EXPOSES Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l utilisation de graphes, orientés ou non.

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1 III. SUJETS ET ANALYSE DES EPREUVES ORALES 1. Liste des exposés (1 e épreuve orale) EXPOSES Utilisation d arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et des permutations. 02. Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l utilisation de graphes, orientés ou non. 03. Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications. 04. Description mathématique d une expérience aléatoire: ensemble des événements élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l ensemble d événements élémentaires est fini). 05. Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l ensemble d épreuves est fini). Applications à des calculs de probabilité. 06. Variable aléatoire à valeurs réelles dont l ensemble des valeurs est fini. Loi de probabilité. Espérance mathématique, variance. Exemples. 07. Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. 08. Séries statistiques à deux variables numériques. Nuage de points associé. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droites de régression. Applications. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 09. Division euclidienne dans Z, unicité du quotient et du reste. Applications. 10. Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ. 11. PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 12. Nombres premiers; existence et unicité de la décomposition d un nombre en facteurs premiers. Infinitude de l ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d algorithme(s) de recherche de nombres premiers. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 13. L anneau Z; sous-groupes additifs de Z. Les idéaux de Z sont principaux. Egalité de Bézout. Résolution dans Z d une équation de la forme ax + by = c. 14. Nombres décimaux. Applications. 15. Construction du corps Q des rationnels. 57

2 16. Introduction et construction du corps C des complexes. Propriétés. 17. Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications. 18. Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications. 19. Représentation géométrique des nombres complexes. Interprétation géométrique des applications z z + b, z az et z z, où a et b appartiennent à C, a non nul. Exemples d application à l étude de configurations géométriques du plan. 20. Étude de la fonction f : z z a, où a, b, z sont complexes. z b et l argument de la fonction f. Applications. Lignes de niveau pour le module 21. Fonction polynôme du second degré à coefficients réels. Mise sous forme canonique; application à l étude du sens de variation et à la représentation graphique de la fonction. Équations et inéquations du second degré. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 22. Résolution des systèmes linéaires par opérations élémentaires sur les lignes. Méthode du pivot. Exemples. 23. Caractérisation vectorielle d une droite du plan. Représentations paramétriques. Génération des demi-droites, des segments. Parallélisme. Orthogonalité. 24. Théorème de Thalès. Projection dans le plan et dans l espace, caractère affine des projections. 25. Équation cartésienne d une droite du plan. Problèmes d intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes. 26. Équation cartésienne d une droite du plan euclidien. Application à l étude d inéquations de la forme a cos t + b sin t c. 27. Homothéties et translations; transformation vectorielle associée. Invariants élémentaires: effet sur les directions, l alignement, les distances... Applications à l action sur les configurations usuelles. 28. Réflexion du plan échangeant deux points donnés; médiatrice, régionnement associé. Applications au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit...). 29. Réflexion du plan échangeant deux droites sécantes données, bissectrices. Applications au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangentes à un cercle...). 30. Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle (dans l ordre que l on voudra). 31. Droites remarquables du triangle : bissectrices, hauteurs, médianes, médiatrices... (dans l ordre que l on voudra). 32. Rotations planes. Notion d angle. 33. Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation...). 58

3 34. Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d angles. 35. Le cercle. Positions relatives d une droite et d un cercle, de deux cercles. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue. 36. Théorème de l angle inscrit : ensemble des points M du plan tels que l angle orienté de droites ou de demi-droites (M A, M B) soit constant. Cocyclicité. Applications. 37. Relations métriques dans un triangle rectangle. Trigonométrie. Applications. 38. Relations métriques et trigonométriques dans un triangle quelconque. Applications. 39. Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension trois. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications. 40. Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l espace orienté : calculs de distances, d aires, de volumes, d angles Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés. Associativité; application à la détermination de barycentres attachés à des configurations usuelles du plan, de l espace. 42. Composées d homothéties et de translations du plan. Groupe des homothéties-translations. Applications. 43. Groupe des isométries du plan : décomposition d une isométrie en produit de réflexions, groupe des déplacements, classification des isométries à partir de l ensemble des points invariants. 44. Étude des transformations du plan euclidien qui conservent les rapports de distances. 45. Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier; exemples (triangle équilatéral, carré, hexagone, octogone...). 46. Droites et plans dans l espace. Positions relatives; plans contenant une droite donnée. 47. Orthogonalité dans l espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale à un plan, plans perpendiculaires. Applications. 48. Ellipse déduite d un cercle par affinité orthogonale dans le plan. Applications (en particulier, projection orthogonale d un cercle sur un plan). 49. Réflexion de l espace échangeant deux points donnés; plan médiateur, régionnement associé. Étude des isométries de l espace ayant une droite de points invariants. 50. Réflexions et rotations de l espace. Invariants élémentaires: effet sur les distances, les angles... Applications à l action sur les configurations usuelles. 51. Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur dérivé et tangente; interprétation cinématique. 52. Définitions de la parabole, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions. Construction de la tangente et de la normale en un point. 59

