Analyse vectorielle TABLE DES MATIERES. Partie I. Analyse vectoriel en coordonnées cartésiennes Rappel, définitions 2

Transcription

1 Analyse vectorielle TABLE DES MATIERES Partie I. Analyse vectoriel en coordonnées cartésiennes 2 1. Rappel, définitions 2 2. Gradient d une fonction scalaire 3 3. Divergence d une fonction vectorielle 5 4. Rotationnel d une fonction vectorielle 8 5. Laplacien Formules utiles Formules différentielles Formules intégrales 17 Partie II. Analyse vectoriel en coordonnées curvilignes 20 gradf, div A, rot A et f en coordonnées sphériques et cylindriques 20 Partie III. Applications physiques Application en électrostatique. Fonction δ( r) de Dirac Les ondes électromagnetiques dans le vide Application en hydrodynamique 34 1

2 Partie I. Analyse vectoriel en coordonnées cartésiennes 1 Rappel, définitions. Un point P dans l espace réel R 3, en 3 dimensions spacialles, sera marqué par un vecteur r, avec des composantes (x, y, z) qui sont les coordonnée cartésiennes de ce point, Fig.1: x r = y z (1.1) Dans les coordonnées spheriques, ce même point sera présenté par les paramètres (r, Θ, ϕ) où r = x 2 + y 2 + z 2 et les angles Θ, ϕ sont indiqués dans la Fig.2. Dans les coordonées cylindriques, r sera présenté par les paramètres (ρ, ϕ, z), où ρ = x2 + y 2, la coordonnée z et la même que dans (1.1) et l angle ϕ est indiqué dans la Fig.3. Une fonction f( r), définie dans R 3, est une règle particulière qui fait correspondre les points de R 3 et les nombres réels (ou complexes). Symboliquement: f( r) : R 3 R(C) (1.2) Exemples: 1) f( r) = 1 r (1.3) potentiel d un Coulomb, en l électrostatique, produit par la charge électrique q = 4π, placée à l origine (nous mettons 1 ε 0 = 1 pour simplifier les formules). 2) g( r) = 1 a 2 + r 2 (1.4) 3) h( r) = ( p r) r 3 (1.5) 2

3 où p est un paramètre vectoriel; h(r) est un potentiel créé par un petit dipole placé à l origine; ( p r) est un produit scalaire usuel. Nous allons appler également f( r) fonction scalaire, pour faire la différence avec des fonctions vectorielles qu on peut également définir dans l espace R 3. Une fonction vectorielle A( r), définie dans R 3, est une règle particulière qui fait correspondre les points de R 3 et les points d un autre espace R 3, ou du même espace. Exemples 1) E( r) = r r 3 (1.6) 2) G( r) = 2 r (a 2 + r 2 ) 2 (1.7) Dans la suite de la 1ere partie de nos cours la plupart des expressions sera donnée dans les coordonnées cartésiennes. Plus tard, dans la partie II, nous allons traduire nos équations en coordonnées spheriques et cylindriques. 2 Gradient d une fonction scalaire. Par définition, gradient de f( r), f( r) = gradf( r) f( r), est un vecteur avec des composantes: f( r) x f( r) y f( r) z x f( r) y f( r) z f( r) (2.1) Opérateur différentiel nabla, qui figure dans (2.1), est un vecteur avec des composantes: Exercices. = Démontrer les résultats suivants: x y z x y z 3 (2.2)

4 1) r = r r (2.3) 2) 1 r = r r 3 (2.4) 3) 1 a 2 + r 2 = 4) ( p r) r 3 2 r (a 2 + r 2 ) 2 (2.5) = 3( p r) r r2 p r 5 (2.6) Les résultats dans 2) et 4) correspondent à un champ électrique E( r) créé, respectivement, par une charge q = 4π placée à l origine et par un dipole électrique p, placé également à l origine. 5) Pour justifier la formule (1.5) d un potentiel électrique d un dipole, démontrer le développement limité suivant: q r ± a = q q( a r) + O( 1 r 2r 3 r (a r )2 ) (2.7) 2 qui est utile dans la limite a r. Le symbole A, pour un vecteur A quelconque, définit le module de A (sa longueur): A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (2.8) En particulier a a, r = r. Avec le résultat dans (2.7), on trouve: q r a 2 q r + a 2 = q( a r) r 3 + O( 1 r (a r )2 ) (2.9) et alors, dans la limite de a tout petit par rapport à r, on retrouve le potentiel (1.5) avec p = q a. Dérivée dans la direction n. Le produit scalaire de f( r) avec un vecteur n quelconque, n = 1, est égale à la dérivée de f( r) dans la direction n: ( n f( r)) = n f( r) n f( r) = déf lim ɛ 0 f( r + ɛ n) f( r) ɛ (2.10) 4

5 La démonstration de cette propriété (égalité des la partie gauche et de la partie droite de (2.10)) est suggerée en exercice. Sur cette propriété est basée la deuxième propriété du gradient: le gradient f( r), considéré comme un vecteur qui est attaché à un point r donné, est orthogonal à la surface S r de valeurs constantes de f( r) qui passe par ce même point r (la surface de niveau de f( r) ou la surface équipotentielle, dans le cas où f( r) est un potentiel électrique), Fig.4. La démonstration de cette propriété est très simple. Supposons que m( r) est un vecteur qui est également attaché au point r, tout comme f( r), et qui est tangent à la surface de niveau S r, Fig.4. Alors, comme f( r) ne varie pas le long de cette surface, on doit avoir m f( r) = 0 (2.11) Mais alors, par l éq.(2.10), ( m f( r)) = 0 (2.12) Il s agit du résultat annoncé, d orthogonalité de f( r) à S r. Exemples. On pourrait facilement vérifier/constater cette orthogonalité sur des exemples des fonctions et de leurs gradients dans les exercices 1)-3), éqs.(2.3)-(2.5). Mais il sera moins facile de la vérifier directement dans le cas du potentiel d un dipole, exercice 4), éq. (2.6). 3 Divergence d une fonction vectorielle. Soit A( r) une fonction vectorielle, ou un champ des vecteurs, ou encore un champ vectoriel dans la terminologie d un physicien. Sa divergence est définie par l expression: div A( r) = déf ( A( r) = x A x ( r) + y A y ( r) + z A z ( r) (3.1) 5

