Espaces de Hilbert. Ch. Dossal Mars exercice 1 : exercice 2 :

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1 Espaces de Hilbert Ch. Dossal Mars 2012 exercice 1 : Soit H un espace préhilbertien réel. 1. Montrer l'égalité: x, y H, (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ). 2. Soit f L(H) tel que x H, f(x) = x. Montrer que (f(x), f(y)) = (x, y). 3. On suppose maintenant que H est un espace préhilbertien complexe. Montrer que x, y H, (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ) et en déduire comme dans le cas réel,le résultat de la uestion précédente. exercice 2 : Dans l 2, on considère F = {u l 2 /u 2k = 0, k N}. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel fermé de F. 2. Quel est l'orthogonal de F dans l 2? exercice 3 : Soit a = (a n ) une suite R. Donner une condition nécessaire et susante sur a pour que l'opérateur A déni par Au = (a n u n ) n 0 soit une application linéaire continue de l 2 dans l 2. exercice 4 : Soit H un espace de Hilbert, soit B la boule unité de H. Montrer l'existence de la projection sur H et la déterminer. exercice 5 : Dans chacun des cas suivants, montrer l'existence d'une projection sur la partie considérée et la déterminer: 1. dans R 3 muni du produit scalaire euclidien, A = {(x 1, x 2, x 3 )/ x 1 0, x 2 0, x 3 0} et B = {(x 1, x 2, x 3 )/x 2 1+x 2 2 1}. 2. dans l 2, A = {u/u 2k 0}. exercice 6 : Dans R 2, on considère pour a > 0 et b > 0, A = {(x, y)/ x2 a + y2 2 b 1} 2 1. On considère R muni du produit scalaire usuel. Montrer l'existence d'une projection sur A et la représenter graphiquement. 2. On considère maintenant que R est muni de la forme a((x, y), (x, y )) = xx a 2 + yy b 2 3. Quelle est la projection sur A pour ce produit scalaire? La représenter graphiquement. Montrer que a est un produit scalaire. exercice 7 : Dans chacun des cas suivants, décrire le projecteur sur le sous-espace vectoriel V de H. 1. H = R 2, V = {(x, y) R 2 /x 2y = 0} 2. H = R 3, V = Im(A) où A est la matrice A = H est un Hilbert, V est un sous-espace vectoriel fermé séparable de H, {e n, n 0] une base hilbertienne de V. 4. H = L 2 (0, 1) et V est le sous-espace des fonctions nulles presque partout sur ]0, 1 2 [ exercice 8 : On considère dans R 4 le sev V engendré par les vecteurs: v 1 = 0 1 v 2 = 0 1 v 3 = 0 0 v 4 = a Selon les valeurs de a, déterminer une base orthonormale de V.