4 53. Définitions de l ellipse, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions. 54. Définitions de l hyperbole, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions. 55. Exemples de représentation paramétrique des coniques; constructions de la tangente et de la normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole. 56. Suites monotones, suites adjacentes. Approximation d un nombre réel, développement décimal. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 57. Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application continue. Comparaison de suites entre elles. 58. Rapidité de la convergence d une suite rélle (u n ) vers une limite l. Cas où u n l est dominé par n a, par k n... Exemples. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 59. Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie: comparaison, opérations algébriques, composition par une application. 60. Étude des suites de terme général a n, n b et n!. Croissances comparées. Exemples de comparaison de suites aux suites précédentes. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 61. Étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence u n+1 = f(u n ) et une condition initiale. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 62. Limite finie d une fonction à valeurs réelles en un point a de R. Opérations algébriques sur les limites. Continuité d une fonction en un point. Exemples. 63. Limite à l infini d une fonction à valeurs réelles. Branches infinies de la courbe représentative d une fonction. Exemples. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 64. Image d un intervalle par une fonction continue, image d un segment. Continuité de la fonction réciproque d une fonction continue strictement monotone sur un intervalle. 65. Fonction réciproque d une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de R. Propriétés. Exemples. 66. Méthodes d approximation d une solution d une équation numérique réelle. Exemples. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 67. Fonctions polynômes. 68. Fonctions logarithmes. 69. Fonctions exponentielles. 70. Croissance comparée des fonctions réelles x e x, x x a et x ln x au voisinage de +. Applications. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une 60

5 calculatrice. 71. Dérivée en un point. Interprétation géométrique. Exemples. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 72. Fonctions dérivées. Opérations algébriques. Dérivée d une fonction composée. Exemples. 73. Formules de Taylor. Applications. 74. Développements limités, opérations sur les développements limités. 75. Applications du calcul différentiel à la recherche d extremums d une fonction numérique d une variable réelle. Exemples. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 76. Comparaison des fonctions: domination, prépondérance, équivalence. Exemples et applications. 77. Fonctions convexes d une variable réelle. Applications. 78. Théorème de Rolle. Applications. 79. Inégalité des accroissements finis. Exemples d applications à l étude de suites et de fonctions. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 80. Caractérisation des fonctions exponentielles réelles par l équation fonctionnelle : f(x + y) = f(x) f(y). Applications. 81. Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre. Exemples. 82. Primitives d une fonction continue sur un intervalle; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications. 83. Intégration par parties. Exemples de changements de variable. Applications. 84. Diverses méthodes de calcul approché d intégrales définies. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 85. Exemples d approximation d une solution d une équation différentielle par la méthode d Euler. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation d une calculatrice. 61

6 2. Liste synthétique des dossiers (2 e épreuve orale) Dossier n Donné le 1 26/6 Intégration Thème 2 27/6 Arithmétique 3 28/6 Problèmes d'incidence 4 29/6 Outils Les nombres complexes 5 30/6 Fonctions 6 1/7 Equations, inéquations du premier degré à une inconnue (ou pouvant s'y ramener) 7 2/7 Suites Approximation d'un nombre réel à l'aide d'une suite 8 3/7 Théorie des graphes 9 4/7 Arithmétique 10 5/7 Dénombrement Probabilités Probabilités 11 6/7 Problèmes sur les configurations 12 10/7 Dénombrement Probabilités Séries statistiques à deux variables 13 11/7 Suites Problèmes conduisant à des suites arithmétiques, géométriques ou arithméticogéométriques 14 12/7 Problèmes d'incidence Concours 15 13/7 Suites Approximation d'un nombre réel à l'aide d'une suite 16 14/7 La proportionnalité 17 15/7 Problèmes sur les configurations Etudes de configurations à l'aide de différents outils 18 16/7 Divers types de raisonnement 63

7 19 17/7 Equations différentielles 20 18/7 Problèmes de recherche de lieux géométriques Problèmes issus de la géométrie, de la physique, 21 19/7 Dénombrement Probabilités Probabilités conditionnelles 22 20/7 Fonctions 23 21/7 Problèmes de construction Etude de recherche d'extremums et optimisation Constructions à l'aide de transformations 3. Analyse des épreuves orales Les épreuves orales ont été définies par un arrêté ministériel du 30 avril 1991 modifié par un arrêté du 3 août Les instructions les concernant ont été publiées dans le B.O. spécial n 5 du 21 octobre Les objectifs communs aux deux épreuves orales sont précisés dans ces paragraphes, extraits des textes cités : Les épreuves orales visent d abord à évaluer la capacité à concevoir, mettre en forme et analyser une séquence d enseignement sur un thème donné. A l exception des quelques sujets d exposé (première épreuve) où il est fait référence au programme complémentaire, il convient de se placer au niveau de l enseignement secondaire, c est-à-dire de ne pas dépasser le niveau du baccalauréat. Le candidat peut cependant être amené à faire appel aux connaissances acquises dans ses études supérieures pour analyser et commenter la démarche suivie, éclairer un point conceptuel ou technique et situer la question dans son contexte mathématique et scientifique. La mise en valeur de l enchaînement des étapes du raisonnement constitue un objectif majeur. Les candidats ne doivent en aucun cas se borner à l exposé, si parfait soit-il formellement, d une liste de définition, de théorèmes, d exemples et d exercices : il est indispensable de dégager l articulation mutuelle des divers éléments. 3.1 Commentaires sur la 1 épreuve orale On rencontre de très belles prestations, mais aussi les plus mauvaises. Les conseils qui suivent se tiennent volontairement à l écart d une collection de «perles» ; leur étude doit permettre à tout candidat d améliorer sa performance, et en même temps ses capacités à exercer le métier d enseignant. Modalités pratiques Rappelons brièvement le déroulement de cette épreuve. Le candidat tire au sort une enveloppe contenant deux sujets. Il devra choisir l'un des deux sujets et disposera de deux heures pour sa préparation, sans document; le candidat n'annoncera son choix que lors de sa parution devant le jury. L'épreuve se déroule en deux phases : présentation de la leçon et questions du jury. 64