6 La signification physique de la divergence est liée à la notion d un flux d un champ vectoriel à travers une surface: F S = (d s A( r)) (3.2) S Fig.5. Dans cette expression d s est un vecteur orienté dans la direction orthogonale à S et avec son module d s égale à l aire d un petit élément de surface qui est montré dans la figure. Dans cette figure est exposé un seul élément de la surface S, mais il faut imaginer que toute la surface est brisée en petits éléments similaires et, en calculant l intégrale dans (3.2), on fait sommer sur l ensemble de ces petits éléments, dans la limite où leur nombre tend vers l infini (le surface S étant brisée en éléments de plus en plus petits). Il est assez simple à démontrer que la divergence d un champ A( r) en un point r est proportionnelle à un flux de champ A à travers une petite surface fermée qui entoure le point r, dans la limite où la taille de cette surface (et le volume de l espace qu elle entoure) tend vers zero, Fig.6. Le coefficient de proportionalité est le petit volume dω entouré par la surface: df S diva dω (3.3) Nous avons noté ce flux df S, au lieu de F S, pour expliciter qu il est tout petit, comme le volume dω. Sinon, df S se calcule par la même formule, celle dans l éq.(3.2). L égalité approchée dans l éq.(3.3) devient l égalité dans la limite de dω 0. Par conséquence df S 0 également, mais leur rapport df S /dω reste fini et devient égale à la divergence, diva( r). La démonstration de l éq.(3.3), c est à dire l emergence de diva à partir de l éq.(3.2) pour S fermée et toute petite, cette démonstration pourrait se faire de la manière plus simple en choisissant pour S la forme d un cube, Fig.7. Avec quelques arguments supplémentaires on pourrait se convaincre que le résultat de la limite (quand la taille de S tend vers zero) ne dépend pas de la forme particulière de S. D autre part, avec S de la forme d un cube, la démonstration est plus rapide. Dans la limite où le cube devient tout petit, l intégrale sur la surface dans l éq.(3.2) pourrait être remplacée par la somme des flux approximatifs à travers les 6 côtés du cube, 6

7 A( r) étant choisi, pour sa valeur, au millieu de chaque côté, multiplié par l aire du côté. Une remarque supplementaire est que, si A est orienté vers l interieur du cube, pour un côté particulier, alors sa contribution aura un signe négatif, comme résultat du produit scalaire (d s, A) dans l éq.(3.2). La convention habituelle étant pour une surface fermée, d s est orienté vers l exterieur. Avec ces observations on trouve l expression suivante, Fig.7: df S A x ( r + dx 2 e x)dydz A x ( r dx 2 e x)dydz +A y ( r + dy 2 e y)dxdz A y ( r dy 2 e y)dxdz +A z ( r + dz 2 e z)dxdy A z ( r dz 2 e z)dxdy (3.4) e x, e y, e z ( e x = e y = e z = 1) sont les vecteurs de base, Fig.7. En développant A x ( r + dx e 2 x) dans dx, etc., on trouve: 2 en accord avec l éq.(3.3). df S ( A x( r) x + A y( r) y + A z( r) )dxdydz (3.5) dz Exemple. Considerons le cas où A( r, t), qui dépend en plus de temps dans cet exemple, est la densité d un courant des particules: des molecules d un gaz en mouvement ou des particules chargées qui constituent un courant électrique. On trouve dans ce cas: A(t, r) = ρ(t, r) v(t r) (3.6) où ρ(t, r) est la densité des particules (en un point r et au moment t) et v(t, r) est leur vitesse moyenne. La divergence de A dans cet exemple correspond à la différence d un nombre des particules qui sortent et qui rentrent dans le petit volume dans la Fig.6, par l unité du temps. Si, par exemple, diva( r, t) est positif, alors le nombre de particules qui sortent sera superieure au nombre des particules qui rentrent et, en conséquence, la densité des particules (en un point r, au moment t) va diminuer. On aura l équation: ρ(t, r) t = div A(t, r) (3.7) 7

8 qui décrit le bilan local des particules en mouvement. Il faut ajouter que l équation de bilan dans la forme (3.7) correspond au cas où il n y a pas de sources de production des nouvelles particules dans un milieu et, également, il n y a pas de disparition des particules. Exercices. Calculer la divergence des champs vectoriels suivants Réponses: 1) A( r) = r (3.8) 2) A( r) r =, en r 0 (3.9) r3 3) A( r) r = (3.10) a 2 + r 2 1) div r ( r) = 3 (3.11) 2) div r r 3 ( r r 3 ) = ( r) 1 r 3 3 r 4 ( r r) = 0 (3.12) r 3) div a 2 + r ( r 2 (a 2 + r 2 ) =... = 3a2 + r 2 (3.13) (a 2 + r 2 ) 2 4 Rotationnel d une fonction vectorielle. Définition. Pour un champ de vecteurs A( r) son rotationnel est défini par l expression: rot A A = ( y A z z A y ) e x +( z A x x A z ) e y + ( x A y y A x ) e z (4.1) e x, e y, e y sont les vecteurs de base des coordonnées cartesiennes. Le symbole A signifit le produit exterieur des deux vecteurs, et A, appelé également produit vectoriel de deux vecteurs. Dans ce cas particulier, avec étant un opérateur de dérivation, il s agit de la dérivée exterieure du champ A( r). La façon compacte et pratique pour des calculs est de présenter le produit exterieur de deux vecteurs A et B dans la forme suivante: ( A B) i = ε ijk A j B k (4.2) 8