2 exercice 9 : Soit H un espace de Hilbert séparable, (e n ) n 0 une base hilbertienne de H; Soit u l 2. Montrer que la série x = n N u n e n converge dans H. Que vaut (x, e n ). exercice 10 : Soit H un espace de Hilbert; V un sous-espace vectoriel fermé et non réduit à {0} de H, P v la projection orthogonale sur V. Montrer que: 1. P 2 = P, 2. x, y H, (P x, y) = (P y, x) = (P x, P y). 3. Caractériser Ker P et Im P ; montrer que H = Ker P Im P. exercice 11 : Soit P L(H). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: P est une projection orthogonale, i.e. l'image de P est un sous-espace vectoriel fermé de H et P est la projection orthogonale sur son image. P 2 = P et P = P. exercice 12 : Soit H un espace de Hilbert, V et W 2 sous-espaces vectoriels fermés et non réduits à {0} de H, P V et P W les projections orthogonales respectives sur V et W. 1. Montrer que si V et W sont orthogonaux, V + W est fermé. 2. Montrer que P V + P W est une projection si et seulement si V et W sont orthogonaux. exercice 13 : Montrer que la suite d'éléments (e k ) de l 2 dénie par e k n = δ k n est une base hilbertienne de l2. exercice 14 : Soit H = l 2 ; on note S l'application S : (u 0, u 1,...u n,...) (0, u 0, u 1,...u n,...). Soit u H. Montrer que S n u converge faiblement vers 0. La convergence est-elle forte? exercice 15 : 1. Calculer l 0, l 1, l 2. On dénit le nième polynôme de Legendre par l n (x) = dn (x 2 1) n dx n 2 n n! (1) 2. Montrer que pour tout n N, deg(l n ) = n et déterminer son coecient λ n de plus haut degré. 3. Déterminer la parité de l n. 4. En remarquant que (x 2 1) n = (x 1) n (x + 1) n et en utilisant la formule de Leibniz de la dérivation d'un produit : déterminer la valeur de l n (1). (fg) (n) = n k=0 n! k!(n k)! f (k) g (n k) (2) 5. Sur l'ensemble des fonctions polynômes on dénit le produit scalaire suivant : P, Q = 1 t= 1 P (t)q(t)dt. (3) En eectuant m + 1 intégrations par parties montrer que pour tout n 1 et pour tout m < n, l n, x m = 0. En déduire que pour tout n 1, la famille (l k ) k n forme une base orthogonale de l'espace des polynômes R n [x] pour ce produit scalaire. 6. Déterminer la valeur de l n+1, l n. En déduire celle de x n, l n (on pourra utiliser la valeur de λ n ) et enn la valeur de l n Calculer les valeurs des réels a, b, c qui minimisent l'intégrale: I = +1 1 ( x 3 ax 2 bx c ) 2 dx exercice 16 : Soit H un espace de Hilbert sur C et A L(H). On suppose que pour tout x H, on a: (Ax, x) R. Montrer que A est auto-adjoint. exercice 17 : Soit H = l 2 ; on considère l'opérateur T déni par (T u) n = u n+1.

3 1. Montrer que T est une application linéaire continue de H dans H. 2. Calculer la norme de T. 3. Déterminer l'adjoint de T. 4. Déterminer le noyau de T et l'image de T. 5. Déterminer T T et T T. exercice 18 : Soit H un espace de Hilbert et T L(H). On suppose que l'image de T est de dimension Montrer qu'il existe 2 vecteurs u, v H tels que pour tout x H, on ait: T x = (x, u)v. 2. Les vecteurs u et v sont-ils uniques? 3. Déterminer l'adjoint de T. exercice 19 : Soit H un espace de Hilbert et (e n ) un système orthonormal dans H. Soit (λ n ) une suite de C. On considère l'opérateur A déni par: Ax = n 0 λ n (x, e n )e n 1. A quelle condition sur la suite (λ n ) l'expression ci-dessus dénit-ellle un élément de L(H)? On suppose dans la suite que cette condition est vériée. 2. A quelle condition sur la suite (λ n ) l'opérateur A est-il auto-adjoint? On suppose dans la suite que cette condition est vériée. n 3. On considère l'opérateur A n déni par: A n x = λ k (x, e k )e k k=0 Montrer que pour tout x H, A n x Ax lorsque n +. A quelle condition sur la suite (λ n ) a-t-on A n A dans L(H) lorsque n. 4. On suppose que H est séparabe et (e n ) une base hilbertienne de H. On suppose aussi qu'il existe C > 0 tel que λ n C pour tout n N. Montrer que pour tout x H, Ax C x et en déduire que A est injectif et d'image fermée. A est-il surjectif? 5. Quel est le spectre de A? 6. A quelle condition sur la suite (λ n ) l'opérateur A est-il compact? exercice 20 : Soit f la fonction de période 2π telle que f(x) = x 2 π 2, π x π 1. Déterminer les série de Fourier de f, f, f et f et donner leur somme. 2. Calculer les sommes des séries suivantes: 1 n 2,, 1 n 4 exercice 21 : Soit H un espace de Hilbert sur R, a une forme linéaire continue et coercive sur H: On note A l'opérateur de L(H) déni par a(u, v) = (Au, v). Soit C un convexe fermé de H et P la projection sur C. u, v H a(u, v) M u v a(u, u) α u 2 1. Montrer que pour 0 < ρ < 2α M 2, l'application ϕ dénie sur H par: ϕ(u) = P (ρ(f Au) + u) admet un point xe unique. 2. En déduire que pour tout f H, il existe u C unique tel que a(u, v u) = (f, v u). exercice 22 : Soit F un sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Hilbert H et {e n } une base orthonormée de F On dénit l'opérateur A par: x F, Ax = 1 (x, e n )e n. n 1 n

