Opérations financières à intérêts simples

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1 9 Opérations financières à intérêts simples cχ Activité 1 Placement à la banque Intérêts simples Baptiste a en sa possession En prévision de l acquisition d une voiture, il place cette somme pendant 9 mois à un taux de 4 % l an à intérêts simples à la banque. 1. Calculez l intérêt rapporté par ce capital C : en mois, en 1 mois et en 9 mois. 2. Calculez la somme d argent que Baptiste pourra retirer dans 9 mois, c est-à-dire la valeur acquise A par ce capital. 3. On note I l intérêt et n la durée du placement en mois. a. Exprimez I en fonction de n. b. Représentez graphiquement la fonction f définie par f (n)= I pour n appartenant à l intervalle [0 ; ]. c. Déterminez la valeur acquise par le capital en 8 mois. Activité 2 Paiement par effet de commerce Escompte M. Brun, ébéniste, achète à la scierie DUBOIS des plots de chêne. Le montant de la facture s élève à M. Brun signe un effet de commerce par lequel il s engage à payer dans 3 mois. La somme de s appelle la valeur nominale de l effet. La scierie DUBOIS a deux solutions : 1 re solution : elle attend l échéance des 3 mois et elle encaisse alors les ; 5

2 2 e solution : elle négocie l effet avec la banque et elle encaisse les diminués d une certaine somme appelée agio. On considère le cas où, deux mois avant l échéance, la scierie DUBOIS, ayant des problèmes de trésorerie, négocie cet effet avec la banque. La banque crédite le compte de ,30. Cette somme s appelle la valeur nette. 1. Calculez le montant de l agio. 2. Les agios sont constitués de l escompte, des frais et de la T.V.A. a. La banque avance à la scierie DUBOIS pendant deux mois. L intérêt de cette somme s appelle l escompte. Calculez le montant de l escompte au taux de 8% l an. b. Les frais correspondent à 0,5 % de la valeur nominale. Calculez les frais. c. La T.V.A. est de 19,6 % des frais. Calculez la T.V.A. d. Vérifiez le montant de l agio. 3. La valeur actuelle de la traite est la valeur nominale diminuée de l escompte. Calculez la valeur actuelle. 6

3 Cours 1 Intérêts simples 1 a Définitions L intérêt est le loyer rapporté par un capital pendant une période donnée. La valeur acquise est constituée du capital et des intérêts. Les intérêts simples ne s appliquent que pour des durées inférieures à un an. 2 a Calcul de l intérêt simple L intérêt simple I est directement proportionnel : au capital C ; au taux périodique t de placement ; au nombre n de périodes de placement. La valeur acquise (A) par un capital est constituée du capital augmenté des intérêts. I = Cnt ; A = C + I. Remarques : Dans la plupart des calculs financiers, on utilise l intérêt composé étudié au chapitre suivant. Si la période du taux est annuelle, on exprime n en fraction d année en considérant que l année a jours. Si les dates sont données, on compte le nombre de jours. On ne tient pas compte du premier jour, mais on compte le dernier. Exemple Un capital de est placé à 5 % l an du 4 mars au 15 mai. La durée du placement en jours est : (31 4) = Calcul de l intérêt en euros : ,05 = 27. La valeur acquise par le capital en euros est : = a Représentations graphiques Intérêt Valeur acquise Durée t ú I est une fonction linéaire t ú A est une fonction affine Durée 7

4 4 a Taux proportionnel Les taux sont dits «proportionnels» s ils sont proportionnels aux durées de placement. Deux capitaux placés à intérêts simples à des taux proportionnels pendant la même durée produisent le même intérêt. Exemple Soit un taux annuel de 0,06. Le taux mensuel proportionnel correspondant est : 0,06 = 0,005. Calcul de l intérêt en euros rapporté par un capital de placé pendant 9 mois : 9 au taux annuel de 0,06 : ,06 = 225 ; au taux mensuel de 0,005 : ,005 = a Taux moyen de placement Le taux moyen de plusieurs capitaux est le taux unique qui permet d obtenir le même intérêt pour les mêmes durées. Exemple Un particulier place : un capital de 900 à 4,5 % pendant 90 jours ; un capital de 600 à 6,5 % pendant 150 jours Calcul total des intérêts produits en euros : , ,065 = 26,375. Soit t le taux unique qui produirait le même intérêt dans les mêmes conditions de durée : t t = 26, t t = 26,375 t ª 0, Le taux moyen de placement est : 5,55 %. 2 Escompte Agio - Equivalence d effet 1 a Notion d escompte Un effet de commerce est un document par lequel le fournisseur accorde à son client un délai de paiement. Le débiteur s engage à payer à une date donnée (date d échéance) la valeur de la somme (valeur nominale) inscrite sur l effet. 8