9 Il y a quelques conventions qui sont implicites dans (4.2): 1) les indices i, j, k prennent trois valeurs differentes: soit 1,2,3, soit x, y, z, comme dans les formules précédentes; les deux suites des indices vont être considerées comme équivalantes dans la suite; 2) les indices qui se répètent, comme j et k dans l éq.(4.2), sont sommés sur ces valeurs: ε ijk A j B k 3 3k=1 j=1 ε ijk A j B k (convention d Einstein pour l algèbre de tenseurs); 3) ε ijk est un tenseur du rang 3 (ayant trois indices), entierement antisymétrique: il change son signe sous permutation de toutes paires des ses indices voisins; ce tenseur est beaucoup utilisé dans l algèbre des vecteurs et des tenseurs, plus généralement; la convention standard est que ε 123 = 1 et alors ses autres composantes non-nulles se déterminent par permutation des indices; on trouve: ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1 (4.3) (sous la permutation cyclique de trois indices le signe ne change pas) ε 213 = ε 132 = ε 321 = 1 (4.4) les autres composantes sont nulles en conséquence d antisymétrie: ε 112 = ε 112 (permutation de ses deux premiers indices, qui ont la même valeur) ε 112 = 0, etc.; 4) l expression à gauche dans l éq.(4.2), ( A B) i, signifie la composante numero i du vecteur qui résulte du produit exterieur A B; par exemple: ( A B) 1 ( A B) x = ε 1ij A i B j = ε 123 A 2 B 3 + ε 132 A 3 B 2 = A 2 B 3 A 3 B 2 A y B z A z B y (4.5) Il est suggeré, en exercice 1, de retrouver de cette manière ( A B) 2 et ( A B) 3. Exercice 2. Soit C un vecteur qui résulte du produit exterieur de A et B: C = A B. En utilisant la représentation (4.2) pour A B, démontrer l orthogonalité de C à A et à B: ( C, A) = 0, ( C, B) = 0. 9

10 Indication: d après les conventions présentées ci-dessus le produit scalaire ( C, A) s écrit comme suit: ( C, A) 3 = C i A i ( C i A i ) = ε ijk A j B k A i (4.6) i=1 Il reste à trouver les arguments pour conclure que le dernier produit ci-dessus, où on fait sommer sur tous les trois indices, vaut 0. Avec ces conventions, le rotationnel rot A dans l éq. (4.1) prend la forme: ( rot A) i ( A) i = ε ijk j A k (4.7) De la même manière comme pour les deux vecteurs A et B ci-dessus, on trouve, à partir de l éq.(4.7): ( rot A) x = y A z z A y ( rot A) y = z A x x A z ( rot A) z = x A y y A x (4.8) en accord avec l éq.(4.1), où les composantes sont multipliées par les vecteurs de base correspondants. Définition. Circulation d un champ A( r) le long d un contour C est définie par l intégrale: C d r A( r) (4.9) D une manière similaire comme pour le rapport entre le flux à travers une petite surface fermée et la divergence, éq.(3.3), on peut démontrer que la circulation d un champ vectoriel A( r) le long d un petit contour fermé est égale (dans le limite d un tout petit contour) à ( rot A( r) d s), ou d s est une petite surface, bornée par le contour: C d r. A( r) d s rot A (4.10) Fig.8. Nous rappelons que, par définition, d s est un vecteur qui est orthogonal à la surface, avec son module (longueur) d s égale à l aire; raccordement de l orientation du contour et de la direction de d s (le choix entre les deux directions possibles) est montré dans la figure. 10

11 Pour donner l idée sur la démonstration de la formule (4.10), nous prennons le cas le plus simple où le petit contour C à gauche de l éq. (4.10) est un petit carré, dont les deux côtés sont parallels aux axes x et y, Fig.9. Dans ce cas, et dans la limite de tout petit carre (la taille des côtés dx, dy 0), l intégrale à gauche dans l éq. (4.10) pourrait être remplacée par la somme: A y ( r + dx 2 e x)dy A x ( r + dy 2 e y)dx A y ( r dx 2 e x)dy + A x ( r dy 2 e y)dx (4.11) qui représente la circulation discrète du champ A le long du carré. En développant ensuite les composantes du champ A dans dx, dy, on trouve, comme le terme principal: 2 2 ( x A y y A x )dx dy (4.12) Le premier facteur correspond à la composante z du rot A( r) et le deuxième correspond à d s, l aire de la petite surface qui est bornée par le carré. On peut constater que tout est en accord avec l expression à droite dans l éq.(4.10). En effet, pour l orientation du carré dans la Fig.9, le vecteur d s doit être orienté le long de l axe z, direction positive. Ce vecteur, en fasant le produit scalaire avec rot A (partie droite de l éq.(4.10)), va selectionner la composante z du rotationnel, en accord avec l expression dans l éq.(4.12). Dans le cas général, des autres formes du chemin C et d autres orientations, la démonstration pourrait être rendu proche à la démonstration ci-dessus, pour le cas special. La formule limite (4.10), de tout petit chemin C, reste toujours valable. Exercice 3. Soit f( r) une fonction scalaire et f( r) son gradient. rotationnel d un gradient est égale à 0: Démontrer que rot f( r) f = 0 (4.13) Indication: ( f) i = ε ijk j k f( r) ε ijk j k f( r) (4.14) ( i = i, voir la définition de l opérateur nabla dans l éq(2.2)). Il reste de trouver des arguments pour conclure que la dernière expression ci-dessus est égale à 0. (Ceci à 11

12 condition que f( r) est une fonction différentiable, c est à dire qu elle vérifie la condition j k f = k j f). Exemple. Un simple exemple d un champ vectoriel, avec son rotationnel non-nul, présente le champ de vitesses v( r) des points d un solide qui tourne, autour d un axe fixe quelconque, avec la vitesse de rotation ω constante. Dans ce cas: v( r) = ω r (4.15) à condition que l axe de rotation (l axe de ω) passe par l origine de coordonnées de r (des points de solide). Exercice 4. Calculer rot v( r). 5 Laplacien. Définition. Opérateur différentiel laplacien est défini, dans les coordonnées cartisiennes, par l expression: = déf 2 ( ) = x 2 + y 2 + z 2 (5.1) Cet opérateur pourrait être appliqué à une fonction scalaire f( r), tout comme à une fonction vectoriel A( r). En soi-même, laplacien est un opérateur différentiel scalaire, en comparaison avec l opérateur nabla,, qui est un opérateur vectoriel. Opérateur laplacien apparait dans l analyse et la déscription d énormement des problèmes physiques. On peut citer deux exemples: 1) Propogation des ondes, soit acoustiques, soit électromagnétiques; dans le cas de propogation des ondes acoustiques, le laplacien est appliqué à un champ vectoriel, disons A( r), qui décrit les déplacements des points d un milieu élastique de leurs positions d équilibre. L équation de propogation des ondes est de la forme: t 2 A(t, r) = A(t, r) (5.2) 12

