B si et seulement si la fonction Qx B(x) A(x), a priori fonction rationnelle, est en fait une fonction polynôme. (on rappelle que l on ne divise pas par un polynôme d où le passage en application polynôme et à la notation x).

12 CHAPITRE. POLYNÔMES Cette remarque permet entre autre de démontrer que si A et B sont des polynômes réels, tel que Q C[X], B AQ, alors en fait Q R(X]. Ainsi il n y a pas de distinction entre divisible dans R et divisible dans C : deux polynômes réels divisibles dans C le seront aussi sur R. Enfin, on voit que d(q) + d(a) d(b), ce qui n a d intérêt que sauf si B. Note: Hors programme mais à savoir : Si A et B son deux polynômes, avec A, on peut toujours trouver deux polynômes Q et R, appelés respectivement quotient et reste de la division euclidienne de A par B tel que A BQ + R. De plus cette écriture est unique avec d(r) < d(b). Ainsi A divise B si le reste de la division euclidienne est nul. On peut lier cette propriété à la division euclidienne dans les entiers, qui dit que si n et m sont des entiers naturels, avec m, alors!(q, r) N, tel que : n qm + r, avec r < m. Exemple: Pour l instant pour démontrer qu un polynôme divise un autre, il n y a pas d autre choix que de procéder par identification : on résout le système obtenu en considérant les coefficients de Q. Voici un exemple : on veut montrer que X divise X 4. Ce que l on peut démontrer de manière évidente en utilisant : x R, x4 x + x + x + x 3. De manière directe, on cherche Q tel que X 4 Q (X ). On voit : Le degré de Q est forcément 3, donc Q s écrit ax 3 + bx + cx + d, on a donc l équation X 4 (ax 3 + bx + cx + d)(x ). Il ne faut surtout pas développer et résoudre le système (cela donne le résultat, mais est relativement long) le terme dominant est et le terme constant est (on obtient les deux termes extrémaux en regardant les termes dominants et constants), la relation s écrit donc : X 4 (X 3 + bx + cx + )(X ) on regarde les termes de degré 3, qui donne + b, donc b, puis les termes de degré, qui donne c +, donc c. on peut éventuellement vérifier avec les termes des degrés restant. on obtient Q et donc (X ) (X 4 ). Comme on le voit ce calcul est relativement laborieux, le but de cette partie est donc de remplacer la recherche de Q par des conditions sur B pour que A divise B. En fait on se restreint au cas où A est de la p forme X α, ou (X α i ), ou (X α) d. i Proposition 3. On a les propriétés suivantes sur la divisibilité : Tout polynôme P est un diviseur de lui-même, ainsi que par les polynômes de la forme λp, avec λ. Si λ K, avec λ, alors λ divise tout polynôme P. Tout polynôme divise le polynôme nul. Si A divise B, et si B, alors d(a) d(b). Si A divise B et B divise C, alors A divise C. P P Démonstration. P K K[X], donc tout polynôme se divise lui-même, et même λp λ K K[X]. Si λ, et P K[X], alors P λ λp K[X], ainsi λ divise tout polynôme P. A K[X], donc tout polynôme divise le polynôme nul. Si QA B, alors d(q) + d(a) d(b), si de plus B, alors Q, et par suite d(a) d(b). Si B, alors Q, puisqu on a supposé que A, ainsi d(q), et l égalité ci-dessus se résume à : + d(a). Pour le dernier point, on a : Q A B et Q B C, ainsi Q Q A B. III. Divisibilité par (X α), racine d un polynôme Définition. On dit que α est racine de P ou zéro de P si P(α).

