COURS DE SERIES TEMPORELLES THEORIE ET APPLICATIONS

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1 COURS DE SERIES TEMPORELLES THEORIE ET APPLICATIONS VOLUME Modèles linéaires multivariés : VAR et cointégration Introduction aux modèles ARCH et GARCH Introduction à la notion de mémoire longue Exercices corrigés et compléments informatiques ARTHUR CHARPENTIER arthur.charpentier@ensae.fr DESS Actuariat & DESS Mathématiques de la Décision

2 Contents Les séries temporelles multivariées 4. La notion de causalité Dépendence stochastique Causalité au sens de Granger La notion de cointégration Modèles à correction d erreur (ECM ) Tests de cointégration Généralisation à k variables Di érences entre les approches de Engle/Granger et de Johansen La modélisation VAR (p) La représentation V AR (p) Les modèles ARMAX ou V ARMA Estimation des paramètres d un modèle V AR Autocovariances et autocorrélations Application sur un exemple Prévision à l aide des modèles V AR Tests de bruit blanc des erreurs Test de causalité (Granger (969)) sur des mod èles VAR Les modèles V AR (p) : analyse des chocs Application des modèles V AR Application : investissement, revenu et consommation Application des modèles V AR : rendements d une action et d un indice Régression linéaire dans un cadre dynamique Les retards échelonnés Le modèle d ajustement partiel Les modèles autorégressifs à retards échelonn és (ADL (p;q)) Compléments : modèles multivariés sous SAS Estimation d un modèle VAR Estimation d un modèle à correction d erreur Conseils bibliographiques Les modèles ARCH - Autorégressifs Conditionellement Hétéroscédastiques 4. Notions de stationnarité et notions de linéarité Préséntation des modèles ARCH Processus ARCH () Processus ARCH (p) Processus GARCH (p;q) Modèles avec erreurs ARCH Erreurs ARCH () Erreurs ARCH (p) Remarque : test de racine unité en présence d erreurs ARC H Estimation et prévision Estimation des paramètres d un modèles ARCH La procédure de Diebold (987) : test d autocorrélation en présence d e et ARCH Prévision et intervalle de con ance Modèles ARCH et nance Liens entre temps continu et temps discret Modèles avec variance stochastique/déterministe en temps continu Modèles avec variance stochastique/déterministe en temps discret Autres types de modèles non-linéaires Les modèles bilinéaires - notés BL (p;q;p;q) Les modèles autorégressifs exponentiels - EXP AR Les modèles autorégressifs à seuils - TAR, STAR ou SETAR Les généralisations des modèles ARCH Les tests de linéarité Les tests du multiplicateur de Lagrange

3 .7. Le test du CUSUM Le test BDS Le test RESET (Regression error speci cation test ) La procédure AUTOREG sous SAS=ETS Application sur des données réelles Modélisation GARCH du CAC Modélisation des rendements du cours Intel : modèle ARCH Modélisation des rendements de l indice S&P : modèle GARCH Modélisation des rendements de l action IBM (avec dividendes) : modèle TAR Modélisation du taux de chômage aux Etats Unis : modèles TAR et ARCH Conseils bibliographiques Compléments sur les séries temporelles en nance Introduction historique Complément sur les données disponibles Introduction à la notion de mémoire longue 75. Processus self-similaires Accroissements stationnaires de processus self-similaires Processus FARIMA - ARIMA Fractionnaires Processus fractionnaire sans composante AR et MA : processus FARIMA (;d; ) Autocorrélations des processus ARF IMA Estimation du paramètre d Méthode du log-autocorrélogramme Méthode du log-périodogramme Méthode de Whittle Exemples d applications des processus à mémoire longue Applications en nance : rendements d indices boursier Applications en nance : taux de change Applications en hydrologie Applications en économie Conseils bibliographiques Compléments : exercices Exercices avec correction Examen de / Examen de / Examen de / Compléments : simulation de séries temporelles 5. Simulation de processus en temps discret Simulation d un bruit blanc gaussien Simulation d un processus ARMA Simulation d un processus ARCH Introduction à la simulation de processus en temps continu Compléments : Logiciels de séries temporelles 6 6. Introduction à EViews Les données sous EViews Les graphiques sous Eviews La régression linéaire sous Eviews Estimation des paramètres () () Statistique de Student F () (4) Coe cient R (5) (6) Somme des carrés (7) (8) Log-vraissemblance du modèle (9) Test du Durbin-Watson () Dependent var () () Critère d Aikaïké () et de Schwarz (4)

4 6..9 Statistique de Fisher F (5) (6) Statistique sur les résidus Copier/coller des sorties dans un rapport La régression linéaire sur d autres logiciels Lecture de l autocorrélogramme sous Eviews Estimation d un modèle ARMA sous Eviews Racines des polynômes AR et MA (7) Tests sur les erreurs " t Les sorties de la procédure ARIMA sous SAS Utilisation de SAS avec des séries chronologiques Méthode de lissage exponentiel : Holt-Winters Modèles ARIMA sous SAS Syntaxe de la procédure ARIMA sous SAS La lecture des sorties SAS

5 V_DISTRIB V_SERVICE_FI Séries temporelles : théorie et applications Les séries temporelles multivariées Les graphiques ci-dessous donnent l évolution des indices sectoriels du CAC, pour les secteurs de l agro-alimentaire, de la distribution, des services nanciers, et de l immobilier. Un portefeuille diversi é pourrait correspondre à un portefeuille comportant des titres de chacun de ces secteurs. Pour prévoir les rendements futurs du portefeuille, il convient de modéliser conjointement l évolution de ces di érents indices. Comme le con rment les graphiques ci-dessous, l évolution de ces indices ne se fait pas indépendemment les uns des autres..8 V_AGRO_ALIM.4. AGRO_ALIM DISTRIB IMMO RESID V_IMMO Le graphique de gauche correspond à l évolution conjointe de ces indices, alors que les graphiques de droites permettent de comparer les rendements de ces indices. Nous allons introduire dans cette partie un certain nombre de concepts a n de bien comprendre la dynamique de la dépendence entre di érentes séries (notions de dépendence, de causalité, de cointégration...). Nous verrons également une classe de modèles, généralisant les modèles AR (p) univariés dans un cadre multivarié : les modèles V AR (p). Exemple Le graphique ci-dessous représente l évolution du spread des obligations d Etat pour l Argentine, le Brésil et le Mexique, entre 997 et, source : Bazdresch, S & Werner, A.M. Contagion of International nancial crises : the case of Mexico (). 4