13 à des constantes (d élasticité, etc.) près. Ce processus est dynamique. En conséquence, le champ A dépend du temps, t, en plus des coordonnées r des points du milieu. 2) Potentiel électrique U( r), dans le cas d électrostatique; U( r) est une fonction scalaire de r qui vérifie l équation: U( r) = ρ( r) (5.3) toujours à des constantes près; ρ( r) est la densité de charge électrique qui est répandue dans un milieu. Ces exemples, ainsi que d autres, seront examinés plus bas, dans les chapitres Exercices. Calculer les applications de l operateur laplacien dans les cas suivants: 1) r (5.4) 2) r 2 (5.5) 3) 1, pour r 0 (5.6) r Indications. 4) ( p r), pour r 0 (5.7) r 3 r = ( )r = ( r) = ( r r ) = ( r) 1 r + ( r 1 ) =... (5.8) r Une étoile sur l exercice 4) signifie que le calcul sera relativement compliqué; en général, les exercices avec une étoile ne sont pas obligatoires. Par contre, pourriez vous deviner la réponse, sans calcul, en fasant appel à la signification physique de ce cas particulier? 5) Trouver la solution de l éq.(5.3), la fonction U( r), dans le cas où la densité de charge ρ( r) est une fonction constante, non-nulle, pour r < a, et zéro pour r > a: { ρ0, r < a ρ( r) = (5.9) 0, r > a Pour des raisons physiques, U( r) doit être une fonction continue (en passant par r = a). 13

14 6 Formules utiles. 6.1 Formules différentielles. Dans ce sous-chapitre nous allons présenter quelques propriétés de l opérateur. Deux premières, qui sont évidantes en vue de la définition de, éq.(2.2), sont celles de l application de à un produit ordinaire: 1) de deux fonctions scalaires et 2) d une fonction scalaire et une fonction vectorielle. On trouve: 1) (f g) = f g + f g gradf g + f gradg (6.1) 2) ( (f A)) = ( f A) + f ( A) ( gradf A) + f div A (6.2) Nous les avons déjà utilisés dans des exercices précédents. Ensuite: Démonstration: 3) ( ( A)) div rot A = 0 (6.3) ( ( A)) = i ε ijk j A k = ε ijk i j A k = 0 (6.4) Dans tous les exemples et exercices qui suivent il est supposé que les fonctions, qui apparaissent, sont différentiables, sauf si le contraire est mentionné; en particulier, dans l éq.(6.4), il est supposé que i j A k = j i A k. 4) ( ( A B)) = (( A) B) ( A ( B)) (6.5) Cette équation s écrit, de la façon équivalente, comme: div( A B) = ( rot A B) ( A rot B) (6.6) Démonstration: ( ( A B)) = i ε ijk A j B k = ε ijk ( i A j ) B k + ε ijk A j ( i B k ) = ε kij ( i A j )B k A j ε jik ( i B k ) = (( A) B) ( A ( B)) (6.7) 14

15 Antisymétrie de ε ijk est utilisée, ansi que la sommation implicite sur des indices qui se répetent; plus la définition du produit exterieur de deux vecteurs et celle du rotationnel, éqs.(4.2), (4.7). La démonstration de la formule qui suit est proposée en exercice: 5) (f A) = f A + f ( A) (6.8) Autrement: rot(f A) = gradf A + f rot A (6.9) La propriété: 6) ( f) rot gradf = 0 (6.10) a été déjà démontrée, en exercice (chapitre 4). La dernière formule, qui va suivre, nécessitera, pour sa démonstration, la propriété suivante du tenseur ε ijk : ε ijk ε ilm = δ jl δ km δ jm δ kl (6.11) Le tenseur d ordre 2 δ jl, qui apparait dans l équation ci-dessus, (appelé autrement symbole de Kronecker) est défini comme suit: δ jl = { 1, j = l 0, autrement (6.12) Démonstration de l éq.(6.11): Dans l éq.(6.11), à gauche, l indice i, qui se répète, est sommé. Les autres indices sont libres. Pour justifier l expression à droite, on observe que le résultat du produit à gauche après la sommation sur i, doit être une forme tensorièlle, de quatre indices, antysymétrique par rapport à la permutation, séparément, des indices j, k et des indices l, m. En plus, cette forme doit être symetrique par rapport à la permutation, simultanée, j l et k m. Sur la base de ces symétries on peut se convaincre que, si le résultat doit être exprimé avec que des produit et des sommes des δ, alors l expression à droite est la seule possible, à une constate de proportionalité près. Donc, on doit écrire: ε ijk ε ilm = A(δ ie δ km δ jm δ kl ) (6.13) 15

16 Ensuite, la constante A se détermine en faisant contracter (c est à dire, égaliser et faire sommer) les indices j, l et les indices k, m, à droite et à gauche dans l éq.(6.13): ε ijk ε ijk = A(δ ij δ kk δ jk δ kj ) (6.14) En exercice, en utilisant les définitions des ε ijk et δ ij, finissez le calcul dans l éq.(6.14) et vérifiez qu on doit avoir A = 1, comme dans l éq.(6.11). Remarque. Dans la démonstration ci-dessus, un détail qui n a pas été justifié, est celui de pourquoi le résultat du produit à gauche, dans l éq. (6.11), doit être exprimé, uniquement, par des produits et des sommes de δ. En effet, dans la géométrie de l espace tridimensionnel R 3, il n y a pas d autres tenseurs fondamentaux que ε ijk et δ ij. Le premier fait exprimer les produits exterieurs des vecteurs; il fait exprimer également les volumes; on peut vérifier que ε ijk A i B j C k est égale au volume de l objet dans la Fig.10, pour tous les vecteurs A, B, C. Le deuxième, δ ij, fait exprimer les produits scalaire (δ ij A i B j = A j B i ) et la metrique d espace, les longuers des vecteurs, autrement dit: δ ij A i A j = A i A i = A 2. Quand on fait le produit du type ε ijk ε ilm, le produit qui est fait des tenseurs fondamantaux, le résultat doit s exprimer également en termes des tenseurs fondamantaux, ε ijk et δ ij. Avec quatre indices libres et les symétries qui sont precisées ci-dessus, il n y a pas de place, à droite dans l éq.(6.11), pour le tenseur ε. La seule possibilité est celle dans l éq.(6.13). Nous n allons ni justifier, ni développer encore les arguments dans cette remarque, qui dépassent le contenu de nos cours actuels. Il est suggéré de les admettre. Nous retournons maintenant à la suite des équations avec. La dernière équation, dans la suite qui n est certainement pas complète), est la suivante: 7) ( A) = (, A) A (6.15) La forme équivalente: rot( rot A) = grad(div A) A (6.16) 16