4 1. Déterminer le spectre de A; l'opérateur A est-il compact? 2. Déterminer le spectre de B = A + I; B est -il compact? exercice 23 : Soit H = L 2 (0, 1) et g C(0, 1); on considère l'opérateur T déni par T f = gf. 1. Montrer que T L(H) et calculer sa norme. 2. Calculer T. 3. A quelle condition sur g l'opérateur T est-il un isomorphisme de H? exercice 24 : Soit (f n ) une suite croissante de fonctions positives, continues et 2π périodiques sur R, qui converge simplement vers une fonction f continue sur R. Que peut-on dire de la suite (c k (f n )) k Z des coecients de Fourier de f n? exercice 25 : Soit H = L 2 P (0, 2π). 1. Montrer que H est somme directe de 2 sous-espaces fermés de H dénis par: 2. Déterminer les projecteurs sur F i et F p. F i = {f H/ f impaire}, F p = {f H/ f paire} exercice 26 : Soit H un espace de Hilbert séparable et {e n } une base hilbertienne de H. Soit {λ n } une suite bornée de nombres réels tels que λ n 1 pour tout n N. On pose: a(x, y) = n N λ n (x, e n )(e n, y). Soit l H. 1. Montrer que a est une forme bilinéaire continue sur H. 2. Montrer que le problème suivant: trouver u H tel que pour tout v H, on ait a(u, v) = l(v) admet une solution unique et la caractériser. 3. Si maintenant on suppose que a(x, y) = (Ax, y) où A est un opérateur compact, le problème précédent est-il encore bien posé? exercice 27 : Soit H = L 2 (R) et V = {f Cc (R)/ f(t)dt = 0}. R 1. Soit ϕ Cc (R) telle que R ϕ(t)dt = 1. On pose: ϕ n(t) = 1 n ϕ( t n ), t R. Montrer que ϕ n 0 dans H. ( ) 2. Soit g Cc (R). On pose h n = g R g(t)dt ϕ n. Montrer que h n V. 3. En déduire que V C c (R). 4. Conclure que V est dense dans H. exercice 28 : Soit E = C 1 ([0, 1]) muni de la norme f C 1 = f + f et i l'injection j : C 1 ([0, 1]) C([0, 1]). Montrer que cette injection est compacte. exercice 29 : Soit k C 0 ([0, 1] 2 ; R). Pour f L 2 (0, 1), on pose: Kf(x) = 1. Montrer que Kf dénit une fonction de C 0 ([0, 1]; R). 2. On note E = {Kf/ f 2 1}. 3. Montrer que cet ensemble est équicontinu. 4. En déduire que K K(L 2 (0, 1)) et calculer son adjoint. 5. Pour f C 0 ([0, 1]), résoudre le problème: x [0, 1], 1 0 k(x, yf(y)dy d 2 g(x) = f(x), g(0) = g(1) = 0 dx2 Montrer que g se met sous la forme g = Kf pour un noyau k convenablement choisi.

5 6. Montrer que K est auto-adjoint et déterminer ses valeurs propres. 7. Trouver une base hilbertienne qui diagonalise H. exercice 30 : Soit E = L p ([0, 1]), 1 p < et l'application linéaire dénie sur E par Au(x) = xu(x). 1. Montrer que A est une application linéaire continue de E dans E et donner un majorant de sa norme. 2. Montrer que σ(a) [0, 1]. 3. Soit λ ]0, 1[. Montrer que λ σ(a); ( raisonner par l'absurde et obtenir une contradiction à l'aide des fonctions u ε (x) = (x λ) 1 p χ[0,λ ε] (x). 4. Montrer que λ C, A λi est injectif ( A n'a pas de valeurs propres). exercice 31 : On considère la suite de fonctions s n (x) = sin(nπx). 1. Déterminer l'orthogonal de {s n, n 1} dans L 2 ( 1, +1). 2. Soit H = L 2 (0, 1). Montrer que la suite s n est orthogonale dans H et calculer s n. On pose b n = sn s. n 3. Montrer que {b n } est une base hilbertienne de H. 4. Déterminer les coecients de Fourier de f(x) = e x dans {b n }. n 2 (e ( 1) n ) 2 En déduire que (1 + n 2 π 2 ) 2 = e2 1 4π 2.