6 . La notion de causalité.. Dépendence stochastique Dépendance à partir les lois conditionnelles : information de Kullback Kullback par µ µ f (yjx) K (yjx) = E log jx : f (y) On peut dé nir l information de D après la propriété de Jensen, µ µ µ µ µµ f (yjx) f (y) f (y) K (yjx) = E log jx = E log jx log E jx = ; f (y) f (yjx) f (yjx) et on peut noter que K (yjx) = si et seulement si f (yjx = x) = f (y) presqe sûrement. Remarque Dans le cas gaussien, cov (X;Y ) = si et seulement si X et Y sont indépendants. Supposons que µ X X s N ; XY : Y Y X Y Alors les lois marginales et conditionelles véri ent Y s N (; Y ), et Y jx s N (E (YjX);V (Y jx)) où ½ E (Y jx) = Y X X X V (YjX) = Y Y X X XY : Aussi la loi du rapport gurant dans l information de Kullback est donné par f (yjx) f (y) = p µ det (V (Y )j) p exp det (V (Y jx)) [Y E (Y jx)] V (Y jx) [Y E (Y jx)] ; d où nalement (après calculs) µ f (y) log = h ³ i f (yjx) log det V (Y ) :V (YjX) : La notion de causalité La loi du processus est la loi du processus du couple (X t ;Y t ). Cette dernière s écrit, à la date t; conditionellement au passé (noté x t et y t ), ` ³x t ;y t jx t ;y t. Dans le cas où les processus (X t ) et (Y t ) sont indépendants, alors ` ³x t ;y t jx t ;y t = ` ³x t jx t ` ³y t jy t : On peut montrer que ` ³x t ;y t jx t ;y t = ` ³x t jx t ` ³y t jy t ` ³x t jx t ;y t ` ³x t jx t ` ³y t jx t ;y t ` ³y t jy t ` ` ³x t ;y t jx t ;y t ³x t jx t ;y t ` ³y t jx t ;y t : En passant au log et en prenant l espérance (et en multipliant par ) alors ` ³x t ;y t jx t ;y t ` ³x t jx t ;y t A = E@log A ` ³x t jx t ` ³y t j;y t ` ³x t jx t {z } {z } Mesure de dépendance C X;Y Causalité unidirectionnelle C Y!X +E@log ` ³x t jx t ;y t ³x t ;y t jx t ;y t ` ³y t jx t ;y t + E@log A ` ³y t jy t {z } Causalité unidirectionnelle C X!Y A: ` ` ³y t jx t ;y t {z } Causalité instantannée C XÃ!Y 5

7 .. Causalité au sens de Granger Soient (X t ) et (Y t ) deux séries temporelles, et notons le passé de (X t ) et (Y t ), X t = fx t ;X t ;:::g et Y t = fy t ;Y t ;:::g. Granger a introduit en 969 di érentes notions de causalité : Dé nition (i) Y cause X à la date t si et seulement si E X t jx t ;Y t 6= E Xt jx t : (ii) Y cause X instantanément à la date t si et seulement si Il y a équivalence entre () X ne cause pas Y instantanément à la date t () Y ne cause pas X instantanément à la date t Exemple Soient (X t ) et (Y t ) dé nis par E X t jx t ;Y t 6= E Xt jx t ;Y t : ½ Xt = " t + Z t + Z t Y t = Z t ; où (" t ) et (Z t ) sont des bruits blancs indépendants. (i) E X t jx t ;Y t = Zt = Y t : Y cause X à la date t si et seulement si 6= ; (ii) E X t jx t ;Y t = Zt + Z t = Y t + Y t : il y a causalité instantanée de Y vers X si et seulement si 6= :. La notion de cointégration L analyse de la cointégration permet d identi er la relation entre plusieurs variables. Cette notion a été introduite dès 974 par Engle et Newbold, sous le nom de spurious regressions, ou régressions fallacieuses, puis formalisée par Engle et Granger en 987, et en n par Johansen en 99 et 995. Une série est intégrée d ordre d s il convient de la di érencier d fois avant de la stationnariser. Dé nition La série (X t ) sera dite intégrée d ordre d (d ) si d X t n est pas stationnaire et d X t est stationnaire. Une série stationnaire sera dite intégrée d ordre. Remarque Soient (X t ) une série stationnaire et (Y t ) intégrée d ordre, alors (X t + Y t ) est intégrée d ordre. Toutefois, si (X t ) et (Y t ) sont intégrées d odre d, alors (X t + Y t ) peut être soit intégrée d ordre d, soit stationnaire (dans le cas où les tendances s annulent). Le graphique ci-dessous à gauche présente deux séries non-cointégrées, alors que le graphique de droite correspond à des séries cointégrées OEUFS POULET PIB CONSOMMATION avec à droite, les P IB et la consommation aggrégée en France, et à gauche, le prix de la douzaine d oeufs et d un poulet, aux Etats Unis. Comme nous le verrons plus tard, même si les courbes de gauche semblent avoir une tendance commune, elles ne sont pas pour autant coïntégrées. Dé nition Deux séries (Xt) et (Yt) sont cointégrées si (i) (X t ) et (Y t ) sont intégrées d ordre d (ii) il existe une combinaison linéaire de ces séries qui soit intégrée d ordre strictement inférieur à d, noté d b 6