17 Démonstration. ( ( A)) i = ε ijk j ε klm l A m = ε kij ε klm j l A m = δ il δ jm j l A m δ im δ jl j l A m = m i A m l l A i = i ( m A m ) A i = i (div A) A i (6.17) Dans cette démonstration nous avons systematiquement appliqué l expression de rotationnel dans l éq.(4.7), la formule (6.11) pour le produit de deux tenseurs ε et la propriété, de δ: δ kl C l = C k (6.18) contracter un des indices de δ avec l indice d un vecteur quelconque résulte dans le remplacement de l indice du vecteur par le deuxième indice de δ (qui restait libre). La démonstration de cette propriété, qui suit de la définition de δ dans l éq.(6.12), est proposé en exercice. 6.2 Formules intégrales. La formule bien familière en une dimension, de l espace R d une variable x: b a dx x f(x) = f(b) f(a) (6.19) se généralise vers le cas de l espace tridimensionnel par les deux formules suivantes: 1) formule d Ostrogradski; 2) formule de Stokes. S D d 3 rdiva( r) D d 3 r, A( r) = d s, A( r) S D (6.20) d s, rot A( r) d s, ( A( r)) = d r, A( r) (6.21) S C S Dans la première formule, D est un domaine (tridimensionnel) dans l espace R 3 et S D est la surface fermée qui lui entoure, Fig.11. Dans la deuxième formule, S est une surface ouverte et C S est son bord unidimensionnel, une courbe fermée, Fig

18 Au lieu des démonstration detaillées, nous allons donner quelques arguments pour montrer que ces deux formules sont bien naturelles est transparentes. Dans le cas de la première formule, éq.(6.20), imaginons que nous avons coupé le domaine D en petits cubes, qui peuvent être quelque peu déformés, de la façon que l ensemble de ces cubes remplit parfaitement le domaine D. Dans la Fig.13 sont montrés deux cubes de cet ensemble. Ensuite, l intégrale à gauche dans l éq.(6.20) pourrait être remplacée par la somme (de Darboux correspondante) sur cet ensemble, la contribution de chaque élement étant de la forme: diva dω (6.22) dω est un petit volume d un cube et diva est déterminé, pour sa valeur, au centre de ce petit cube. Nous pouvons maintenant utiliser l éq.(3.3), lue dans le sens oposé, pour remplacer diva dω par le flux df du champ A à travers les côtés d un petit cube. Rappelons que ce flux se calcule par l intégrale dans l éq.(3.2) avec d s orienté vers l exterieur du cube en question. Maintenant, si on a fait ce type de transformation pour tous les petits cubes qui partionnent le domaine D et on a additionné les résultats, on observe que le flux à travers chaque petit côté d un cube donné, qui se trouve à l interieur de D, rentre deux fois dans la somme, car chaque côté appartient à deux cubes voisins, Fig.13. En plus, ces contributions sont de signes opposés à cause de l orientation opposée de d s dans l éq.(3.2): orientations exterieure - interieure sont opposées pour les deux cubes dans la Fig.13, qui se partagent le même côté carré. Comme résultat final, les flux à travers tous les côtés de cubes qui se trouvent à l interieur de D se simplifient, les uns contre les autres, il restera les flux à travers les petits côtés des cubes qui se trouvent sur le bord de D. Cet ensemble des petits flux, additionnés, correspond à l intégrale sur le bord de D dans l éq.(6.20) à droite. De la manière analogue on arrive à démontrer la deuxième formule intégrale, l éq.(6.21). Il faut partionner le surface S sur des petits carré, qui peuvent être déformés, pour qu ils remplicent correctement la surface. Ensuite, l intégrale à gauche de l éq.(6.21) est remplace par la somme correspondante. Pour chaque carré, c est à dire pour chaque terme 18

19 correspondant de la somme, il faudra utiliser la formule (4.10), lue dans le sens opposé. Finalement, en analysant la somme de petites circulations, le long de côtés des petits carrés, on trouvera que cette somme se reduit à l intégrale dans la partie droite de l éq.(6.21). La précision des étapes de cette dernière démonstration est proposée aux étudiants en exercice. 19

20 Partie II. Analyse vectoriel en coordonnées curvilignes 7 gradf, div A, rot A et f en coordonnées sphériques et cylindriques. Tous les objets vectoriels, que nous avons étudié dans ce chapitre, ont été présentés dans les coordonnées cartesiennes, de l espace R 3. Néanmoins, quand la symétrie du problème est appropriée, il est parfois plus facile à faire des calculs dans d autres coordonnées, dont les coordonnées sphériques ou cylindriques sont le plus souvent utilisées. Nous allons conclure la partie générale du présent chapitre en donnant les expressions, pour nos objets d analyse vectorielle, dans ces deux coordonnées. Mais d abord nous nous metterons dans un cadre plus général, des coordonées curvilignes quelconques de l espace R 3, mais qui sont soumises à la condition que, localement, ces coordonnées sont orthogonalles. Si (u 1, u 2, u 3 ) sont ces nouvelles coordonnées, alors l orthogonalité locale correspond à la condition que les vecteurs e 1 = r u 1, e 2 = r u 2, e 3 = r u 3 (7.1) sont orthogonaux entre eux. Dans l éq.(7.1), r est supposé d être exprimé en fonction des nouvelles coordonnées: r = r(u 1, u 2, u 3 ). Prenons un exemple simple de l espace bidimensionnel R 2 et des coordonnées polaires. Nous allons noter ρ les vecteurs, qui représentent les points d espace R 2, au lieu de r de R 3. Alors: ρ = x y x 1 x 2 = ρ cos ϕ ρ sin ϕ (7.2) ρ et ϕ étant les coordonnées polaires, curvilignes, de l espace R 2. Les vecteurs e 1 et e 2, analogues aux vecteurs (7.1), sont déterminés comme suit: e 1 e ρ = ρ ρ = ρ cos ϕ = ρ ρ sin ϕ 20 cos ϕ sin ϕ (7.3)

