Endomorphismes symétriques d un espace vectoriel euclidien

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1 E désigne un espace vectoriel euclidien de dimension n N. Le produit scalaire sur E sera noté <.,. >. 1 Endomorphismes symétriques - Généralités Définition 1 Soit u un endomorphisme de E. On dit que u est un endomorphisme symétrique de E si : x, y E, u(x), y = x, u(y) Notation : On note S(E) l ensemble des endomorphismes symétriques sur E. Proposition 1 S(E) est un sous espace vectoriel de L(E). Preuve - S(E) L(E) S(E) car id E S(E). Soient u, v S(E), α, β R. (αu + βv)(x), y = αu(x) + βv(x), y = α u(x), y + β v(x), y (bilinéarité du produit scalaire) = α x, u(y) + β x, v(y) (car u, v S(E)) = x,(αu + βv)(y) (bilinéarité du produit scalaire) Donc αu + βv S(E). Proposition 2 Soit u une application de E dans E. u est un endomorphisme symétrique si et seulement si : x, y E, u(x), y = x, u(y) Preuve - La condition est nécessaire (c est la définition même d un endomorphique symétrique). La condition est suffisante : Supposons que l application u vérifie : x, y E, u(x), y = x, u(y) 1

2 Il s agit de montrer que u est linéaire. Soient x 1, x 2 E, α R. u(x 1 + αx 2 ), y = x 1 + αx 2, u(y) = x 1, u(y) + α x 2, u(y) (bilinéarité du produit scalaire) = u(x 1 ), y + α u(x 2 ), y = u(x 1 ) + αu(x 2 ), y (bilinéarité du produit scalaire) Donc : y E, u(x 1 ) + αu(x 2 ), y = u(x 1 ) + αu(x 2 ), y donc u(x 1 + αx 2 ) = u(x 1 ) + αu(x 2 ). u est donc linéaire. Théorème 1 Caractérisation matricielle : Soit u un endomorphisme de E. u est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est symétrique. Preuve - Soit e = (e 1,..., e n ) une base orthonormale de E telle que mat(u; e) soit symétrique. Soit M = (m ij ) 1 i n = mat(u; e). Alors t M = M. 1 j n Soient x, y E, X = mat(x; e), Y = mat(y; e). u(x), y = t (MX)Y (car la base est orthonormale) = t X t MY (règle de calcul sur les transposées) x, u(y) = t X(MMY ) = t MY Comme t M = M, on a donc : x, y E, u(x), y = x, u(y). u est donc symétrique. Si u est un endomorphisme symétrique, alors pour tous x, y E, u(x), y = x, u(y) Soit e = (e 1,...e n ) une base orthonormale de E. Soit M = (m ij ) 1 i n la matrice de u relativement à la base e. 1 j n Alors pour tous X, Y M n,1 (R), t X t MY = t XMY. Donc t M = M et donc M est symétrique. Proposition 3 Soit u un endomorphisme de E. Alors : (ker(u)) = Im(u), (Im(u)) = ker(u) et E = ker(u) Im(u) Si F est un sous espace vectoriel de E stable par u, alors F est stable par u. Preuve - Soit y Im(u). x E, u(x) = y. Soit z ker(u). c S. Duchet - 2/6

3 y, z = u(x), z = x, u(z) (car u S(E)) = x,0 (car z ker(u)) = x, 0 = 0 donc y (ker(u)) donc Im(u) (ker(u)). Soit y (Im(u)). x 2 = u(y), u(y) = y, u u(y) (car u S(E)) = 0 (car y (Im(u)) et u u(y) Im(u)) donc u(y) = 0 donc y ker(u) donc (Im(u)) ker(u) donc (ker(u)) (Im(u)) (voir chapitre espaces euclidiens) Or, (Im(u)) = Im(u) (voir chapitre espaces euclidiens) Donc (ker(u)) Im(u). (ker(u)) = Im(u) donc (ker(u)) = (Im(u)). Or (ker(u)) = ker(u) donc ker(u) = (Im(u)). ker(u) est un sous espace vectoriel de E donc E = ker(u) (ker(u)) (voir chapitre espaces euclidiens). Or, (ker(u)) = Im(u) donc E = ker(u) Im(u). Soit E un sous espace vectoriel de E stable par u. Soit x F. Soit y F. u(x), y = x, u(y) = 0 (car x F, u(y) F car F est stable par u) donc u(x) F donc u(f ) F. c S. Duchet - 3/6