8 La présentation de la leçon dure 25 minutes, sans interruption du jury. Cette première phase consiste à exposer un plan et à effectuer les démonstrations des propositions énoncées. Le plan doit être aussi riche que possible et peut contenir des exemples, contre-exemples et applications des outils introduits. Le candidat peut gérer son tableau à sa guise, néanmoins il serait bon de réserver une partie du tableau pour faire les démonstrations de manière à ce qu'à la fin l'ensemble du plan figure au tableau. Nous rappelons que cette partie ne fait pas un bon effet si elle se réduit à une recopie mot à mot des notes que l on lit. La deuxième phase, d'une durée de 20 minutes, est réservée aux questions du jury. Ces questions peuvent être de divers ordres : rectifier certaines erreurs ou préciser certains points obscurs dans le plan ou dans les démonstrations. vérifier la maîtrise et le recul du candidat sur le sujet traité. En particulier, le candidat est censé répondre sur tous les points présentés dans son plan ainsi qu'à toutes questions relatives au sujet, qu'il aurait omises volontairement ou non. Remarques sur l épreuve D'une manière générale le jury souhaiterait encourager les futurs candidats à donner une touche personnelle à leurs plans, ceci ne peut se faire qu'au prix d'un travail régulier et approfondi durant l'année de préparation. En effet, il serait illusoire de croire pouvoir présenter une leçon solide en se bornant à apprendre par coeur une liste de leçons toutes faites ; cette attitude s'avère être très préjudiciable pour le candidat qui se révèle en général dans l'incapacité de répondre à la moindre question du jury. - Sur le plan Les plans doivent être structurés plus rigoureusement, en particulier : la chronologie est essentielle, elle montre la vue d ensemble du candidat par rapport à son sujet et permet d éviter les répétitions et les cercles vicieux. Le statut des énoncés est fondamental : bien différencier une définition d une proposition, un corollaire d un théorème fondamental, etc Par exemple, bien que cela soit mathématiquement correct, il est maladroit d énoncer globalement dans un plan «Une suite croissante de nombres réels est convergente si, et seulement si, elle est majorée» En effet, la proposition «Toute suite convergente est majorée» est très élémentaire alors que la proposition «Toute suite de nombres réels croissante et majorée est convergente» qui repose sur le théorème de la borne supérieure (fondement des nombres réels) est non triviale. Ainsi, du point de vue de la genèse des idées, un plan gagnera en clarté si ces deux énoncés sont présentés séparément et hiérarchiquement ; le premier pouvant d ailleurs servir de motivation pour l étude du second. D autre part, il est à noter que beaucoup de candidats parlent du «principe de récurrence» sans avoir conscience qu il s agit en fait d un théorème dont d ailleurs bon nombre de candidats sont difficilement 65

9 capables de fournir un énoncé correct. Rappelons à ce sujet qu une théorie mathématique ne contient pas de «principe» (contrairement à une théorie physique) mais uniquement des axiomes, des définitions et des théorèmes. Les définitions et les énoncés des propositions ou théorèmes doivent être écrits dans leur intégralité ; si le candidat n écrit qu une version abrégée, il doit s attendre à ce que le jury lui demande une version détaillée et complète. Pour économiser du temps d écriture, le candidat peut éventuellement utiliser des transparents. Les plans peuvent être enrichis : en introduisant de nombreux exemples et contre-exemples bien choisis montrant pour les théorèmes à la fois, leur impact, la nécessité des hypothèses, les limites à leur application : un simple énoncé correct, c est évidemment bien ; des développements tels que ceux qui viennent d être décrits montrent que le candidat possède du recul, et une connaissance en profondeur du sujet traité. en donnant de nombreuses applications, y compris des applications transversales au sens où elles concernent, soit des domaines mathématiques différant du domaine usuel dans lequel s inscrit le sujet, soit plus largement des domaines issus d autres sciences, sciences physiques, astronomie, sciences naturelles, etc.. en montrant des figures. En géométrie cela semble le plus naturel, mais un dessin peut se révéler très utile aussi dans les autres domaines. Les figures peuvent être réalisées à main levée, ou aux instruments, ou encore préparées sur des transparents, ou enfin sur le logiciel de géométrie de la calculatrice. Le candidat choisit le niveau auquel il place son exposé. En conséquence : sa prestation lors de l exposé doit rester cohérente avec le niveau qu il a choisi s il aborde les diverses notions de manière trop élevée sur le plan «théorique», le jury tentera de vérifier la solidité de l exposé à un niveau correspondant, et il essayera de faire revenir le candidat aux aspects plus concrets et aux applications plus simples. s il aborde le sujet à un niveau trop faible, le jury ne se satisfera pas de devoir rester à ce niveau, ce qui amène certains (si de plus ils écoutent mal les questions par la suite) à quitter le jury inconscients de leur médiocre performance - Sur les démonstrations Il arrive trop souvent que des candidats présentent un plan sans aucune démonstration. Cette manière de préparer l épreuve est à proscrire. Rappelons que le candidat est jugé sur le contenu de son plan mais aussi sur sa prestation notamment au cours des démonstrations qui sont faites, en particulier la pertinence du choix des points démontrés par rapport au sujet et la consistance de ceux-ci sont un élément important d'appréciation. Par exemple, choisir de démontrer le théorème d'existence de la fonction réciproque d'une fonction continue, strictement monotone, sur un intervalle I et admettre dans le courant de la preuve la continuité de la fonction réciproque, est plus qu une maladresse. 66

