PRODUIT SCALAIRE. 1. Produit scalaire de deux vecteurs. v dans. 1) Norme d un vecteur

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1 PRODUIT SCALAIRE Cours Première S Hermann Grassmann ( ) Au XIX e siècle, le mathématicien allemand Grassmann étudiant le phénomène des marées, développe le calcul vectoriel et définit le produit scalaire qu il appelle produit linéaire : «Il s agit du produit algébrique d un vecteur multiplié par la projection du second vecteur sur le premier». C est William Hamilton ( ), mathématicien et astronome irlandais, qui le nomme produit scalaire en 1853 car le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un réel (scalaire vient du latin scala qui signifie mesure). 1. Produit scalaire de deux vecteurs 1) Norme d un vecteur Définition 1 : Soient un vecteur u et deux points A et B tels que La norme du vecteur u, notée u, est la distance AB. u = AB. Ce n est pas une ) Définition multiplication Définition : Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire de u par v, noté uiv, est le nombre réel défini par : 1 = uiv + u v u v. ) Autres expressions du produit scalaire Définitions : Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire de u par v est le nombre réel défini aussi par : - uiv = xx + yy où ( x ; y ) et ( x ; y ) sont les coordonnées respectives de u et de un repère orthonormal quelconque. - Soit A, B et C trois points du plan tels que A B = u et AC = v. uiv = ABiAC = AB AC cos ( BAC). = u v cos u, v - v dans Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel 1

2 Démonstrations de l égalité de ces quatre expressions : Égalité entre les deux premières expressions : u + v a pour coordonnées ( x + x ; y + y ), donc u + v = x + x + y + y = x + xx + x + y + yy + y ; on en déduit que : 1 1 u + v u v = ( ) x + xx + x + y + yy + y x + y x + y 1 c est-à-dire + u v u v = xx +yy. Égalité entre les deuxième et troisième expressions : A ; i, j el que i et AB soient colinéaires et de même Choisissons un repère orthonormal sens. On note ( x ; y ) et ( x ; y ) les coordonnées respectivement de AB et AC dans ce repère. On a alors : x = AB, y = 0, x = AC cos( BAC ) et y = AC sin( BAC ). C Ainsi xx + yy A H B = AB AC cos ( BAC ) + 0 AC sin ( BAC ) = AB AC cos( BAC ). 3) Applications a) Application 1 Soit A ( ; 3), B (-1 ; 4) et C (- ; 1) trois points du plan muni d un repère orthonormal. Calculer AB BC. AB BC = = = 0. b) Application Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 3 (dans l unité de longueur choisie). Déterminer AB iac et AB ice. π 9 ABi AC = AB AC cos( BAC) = 3 3 cos = 3 4) Remarques Signe du produit scalaire : On déduit facilement le signe du produit scalaire AB AC suivant la nature de l angle BAC. En effet, les normes des deux vecteurs AB et AC sont positives. On en déduit donc que AB AC est du signe de cos BAC. - si 0 BAC π <, cos BAC > 0 et AB AC > 0.

3 - si BAC π =, cos BAC = 0 et AB AC = 0. π - si < BAC π, cos( BAC ) < 0 et AB AC < 0. Le produit scalaire de deux vecteurs dépend de leurs normes : Le cosinus d un angle est un réel compris entre 1 et 1. On a donc : u v uiv u v. Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires : - Si et On en déduit que : uiv = u v. - Si et On en déduit que : uiv = u v. u v sont colinéaires et de même sens, alors ( u, v ) = 0 et cos u, v = 1. u v sont colinéaires et de sens contraire, alors ( u, v ) = π et cos u, v = 1.. Propriétés 1) Opérations vectorielles Propriétés 1 : Soient u, v et w trois vecteurs non nuls du plan, et k un réel, on a : Symétrie : uiv = viu. Linéarité : ui( v + w) = uiv + uiw, ( u + v) iw = uiw + viw, ( ku) iv = k( uiv ) et ik = k i u v u v. Démonstration : On se place dans un repère orthonormal (seulement utile pour la démonstration) et on note ( x ; y ), ( x ; y ) et ( x ; y ) les coordonnées respectives de u, v et w. ui v + w = uiv + uiw ; les autres égalités se montrent de la même Montrons l égalité façon. v + w a pour coordonnées ( x + x ; y + y ). i + = x x + x + y y + y = xx + yy + xx + yy = i + i u v u v u w. Donc ( w) Remarque : D après la définition, = + = = + ui v u v u v u v u v u v u v 1 Or ui( v) = uiv ; d où = uiv + u v u v. On en déduit alors : Propriété : Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire de u par v, noté uiv, est le nombre réel défini par : 1 uiv = + u v u v. Conséquence : Soit A et B deux points du plan tels que AB = u et AC = v. Alors u v = AB AC = AB + CA = CB. 3