21 e 2 e ϕ = ρ ϕ = ρ cos ϕ ϕ ρ sin ϕ = ρ sin ϕ ρ cos ϕ (7.4) Ces vecteurs sont montrés dans la Fig.14. Evidement, ils sont orthogonaux entre eux, en tout point d espace ρ. Il est également facile de déterminer les vecteurs e 1, e 2, e 3, éq.(7.1), pour des coordonnées sphériques et cylindriques de l espace R 3. Pour des coordonnées sphériques, Fig.2: e 1 e r = r r = r sin Θ cos ϕ sin Θ cos ϕ r r sin Θ sin ϕ = sin Θ sin ϕ r cos Θ cos ϕ e 2 e θ = r Θ = r sin Θ cos ϕ r cos Θ cos ϕ Θ r sin Θ sin ϕ = r cos Θ sin ϕ r cos Θ r sin Θ e 3 e ϕ = r ϕ = r sin Θ sin ϕ ϕ r sin Θ cos ϕ 0 (7.5) (7.6) (7.7) Ces vecteurs sont montrés dans la Fig.15. Il est facile de verifier qu ils sont orthogonaux, pour tout r (tous r, Θ, ϕ). Pour des coordonnées cylindriques, Fig.3, on trouve: e 1 e ρ = r ρ = ρ cos ϕ cos ϕ ρ ρ sin ϕ = sin ϕ z 0 e 2 e ϕ = r ϕ = ρ cos ϕ ρ sin ϕ ϕ ρ sin ϕ = ρ cos ϕ z 0 e 3 e z = r z = ρ cos ϕ 0 z ρ sin ϕ = 0 z 1 (7.8) (7.9) (7.10) 21

22 Fig.16. Ces vecteurs sont orthogonaux entre eux. Retournons dans le cadre générale des coordonnées curvilignes quelconques u 1, u 2, u 3 (localement orthogonales) et les vecteurs e 1, e 2, e 3, éq.(7.1), qui forment une base locale, pour un point d espace donné, et qui sert pour décomposer les vecteurs, exprimés en ces coordonnées. Cette base est supposée d être orthogonale, mais elle n est pas nécessairement normée. Autrement dit, en général e i 1, i = 1, 2, 3. Les échelles le long des axes, de cette base locale, sont définies par les modules (longueurs) des vecteurs { e i }, que nous allons noter e i e i, i = 1, 2, 3. Nous introduisons, en plus, les vecteurs normés de cette base locale: ˆ e 1, ˆ e 2, ˆ e 3 (7.11) ˆ e 1 = ˆ e 2 = ˆ e 3 = 1, de la façon que: e 1 = e 1 ˆ e 1, e 2 = e 2 ˆ e 2, e 3 = e 3 ˆ e 3 (7.12) Pour des coordonnées sphériques, on trouve, à partir des éqs.(7.5)- (7.7), les facteurs d échelle suivants: e 1 e r = 1, e 2 e θ = r, e 3 e ϕ = r sin Θ (7.13) Pour des coordonnées cylindrique, éqs.(7.8)-(7.10), on obtient: e 1 e ρ = 1, e 2 e ϕ = ρ, e 3 e z = 1 (7.14) Observons par ailleurs que le volume élémentaire (mésure d intégration), dans les intégrales dans l espace R 3, est égale au produit des facteurs d échelle multplié par les différentiels des coordonnées. Dans le cas général des coordonnées curvilignes orthogonales: d 3 r = e 1 e 2 e 3 du 1 du 2 du 3 (7.15) Dans les coordonnées sphériques: d 3 r = e r e θ e ϕ dr dθ dϕ = r 2 sin Θ dr dθ dϕ (7.16) 22

23 Dans les coordonnées cylindriques: d 3 r = e ρ e ϕ e z dρ dϕ dz = ρ dρ dϕ dz (7.17) En effet, on peut reécrire les équations (7.1), qui définissent les vecteurs { e i }, de la manière suivante: δ r (1) = e 1 δu 1, δ r (2) = e 2 δu 2, δ r (3) = e 3 δu 3 (7.18) où les petits vecteurs δ r (i), i = 1, 2, 3, représentent les petits déplacements, à partir du point r dans R 3, qui correspondent à des variations des coordonnées δu i, i = 1, 2, 3. Les trois vecteurs δ r (1), δ r (2), δ r (3) sont orthogonaux entre eux, étant proportionnels aux vecteurs e 1, e 2, e 3 de la base locale. Evidement, le volume élémentaire (dans des intégrales) s obtient par le produit des longueurs des trois vecteurs {δ r (i) }, éq.(7.18), ce qui nous donne la mesure d intégration dans l éq.(7.15). Pour donner les expressions pour gradf, div A, rot A, f dans la base locale {ˆ e i } des coordonnées curvilignes, nous auront besoin des formules suivantes: A = A 1ˆ e1 + A 2ˆ e2 + A 3ˆ e3 A 1 A 2 A 3 (7.19) e 1 du 1 d r = e 1 du 1ˆ e1 + e 2 du 2ˆ e2 + e 3 du 3ˆ e3 e 2 du 2 e 3 du 3 e 2 e 3 du 2 du 3 d s = e 2 e 3 du 2 du 3ˆ e1 + e 3 e 1 du 3 du 1 e 2 + e 1 e 2 du 1 du 2ˆ e3 e 3 e 1 du 3 du 1 e 1 e 2 du 1 du 2 (7.20) (7.21) df = i f du i = gradf, d r (7.22) La première formule fait décomposer le vecteur A (une fonction vectorielle, sa valeur au point r) dans la base locale {ˆ e i }, définie au point r quelconque. Dans cette formule, les 23

24 composante {A i } sont définies par rapport à cette base; ce ne sont pas des composantes de A dans les coordonnées cartesiénnes, comme dans toutes les sections précédentes. La deuxième formule, éq.(7.20), reproduit les variations de r dans l éq.(7.18), mises ensemble; rappelons que e i = e iˆ ei, éq.(7.12). La troisème formule, éq.(7.21), fait décomposer un élément de surface (qui est un vecteur, Fig.5,6,8,11, etc.), toujours par rapport à la base locale {ˆ e i }. Dans les coordonnées cartesiènnes, avec la base e x, e y, e z, e x = e y = e z = 1, cette même décomposition aurait la forme: dydz d s = dydz e x + dzdx e y + dxdy e z dzdx dxdy (7.23) La quatrième formule, éq.(7.22), exprime la différentielle d une fonction scalaire f( r) (la sommation sur l indice i, qui se répète, est supposée). Le plus facile est à déterminer les composantes de l éq.(7.22) pour df en plus des details: gradf, dans la base {ˆ e i }. Ecrivons 1 f du f du f du 3 = ( gradf) 1 e 1 du 1 +( gradf) 2 e 2 du 2 +( gradf) 3 e 3 du 3 (7.24) Nous avons utilisé l éq.(7.20) pour des composantes de d r dans la base {ˆ e i }. En comparant les parties gauche et droite de l éq.(7.24), on trouve: gradf = 1 f e 1 u ˆ e f 1 e 2 du ˆ e f 2 e 3 u ˆ e e 1 1 e 2 1 e 3 f u 1 f u 2 f u 3 (7.25) Ensuite, pour déterminer la forme de div A, nous utiliserons la formule intégrale du chapitre 6.2, éq.(6.20). En exprimant d 3 r à gauche et d s, A à droite avec les composante de la base {ˆ e i }, éqs.(7.15), (7.19), (7.21), on obtient: D e 1 e 2 e 3 du 1 du 2 du 3 div A = (du 2 du 3 e 2 e 3 A 1 + du 3 du 1 e 3 e 1 A 2 + du 1 du 2 e 1 e 2 A 3 ) S D (7.26) 24