13 CHAPITRE. POLYNÔMES 3 Attention, les racines dépendent du corps : certains polynômes peuvent avoir des racines dans C mais pas dans R, l exemple le plus clair étant X +. Proposition 4. α est racine de P si et seulement si : (X α) P. Remarque: On a donc remplacé le problème de la recherche de Q tel que P Q(X α), par le simple calcul de P(α)! Démonstration. Dans le cas où (X α) divise P, on a P (X α)q, Donc P(α) est nul. La réciproque fait appel à l égalité de Taylor pout les polynômes : P n k Si P(α), le terme pour k est nul, on a donc : P n k P (k) n (α) (X α) k k! k En posant donc Q(x) n k B. P (k+) (α) (k + )! P (k) (α) (X α) k, k! n (X α) k+ (X α) P (k+) (α) (k+)! (X α) k, on a donc : P (X α)q(x). P (k+) (α) (X α) k (k + )! k } {{ } Q(X) Note: On voit aussi dans la démonstration que si A divise B alors toutes racines de A sont aussi des racines de III.3 Généralisation à p racines distinctes, applications Proposition 5. Soit P un polynôme non nul. Si α, α,..., α p sont p racines deux à deux distinctes d un polynôme P, alors le polynôme (X α )(X α ) (X α p ) est un diviseur de P. Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur le nombre de racines p. Le cas p vient d être fait. Pour passer de p racines à p + racines, on applique l hypothèse de récurrence au p premières racines qui implique que Q K(X], P(X) (X α )(X α ) (X α p )Q(X) En évaluant cette dernière égalité de polynôme sur la dernière racine α p+, on a : P(α p+ ) (α p+ α )(α p+ α ) (α p+ α p ) Q(α p+ ). }{{}}{{} car les racines sont distinctes D où Q(α p+ ), et en appliquant la proposition précédente, on a : (X α p+ ) Q, et donc Q K[X], Q (X α p+ )Q, puis : P(X) (X α )(X α ) (X α p )(X α p+ )Q (X) Remarque: Ici encore, pour démontrer que A P, on peut écrire le polynôme A sous la forme A p i (X α i), et on a juste besoin de calculer les valeurs de P(α i ). En conséquence de ce théorème, on a un résultat important : Proposition 6. Un polynôme de degré n ayant n + racines est nul.

14 CHAPITRE. POLYNÔMES 4 Démonstration. Supposons que P ait n+ racines, alors, il est divisible par (X α )(X α ) (X α n+ ), donc si il est non nul alors son degré est supérieur ou égal à n +, ce qui est impossible. En conclusion, le polynôme P est nul. Les deux cas d applications important sont : le cas où l on connaît n, le degré de P et que l on montre que P admet n + racines, il est alors nul, le cas où l on prouve que P admet une infinité de racines, il est alors aussi nul 4. Exemple: On veut montrer que pour tout n, p et q N, P X 3n+ + X 3p+ + X 3q est divisible par + X + X. Plutôt que de chercher Q tel que X 3n+ + X 3p+ + X 3q Q( + X + X ) et de résoudre un système (de taille n) vérifié par Q, on écrit : + X + X (X j)(x j ), avec j e i π 3. Et on a : + X + X P (X j)(x j ) P P(j) et P(j ). On calcule donc P(j), en utilisant les relations j 3 et + j + j. On obtient facilement P(j) j + j +, et de même P(j ). Ainsi, + X + X P. Plus précisément, a priori, on a utilisé la décomposition de + X + X dans l ensemble des complexes, on a donc obtenu que (X j)(x j ) P dans C[X] au sens où : Q C[X], tel que P Q(X j)(x j ). Mais cette relation s écrit aussi P Q(+X+X ) dans cette écriture P et +X+X sont des polynômes P réels, donc Q «+X+X» est donc aussi réel. Ce qui signifie Q R[X], tel que P Q( + X + X ), ainsi, + X + X P dans C[X]. Exemple: Montrons que la fonction cos n est pas un polynôme. Raisonnons par l absurde en supposant qu il existe P tel que x R, P(x) cos(x). En particulier, ( ) π k Z, P + kπ. L ensemble { π + kπ k Z} étant infini, P a une infinité de racine et donc P ce qui signifie x R, cos(x) et est évidement une contradiction. Exemple: Montrons l unicité du polynôme de degré tel que P(), P() 3 et P() 3 (on admet qu il existe). On considère donc P et Q solution du problème. On pose alors R P Q. Le polynôme R est alors de degré inférieur ou