4 D après la propriété, on en déduit que 1 1 AB AC i = AB + AC CB = AB + AC BC i. 1 Propriété 3 : Soient A, B et C trois points du plan. AB AC = ( AB + AC BC ) Exemple : Calculer CG icf. 1 1 CGi CF = ( CG + CF GF ) = ( ) = 38 ) Carré scalaire et norme Définition 3 : Pour tout vecteur u du plan, le produit scalaire de u par lui même, appelé carré scalaire de u. On le note u. On a : u = uiu = u u = u. Ce qui donne, pour deux points A et B du plan : AB = AB = AB. uiu est Remarques : u est unitaire si, et seulement si, u = 1. Après quelques calculs, on retrouve des produits scalaires remarquables : + = + + i = + i u + v u v = u v. ( u v) u v u v ; u v u v u v ; Attention! : Il y a des ressemblances évidentes entre les règles de calcul du produit scalaire et celles sur les réels, mais il ne faut pas généraliser. En effet, on peut avoir uiv = 0 avec u 0 et v 0. D autre part, uiv = uiw n implique pas v = w. 3. Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Définition 4 : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque ( u, v) = + kπ ( k Z) Propriété 4 : u et v sont orthogonaux si, et seulement si, uiv = 0. Démonstration : Si u = 0 ou v = 0, le résultat est évident. Supposons 0 et 0 i = cos, u v. On a : u v u v ( u v ) u v = u v cos ( u, v ) π. π u v = u v = u v = + k k u v. On en déduit que : i 0 c os (, ) 0 (, ) π ( Z) ) Application 4

5 Soit ABCD un parallélogramme. Montrer que ABCD est un losange si, et seulement si, ses diagonales sont perpendiculaires. A D B C Posons u = AB et v = AD. ACiDB = u + v u v = u v = AB AD. Alors : D où ABCD est un losange si, et seulement si, AB = AD, c est-à-dire si, et seulement si, ACi DB = 0 ; ce qui équivaut à AC DB. 3) Projection orthogonale Définition 5 : Soient d une droite et M un point du plan. On appelle projeté orthogonal du point M sur la droite d l unique point d intersection H de la droite d et de la perpendiculaire à d passant par le point M. Propriété 5 : Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan tels que Soit H le projeté orthogonal du point B sur la droite ( OA ). Alors uiv = OAiOB = OAiOH. u = OA et v = OB. Démonstration : OAiOB = OAi( OH + HB) = OAiOH + OAi HB. Or les vecteurs OA et HB sont orthogonaux ; d où OA i HB = 0. Par conséquent, OAiOB = OAi OH. Remarque : OAi OB = OA OH OAi OB = OA OH 5

6 Exemple : Soit ABCD un carré de côté c. Soit I le milieu du segment [ AB ]. Déterminer AB iac, IB iid et AB iad. Comme B est le projeté orthogonal de C sur la droite AB, alors ABiAC = ABiAB = AB = c. Comme A est le projeté orthogonal de D sur la droite c c c ( I B), alors I BiI D = I BiI A = I B I A = =. 4 Comme AB et AD sont orthogonaux, alors AB i AD = 0. 6

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