10 D'une manière générale, il est conseillé de : choisir le développement de plusieurs points consistants, centraux par rapport au sujet, permettant de montrer son aptitude à raisonner sur les notions étudiées. de montrer ses qualités pédagogiques en s'efforçant de donner la présentation la plus naturelle possible (l'utilisation de figures est recommandée chaque fois que cela est possible), faisant ressortir clairement la démarche scientifique utilisée et en mettant bien en relief les points cruciaux des différentes preuves; beaucoup de candidats se contentent d'aligner une suite de raisonnements, présentés artificiellement, sans être capable d'expliquer l'origine de leurs motivations. de bien vérifier l absence de lacune dans l enchaînement logique de la démonstration; il arrive souvent qu'un candidat se trouve complètement désarçonné lorsqu'on lui demande d'éclaircir certains passages, ce qui lui fait découvrir des difficultés qui lui avaient échappé. - Sur les questions du jury Les questions du jury peuvent porter aussi bien sur la conception, l'organisation du plan, que sur les démonstrations, abordées ou non, au cours de l'exposé. Elles peuvent également porter sur les pré-requis ou concerner certains prolongements omis, soit pour s'assurer de la solidité des connaissances, soit pour compléter un plan trop pauvre. Nous insistons sur le fait qu il est essentiel que les candidats aient un certain recul sur les notions qu ils devront enseigner et ne peuvent donc en aucun cas se contenter de ne connaître que ce qui est exigible pour un élève du secondaire actuel. Par exemple, s il est normal d admettre lors d un exposé le théorème «Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur cet intervalle» il est insuffisant de la part du titulaire d une licence qu il n ait pas la moindre idée sur la façon de prouver ce résultat. De même, si la définition rigoureuse des angles est hors de portée d un élève il n est pas acceptable qu un futur enseignant n y ait jamais réfléchi au point d être incapable de fournir la moindre piste pour attaquer ce délicat problème, ou plus grave ne pas sembler comprendre l importance de la question qui se pose. L entretien commence le plus souvent par la mise au point et la correction d erreurs de détail, notamment de lapsus ou d erreurs bénignes, de confusions de notation, etc. Le candidat ne doit pas penser que ces questions constituent des pièges. Dans la suite de l entretien, il est important d écouter réellement les questions : d une part, une question mal écoutée et à laquelle on répond de manière précipitée risque de se conclure par des réponses inadaptées, et une situation défavorable au candidat ; d autre part, on attend du futur professeur qu il écoute et analyse les questions de ses futurs élèves, et pour cela, il lui faudra aussi «savoir écouter». Les questions ne sont pas de niveau constant : le jury peut souhaiter, par des questions très élémentaires, mettre le candidat en confiance ; par des questions plus profondes, il peut souhaiter donner au candidat la possibilité de montrer qu il dispose de recul par rapport au sujet traité. Une erreur, une réponse erronée n est pas nécessairement catastrophique : si le candidat, alerté par d autres questions du jury, s aperçoit de son erreur et est capable de la corriger, il laissera l impression positive d un futur enseignant capable de réagir valablement lorsqu il est en difficulté. 3.2 Commentaires généraux sur la 2 épreuve orale 67

11 L exposé du candidat Jouer la montre lors de l exposé n est pas pertinent ; le jury reporte le temps non utilisé pour l exposé sur la deuxième partie de l épreuve, et si le candidat remplit son temps d exposé en résolvant en détail un exercice, - celui proposé par le jury ou un autre le jury ne peut intervenir pendant cette résolution. Faire un exposé plus court que les 25 minutes maximales autorisées n est pas considéré comme une faute. Remplir les 25 minutes en traitant des points non demandés expose le candidat au risque d être interrogé de manière plus exigeante et plus rapide puisque le jury aura moins de temps pour l entretien. Bien entendu, un exposé de qualité long de 25 minutes est parfaitement pris en compte et joue en faveur du candidat lorsqu il est conforme à la définition de l épreuve. Les thèmes des dossiers Une des nouveautés réside dans le découpage en thèmes, et la réduction du nombre des dossiers. Nous avons soumis aux candidats un dossier portant sur la théorie des graphes ; ceci constitue, à la fois pour le jury et pour les candidats, une illustration de l importance des modifications introduites dans cette épreuve : les impasses sont beaucoup plus risquées, non seulement à cause de la suppression du choix, mais aussi parce que c est toute une série de 120 candidats qui a été confrontée à ce dossier. Il va de soi que le thème «graphes» est d importance limitée par rapport au volume d ensemble des programmes, mais il ne faut pas voir dans ce choix une surestimation de l importance du thème. Tous les thèmes ne peuvent être abordés, et les thèmes non abordés cette année sont susceptibles de l être une autre année. Par ailleurs, l ensemble des 23 dossiers utilisés cette année a été construit en tenant compte de plusieurs contraintes ; couvrir au mieux l ensemble des domaines des divers programmes était une contrainte, mais non décisive. On remarquera que le fait qu un thème ait été abordé un certain jour n a pas interdit qu un thème très voisin, voire identique, apparaisse dans la suite de la session. Interprétation du thème par les candidats, «hors-sujet» Les thèmes étaient de nature diverse, y compris par leur amplitude : à côté d un thème comme «Arithmétique» on trouve un thème comme «Problèmes conduisant à des suites arithmétiques, géométriques, ou arithmético-géométriques». Dans un même domaine, nous proposons des thèmes de largeur variable et inclus l un dans l autre. Par exemple : «Fonctions» et «Fonctions, recherche d extrêmums et optimisation». Ce dispositif résulte de la manière dont la commission a travaillé ; nous avions conscience de la difficulté que poserait cette nouvelle manière de définir le thème des dossiers, et le jury a reçu pour instruction de juger avec une clémence particulière les «hors-sujet», ainsi que la manière dont le thème était couvert. Nous nous proposons de poursuivre dans cette voie, en rappelant que l énoncé du thème est à prendre au sens littéral de la cartouche figurant en tête du dossier. Trop de candidats, par frilosité, n ont pas osé s éloigner de l exercice proposé par le jury alors même que celui-ci ne couvrait qu une faible partie du thème. Ils se contentaient de proposer parfois de simples démarquages de l exercice proposé par le jury. Pour donner un exemple typique, dans un dossier portant sur le thème arithmétique, une résolution de la classique équation en nombres entiers ax+by=c était proposée en exercice. Or 68