égal à et a trois racines distinctes (, et ). Il est donc nul et P Q. Remarque: L utilisation de l argument infinité de racine (ou n + racine) est surtout utilisé pour montrer l unicité d un polynôme vérifiant certaines propriétés. La technique consiste à supposer qu il y a deux polynômes et de montrer que la différence est nulle par un argument de racines. Il faut qu il soit clair qu il y a une infinité de racine : par exemple si k Z, P(cos( π 4 + kπ)), ( ) on n a pas P, mais seulement P. ( ) Autre exemple, si on a : x R, P, il faut d abords en déduire (en dessinant le tableau de x variation de x ) que x R + x, P(x), puis P car P a une infinité de racine. Le principe étant que quand x décrit R, x décrit R +, ce qui se montre avec le tableau de variation. III.4 Généralisation aux racines d ordre multiple Définition. On dit que α est racine multiple d ordre d si P(α) P (α) P (α) P (d ) (α), et si P(α) (d), 4. pas besoin dans ce cas de connaître son degré

15 CHAPITRE. POLYNÔMES 5 i.e. si α est racine de P ainsi que de toutes ses dérivées jusqu à l ordre d s annule en α, tandis que la dérivée d ordre d n est pas nulle. Ainsi, α est racine simple, si P(α) et P (α), i.e. si d et racine double, si P(α), P (α) et P (α), i.e. si d. Il est clair que si α est racine d ordre d de P, alors α est racine d ordre d de P, et même racine simple de P (d ). On introduit aussi la notion de racine d ordre au moins d lorsque P(α) P (α) P (α) P (d ) (α). Lorsque α est racine d ordre d, on précise parfois «racine d ordre exactement d» pour bien montrer que α ne peut pas être d un ordre supérieur. On a la généralisation de la proposition sur les racines d un polynôme : Proposition 7. On a l équivalence : α est racine d ordre d du polynôme P, Q K[X], tel que : P (X α) d Q, et Q(α). Démonstration. La partie provient de l égalité de Taylor, et est juste une généralisation de la proposition sur les racines simples. Supposons que α soit racine d ordre d du polynôme P, alors on a : P n k P (k) (α) (X α) k k! n kd P (k) (α) (X α) k, k! puisque par définition d une racine d ordre d, les d premières dérivées sont nulles. Puis, comme dans le cas d une racine simple, on fait le changement de variable et la factorisation par (X α) l : P n kd P (k) n d (α) (X α) k k! k P (k+d) (α) (k + d)! n d (X α) k+d (X α) d P (k+d) (α) (X α) k (k + d)! k } {{ } Q(X) Un tel choix de Q assure d une part : P (X α) d Q, d autre part, Q(α) P (d) (α) d!, par définition d une racine d ordre d. La démonstration montre au passage que si α est racine d ordre au moins d de P alors (X α) d divise P. Pour la réciproque, supposons donc que P (X α) d Q, déjà on peut voir que P(α), puis si d >, P d(x α) d Q + (X α) d Q (X α) d (dq + (X α)q). ainsi, P (α). Le cas d un d quelconque se démontre donc avec la formule de Leibnitz : Pour l d, on a : P (l) ( (X α) d Q ) (l) l k ( ) l ( (X α) d) (k) Q (l k) k l k ( ) l k! k (k d)! (X α)d k Q (l k). ( Puisque : (X α) d) (k) k! (k d)! (X α)d k, si k d. En remplaçant X par α, le terme (X α) d k est nul, si k < d égal à si k d. En conséquence, lorsque l < d, on k [[, l]], (X α) d k est nul en α, donc P (l) (α) est une somme de termes nuls. On obtient ainsi : l < d, P (l) (α). Ainsi, si (X α) d divise P, alors α est racine d ordre au moins d de P Il reste donc à démontrer que P (d) (α). On a : ( ) d d k! P (d) k (k d)! (X α)d k Q (d k). k