8 Dans le cas de l intégration, on notera X t s I (d), et pour la cointégration X t ;Y t s CI (d;b). Le vecteur ( ; ) tel que X t + Y t s I (d b) sera appelé vecteur de cointégration. Exemple Le cas le plus simple est le suivant : deux séries (X t ) et (Y t ) intégrées d ordre seront cointégrées s il existe une combinaison linéaire X t + Y t telle que le processus (Z t ) dé ni par Z t = X t + Y t soit stationnaire. Aussi, si X t est intégré d ordre (par exemple une marche aléatoire), et si (" t ) un un bruit blanc (X t ) et (X t + " t ) sont cointégrés. Ce cas est représenté ci-dessous, avec à gauche (X t ) et (Y t ) où Y t = X t + " t +, et à droite la di érence ( + " t ) PROCESSUS_X PROCESSUS_Y PROCESSUS_DIFF Les graphiques ci-dessous représentent les séries (X t ) et (Z t ) où Z t = X t + " t +, et à droite la somme ( " t ) PROCESSUS_X PROCESSUS_Z PROCESSUS_SOMME Les deux combinaisons linéaires étant stationnaires, les séries sont cointégrées. La notion de cointégration peut également se visualiser en représentant le nuage de points (scatterplot) des observations (X t ;Y t ) - à gauche - et (X t ;Z t ) - à droite 5 5 PROCESSUS_X 5 PROCESSUS_X PROCESSUS_Y PROCESSUS_Z Remarque Le dernier point de l exemple précédant permet d avoir d avoir une intuition visuelle sur la présence ou absence de relation de cointégration (linéaire) entre les variables présentées initialement, avec à gaucheles observations 7

9 des prix du poulet et des oeufs, et à droite, le PIB et la consommation OEUFS PIB POULET CONSOMMATION.. Modèles à correction d erreur (EC M) Les modèles dits à correction d erreur ont été introduits au début des années 8, par Hendry en particulier. Ces modèles dynamiques permettent d intégrer les évolutions à long terme et à courte terme des variables. Consédérons deux variables (X t ) et (Y t ) cointégrées d ordre (X t ;Y t s CI (; )) et soit [ ; ] le vecteur de cointégration. L idée des modèles à correction d erreur est de considérer des relations de la forme Y t = X t + ¹ [Y t X t ] + " t ; () ce qui revient à décomposer un processus stationnaire ( Y t ) en une somme de deux processus stationnaires ( X t et Y t X t ). De façon plus générale que (), ces modèles s écrivent Y t = ¹ + px i Y t i + i= qx b i X t i + c [Y t X t ] + t; () j= où les variables interviennent soit à travers leurs di érences premières (supposées stationnaires), soit à travers un terme d écart à la cible à long terme, à la période précédante (qui doit être stationnaire si la théorie économique sous-jacente est pertinente ). Propriété Théorème de représentation de Granger - Toutes les séries cointégrées peuvent être représentées par un modèle à correction d erreur Preuve. Engle,R.E. & Granger,C.W.J. (987). Cointegration and error-correction : representation, estimation and testing. Econometrica. 55 Remarque 4 Le théorème de représentation de Granger présente l intérêt de faire la synthèse entre les deux approches: - l approche ECM issue de l idée de concilier des préoccupations de théorie économique avec une écriture rigoureuse des équations économétriques - l approche VAR (que nous développeront dans la partie suivante) issue d une approche purement statistique, de type boîte noire. Exemple 4 Considérons les variables économiques (C t ) et (R t ), correspondant respectivement à la consommation et au revenu. D un point de vue théorique, il est souvent admis qu il existe une relation à long terme de la forme C t = R t, ce qui donne, sous forme logarithmique, c t = k + r t: D un point de vue économique, l expression long terme ne correspond pas uniquement à une valeur limite, mais plus généralement, à un comportement asymptotique : on suppose que l on a une chemin de croissance équilibré à taux constant, i.e. c t c t = cste. On suppose qu il existe une relation dynamique liant consommation et revenu de la forme suivante, A (L)c t = ¹ + B (L) + " t () où A et B sont ici supposés de degré p et q respectivement, et où (" t ) est un bruit blanc. Or, d après la formule de Taylor, il est possible d écrire A (L) = A () + ( L) A (L) où A (L) = 8 px ( ) k A (k) () ( L) k ; k! k=