12 certains candidats ont choisi simplement d autres équations du même type, alors que l on attendait un choix plus varié : le thème n était pas «arithmétique, équations ax+by=c dans l ensemble des entiers relatifs». Il a aussi été noté que trop de candidats n osaient pas varier le niveau des exercices qu ils proposent. Certains dossiers suggèrent fortement cette ouverture, notamment par le moyen des extraits de programmes qui y sont attachés. Equilibre des différents éléments de l épreuve La présidence du concours était très attentive à ne pas laisser le travail sur l exercice proposé par le jury envahir l ensemble de cette épreuve. Dans cet esprit, des instructions ont été données aux commissions de sorte qu elle répartissent convenablement le temps d entretien entre, d une part, les questions relatives à l exercice du jury, résolution éventuellement comprise, et d autre part l étude des exercices présentés par le candidat. Des instructions cohérentes étaient données aux candidats : chaque vague est reçue séparément et reçoit une série de conseils pour préparer et passer l épreuve dans les meilleures conditions. Parmi ces conseils figurait l avertissement disant que le travail sur l exercice proposé par le jury ne constituait qu une partie de l épreuve, et que par conséquent ils doivent penser à partager leur temps de préparation de manière adaptée à l importance de chaque point à traiter. Cette consigne de travail s est heurtée au fait qu une partie des candidats arrivait devant les commissions en ayant trop peu travaillé sur leurs propres exercices. Aussi dans certains cas, l interrogation sur les exercices proposés par les candidats se trouvait-elle quelque peu limitée. Nous maintiendrons et renforcerons cette demande d équilibrage de l épreuve, éventuellement en allégeant dans la mesure du possible le travail demandé sur l exercice proposé par le jury. L importance des exercices proposés par les candidats se trouvera ainsi très clairement réaffirmée. Premier bilan relatif à cette nouvelle épreuve La note de service ne modifie en apparence que quelques éléments de définition de l épreuve, mais la transformation est suffisamment profonde pour que l on puisse parler de véritable nouvelle épreuve. D une part, la suppression du choix du dossier a conduit, y compris en première épreuve par un resserrement de l éventail des choix d exposés, à un accroissement très fort du risque couru lorsque le candidat «fait des impasses». Il ne semble pas que cela ait conduit à une démoralisation des candidats. Plusieurs faits ont sans doute joué ; le taux de succès au concours, commandé par le nombre des postes puisque le jury les a tous pourvus, n en a aucunement souffert ; la moyenne des notes attribuées n est pas inférieure à celles qui étaient attribuées lors des sessions précédentes, ce qui montre que les commissions ont d instinct adapté leurs exigences à l accroissement objectif de la difficulté de l épreuve consécutive à la suppression du choix. D autre part, le fait de donner un exercice comme base de travail aux candidats a conduit, en ce qui concerne les questions et l exposé du candidat relatif à cet exercice, à une amélioration de la qualité des exposés, (fait très généralement noté par les commissions) ce qui a sans doute contribué aussi au maintien des notes à un niveau satisfaisant. Un deuxième objectif était visé : la réhabilitation de dossiers traditionnellement «malaimés», soit parce que portant sur le niveau collège, soit parce qu ils traitent de 69