16 CHAPITRE. POLYNÔMES 6 Pour les k tels que k < d, on a vu que le terme (X α) d k est nul en α, ainsi le seul terme qui ne s annule pas en α est le terme pour k d. On obtient donc : P (d) (α) d!q(α). Une autre formulation plus parlante de ce théorème est : Proposition 8. α est racine d ordre d de P, si et seulement si (X α) d divise P, tandis que (X α) d+ ne divise pas P. Démonstration. Supposons que α est racine d ordre d de P, alors P (X α) d Q, donc (X α) d divise P, tandis que (X α) d+ ne divise pas P, sinon α serait racine d ordre au moins d + (voir la démonstration précédente pour ce point). Si (X α) d divise P, alors P (X α) d Q, donc α est racine d ordre au moins d. Si de plus (X α) d+ ne divise pas P, montrons par l absurde que Q(α) : sinon Q s écrirait (X α)q, et donc : P (X α) d+ Q, et donc (X α) d+ divise P, ce qui est une contradiction, donc Q(α). Ainsi, si (X α) d divise P et que (X α) d+ ne divise pas P, alors α est racine d ordre exactement p. Exemple: Montrons que pour tout n, P n nx n+ (n + )X n+ + (n + )X n est divisible par (X ) 3. On utilise l équivalence : (X ) 3 P n est racine d ordre au moins 3 de P n Cette dernière propriété se démontre facilement. P n (), P n(), P n () et P (3) n (). Application Montrer que le polynôme n admet pas de racines multiples. P n + X! + X! + X3 3! + + Xn n!, IV Factorisation dans C[X] et R[X] en produits de polynômes irréductibles Factoriser un polynôme c est le transformer en un produit de polynôme. Pour beaucoup de problèmes, par exemple la recherche de racines, cela permet de se ramener à des petits problèmes plus simples. IV. Définition On a vu qu un polynôme est toujours divisible par lui-même et par les constantes. Lorsque ceux sont ces seuls diviseurs, alors il est irréductible. Définition. Un polynôme non constant de K[X] est dit irréductible dans K[X] si et seulement si les seuls diviseurs de P sont les polynômes constants et les polynômes λp (avec λ K ). Autrement dit, si on factorise un polynôme irréductible P sous la forme P QR, alors c est que Q ou R est une constante.

17 CHAPITRE. POLYNÔMES 7 Ainsi un polynôme irréductible n est pas factorisable de manière non triviale. On peut relier cette définition à celle de nombres premiers, qui sont les entiers p divisibles uniquement par et par euxmêmes. On a clairement : Proposition 9. Si P est de degré, alors il est irréductible (dans R ou C). Si P est de degré supérieur strictement à et qu il a une racine alors il n est pas irréductible Tout polynôme de degré à discriminants négatifs est irréductibles dans R. Démonstration. Pour le premier point, si d(p), et si P QR, et alors d(p) d(q) + d(r), donc l un des deux polynômes Q ou R est une constante. Donc la seule manière de factoriser P sous la forme QR est que l un des polynômes soit une constante, l autre s écrivant donc λp (avec λ K ). Ainsi, P est irréductible. Pour le deuxième point : si P a une racine, alors il s écrit sous la forme, P (X α)q. Avec d(q)+ d(p), donc si P est de degré supérieur strictement à, Q n est pas un polynôme constant. Pour le dernier point, supposons que P soit de degré, sans racine, et que P QR. Supposons par l absurde qu aucun des deux polynômes Q et R ne soient une constantes alors comme : d(p) d(q) + d(r), c est donc que d(q) et d(r). Donc Q (et R) s écrit sous la forme Q ax + b, donc Q a une racine, donc P a une racine, contradiction. Attention : Un polynôme peut être irréductible dans R, mais pas dans C : par exemple : X + (X i)(x + i) est irréductible dans R (polynôme de degré à discriminants négatifs), tandis qu il peut se factoriser dans C. Par contre, si un polynôme P n est pas irréductible sur R, si par exemple, il se factorise sous la forme P QR, avec Q et R non constant, alors il ne sera pas irréductible sur C, puisque la factorisation P QR est aussi valable dans C. Bien entendu, la propriété sur les polynômes de degré ne se généralise pas : un polynôme peut ne pas avoir de racines mais ne pas être irréductibles. Par exemple : P (X + X + ) (X + ). IV. Factorisation dans C[X] Dans C, on a le théorème de d Alembert : Proposition. Tout polynôme non constant de C[X] admet (au moins) une racine dans C La démonstration de ce théorème est admis, remarquons simplement que C a été construit en «ajoutant» à R la solution i de X, ce qui a impliqué que tout polynôme de degré ait une racine