10 et de même B (L) = B () + ( L)B (L). Par substitution dans (), on peut alors écrire A () c t = ¹ A (L) c t + B () r t + B (L) r t + " t : On dit que cette expression combine les termes en niveau et les termes en di érence première. D après la relation de long terme ( c t = ¹ C, r t = ¹ R et c t = k + r t: ) on en déduit A ()c t = ¹ A (L)¹ C + B () r t + B (L)¹ R ; (4) en supposant le terme d erreur nul à long terme. (4) est dite relation de long terme associée à (). Il faut toutefois rajouter l équation suivante, correspodant à l hypothèse d élasticité unitaire de la consommation au revenu, A () = B (). Dans le cas par exemple, où p = q =, alors A (L) = + a L et B (L) = b + b L, alors () s écrit d où nallement c t + a c t = ¹ + b r t + b r t + " t ; c t = ¹ ( + a ) c t + b r t + (b + b ) r t + " t : Et en utilisant l égalité A () = B () =, cette équation s écrit c t = ¹ ( + a ) [c t r t ] + b r t + " t : qui correspond à l écriture proposée dans l équation (). Sous la forme c t = [¹ + ( + a )k] ( + a ) [c t r t k] + b r t + " t : il s agit de la forme générale d un modèle à correction d erreur, décrivant l ajustement instantané de la consommation c t aux varations de revenu et à l écart à la cible à long terme, (c t r t k). De façon pratique, supposons que l on dispose de (ou plus) séries (X t ) et (Y t ) intégrées à l ordre. Notons Z t = (X t ;Y t ). D après le théorème de Wold, on peut représenter (Z t ) sous la forme ( L) Z t = (L)" t où (" t ) est un bruit blanc (en dimension ), () = I et aucune ligne de () n est nulle (sinon une des composantes est stationnaire). (i) si les composantes (X t ) et (Y t ) ne sont pas cointégrées, alors le vecteur (Z t ) peut s écrire sous forme V AR, ou V ARMA, en di érences premières, (L) Z t = " t ou (L) Z t = (L)" t : (ii) si les composantes (X t ) et (Y t ) sont cointégrées, alors le vecteur (Z t ) peut s écrire sous forme V ARMA, A (L) Z t = B (L)" t, avec une représentation à correction d erreur A (L) Z t = Z t + B (L)" t. La relation V ARMA est dite relation de court terme, et la seconde relation de long terme, dans laquelle apparait une force de rappel vers la cible de long terme... Tests de cointégration A n de tester la cointégration entre deux variables, on peut utiliser l algorithme mis en place par Engle et Granger. () tester l ordre d intégration des variables : une des conditions nécessaire pour qu il y ait cointégration étant que les deux séries doivent être intégrées de même ordre. Ces tests reposent sur l utilisation des tests de Dikey & Fuller. On cherche alors d tel que X t s I (d) et Y t s I (d). () estimation de le relation de long-terme. Compte tenu du thérème de représentation de Granger, il est également possible de tester la cointégration en estimant le modèle à correction d erreur associé. Cette estimation peut se faire en deux étapes, en estimant par mco la relation de long-terme Y t = b + b X t + b" t ; puis en estimant, toujours par mco la relation de court-terme Y t = X t + ¹b" t + t: Le coe cient ¹ doit alors être signi cativement négatif : dans le cas contraire, on rejette l hypothèse d une modélisation de la forme ECM:.. Généralisation à k variables La notion de cointégration peut se généraliser de à k variables. 9

11 ..4 Di érences entre les approches de Engle/Granger et de Johansen Comme nous venons de le voir la méthode de Engle et Granger (987) s articule en deux étapes () régression statistique entre variables intégrées (après avoir véri é que les variables sont intégrées de même ordre ) () test de véri carion de la stationnarité des résidus (test de Dikey & Fuller) La méthode Johansen consiste à tester les restrictions imposées par la cointégration sur le modèle VAR non restreint. On considère un modèle V AR (p) de la forme Y t = A Y t + :: + A p Y t p + " t ou Y t = Y t + Y t + Y t + ::: + p Y t p+ + " t ; (5) où = (A + ::: + A p ) I et i = (A i+ + ::: + A p ). Le théorème de représentation de Granger a rme alors que le coe cient de la matrice a un rang réduit r < k, nombre de variables cointégrées, et donc, il existe des matrices U et V de rang r, telles que = UV et telles que V Y t soit stationnaire. r est alors le nombre de relations de cointégration (rang de cointégration), chaque clonne de V est le vecteur de cointégration, et les éléments de U sont des paramètres d ajustement. La méthode de Johansen consiste à estimer la matrice et de voir si on peut rejeter des restrictions impliquées par le rang réduit de : si on ak variables endogènes, toutes avec une racine unitaire (non stationnaire, mais stationnaire après di érenciation - une fois ), on peut avoir k relations de cointégration linéaires indépendantes. S il n y a aucune relation de cointégration, des analyses standards de séries chronologiques telles que les VAR peuvent être appliquées aux di érences premières des données. Exemple 5 Sur les données détaillées dans l exemple (::5), intégrées, le test de de causalité de Granger proposé par EV iews donne les résultats suivants, à droite Z Z Pairwise Granger Causality Tests Sample: 99: 999: Lags: Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability Z does not Granger Cause Z Z does not Granger Cause Z Lags: Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability Z does not Granger Cause Z E-9 Z does not Granger Cause Z Lags: Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability Z does not Granger Cause Z E-8 Z does not Granger Cause Z avec à gauche les courbes des processus Z et Z. Trois cas sont présentés ici : lorsque le modèle contient, et retards. L hypothèse nulle est ici qu il n y a pas causalité, à savoirque Z ne cause pas Z dans la première équation, et que X ne cause pas Y dans la seconde. Ici, on rejette l hypothèse nulle selon laquelle Z ne cause pas Z car la puissance associée aux tests est très faible (dans les trois cas), et au seuil 5, on accepte l hypothèse que Z cause Z au sens de Granger. Au contraire, on rejete l hypothèse de causalité de Z vers Z. Ce test (test de Johansen) est un test de coïntégration : il n est donc valable que sur des variables non-stationnaires.