4 2 Réduction des endomorphismes symétriques Théorème 2 Soit u un endomorphisme de E. Alors : (i) Les sous espaces propres de u sont en somme directe; (ii) χ u est scindé dans R[X] (donc toutes les valeurs propres de u sont réelles); (iii) u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de u. Preuve - (i) Soient x, y deux vecteurs propres de u associés à des valeurs propres distinctes λ et ξ. Alors u(x) = λx et u(y) = ξy. Mais on a aussi : u(x), y = λx, y = λ x, y u(x), y = x, u(y) = x, ξy = ξ x, y Par conséquent, λ x, y = ξ x, y donc (λ ξ) x, y = 0. Or, λ ξ 0 donc x, y = 0, c est-à-dire x y. Par ailleurs, les sous espaces propres de u sont en somme directe (voir chapitre «éléments propres d un endomorphisme» ), d où le résultat. (ii) χ u, considéré comme élément de C[X] est scindé sur C[X]. Soit λ une racine de χ u dans C (λ est valeur propre complexe de u). Soit x un vecteur propre associé à la valeur propre λ : u(x) = λx. Soient e une base orthonormale de E, M = mat(u; e) et X = mat(x; e). on a donc : MX = λx t XMX = λ t XX t ( t XMX) = λ t ( t XX) t X t MX t X t MX = λ t XX = λ t XX Or M = M car M est à coefficients réels et t M = M car M est symétrique donc t XMX = λ t XX. Par conséquent, λ t XX = λ t XX. Si X = x 1. x n, alors t XX = n i=1 x i 2 donc t XX 0 car x 0. Par conséquent, λ = λ donc λ R. Les valeurs propres de u sont réelles et χ u est scindé dans R[X]. (iii) Démonstration par récurrence sur la dimension de E. notons P(n) la propriété suivante : c S. Duchet - 4/6

5 «si E est un espace euclidien de dimension n et si u est un endomorphisme symétrique de E, alors u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de u». Pour n = 1, le résultat est immédiat. Soit n N. Supposons P(n) vraie. Soit E un espace euclidien de dimension n + 1. Soit u un endomorphisme symétrique de E. D après (ii), u admet au moins une valeur propre réelle λ. Soit e 1 un vecteur propre unitaire associé à λ. Soit F = (Vect(e 1 )). Vect(e 1 ) étant un sous espace vectoriel stable par u, F est aussi stable par u (voir paragraphe précédent). Notons u F l endomorphisme induit par u sur F. u F est un endomorphisme symétrique de F et dim(f) = dim(e) dim(vect(e 1 )) = n. d après l hypothèse de récurrence, u F est diagonalisable et il existe une base orthonormale (e 2,...e n+1 ) de F formée de vecteurs propres de u F (donc de u). Alors u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de u : (e 1,..., e n+1 ). Donc P(n + 1) est vraie et par conséquent P(n) est vraie pour tout n N. 3 Application à la réduction des courbes du second degré On considère dans R 2 la courbe d équation : ax 2 +bxy +cy 2 +dx+ey +f = 0, a, b, c, d, e, f étant des réels tels que (a, b, c) (0, 0, 0). Notons (E) cette équation. Notons B la base canonique de R 2. Nous allons rechercher une équation réduite de (E). Soit q : R 2 ( R définie ) par (x, y) ax 2 + bxy + cy 2. q est une forme quadratique sur R 2. a b 2 mat(q; B) =. Notons A cette matrice. b 2 c x x, y R, q(x, y) = t XAX, où X =. y A est une matrice symétrique réelle donc A est diagonalisable et il existe une base orthonormée ( B ) de α 0 R 2 formée de vecteurs propres de A. Il existe donc P O(R 2 ), α, β R tels que t PAP =. 0 β x x Si X = R 2, notons X = P 1 X =. On a alors : y y q(x, y) = t XAX = t (PX )APX = t X ( t PAP)X ) = (x y α 0 x 0 β y = αx 2 + βy 2 c S. Duchet - 5/6

6 Soit l : R 2 R définie par (x, y) dx + ey + f. l(x, y) = LX + f, où L = d e. LP M 1,2 (R). Notons LP = l(x, y) = LPX + f = gx + hy + f g h. Donc dans le nouveau repère, l équation (E) devient : αx 2 + βy 2 + gx + hy + f = 0. 1er cas : α = 0 et β 0. βy 2 + gx + hy + f ) = β (y 2 + h β y + gx + f [ 2 = β y + h 2β h 2 4β ( = β y + h 2β ] + gx + f ) 2 + gx h2 4β + f { x = x Effectuons le changement de repère : y = y + h 2β C est une translation d un repère orthonormé donc le nouveau repère est aussi orthonormé. (E) devient dans le nouveau repère : βy 2 + gx + f = 0, avec f = f h2 4β. 2ème cas : β = 0 et α 0. On aboutit de même à une équation réduite de la forme αx 2 + hy + f = 0. 3ème cas : α 0 et β 0. αx 2 + βy 2 + gx + hy + f = α x 2 + g α x) + β (y 2 + h β y + f = α [ (x + g 2α = α ( x 2 + g 2α ) ] [ ( 2 g 2 + β y + h 4α 2 2β ) β y + h 2β + f { x = x + g 2α Effectuons le changement de repère : y = y + h 2β (E) devient dans le nouveau repère orthonormé : αx 2 + βy 2 + f = 0. ) 2 h 2 4β 2 ] + f c S. Duchet - 6/6