et ce théorème va donc plus loin en affirmant qu en fait tout polynôme a une racine. Remarque: On se sert parfois du théorème de d Alembert en déduisant de la racine α une infinité de racine En conséquence on a : Proposition. Les seuls polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré. Démonstration. On a vu que les polynômes de degré sont irréductibles. Soit maintenant un polynôme P irréductible, alors P a au moins une racine α (d après le théorème de d Alembert), donc P s écrit sous la forme P (X α)q. Comme P est irréductible, Q doit être une constante notée λ, on a donc P λ(x α) et P est de degré. En conséquence toujours : Proposition. Soit P un polynôme de degré n de C[X]. Si on note α,..., α p les racines (distinctes) de P, et k,... k p l ordre de multiplicité de ces racines, alors :

18 CHAPITRE. POLYNÔMES 8 n k + k +... k p P a n (X α ) k... (X α p ) kp a n p i (X α i) k i Cette factorisation est unique à l ordre près des racines. Ainsi le nombre de racine d un polynôme de C[X] est égal à son degré, avec la convention qu on compte deux fois les racines doubles, trois fois les racines triples etc. De plus, le polynôme est complètement factorisable comme produit des (X α p ) kp. En particulier, si le polynôme est unitaire, si on connaît ses racines, on connaît les coefficients (il suffit de développer), pour un polynôme quelconque, il reste une dernière inconnue : le terme dominant. Démonstration. Commençons par l unicité. Il suffit de montrer que si P s écrit P λ p i (X α i) k i, alors : le facteur λ est forcément le coefficient de plus haut degré a n, ce qui est évident en identifiant les termes de plus haut degré (et montre au passage, que l on a forcément n k + k +... k p ) les (α i ) i...n sont les seules racines de P, ce qui est clair. pour tout i, k i est l ordre de multiplicité de α i dans P. Démontrons simplement ce point pour i. On a : P a n (X α ) k a n (X α ) k... (X α p ) kp }{{} Q Ainsi P s écrit sous la forme P (X α ) k Q, avec Q(α ) a n (α α ) k... (α α p ) kp. }{{} car les racines sont distinctes Ainsi, k est l ordre de multiplicité de α. Cela démontre donc que cette décomposition est unique, à l ordre près des facteurs 5, puisqu on peut toujours échanger α et α. La preuve se fait par récurrence sur le degré n. On note P(n) : P C n [X] la proposition est vraie. Il s agit quelque part d une récurrence forte, puisqu on rappelle que C n [X] est l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Initialisation : La proposition est clairement vraie pour les polynôme de degré (i.e. les constantes), et les polynômes de degré (i.e. ceux qui s écrivent sous la forme a + a X a (X + a a ). Hérédité : Supposons la proposition vrai au rang n, et soit P C n+ [X]. Pour simplifier les notations, on a déjà que si P est de degré strictement inférieur à n +, alors c est que P C n [X] et donc le résultat a déjà été démontré. On peut donc supposer d(p) n +. D après le théorème de d Alembert, P a une racine. Soit donc α une racine de P, d ordre de multiplicité k. On a vu que P s écrit alors : P (X α ) k Q, avec Q K[X]. On peut donc appliquer l hypothèse de récurrence à Q qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à n. Plus précisément on a d(p) k + d(q). Comme d(p) n +, d(q) est strictement inférieur à n si α est racine multiple, égal à n si α est racine simple. De plus, on constate en développant les coefficients dominants 6 que le terme dominant de Q est a n+, i.e. le coefficient dominant de P. Ainsi, si on note α,..., α p les racines de Q, et k,... k p l ordre de multiplicité de ces racines, alors on a : P a n+ (X α ) k (X α ) k... (X α p ) kp, 5. On pourrait enlever cette difficulté en ordonnant les racines par ordre croissant sauf qu on est dans le cas complexe, il n y a donc pas de notion d ordre. 6. Ou en utilisant le résultat sur le terme dominant d un produit.