12 Le test de Johansen est présenté ci-dessous Included observations: 9 Test assumption: No deterministic trend in the data Series: Z Z Lags interval: to 4 Likelihood 5 Percent Percent Hypothesized Ratio Critical Value Critical Value No. of CE(s) Eigenvalue None most At *(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(%) significance level L.R. rejects any cointegration at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: Z Z Included observations: 9 Test assumption: No deterministic trend in the data Series: Z Z Lags interval: to 4 Likelihood 5 Percent Percent Hypothesized Ratio Critical Value Critical Value No. of CE(s) Eigenvalue None most At *(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(%) significance level L.R. rejects any cointegration at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: Z Z Normalized Cointegrating Coefficients: Cointegrating Equation(s) Z Z (.77) Log likelihood Normalized Cointegrating Coefficients: Cointegrating Equation(s) Z Z C (.5) Log likelihood Included observations: 9 Test assumption: No deterministic trend in the data Series: Z Z Lags interval: to Likelihood 5 Percent Percent Hypothesized Ratio Critical Value Critical Value No. of CE(s) Eigenvalue None most At *(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(%) significance level L.R. rejects any cointegration at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: Z Z Normalized Cointegrating Coefficients: Cointegrating Equation(s) Z Z. -. (.59) Sample: 99: 999: Included observations: 9 Series: Z Z Lags interval: to Data Trend:None None Linear Linear Quadratic Rank No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. No Trend No Trend No Trend Trend Trend Log Likelihood by Model and Rank Akaike Information Criteria by Model and Rank Schwartz Criteria by Model and Rank L.R. Test: Rank = Rank = Rank = Rank = Rank = Log likelihood EViews propose plusieurs options pour les tests de cointégration. La sortie en bas à droite est la sortie récapitulative. Pour les autres, les valeurs propres sont présentées dans la première colonne. Le LR - Likelihood Radio - est dé ni par kx Q (r) = T log ( i); pour r = ; ;:::;k ; i=r+ où i est la ième valeur propre (lorsqu elle sont rangées par ordre croissant). Cette statistique est aussi appelée statistique de la trace. La première ligne de la cinquième colonne (Hypotheized No. of CE(s)) teste l hypothèse de non-cointégration (r = : relation de cointégration). Ladeuxième ligne teste l hypothèse d une relation de coïntégration (r = ), la deuxième ligne teste l hypothèse de deux relations de coïntégration (r = )...etc. Toutes ces hypothèses sont testées contre l hypothèse alternative que la matrice est de plein rang (c est à dire que toutes les séries sont stationnaires). Dans l exemple ci-dessus, la statistique de la trace ne rejette aucune des hypothèse au seuil de 5% : il n y a donc aucune relation de cointégration car on n a pas rejeté (None) relation de cointégration pour au moins une. Le vecteur de cointégration n est pas identi é, à moins d imposer une normalisation arbitraire : EViews adopte une normalisation de sorte que les r premières séries dans le vecteur Y t soient normalisés à une matrice identité. Dans le cas présenté en haut à droite, par exmple, la relation de cointégration normalisée qui fait l hypothèse ( ctive) d une relation de cointégration est donnée par Normalized Cointegrating Coefficients: Cointegrating Equation(s) Z Z C (.5) Log likelihood ce qui donne la relation de cointégration de la forme Z :887:Z + :869. En n, le graphique ci-dessous montre le scatterplot de (Z ;Z ), qui montre (graphiquement) qu il n y a pas de relation de cointégration a priori, compte tenu Les 5 cas étudiés sont les suivants : (i) pas de trend, pas de constante dans la relation de coïntégration Y t = Y y (ii) pas de trend dans la relation de coïntégration Yt = ( Yy +¹) (iii) trend linéaire dans la relation de coïntégration Y t = ( Y y +¹)+? (iv) trend linéaire dans la relation de coïntégration Yt = ( Yy +¹+ t)+? (v) trend quadratique dans la relation de coïntégration Yt = ( Yy +¹+ t)+? ( +±t)

13 de cette rupture pour les valeurs positives, avec deux tendances distinctes. - Z Z Pour reprendre l exemple introductif, les prix de la douzaine d oeufs et d un poulet, bien que non-stationnaires, ne sont pas pour autant coïntégrées, OEUFS POULET omme cela peut se voir sur les sorties des tests de Johansen Included observations: 67 Test assumption: Linear deterministic trend in the data Series: OEUFS POULET Lags interval: to Likelihood 5 Percent Percent Hypothesized Ratio Critical Value Critical Value No. of CE(s) Eigenvalue None most At * *(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(%) significance level L.R. rejects any cointegration at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: OEUFS POULET Normalized Cointegrating Coefficients: Cointegrating Equation(s) OEUFS POULET C (.45) Log likelihood La lecture des sorties des tests de cointégration sous Eviews 4. se fait de la façon suivante, On considère un modèle V AR pour (Y t ), à savoir Y t = A Y t + ::: + A p Y t p + " t, où (Y t ) est un vecteur de processus I (). On réécrit alors ce modèle sous la forme décrite ci-dessus, à savoir Y t = Y t + Y t + Y t + ::: + p Y t p+ + " t ;

14 où = (A + ::: + A p ) I et i = (A i+ + ::: + A p ). D après le théorème de représentation de Granger, il existe et matrices k r, où r < k, telles que = et telles que Y t soit stationnaire. r est alors le nombre de relations de cointégration, et les colonnes de correspondent aux vecteurs de cointégration. De la même façon que Johansen (995) 5 cas sont distingués, suivant la tendance retenue,. Pas de tendance déterministe pour (Y t ), équations de cointégration sans constantes,. Pas de tendance déterministe pour (Y t ), équations de cointégration avec constantes,. Tendance déterministe pour (Y t ), équations de cointégration avec constantes, 4. Tendance déterministe pour (Y t ), équations de cointégration avec tendances linéaires, 5. Tendance quadratique pour (Y t ), équations de cointégration avec tendances linéaires. Les modèles testés s écrivent alors. Y t = Y t. Y t = Y t + ¹. Y t = Y t + ¹ + 4. Y t = Y t + ¹ + t + 5. Y t = Y t + ¹ + t + + t Il est d ailleurs possible sous Eviews de rajouter des compostantes exogènes. On considère alors des modèles de la forme Y t = A Y t + :: + A p Y t p + +BX t + " t. Exemple 6 Pour reprendre l exemple introductif, les PIB français et l indice de la cnsommation sont des séries non-stationnaires, et cointégrées, PIB CONSOMMATION comme cela peut se voir sur les sorties des tests de Johansen Included observations: 9 Test assumption: No deterministic trend in the data Series: PIB CONSOMMATION Lags interval: to Likelihood 5 Percent Percent Hypothesized Eigenvalue Ratio Critical Value Critical Value No. of CE(s) None ** At most * *(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(%) significance level L.R. test indicates cointegrating equation(s) at 5% significance level Unnormalized Cointegrating Coefficients: PIB CONSOMMATION Normalized Cointegrating Coefficients: Cointegrating Equation(s) PIB CONSOMMATION (.58) Log likelihood -44.5