5 Le créancier a ensuite deux solutions : attendre la date d échéance pour toucher la somme notée sur l effet ; négocier l effet avec sa banque à la date de négociation pour disposer rapidement du paiement. La banque lui verse alors le montant de l effet diminué des agios. La valeur nominale A de l effet est le montant que le débiteur s engage à payer. La date de négociation est la date à laquelle l effet est vendu à la banque. La date d échéance est la date à laquelle le débiteur s engage à payer. Les agios sont généralement composés : de l escompte e : l escompte correspond à l intérêt de l argent avancé par la banque ; de la date de négociation à la date d échéance, il est proportionnel à la durée et au taux : e = Atn ; des commissions ; de la T.V.A. : elle se calcule sur les commissions indépendantes de la durée. Le taux réel de l escompte est le taux unique qu il faut appliquer à la valeur nominale de l effet pour obtenir l agio. La valeur actuelle a est la valeur nominale diminuée de l escompte : a = A e. La valeur nette est la valeur nominale diminuée de l agio. Exemple Un effet de commerce de est escompté au taux de,45 % l an le 16 juillet ; la date d échéance est le 30 novembre. Les frais de dossier sont de 8,48 et la commission d encaissement se monte à 1,70. La T.V.A. est de 19,6 % sur les frais et la commission. La durée en jours, pendant laquelle la banque avance de l argent est : = 137 jours. Calcul : 137 de l escompte en euros : ,45 ª 88,84 ; de la valeur actuelle en euros de l effet : ,24 = 1 786,16 ; du total des agios en euros : 88,84 + 8,48 + 1,70 + 1,99 = 101,01 ; de la valeur nette de l effet en euros : ,01 = 1 773,99. 2 a Équivalence d effets Deux effets A et B sont équivalents à une date donnée (date d équivalence) si, escomptés au même taux, les deux valeurs actuelles sont égales. Un effet est équivalent à plusieurs autres effets à une date donnée si sa valeur actuelle est égale à la somme des valeurs actuelles des autres effets. Lorsqu un débiteur veut remplacer un nouvel effet par un autre (pour reculer la date d échéance), son créancier peut accepter à condition que les deux effets soient équivalents. 9

6 Exemple Un commerçant ayant des difficultés de trésorerie demande à son fournisseur de remplacer un premier effet de dont l échéance est à 60 jours par un deuxième effet dont l échéance est à 90 jours. Le taux d escompte est % l an. Calculez la valeur nominale du 2 e effet. Soit A 2 la valeur nominale du deuxième effet en euros. Soit a 1 et a 2 les valeurs actuelles respectives du premier et deuxième effet en euros. Calcul de la valeur actuelle de chaque effet : a 1 = , = ; a 2 = A 2 A 2 0,. L équation d équivalence est telle que a 1 = a A 2 A 2 0, = Résolution de l équation d équivalence : A 2 10,8 A 2 = ,2 A 2 = A 2 ª ,73. La valeur nominale du 2 e effet est : ,73. L ESSENTIEL Intérêt simple I = Cnt; A = C + I. C : capital ; t : taux périodique de placement ; n : nombre de périodes de placement ; A : valeur acquise par un capital. Escompte d un effet - Agios Les agios sont généralement composés : de l escompte e ; des commissions ; de la T.V.A. e = Atn ; a = A e. A : valeur nominale ; a : valeur actuelle. La valeur nette est la valeur nominale diminuée des agios. 130

7 Exercices 1 Calculez les intérêts simples et la valeur acquise par un capital de placé à 2,5 % l an durant 0 jours. 2 Un capital de placé pendant 200 jours a rapporté un intérêt de Calculez le taux annuel de placement. 3 Un capital de placé à 4,8 % a rapporté 720. Déterminez la durée du placement en nombre de jours. 4 Un capital est placé à 4,8 % l an ; le montant de l intérêt au bout de 8 mois est 480. Calculez ce capital. 5 Un capital C placé à intérêt simple a acquis une valeur de ,50 au bout de 5 mois au taux annuel de 3,6 %. Calculez C. 6 Un particulier réalise 3 placements : 3800 à 3,6 % l an pendant 150 jours ; 2400 à 2,4 % l an pendant 90 jours ; 6000 à 3 % l an pendant 60 jours. Déterminez le taux moyen de placement. Arrondissez le résultat au millième. 7 Recopiez et complétez le tableau : Capital Intérêt Valeur acquise Durée de placement Taux de placement jours 3 % l an Du 20 juillet au 30 octobre 2,7 % l an 3 386,25 9 mois mois 3,5 % l an 4,5 % l an 8 M. Pierre possède un effet de valeur nominale Il négocie l effet avec la banque qui crédite son compte de Calculez le montant des agios. 9 Un effet de valeur nominale de est négocié le mars avec la banque. La date d échéance est le 31 mai. Déterminez la valeur actuelle de la traite si le taux d escompte est de 5%. 10 Une entreprise négocie le 15 avril une traite de à échéance le 30 juin. Les conditions de la banque sont les suivantes : taux d escompte : 4,5 % ; frais fixes T.T.C. : Calculez le montant de l escompte. 2. Calculez la somme dont sera crédité le compte de l entreprise. Problèmes PROBLÈME CORRIGÉ En vue d augmenter sa production, un boulanger décide d acquérir un four à pain automatique. Il porte son choix sur un four valant Les conditions de paiement sont : à la livraison ; le solde en trois traites trimestrielles d égale valeur nominale. La première échéant 3 mois après la livraison ; le taux est de 2,7 % l an. 131