19 CHAPITRE. POLYNÔMES 9 et d(q) k +... k p. On obtient bien la factorisation demandée. Puis, comme on l a vu cette écriture impose que les racines de P sont les (α i ) i...p, avec ordre de multiplicité (k i ) i...p. On a aussi : d(p) k + d(q) k + k +... k p. Donc le degré de P est bien égal à son nombre de racines comptés avec ordre de multiplicité. Ce résultat correspond à factoriser un polynôme comme on décompose une entier en produit de nombre premier : de la même manière que 6 3 5, on a : X 4 + X 3 X X (X + ) X(X ). Application Soit θ un réel, factoriser dans C[X] le polynôme : P X cos(θ)x +. Application de l unité. Factoriser dans C[X] le polynôme X n et en déduire le produit des racines n-ièmes IV.3 Factorisation dans R[X] Rappel sur la relation entre divisibilité dans R[X] et dans C[X] On a vu que pour deux polynômes réels A et B il est équivalent que A B dans C[X], au sens où il existe Q C[X], tel que B QA et dans R[X], au sens où on a la même relation avec Q R[X]. En effet, si A QB, alors Q» A B» (égalité d applications réelles et non de polynôme). et donc Q R[X] dans les deux cas. Par contre, on a vu qu un polynôme irréductible dans R[X] pouvait être réductible dans C[X]. Cas des polynômes de degré impair Commençons par un résultat que l on peut obtenir par l analyse : Proposition 3. Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. Démonstration. Il suffit de voir que P(x) ± a n x n, ainsi les limites en plus et moins l infini sont infini et de signes contraires. Donc le polynôme étant continu, il s annule au moins une fois sur R, d après le théorème des valeurs intermédiaires. En conséquence, il est clair qu un polynôme de degré impair n est pas irréductible sur R. Racine complexe d un polynôme réel Maintenant si on prend un polynôme réel de degré pair, alors il a au moins (théorème de d Alembert) une racine dans C, noté α, mais P est réel, on obtient alors : Proposition 4. Soit P un polynôme réel, et α une racine dans C de P. Alors α est aussi racine de P. De plus l ordre de multiplicité de α dans P est le même que celui de α. Remarquons que si α / R, alors α et α sont distinctes. Démonstration. On note P a + a X +... a n X n. On a a + a α +... a n (α) n, donc en appliquant le conjugué, on obtient : a + a α +... a n (α) n, ainsi P(α) P(α). C est bien entendu équivalent, puisqu il suffit de remplacer α par α, pour obtenir la réciproque. Ou simplement remarque que P(α) P(α). Ainsi : P(α) P(α). Pour l ordre de multiplicité, il suffit d appliquer ce résultat aux dérivées successives de P. On peut donc rassembler les racines de P R[X] en trois parties :

20 CHAPITRE. POLYNÔMES les racines réelles, les racines complexes : (α,..., α p ), les conjugués des précédentes : (α,..., α p ), Décomposition dans R[X] en polynôme irréductible On obtient alors le résultat final : Proposition 5. Les seuls polynômes irréductibles dans R sont les polynôme de degré, et les polynômes de degré à discriminants strictement négatifs. De plus pour un polynôme réel P de degré n, on peut le factoriser sur R sous la forme : P a n q (X α l ) d l l p (X + γ i X + δ i ) e i i Les (α l ) il...q étant les seules racines de P d ordre de multiplicité d l. Démonstration. Plus qu une démonstration, nous allons écrire un algorithme qui permet de passer de la factorisation sur C[X] la factorisation sur R[X]. Montrons tout d abords que les seuls polynômes irréductibles dans R sont les polynôme de degré, et les polynômes de degré à discriminants strictement négatifs. On a déjà vu que ces polynômes sont irréductibles, il est aussi clair que si P est de degré avec un discriminant positifs, il a une racine donc n est pas irréductible. Soit donc un polynôme de degré supérieur ou égal à 3. Ce polynôme a une racine sur C, notée α. Si α