15 Il est toutefois possible, sur la version 4., d obtenir des sorties plus complètes sur ce test, Included observations: 9 after adjusting endpoints Trend assumption: Quadratic deterministic trend Series: CONSOMMATION PIB Lags interval (in first differences): to Unrestricted Cointegration Rank Test Hypothesized Trace 5 Percent Percent No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Critical Value None At most * *(**) denotes rejection of the hypothesis at the 5%(%) level Trace test indicates no cointegration at both 5% and % levels Hypothesized Max-Eigen 5 Percent Percent No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Critical Value None At most * *(**) denotes rejection of the hypothesis at the 5%(%) level Max-eigenvalue test indicates no cointegration at both 5% and % levels Unrestricted Cointegrating Coefficients (normalized by b'*s*b=i): CONSOMMA PIB TION Unrestricted Adjustment Coefficients (alpha): D(CONSOMM ATION) D(PIB) Cointegrating Equation(s): Log likelihood Normalized cointegrating coefficients (std.err. in parentheses) CONSOMMA PIB TION (.85) Adjustment coefficients (std.err. in parentheses) D(CONSOMM -.49 ATION) (.9) D(PIB).598 (.695) La lecture de la sortie se fait de la façon suivante : il s agit ici d un test de type ADF où les deux séries sont supposées avoir une tedance et une constante Sample: 96 Included observations: 9 Series: CONSOMMATION PIB Lags interval: to Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Selected (5% level) Number of Co integrating Relations by Model (columns) Trace Max-Eig Log Likelihood by Rank (rows) and Model (columns) Akaike Information Criteria by Rank (rows) and Model (columns) *.586* Schwarz Criteria by Rank (rows) and Model (columns) *.8955* La modélisation V AR(p).. La représentation V AR (p) La représentation V AR à k variables et à p décalages V AR (p) s écrit sous forme matricielle, avec Y t = 6 4 Y t Y t. Y k t 7 5 A i = 6 4 Y t = A + A Y t + ::: + A p Y t p + " t ; (6) a i a i a k i a i a i a k i..... a ki a ki a k ki 7 5 A = 6 4 a a. a k 7 5 et " t = 6 4 La matrice de covariance des erreurs = E (" t"t) est ici inconnue. De la même façon que dans le cas univariarié, on pourra noter A (L) Y t = A + " t ; " t " t. " k t 7 5 : 4

16 où A est un polynome matriciel (k k); A (z) = I A z A z ::: A p z p, et on appera polynôme charactéristique let polynôme det I A z A z ::: A p z p. Remarque 5 L écriture V AR présentée ici suppose que la ième équation, dé nissant Yt i ne fasse intervenir aucun Y j t. Ceci n est pas forcément toujours le cas : considérons les deux processus stationnaires (X t ) et (Y t ) dé nis par les relations suivantes Y t ½ Xt = + Xt + ::: + pxt p ±Yt + Yt + ::: + q Yt q + "t Y t = a + b Y t + ::: + b r Y t p dx t + c X t + ::: + c s X t s + t; qui peut se réécrire sous forme matricielle DZ t = A + Z t + ::: + n Z t n + u t où n = max fp;q;r;sg avec les notations matricielles Xt "t ± Z t =, u t =, D =, A = et pour i = ;:::;n A d a i = i i ; t avec la convention, par exemple, i = pour p < i n. On supposera que les bruits (" t ) et ( t) sont non-corrélés. Il est alors possible d écrire l équation sous forme réduite, obtenue en mutipliant par par D : Z t = ª + ª Z t + ::: + ª n Z t n + v t où v t = B u t : On constate que les innovations (v t ) sont alors fonctions des innovations de la forme structurelle, (" t ) et ( t), et peuvent être corrélés : µ "t ± t v t = ±d ; t d" t : ±d Si chacunes des composantes sont i:i:d: les variances sont alors respectivement ¾ " + ±¾ = [ ±d] et ¾ + d¾ " =[ ±d On constate que l on peut alors toujours se ramener à des processus de la forme (6). Dé nition 4 Le processus Y t est stationnaire (au second ordre) si (i) E (Y t ) = ¹ pour tout t (ii) V (Y t ) est nie et constante (iii) cov (Y t ;Y t+k ) = E ([Y t ¹] [Y t+k ¹]) = k pour tout t Propriété U,n processus V AR (p) est stationnaire si le polynôme caractérisque (dé ni à partir du déterminant det I A z A z ::: A p z p ) a ses racines à l extérieur du cercle unité. Preuve. Hamilton (994) page 59 b i c i Exemple 7 Le processus bivarié dé ni par Y t Yt = + :7 :4 : : Y t Y t + " t " t ; a pour polynôme caractéristique µ det :7 :4 : : z = :7z :4z :z :z = z + :z ; qui admet pour racines z = :84 et z = :5 : le processus n est pas stationnaire. Exemple 8 Le processus dé ni par Y t Y t = + : :4 :7 : Y t Y t + " t " t ; a pour polynôme caractéristique µ det : :4 :7 : z = :z :4z :7z :z = :5z :z ; qui admet pour racines conjuguées z = :5 :79i et z = :5 + :79i : le processus n est pas stationnaire. 5