13 «mathématiques appliquées» -probabilités, graphes, statistiques, modélisation- cet objectif était le plus facile à atteindre dans la mesure où le choix des dossiers relevait d une commission restreinte, et qu il était possible de construire le lot de dossiers qui a été utilisé pour cette session en y intégrant un nombre significatif de ces thèmes souvent peu visités les années précédentes (lorsqu ils étaient proposés, le choix des candidats se portait assez nettement sur l autre sujet). Un troisième objectif était la prise en compte des TICE. Les deux modèles de machine mis en service ont permis de mettre en valeur les domaines usuels d intervention du calcul automatisé dans l enseignement secondaire : mise en œuvre d algorithmes, tracé de figures géométriques pouvant être animées, calculs statistiques. La mise en œuvre de dossiers comportant une ou plusieurs questions devant explicitement être résolues à l aide d une calculatrice obligeait les candidats à passer par la machine. Le dossier portant sur les statistiques, par exemple, a mis en évidence le fait que certains candidats découvraient littéralement le modèle ce jour-là, alors même que notre mode de fonctionnement a été rendu public depuis longtemps. Le message fort selon lequel il est risqué de se présenter à cette épreuve si l on ne possède pas quelques rudiments sur la manipulation de l un de ces modèles est certainement passé. Rappelons ici que le niveau de virtuosité demandé reste très raisonnable, et que le jury a publié un document un pour chaque modèle, les deux étant mis sur pied d égalité autant que possible précisant dans quel esprit nous nous attendons à voir employer ces machines. Enfin, un dernier objectif était l approfondissement de la culture commune de l évaluation au sein du jury. Nous avons mis en oeuvre des dispositifs de contrôle quotidien permettant d assurer que l équité du concours était maintenue, et que les candidats ne se sont pas trouvés pénalisés ou favorisés par le fait qu ils ont passé leur épreuve sur dossier tel ou tel jour, sur un dossier d apparence plus difficile ou plus facile. Le fait que chaque commission recevait successivement cinq candidats traitant le même dossier jouait évidemment aussi en faveur de l équité de la notation, et, contrairement à certaines craintes initiales, les a conduit à apprécier cette manière de travailler. 70

14 3.3 Tous les dossiers de la 2 épreuve orale et les commentaires Ci-dessous sont présentés les vingt-trois dossiers dans l ordre de leur parution. On n a pas jugé utile de donner ici les annexes des dossiers, c est-à-dire les extraits de programmes qui les accompagnent. Chaque dossier est accompagné d un court rapport relatif à la manière dont il a été traité par les candidats ; on a simplement indiqué dans ce rapport, les niveaux et les classes pour lesquelles des extraits de programmes avaient été mis en annexe Dossier n 1 du 26 Juin Thème : Intégration 1. L exercice proposé au candidat On se propose de calculer, avec les moyens à la disposition d un élève de Terminale S, la valeur exacte de : 1 1 I = 1 + t dt 2 On pose pour tout réel x [0, 1] : I(x) = 0 x t 2 dt 1) Montrer que la fonction x I(x) est dérivable sur [0, 1] et calculer sa fonction dérivée I. [ 2) Pour tout x 0, π ], on pose : 4 F (x) = I(tan(x)) [ a) Montrer que F est dérivable sur 0, π ] et calculer F (x). [ 4 b) Montrer que, pour tout x 0, π ],on a : F (x) = x. 4 3) En déduire la valeur de I. 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le Jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) a) Comment relier la question 1) de l exercice à la définition de l intégrale donnée en Terminale S? b) Expliciter les théorèmes principaux utilisés dans l exercice. 70

15 Q.2) Proposer un ou plusieurs exercices sur le thème de l intégration Dossier n 2 du 27 Juin Thème : Arithmétique 1. L exercice proposé au candidat Pour tout entier n non nul, on considère les nombres : a n = 4 10 n 1 b n = 2 10 n 1 c n = 2 10 n + 1 1) Calculer a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2, a 3, b 3, c 3. 2) Combien les écritures décimales des nombres a n et c n ont-elles de chiffres? Montrer que a n et c n sont divisibles par 3. 3) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b 3 est premier. 4) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, b n c n = a 2n. En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de a 6. 5) Montrer que PGCD(b n, c n ) = PGCD(c n, 2). En déduire que b n et c n sont premiers entre eux. LISTE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS À ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) Présenter un algorithme permettant d obtenir le PGCD de deux entiers naturels non nuls. Q.2) Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l exercice. Q.3) Proposer un ou plusieurs autres exercices sur le même thème. 71

16 Dossier n 3 du 28 Juin Thème : Problèmes d incidence 1. L exercice proposé au candidat : 1) La figure ci-dessous représente un cube ABCDEF GH ainsi que 4 points U, V, W, et J respectivement situés sur [AD], [AE], [AB] et [EF ]. A U D W B C V H J G E F Tracer sur la figure jointe (page 3) l intersection des faces du cube avec le plan parallèle à (UV W ) passant par J. 2) La figure ci-dessous représente un cube ABCDEF GH ainsi que 2 points T, V appartenant à la face ABF E et 2 points S, U appartenant à la face BCGF. A U D W B C V H J G E F Les droites (ST ) et (V U) sont-elles sécantes? 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le Jury 72

17 Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) Enoncer les théorèmes mis en jeu dans l exercice. Q.2) Sur la figure de la question 2) reproduite page 3, rectifier la position du point U pour que les droites (T S) et (V U) se coupent effectivement. Q.3) Proposer un ou plusieurs exercices portant sur le parallélisme, l alignement ou l incidence dans l espace Dossier n 4 du 29 Juin Thème : Outils Les nombres complexes 1. L exercice proposé au candidat On se donne trois points non alignés A, B, C du plan, et le triangle T de sommets A, B, C. On se propose ici de démontrer uniquement à l aide des nombres complexes la propriété géométrique classique suivante : Les hauteurs de T sont concourantes en un point H, appelé orthocentre de T. 1) Montrer qu on peut munir le plan d un repère orthonormé tel que les affixes respectives a, b, c des points A, B, C soient de module 1. On suppose qu il en est ainsi dans la suite de l exercice. 2) On définit le point H d affixe h = a + b + c. Montrer que les hauteurs du triangle T se coupent au point H (indication : considérer z = h c b a ) Montrer que H est aligné avec le centre de gravité de T et le centre du cercle circonscrit à ce triangle. 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) Illustrer le résultat à l aide du module de géométrie de la calculatrice. 73