est réel, alors P est réductible. Si α n est pas réel, alors α est une autre racine de P, distinctes car α α. Donc (X α)(x α) P, ce qui s écrit : Q C[X], P (X α)(x α)q. Or (X α)(x α) X R(α)X + α est un polynôme réel, donc en fait Q P X R(α)X + α est aussi un polynôme réel, de degré supérieur ou égal à, car degré P est supérieur à 3. Donc P n est par irréductible. Ainsi les seuls polynômes irréductibles sont ceux de degré et ceux de degré sans racines. La suite de la proposition n est qu une généralisation de ce qui précède. Soit P un polynôme réel. Commençons par se ramener à un polynôme sans racine réelle. Soit (α l ) il...q les racines réelles de P avec d l les ordres de multiplicité correspondants. On sait déjà que Q R[X] tel que : P q (X α l ) d l Q. l Le polynôme Q est sans racines réelles, en effet : Si α est distincts des racines de P, i.e. des (α l ) il...q, alors Q(α) ne peut être nul, puisque cela impliquerai que α soit une nouvelle racine réelle de P. Si Q(α i ), alors α i est racine d ordre au moins d i +. Ainsi, aucune racine de P n est racine de Q. Remarquons aussi que le terme dominant de Q est a n, i.e. le terme dominant de P. On est donc ramené à écrire le polynôme Q sous la forme : Q a n p i (X + γ i X + δ i ) e i. Pour cela, on décompose Q sur C sous la forme ; Q a n (X α i ) k i. i

21 CHAPITRE. POLYNÔMES Les α i étant forcément complexes, on les groupe par deux α i et α i, ces deux racines étant distinctes et avec le même ordre de multiplicité. On obtient : p p ( Q a n ((X α i )(X α i )) k i a n X R(α i )X + α i ) k i. i i D où le résultat en posant γ i R(α i ), et δ i α i. À retenir : Pour factoriser un polynôme P sur R, on peut le factoriser sur C, puis regrouper les racines complexes non réelles par deux, puisqu on est sûr qu à chaque racine complexes non réelle α, α est aussi racine. Cette méthode est appelée Méthode indirecte de factorisation sur R. V Opérations sur les polynômes en Scilab En Scilab, il existe une structure dédiée aux polynômes, dont l étude est hors programme. Le but de cette section est donc de reprogrammer une partie de ces fonctions. Un polynôme P(X) n k a k X k de degré n est déterminée par la donnée de ses coefficients. Il peut donc être représenté par un vecteur a, de taille n +, avec a[a,a,...a_n]. Notons en particulier le décalage d indice : le coefficient a(i+) étant a i Les opérations sur les polynômes se traduisent alors comme opérations sur les vecteurs selon : L addition Si on considère deux polynômes : P(X) n k a k X k et Q(X) m k b k X k, on peut calculer la somme des deux polynômes en calculant la somme de leur coefficient. La seule difficulté est d ajouter des zéros de manière à avoir des vecteurs de même taille. Puis d enlever les coefficients nuls, pour que la taille du vecteur soit égal au degré plus. function csommepoly(a,b) //entrée a,b vecteur des coefficients de P et Q //sortie c vecteur des coefficients de P+Q //calcul des degré de P et Q: nlength(a)-;mlength(b)-; // on ajoute des zéros de manière à avoir des vecteurs de même taille: if n>m a[a, zeros(m-n)]; elseif n<m b[b,zeros(m-n)]; end //on ajoute ensuite les deux vecteurs (qui sont maintenant de la même taille): ca+b; // on enlève ensuite les coefficient nuls à la fin ilength(c); while(c(i)) c(i)[]; ii-; end

22 CHAPITRE. POLYNÔMES endfunction Le produit Si on considère deux polynômes : P(X) n k a k X k et Q(X) m k b k X k, on peut calculer le produit des deux polynômes avec la formule : PQ i n j m a i b j X i+j. On balaie donc les vecteurs a et b en ajoutant le terme a i b j au coefficient i + j de c (modulo le décalage d indice). function cproduitpoly(a,b) //entrée a,b vecteur des coefficients de P et Q //sortie c vecteur des coefficients de PQ //calcul des degré de P et Q: nlength(a)-;mlength(b)-; //on met tous les coefficients à czeros(,n+m); //puis on y ajoute les différents termes: for i:n for j:m c(i+j+)c(i+j+)+a(i+)*b(j+); end end endfunction Dérivation