17 Exemple 9 Le processus dé ni par Y t Y t = + : :7 : :4 Y t Y t + " t " t ; a pour polynôme caractéristique µ det : :7 : :4 z = :z :7z :z :4z = :6z + :z ; qui admet pour racines z = : et z = 5:9 : le processus est stationnaire. Les processus VAR (p) peuvent se mettre sous forme V AR () en utilisant l écriture suivante. Soit Y t = Yt ;::::;Yt n R n satisfaisant la représentation VAR (p) suivante : pour tout t, Y t = + A Y t + ::: + A p Y t p + " t soit A (L)Y t = + " t : (n;) ³ L espérance de ce processus est alors E (X t ) = E (L) [ + " t ] = () c = ¹ pour tout t: On peut alors réécrire (L) [Y t ¹] = " t. Considérons alors Z t = (np;) Y t ¹ Y t ¹. Y t p+ ¹ C A A = (np;np) A A A p A p I n n n n n I n n n.... n n I n n C A " t ṇ et t = B On peut alors noter que le processus V AR (p) (Y t ) peut se réécrire sous la forme d un processus transformé Z t satisfaisant une représentation VAR () : Z t = AZ t + t: n C A : Exemple Considérons le processus bivarié dé ni par Y t : :7 Y Yt = + t : :4 Yt :4 :6 : :8 Y t Y t + " t " t ; suivant un modèle VAR (). Le polynôme autorégressif A (L) est alors donné par A (L) = L espérance ¹ du processus (Y t ) est alors donnée par = : :7 :4 :6 + L + : :4 : :8 :L + :4L :7L + :6L :L + :L :4L + :8L : ¹ = A (L) = :59 :8 : L On a alors 6 4 t :59 t :8 t :59 t :8 Y Y Y Y 7 5 = 6 4 : :7 :4 :6 : :4 : : t :59 t :8 7 t : t :8 Y Y Y Y " t " t 7 5 :.. Les modèles ARMAX ou V ARMA Les modèles ARMAX sont une généralisation des processus V AR (p), de la même façon que les processus ARMA (p;q) sont une généralisation des processus AR (p) : Y t = A + A Y t + ::: + A p Y t p + " t + B " t + ::: + B q " t q ; 6

18 où A i et B j sont des matrices k k. Il est possible de distringués les processus V MA (obtenus quand p = ) : moyennes mobiles mutivariées. - les processus VAR sont toujours inversibles, et sont stationnaires si les racines du polynôme caractéristique sont à l extérieur du disque unité - les processus VMA sont toujours stationnaires, et sont inversibles si les racines du polynôme caractéristique sont à l extérieur du disque unité - les conditions d inversibilité et de stationnarité des processus ARMA dépendent des parties VAR et VMA du processus. Remarque 6 Il est possible de montrer que les processus V ARMA peuvent se mettre sous forme V AR (): Soit Y t suivant un modèle VARMA (p;q), tel que et notons On posera alors Z t = 6 4 Y t. Y t p+ " t. " t q où les blocs B ij sont dé nis par Y t = A Y t + ::: + A p Y t p + " t M " t ::: M q " t q vecteur de taille K (p + q) et U t = B B = de taille K (p + q) K (p + q) ; B B = 6 4 B = 6 4 B A A p A p I K..... I K M M q M q.... B = 6 4 I K.... I K Alors, le processus (Z t ) suit un modèle V AR () ; Z t = BZ t + U t :.. Estimation des paramètres d un modèle V AR " t. " t. 7 de taille Kp Kp, 5 7 de taille Kp Kq; 5 7 de taille Kq Kq: 5 de taille Kp + Kq: 7 5 Chacun des paramètres peut être obtenue soit par mco (moindres carrés ordinaires), soit par maximum de vraissemblance. Pour un modèle V AR stationnaire, la stationnarité de la série va entraîner la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs obtenus par mco, ce qui permet de mener des tests sur les paramètres du modèle, ou de donner des intervalles de con ance pour les prévisions. Toutefois, comme nous l avons déjà dit dans le cas univarié, les variables économiques sont souvent intégrées (d ordre ou plus ). Dans ce cas, l écriture (6) est toujours valable, mais le determinant du polynôme charactéristique admet des racines de module. Les coe cients du modèles peuvent toujours être estimés par des mco et les estimateurs obtenus sont toujours convergents (en fait, ils sont même super-convergents puisqu ils convergent à la vitesse =T et non pas = p T). Cependant, ces estimateurs ne sont pas asymptotiquement normaux, et l on peut plus, dans ce cadre, mener les tests usuels sur les paramètres du modèle, ni déterminer d intervalle de con ance pour les prévisions. 7

19 Cependant, lorsque les variables sont non-stationnaires et cointégrées, les résultats de Engle et Granger (987) montrent que la bonne spéci cation du modèle consiste à utiliser une forme à correction d erreur (développé dans la partie (::)), qui permet de se ramener à une écriture ne faisant intervenir que des variables stationnaires, et dans lesquels il est possible d e ectuer des tests sur les paramètres du modèle...4 Autocovariances et autocorrélations La k-ième autocovariance croisée entre la i-ième et la j-ième variable est donnée par ij (h) = E h³ Y i t Y i ³ Y j t h Y j i : Remarque 7 La propriété de symétrie valable dans le cas univarié n est plus véri ée ici : pour h 6=, ij (h) 6= ij ( h). En e et, si Y t dépend fortement de X t, ce ne signi e pas que Y t dépende, de la même façon, de X t+. Et de même ij (h) 6= ji (h) La fonction d autocorrélation est alors ½ ij (h) = q ij (h) : i () j () Aussi, on peut dé nir, pour tout retard h la matrice d autocorrélation ½ (h) ½ (h) ½ n (h) ½ (h) ½ (h) ½ n (h) (h) = ½ n (h) ½ n (h) ½ nn (h) 7 5 : On peut alors noter que (h) = ( h), et que les éléments sur la diagonale correspondent aux autocorrélations usuelles...5 Application sur un exemple Considérons les séries suivantes, Y et Y, Y Y 8

20 Les observations sont les suivantes, Y Y Y Y Y Y 99 :999 : :86 : : :9 99 :45 :5 994 :79 : :7 :45 99 : : :55 : : : :5 : :6 : :97 : :56 : :59 : :555 : :847 : :6 : :48 : :446 :4 995 :64 : : : :6 : :9 : :97 : :46 : : :5 998 :848 :48 99 : : :6 : :7 : 99 :889 : :77 : :74 :64 99 :96 : :9 : :77 :46 99 :96 : :5 : :6 : :74 : :6 : :46 :89 99 :9 :4 995 :64 : :9 : :66 : :95 : :47 : :94 : : : :6 : :899 : :5 : :5 : :67 :5 996 : : :5 : :84 : :767 :8 998 :75 : 99 9 :6 : :696 : :67 :87 99 :95 : :9 :6 999 :98 :95 99 :9 : :586 : 999 :7 :58 99 : : :4 : :47 : : : :559 : : : 994 :5 : :696 : :78 : :47 :9 996 :979 : : : :79 : :65 : :496 : :8 : :7 : :74 : :66 : :5 : :7 : :76 :9 997 :47 :5 999 :899 : :596 : :68 :5 999 :7 :7 L analyse univariée des séries Y et Y donne les autocorrélogrammes suivants, 9