25 Imaginons que nous faisons un calcul dans l equation ci-dessus, partie droite, pour le domaine D qui est un tout petit cube, comme dans la Fig.7, mais avec la base e x, e y, e z remplacée par la base locale { e i }, des coordonnées curvilignes u 1, u 2, u 3. Tout comme dans l analyse du chapitre 3, nous allons écrire le flux df s dans la forme similaire à celle de l éq.(3.4), mais cette fois avec des facteurs d échelle e 1, e 2, e 3 à côté des composantes de A, comme ils le sont dans l éq.(7.26) ci-dessus. Ces facteurs, eux aussi, sont des fonctions des coordonnées u 1, u 2, u 3. De la façon analogue comme pour le passage de l éq.(3.4) à l éq.(3.5), cette fois nous allons trouver: df s [ (e 2 e 3 A 1 ) + (e 3 e 1 A 2 ) u 1 u 2 + u 3 (e 1 e 2 A 3 )]du 1 du 2 du 3 (7.27) L éq.(7.26) va s écrire (dans la limite quand le domaine D devient tout petit) sous la forme suivante: [ (e 2 e 3 A 1 ) + u 1 u 2 (e 3 e 1 A 2 ) + e 1 e 2 e 3 du 1 du 2 du 3 div A u 3 (e 1 e 2 A 3 )]du 1 du 2 du 3 (7.28) D ici on trouve finalement l expression de div A dans les coordonnées curvilignes: diva = 1 [ (e 2 e 3 A 1 ) + e 1 e 2 e 3 u 1 u 2 (e 3 e 1 A 2 ) + u 3 (e 1 e 2 A 3 )] (7.29) L expression pour le rotationnel du champ A, rot A, pourrait être déduit de la deuxième formule intégrale du chapitre 6.2, l éq.(6.21). Avec des composantes des d s, d r, A dans les éqs.(7.21), (7.20), (7.19), l éq.(6.21) s écrit: S [du 2 du 3 e 2 e 3 ( rot A) 1 + du 3 du 1 e 3 e 1 ( rot A) 2 + du 1 du 2 e 1 e 2 ( rot A) 3 ] = (du 1 e 1 A 1 + du 2 e 2 A 2 + du 3 e 3 A 3 ) C s (7.30) De la façon similaire à celle de l analyse de div A ci-dessus, il est utile de considérer l éq.(7.30) dans la limite de C s qui est un tout petit carré, comme dans la figure 9 par exemple, où ce carré est en plus parallel au plan x, y. L équation pour la circulation du 25

26 champ A, dans cette limite, est représentée dans l éq.(4.11). Dans le cas des coordonnées curvilignes u 1, u 2, u 3, les composantes de A vont être suivies par des facteurs d échelle, comme dans la partie droite de l éq.(7.30). En coséquence, la forme limite dans l éq.(4.12) sera remplacée par l expression: [ (e 2 A 2 ) (e 1 A 1 )]du 1 du 2 (7.31) u 1 u 2 Cette forme limite pour la circulation dans la partie droite de l éq.(7.30) est particulière pour l orientation spécifique du chemin C s (un petit carré dans le plan u 1, u 2 ) Pour l orientation générale, on trouvera la forme limite suivante de l éq.(7.30): du 2 du 3 e 2 e 3 ( rot A) 1 + du 3 du 1 e 3 e 1 (rot A) 2 +du 1 du 2 e 1 e 2 ( rot A) 3 ( (e 3 A 3 ) (e 2 A 2 ))du 2 du 3 u 2 u 3 +( (e 1 A 1 ) (e 3 A 3 ))du 3 du 1 u 3 u 1 +( (e 2 A 2 ) (e 1 A 1 ))du 1 du 2 (7.32) u 1 u 2 D ici on trouve l expression suivante pour rot A dans les coordonnées curvilignes: rot A = 1 ( (e 3 A 3 ) (e 2 A 2 ))ˆ e 1 e 2 e 3 u 2 u ( (e 1 A 1 ) (e 3 A 3 ))ˆ e 2 e 3 e 1 u 3 u ( (e 2 A 2 ) (e 1 A 1 ))ˆ e 3 e 1 e 2 u 1 u 2 (7.33) Finalement, en utilisant les expressions (7.25) (pour avec A remplace par gradf) et (7.29) (pour div A, mais gradf), on trouve la forme suivante pour le laplacien de f: 1 [ ( e 2e 3 e 1 e 2 e 3 u 1 f f div gradf e 1 f u 1 ) + 26 u 2 ( e 3e 1 e 2 f u 2 ) + ( e 1e 2 f )] (7.34) u 3 e 3 u 3

