Réciproque du théorème de Thalès Exercices corrigés

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1 Réciproque du théorème de Thalès xercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : xercices 1 et 2 : montrer le parallélisme de deux droites xercice 3 : problème de géométrie avec théorème de Pythagore et réciproque du théorème de Pythagore Rappel : Réciproque du théorème de Thalès Soient deux droites et sécantes en un point. Soient deux points et de, distincts de. Soient deux points et de, distincts de. B Si d une part, les points, et sont alignés dans cet ordre d autre part, les points, et sont alignés dans cet ordre et enfin si M A N C Alors les droites et sont parallèles. d d A quoi sert la réciproque du théorème de Thalès? à prouver que deux droites sont parallèles Remarque importante : l ne faut pas confondre la réciproque du théorème de Thalès et la contraposée du théorème de Thalès, cette dernière permettant de montrer que deux droites sont sécantes. 1

2 xercice 1 (1 question) Niveau : facile Soit la figure ci-contre. On sait que,, et. Prouver que les droites et sont parallèles. V N Correction de l exercice 1 1 ère étape : On repère la configuration. après la figure ci-contre, les droites sont sécantes en. et V une part, les points, et sont alignés dans cet ordre. autre part, les points, et sont alignés dans cet ordre. N 2 ème étape : On calcule les deux quotients de longueurs pour ensuite les comparer. Remarque importante : Attention! Les mesures de longueurs doivent être exprimées dans la même unité. On a enfin : t : Autrement dit, S il y a égalité, alors on cite la réciproque du théorème de Thalès. Remarque : Attention! Le quotient de deux longueurs n a pas d unité! 3 ème étape : On conclut. Par conséquent, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles. 2

3 xercice 2 (1 question) Niveau : moyen On considère la figure ci-contre telle que : Les droites et sont-elles sécantes? S U T Correction de l exercice 2 Commençons par exprimer chacune des longueurs dans la même unité (par exemple en centimètres) : S U T après la figure ci-contre, les droites et sont sécantes en. une part, les points, et sont alignés dans cet ordre. autre part, les points, et sont alignés dans cet ordre. On a enfin : On exprime toujours le quotient de longueurs sous la forme d une fraction irréductible. t : [ ] 3

4 Autrement dit, Par conséquent, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles. n d autres termes, les droites et ne sont pas sécantes. xercice 3 (3 questions) Niveau : difficile Soient : un rectangle tel que et un point [ ] tel que un point [ ] tel que B J C Les longueurs sont toutes exprimées dans la même unité. 1- Les droites et sont-elles parallèles? 2- Calculer la longueur du segment [ ]. 3- Préciser la nature du triangle. A Correction de l exercice 3 1- Commençons par analyser l énoncé : est un rectangle donc ses côtés opposés sont de même mesure, c est-à-dire et [ ] donc [ ] donc Précisons désormais si les droites et sont parallèles ou sécantes. B A J C après l énoncé, [ ] et [ ] donc les droites et sont sécantes en. une part, les points, et sont alignés dans cet ordre. autre part, les points, et sont alignés dans cet ordre. nfin, on a : 4

5 t : [ ] Autrement dit, onc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles. 2- Calculons. Le quadrilatère est un rectangle donc le triangle est rectangle en. Or, [ ] et [ ] donc est rectangle en. Par conséquent, d après le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle, on a l égalité : où : La longueur mesure. 3- Cherchons à préciser la nature du triangle. Pour cela, calculons les mesures des côtés et regardons si le triangle est rectangle. Par un raisonnement analogue à celui de la question précédente, comme [ ] le triangle est rectangle en. est un rectangle et comme onc, d après le théorème de Pythagore : l s ensuit que : 5

6 n outre, est un rectangle et comme [ ] donc le triangle est rectangle en. onc, d après le théorème de Pythagore : l s ensuit que : On a donc : Autrement dit, donc le triangle n est ni équilatéral ni isocèle. Vérifions si le triangle est rectangle. ans, [ ] est le plus long des trois côtés du triangle ; [ ] désigne donc l hypoténuse. une part, autre part, Autrement dit, on a l égalité suivante : onc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. 6