21 L autocorrélogramme croisé permet de représenter ½ Y!Y (h) = corr Yt ;Yt h et ½Y!Y (h) = corr Yt ;Yt h, Estimation d un modèle V AR () avec constante Estimons le modèle suivant sur notre échantillon, Y t a a a Yt = + Y t " a a a Yt + t " ; t qui peut se réécrire ½ Y t = a + a Yt + a Yt + " t Yt = a + a Yt + a Yt + " t : Pour estimer les paramètres de ce modèle, nous pouvons utiliser les mco sur chacune des équations indépendament : LS // Dependent Variable is Y Sample: 99: 999: Included observations: 96 Variable Coefficient Std. Error T-Statistic Prob. C Y(-) Y(-) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var.4899 S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 88.7 Schwartz criterion.6674 Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat.999 Prob(F-statistic). LS // Dependent Variable is Y Sample: 99: 999: Included observations: 96 Variable Coefficient Std. Error T-Statistic Prob. C Y(-) Y(-) R-squared.87 Mean dependent var Adjusted R-squared.9547 S.D. dependent var.496 S.E. of regression.549 Akaike info criterion.7 Sum squared resid.6457 Schwartz criterion.7 Log likelihood F-statistic.69 Durbin-Watson stat.96 Prob(F-statistic). dont les sorties graphiques donnent respectivement Residual Actual Fitted Residual Actual Fitted Les résidus estimés, b" t et b" t sont alors estimés (représentés ci-dessus ). Leur matrice de variance-covariance est alors :9475 :5458 b = ; :5458 :889

22 d où les expressions des critères AIC et SC, AIC () = ln b + k n SC () = ln b + k ln n n = ln : = :44759; = ln : ln Cette estimation peut être faite directement sous EV iews, de façon globale = :79: Sample: 99: 999: Included observations: 96 Standard errors & t-statistics in parentheses Y Y Y(-) (.96) (.88) (.774) (.8) - - Y Residuals Y(-) (.495) (.879) ( ) (.5) C (.8) (.655) (-.9646) (-.8997) R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids S.E. equation Log likelihood Akaike AIC Schwartz SC Mean dependent S.D. dependent Y Residuals Toutefois, si l on considère les deux régressions faite au début, on peut noter que la constante n est pas signi cative (à un seuil de 5%) : on peut tester un modèle V AR () sans constante. Estimation d un modèle V AR () sans constante Y t Y t Estimons le modèle suivant sur notre échantillon, a a = Y t a a Yt + " t " t ; qui peut se réécrire ½ Y t = a + a Yt + a Yt + " t Yt = a + a Yt + a Yt + " t: Pour estimer les paramètres de ce modèle, nous pouvons utiliser les mco sur chacune des équations indépendament : LS // Dependent Variable is Y Sample: 99: 999: Included observations: 96 Variable Coefficient Std. Error T-Statistic Prob. Y(-) Y(-) R-squared.5574 Mean dependent var Adjusted R-squared.555 S.D. dependent var.4899 S.E. of regression.995 Akaike info criterion.4 Sum squared resid 9.8 Schwartz criterion Log likelihood F-statistic 8.47 Durbin-Watson stat.77 Prob(F-statistic). LS // Dependent Variable is Y Sample: 99: 999: Included observations: 96 Variable Coefficient Std. Error T-Statistic Prob. Y(-) Y(-) R-squared.879 Mean dependent var Adjusted R-squared.89 S.D. dependent var.496 S.E. of regression.548 Akaike info criterion.485 Sum squared resid 8.9 Schwartz criterion.674 Log likelihood F-statistic 4.87 Durbin-Watson stat.9968 Prob(F-statistic).

23 dont les sorties graphiques donnent respectivement Residual Actual Fitted Residual Actual Fitted Les résidus estimés, b" t et b" t sont alors estimés (représentés ci-dessus ). Leur matrice de variance-covariance est alors :996 :5565 = ; :5565 :974 d où les expressions des critères AIC et SC, AIC () = lnj j + k n = ln : = :647; SC () = ln j j + k ln n = ln : ln 96 = :66: n 96 Cette estimation peut être faite directement sous EViews, de façon globale Sample: 99: 999: Included observations: 96 Standard errors & t-statistics in parentheses Y Y Y(-) (.95) (.79) (.84546) (.4875) - - Y Residuals Y(-) (.588) (.968) (6.948) (.946) R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids S.E. equation Log likelihood Akaike AIC Schwartz SC Mean dependent S.D. dependent Y Residuals Comparaison de di érents modèles VAR (p) Pour di érents modèles VAR (p), les critères AIC et SC sont j j AIC Y AIC Y AIC tot SC Y SC Y SC tot VAR () avec constante :7965 :646 :7 :44759 :6674 :7 :79 V AR () sans constante :8547 :4 :485 :647 :56665 :674 :66 VAR () avec constante :744 :8655 :44 :8 :55 :7596 :888 V AR () sans constante :74965 :884 :5479 :478 :449 :664 :97 VAR () avec constante :599 :55 :46 :4754 V AR () sans constante :74667 :76974 :499 :4746 VAR (4) avec constante :988 :8976 :6 :54 V AR (4) sans constante :5 :854 :5 :5 La comparaison des critères AIC pousse à choisir un modèle V AR () sans constante. Le modèle retenu Y t :75 :75 Y Yt = t " :67 :94 Yt + t " où b :996 :5565 = : t :5565 :974