18 Q.2) Comment mettriez-vous en place, dans une classe, le choix du repère? Quel(s) prolongement(s) pourriez-vous proposer à cet exercice? Q.3) Proposer un ou deux exercices présentant la résolution, à l aide des complexes, d un problème de géométrie Dossier n 5 du 30 Juin Thème : Fonctions 1. L exercice proposé au candidat Soit f la fonction x x 2 + x ) Etudier les variations de f. 2) Montrer que la droite d équation x = 1 est axe de symétrie pour la courbe représentative 2 C de la fonction f. 3) Déterminer lim (f(x) x). En déduire que la courbe C admet en + une asymptote x + d équation y = x ) Représenter la courbe C. 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) La question 1) de l exercice précédent peut-elle être abordée en Seconde? Rédiger un corrigé de la question 1) au niveau d une classe de 1ère S. Q.2) Exposer une méthode permettant d établir que la courbe représentative d une fonction admet un axe de symétrie ou un centre de symétrie. Q.3) Proposer une version alternative de l énoncé permettant d étudier le comportement asymptotique de la courbe en sans utiliser l axe de symétrie de la courbe représentative de f. Q.4) Proposer d autres exercices portant sur des études de fonctions, mettant en évidence des propriétés de leurs représentations graphiques (non nécessairement parmi les propriétés étudiées ici). 74

19 Dossier n 6 du 1 Juillet Thème : Équations, inéquations du premier et du second degréà une inconnue (ou pouvant s y ramener) 1. L exercice proposé au candidat Voici une activité proposée par un manuel scolaire de quatrième : Activité 1 Mettre un problème en équation Objectifs Montrer l importance du choix de l inconnue dans la mise en équation d un problème Envisager avec les élèves les limites des tests d égalité. Lire le problème suivant : «En 1994, l Union des banques suisses a publié le nombre de jours de vacances payés d un ingénieur dans plusieurs villes du monde. A Paris, un ingénieur avait 19 jours de vacances de plus qu à Séoul (Corée du Sud) mais 5 jours de moins qu à Madrid (Espagne). A Séoul, il avait 5 fois moins de jours de vacances qu à Madrid. Combien de jours de vacances un ingénieur avait-il en 1994 dans chacune de ces trois villes?» 1) a) Dans quelle ville un ingénieur avait-il le moins de jours de vacances? Appeler x ce nombre de jours. b) Écrire en fonction de x le nombre de jours de vacances d un ingénieur à Madrid et à Paris. c) Démontrer que le nombre x est solution de l équation : x + 19 = 5x 5. 2) a) Retrouver parmi les valeurs de x proposées celle qui est solution de l équation : x = 15 ; x = 30 ; x = 10 ; x = 6 ; x = 60. b) En déduire le nombre de jours de vacances d un ingénieur à Séoul, à Paris et à Madrid en ) a) Reprendre le problème en choisissant comme inconnue y le nombre de jours de vacances d un ingénieur à Madrid. Exprimer en fonction de y le nombre de jours de vacances d un ingénieur à Paris et à Séoul. b) Démontrer que le nombre y est solution de l équation : y 5 = y c) Vérifier que le nombre de jours de vacances à Madrid trouvé à la question 2) b) est bien solution de l équation d inconnue y. 75

20 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) Commenter les différentes étapes indiquées et proposer un objectif pour chacune d elles. Analyser plus particulièrement le rôle que les auteurs veulent faire jouer à la question 3)a). Q.2) Préciser les étapes importantes dans la résolution de problèmes relevant du premier degré. Q.3) Proposer deux autres exercices sur le même thème dont l un au moins se situe au niveau d une classe de première Dossier n 7 du 2 Juillet Thème : Suites Approximation d un nombre réel à l aide de suites 1. L exercice proposé au candidat Une vérification simple montre que On pose I = [2, 3] 1) { u n+1 = u n 1 4 (u2 n 7) u 0 [2, 3] Conjecturer à l aide d une calculatrice le comportement asymptotique de la suite (u n ). 2) Etudier la convergence de la suite (u n ). On pourra notamment introduire la fonction f définie par : f(x) = x 1 4 (x2 7), montrer que l intervalle I est stable par f, (c est à dire que pour tout élément x de I, f(x) est encore un élément de I), puis que : Si 2 x 3 et 2 y 3 alors f(x) f(y) 1 x y 2 et utiliser ce résultat pour obtenir une majoration de u n 7. 3) Montrer que 7 est toujours compris entre deux termes consécutifs de la suite. 4) On se fixe une précision ε, (10 6 < ε < 1). A l aide de la calculatrice, déterminer deux termes consécutifs de la suite (u n ) permettant d avoir une valeur approchée de 7 à la précision ε. 76

21 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury Q.1) Présenter le travail réalisé sur la calculatrice. Q.2) Rédiger un énoncé de niveau terminale permettant d étudier la convergence de la suite (u n ) et de déterminer une valeur approchée de 7 à 10 2 près. Q.3) Proposer un ou plusieurs exercices permettant de déterminer des valeurs approchées d un nombre réel à l aide d une suite à une précision donnée Dossier n 8 du 3 Juillet Thème : Théorie des graphes 1. L exercice proposé au candidat Des touristes sont logés dans un hôtel noté A. Un guide fait visiter six sites touristiques notés B, C, D, E, F et G. Les tronçons de route qu il peut emprunter sont représentés sur le graphe ci-dessous. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètre des différents tronçons. 1) A partir de l hôtel, le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d eux? 2) Même question s il doit obligatoirement terminer son circuit à l hotel. 3) Déterminer le plus court chemin menant de l hôtel A au site E. 77