8 1. Calculez le solde restant à payer. 2. Soit A la valeur nominale des traites. Pour qu il y ait équivalence le jour de la livraison, la somme des valeurs actuelles de chaque traite doit être égale au solde à payer. Écrivez en fonction de A : la somme des valeurs actuelles des 3 traites ; l équation d équivalence. Résolvez cette équation et donnez la valeur de A au centième d euro. 3. Calculez : a. le total versé ; b. l économie réalisée si le boulanger avait payé comptant le jour de la livraison. CORRIGÉ 1. Le solde est : = , soit La somme des valeurs actuelles des 3 traites s exprime par : A A 3 + A A 6 + A A 9. On a donc : A A 3 + A A 6 + A A 9 = A A ( ) = A 0,040 5A = ,959 5 A = A ª ,73. La valeur nominale des traites est : , Le total versé est , = ,19. L économie réalisée serait de 547,

9 11 On place un capital de au taux annuel de 3 %. Un autre capital de est placé au taux annuel de 5,4 %. Soit n le nombre de mois de placement. 1. Exprimez A 1 et A 2 les valeurs acquises respectivement par le capital de et de en fonction de n le nombre de mois de placement. 2. Représentez dans le même repère A 1 et A 2 pour n appartenant à l intervalle [0 ; 24]. Commencez la graduation sur l axe des ordonnées à Déterminez graphiquement le nombre de mois de placement nécessaire pour que les deux valeurs acquises soient égales. Vérifiez le résultat en résolvant une équation. Un particulier investit 000 dans deux placements différents. Le placement A rapporte 5% l an durant 9 mois. Le placement B est de 8 mois à 3 % l an. Le placement A rapporte 220 de plus que le placement B. On désigne par x le montant du placement A et par y le montant du placement B. 1. Exprimez en fonction de x et de y : le montant total de l investissement ; la différence de l intérêt rapporté par les deux placements. 2. Écrivez le système de deux équations à deux inconnues correspondant. 3. Résolvez ce système. 4. Concluez en notant le montant du placement A et du placement B. 13 Une entreprise négocie avec la banque le 15 mai 2001 deux traites. Le taux d escompte appliqué est 5 %. 1. Recopiez et complétez le tableau ci-dessous : Montant de la traite en euros Date de négociation 15/05/02 Date d échéance 19/06/ /05/02 04/07/02 Nombre de jours à courir Valeur actuelle en euros Total : 2. La commission de domiciliation est de 4 par traite ; la commission de manipulation est de 0,1 % de la valeur nominale ; le montant de la T.V.A. est de 19,6 % sur la commission de manipulation et de domiciliation. Calculez le montant dont sera crédité le compte de l entreprise. 14 En cas de déficit sur le compte d un particulier, une entreprise bancaire débite le compte des agios calculés de la manière suivante : intérêts débiteurs : 5,4 % l an ; commission de découvert : 0,5 % du montant du découvert ; commission fixe 5 ; T.V.A. : 19,6 % sur la commission fixe. On considère un débit de Calculez : a. le montant des intérêts débiteurs pendant 36 jours et pendant 0 jours ; b. le total des commissions et de la T.V.A. 2. Exprimez le montant y des agios retenus en fonction de la durée x du découvert. 3. Représentez graphiquement le montant des agios y en fonction de la durée x pour x variant de 0 à jours. 4. Déterminez graphiquement la durée d un découvert dont l agio est de La société MICHEL dispose d un effet dont la valeur nominale est de et l échéance le 2 avril La société MICHEL est en relation avec deux banques dont les conditions d escompte sont données par le tableau ci-dessous : Taux d escompte Commission de service par effet Commission de manipulation proportionnelle à la valeur nominale (1) Escompte minimum (1) est soumis à la T.V.A. de 19,6 %. Crédit du Centre 6,5 % 10 0,075 % 20 Société Lyonnaise 6 % 15 0,065 % Calculez pour chaque banque le montant total des agios si la date de négociation est le 2 janvier Déduisez-en le taux réel de l escompte dans le cas de chaque banque. 133

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