23 CHAPITRE. POLYNÔMES 3 Fiche méthodologique Factorisation directe des trinômes bicarrées réels BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Définition 3. On appelle trinôme bicarré tout polynôme du type X 4 +px +q, où p et q sont des réels. Le but de cette fiche est de factoriser ces polynômes directement dans R[X], sans passer par C[X]. Comme on l a vu ce polynôme (unitaire) se décompose dans R sous la forme d un produit de polynômes de degré à discriminant négatif, et de polynômes de degré, éventuellement à une certaines puissances. Comme P est de degré 4, la factorisation peut s écrire sous la forme de : deux polynôme de degré, ou un polynôme de degré au carré, i.e. : P (X + a X + b )(X + a X + b ), (a, b ) et (a, b ) distincts ou non. dans ce cas P n a pas de racines réelles. un polynôme de degré, et deux polynômes de degré (ou un seul mis au carré), i.e. : P (X + a X + b )(X λ )(X λ ), λ et λ distincts ou non. des polynôme de degré uniquement, i.e. : P (X λ )(X λ )(X λ 3 )(X λ 4 ) La première idée consiste à chercher les racines en posant : Y X. On obtient alors l équation (E) : Y + py + q. La factorisation dépend donc du signe du discriminant p 4q. Si celui-ci est positif, on obtient deux racines r et r. Ainsi P s écrit P (X r )(X r ). Si l une (ou les deux) racines sont positive, alors on peut factoriser (X r) sous la forme (X r)(x + r), on peut ainsi achever sans difficulté la factorisation sur R. Si toutes les racines sont négatives, on a bien fini la factorisation sur R. Sinon, on peut simplement conclure que P n a pas de racines réelles, et s écrit donc comme produit de deux polynômes de degré. Le cas compliqué est ainsi si <, étudions ce cas. Pour trouver la factorisation, on procède donc comme pour les polynômes de degré : on tente d écrire le polynôme comme le début d un carré. Si on utilise le terme X 4 et le terme px, on obtient : P X 4 + px + q (X + p ) p 4 + q (X + p ) p 4q 4 }{{} < On voit qu on est alors obligé de passer par les complexes pour finir la factorisation. On utilise donc les termes X 4 et q, on aimerait donc écrire : P X 4 + px + q (X + q) qx + px.

24 CHAPITRE. POLYNÔMES 4 Cela n est possible que si q >, ce qui est assuré par p 4q <, soit p < 4q, et donc en particulier q >. Une autre manière intéressante de voir ce point est que P n a pas de racines réelles, donc il est toujours strictement positif, donc la valeur en, i.e. q, est strictement positive. On obtient ainsi : P (X + q) qx + px (X + q) ( q p)x Pour pouvoir avancer, il faut que ( q p) >, ce qui est assuré par p < 4q, donc p < q, soit q < p < q. Donc en particulier ( q p) >. On peut donc continuer le calcul : P (X + q) ( q p)x (X + ( q) ( ) q p)x [ X ( q p)x + ] [ q X + ( q p)x + ] q. Ce qui achève bien la factorisation. On remarque au passage que l on retrouve bien des polynômes de degré à discriminant strictement négatifs. En effet, le discriminant des polynômes X ± ( q p)x + q est ( q p) 4 q q p, et cette valeur est négative puisque q < p < q, donc en particulier q p <. En résumé La méthode consiste à regarder le discriminant p 4q. Si celui-ci est positif ou nul, il suffit de poser Y X pour obtenir la factorisation. Sinon, la factorisation s écrit en utilisant le terme constant et le terme X 4 : P X 4 + px + q (X + q) qx + px. (X + q) ( q p)x (X + ( q) ( ) q p)x [ X ( q p)x + ] [ q X + ( q p)x + ] q. Exemples Pour P X 4 X, on a : 9, donc P (X )(X +) (X )(X + )(X +). Pour P X 4 +, on a : 4, on écrit donc : X 4 + (X + ) X (X X + )(X + X + ) Pour P X 4 + X + 4, on a 5, on écrit donc : X 4 + X + 4 (X + ) 3X (X 3X + )(X + 3X + )