22 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) Préciser les notions relatives aux graphes sur lesquelles est bâti cet exercice. Q.2) Proposer un ou plusieurs exercices développant d autres notions relatives aux graphes Dossier n 9 du 4 Juillet Thème : Arithmétique 1. L exercice proposé au candidat Un astronome a observé au jour J 0, le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J 0 + 6), il observe le corps céleste B dont la période d apparition est de 81 jours. On appelle J 1 le jour de la prochaine apparition simultanée de ces deux corps céleste aux yeux de l astronome. Le but de l exercice est de déterminer la date de ce jour J 1. 1) Soient u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et par B entre J 0 et J 1. Montrer que le couple (u, v) est solution de l équation : (E 1 ) : 35x 27y = 2 2) Déterminer l ensemble des couples d entiers relatifs (x, y) solutions de l équation (E 1 ). 3) Déterminer J 1. 4) Si l astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu à la prochaine apparition simultanée de ces deux corps? 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le Jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : 78

23 Q.1) a) Présenter, avec votre calculatrice, le calcul du PGCD de deux entiers naturels non nuls. b) Présenter, avec votre calculatrice, un algorithme permettant d obtenir une solution particulière de l équation : (E 2 ) : 35x 27y = 1 Q.2) Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l exercice. Q.3) Proposer un ou plusieurs exercices sur le même thème Dossier n 10 du 5 Juillet Thème : Probabilités 1. L exercice proposé au candidat On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles puis on en calculera une valeur approchée à 10 2 près. 1) Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 jetons noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise. Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur k lorsque le premier jeton blanc apparaît au k-ième tirage. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. 2) Une urne U contient 17 jetons blancs et 18 jetons noirs. On jette un dé cubique dont chaque face a la même probabilité d apparaître. Si le 6 apparaît on tire un jeton de l urne U, sinon on tire un jeton de l urne U. Démontrer que la probabilité de tirer un jeton blanc est 1 2. On a tiré un jeton blanc, calculer la probabilité pour qu il provienne de l urne U. 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l exercice. 79

24 Q.2) Réaliser un arbre de probabilités pouvant servir de support à la résolution de la question 2). Q.3) Proposer un ou plusieurs autres exercices sur le thème des probabilités et mettant en jeu l étude d une variable aléatoire Dossier n 11 du 6 Juillet Thème : Problèmes sur les configurations 1. L exercice proposé au candidat L exercice suivant est extrait d un manuel de collège : ABCD est un parallélogramme de centre O tel que : AD = 6 cm, DC = 12 cm et ÂDC = 50, F est le milieu de [DC]. 1) Calculer les angles du triangle ADF et montrer que (AF ) est la bissectrice de l angle DAB. 2) La parallèle à (AF ) passant par C coupe la droite (AB) en E. Montrer que AECF est un parallélogramme. En déduire que E est le milieu de [AB]. 3) Montrer que les droites (EO) et (BC) sont parallèles et calculer EO. 4) Montrer que O est le milieu de [EF ]. 5) La droite (BD) coupe la droite (EC) en I et la droite (AF ) en J. Montrer que DJ = JI = IB. 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) Préciser les différents outils mis en jeu dans votre résolution de cet exercice ainsi que le niveau auquel cette résolution pourrait être abordée. Q.2) Faire une analyse critique de l énoncé et de l enchaînement entre les différentes questions On s attachera notamment à évaluer le rôle des différentes hypothèses dans les résultats établis. 80

25 Q.3) On désire partir de l énoncé précédent pour fabriquer, pour une classe de quatrième, un exercice établissant uniquement le résultat de la question 5). Rédiger un énoncé permettant d établir ce résultat ; on veillera à ne mettre que les hypothèses indispensables. Q.4) Proposer un (ou deux) autre(s) exercice(s) sur le même thème Dossier n 12 du 10 Juillet Thème : Séries statistiques à deux variables 1. L exercice proposé au candidat : Le tableau ci-dessous donne la production annuelle d une usine de pâte à papier (en tonnes) en fonction de l année : Année Production ) Tracer le nuage de points correspondant. 2) Pour l année i, on note p i la production de pâte à papier et l i = ln(p i ). Tracer le nouveau nuage de points (i, l i ). 3) En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d ajustement par les moindres carrés de l i en i. 4) En déduire une fonction d ajustement de la production en fonction de l année. 5) Quelle production peut-on prévoir en 2005? 2. Le travail demandé au candidat l entretien avec le jury. Après avoir résolu et analysé l exercice le candidat rédigera sur sa fiche les réponses aux questions suivantes : Q.1) Indiquer les classes de Lycée dans lesquelles on peut proposer cet exercice et les notions et outils mis en œuvre dans sa résolution. Q.2) Présenter sur une calculatrice les deux nuages de points. Q.3) Comment utiliseriez-vous cet exercice pour présenter à une classe de Terminale ES la méthode d ajustement par les moindres carrés? Q.4) Quelles indications ajouteriez-vous à la question 4. pour amener un élève de Terminale à la résoudre? Q.5) Proposer un ou plusieurs exercices sur le même thème. 81

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