27 Exercices. 1) Avec les facteurs d échelle e r, e θ, e ϕ dans l éq. (7.13) et en utilisant les formules (7.25), (7.29), (7.33), (7.34), vérifier les expressions suivantes pour gradf, div A, rot A, f dans les coordonnées sphériques: div A = f = gradf = f r ˆ e r + 1 f r Θ ˆ e θ + 1 r sin Θ f ϕ ˆ e ϕ (7.35) 1 r 2 sin Θ [ r (r2 sin Θ A r ) + Θ (r sin Θ A θ) + ϕ (ra ϕ)] (7.36) rot A = 1 r 2 sin Θ ( Θ (r sin Θ A ϕ) ϕ (r A θ)) ˆ e r + 1 r sin Θ ( ϕ (A r) r (r sin Θ A ϕ)) ˆ e θ + 1 r ( r (ra θ) Θ (A r)) ˆ e ϕ (7.37) 1 r 2 sin Θ [ r (r2 sin Θ f r ) + f (sin Θ Θ Θ ) + ϕ ( 1 sin Θ f )] (7.38) ϕ 2) Trouver l expression de f dans les coordonnées sphériques, dans le cas d une fonction f radiale, f( r) = f(r) (d une fonction qui ne dépend que de r). Simplifier cette expression au maximum. 3) Avec les facteurs d échelle e ρ, e ϕ, e z dans l éq. (7.14), vérifier les expressions suivantes pour gradf, div A, rot A, f dans les coordonnées cylindriques: gradf = f ρ ˆ e ρ + 1 ρ f ϕ ˆ e ϕ + f z ˆ e z (7.39) div A = 1 ρ [ ρ (ρa ρ) + ϕ (A ϕ) + z (ρa z)] (7.40) rot A = 1 ρ ( ϕ (A z) z (ρa ϕ)) ˆ e ρ +( z (A ρ) ρ (A z)) ˆ e ϕ + 1 ρ ( ρ (ρa ϕ) ϕ (A ρ)) ˆ e z (7.41) 27

28 f = 1 ρ [ ρ (ρ f ρ ) + ϕ (1 ρ f ϕ ) + z (ρ f z ] (7.42) 4) Trouver l expression de f dans les coordonnées cylindriques, dans le cas où la fonction f est invariante par rapport aux rotations autour de l axe z. Simplifier cette expression au maximum. 5) Récalculer les applications de l opérateur laplacien dans les cas qui suivent, en utilisant la forme du laplacien, pour des fonctions radiales, qui a été obtenue dans l exercice 2) ci dessus: 1. r (7.43) 2. r 2 (7.44) 3. 1 r (7.45) Comparer ces calculs et leurs résultats avec ceux des exercices du chapitre 5, éqs.(5.4), (5.5), (5.6). 28

29 Partie III. Applications physiques 8 Application en l électrostatique. Fonction δ( r) de Dirac. Reprenons encore une fois le potentiel Coulombien: U( r) = q r (8.1) éq.(1.3) Essayons de tester avec ce potentiel l équation d électrostatique: U( r) = ρ( r) (8.2) éq.(5.3); ρ( r) dans cette équation est la densité de la charge électrique. D une part, U( r) = q r = 0, r 0 (8.3) exercice 3) du chapitre 5, èq.(5.6). D autre part, en utilisant la première formule intégrale du chapitre 6.2, éq(6.20), on trouve: D d 3 r U( r) = D d 3 r, U( r) = d s, U( r) S D (8.4) Le gradient U( r) a été déjà calculé dans l exercice 2) du chapitre 2, (éq.(2.4)), avec le résultat: U( r) = q r = q r r 3 (8.5) Supposons que S D dans l éq.(8.4) est une sphère de rayon r 0 Fig.17. Dans les coordonnées sphériques, dans la base ˆ e r, ˆ e Θ, ˆ e ϕ, chapitre 6.3, les vecteurs d s et U auront des composantes: e Θ e ϕ dθ dϕ r 2 sin Θ dθ dϕ d s = 0 = (8.6) 29

30 (comp. éq.(7.21)), U = q r r = 3 q r (8.7) Pour l intégrale à droite dans l éq.(8.4) on trouve: d s, U = r0 2 sin Θ dθ dϕ ( q) S D S D r0 2 π 2π = q sin ΘdΘ dϕ = 4πq (8.8) 0 0 Alors, d après l éq.(8.4), on doit admettre que: d 3 r U( r) = 4πq (8.9) D en même temps que U( r) = 0 pour tout r 0, éq. (8.3). On doit admettre que U( r) est non-nulle en r = 0, en un point uniquement. En plus, la valeur de U( r) en ce point doit être infinie, pour pouvoir donner une valeur finie à l intégrale (8.9). On présente la fonction avec ces propriétés de la manière suivante: U( r) = 4πq δ( r) (8.10) où δ( r) est la fonction δ de Dirac. Cette fonction (singulière) possède les propriétés suivantes: {, r = 0 δ( r) = (8.11) 0, r 0 et d 3 rδ( r) = 1 (8.12) D à condition que l origine, le point r = 0, est inclu dans D; sinon l intégrale sera égale à zéro. La fonction δ( r), qui est piquée sur un point, éq.(8.11), à été introduite dans la physique par Dirac, pour pouvoir présenter par une fonction de densité la charge électrique (et, plus généralement d autres quantités comme la masse etc.) des particules élementaires des particules de taille zéro. Autrement dit, pour pouvoir présenter, comme une densité, la charge électrique finie qui est concentrée sur un point. 30

31 Résumé. Pour s accorder l équation d électrostatique (8.2) et l équation intégrale(8.4), la densité ρ( r) doit être admise dans la forme suivante: ρ( r) = 4πq δ( r) (8.13) où δ( r) est la fonction δ de Dirac, qui possède les propriétés représentées par les éqs.(8.11), (8.12). Exercices. 1) Présenter les propriétés de la fonction: δ( r a) (8.14) 2) Présenter la densité ρ( r) et le potentiel électrique correspondant U( r), créés par deux particules de taille zéro, positionnées en r = a et en r = a et ayant les charges électriques q et q. Il s agit d un dipole, qui est fait de deux charges ponctueles. 9 Les ondes électromagnetiques dans le vide. Le champ électromagnetique obéit aux équations de Maxwell:, B = 0 (9.1), E = ρ (9.2) B = j + 1 c 2 te (9.3) E = tb (9.4) Rappelons que nous avons supprimé les constantes ε 0 et µ 0 en les mettant égales à 1. La constante c, que nous avons gardé, est la vitesse de la lumière. Dans le vide, en absence de charges et de courants électriques, ces équations prennent la forme:, B = 0 (9.5), E = 0 (9.6) 31

32 B = 1 c 2 t E (9.7) E = t B (9.8) Pour obtenir l équation de propogation des ondes électromagnétiques, dans la forme où il ne figure que le champ E, nous appliquerons la dérivée t aux deux parties de l équation (9.7). On trouve: t B = 1 c 2 2 t E (9.9) Nous mettons l expression pour t B (à gauche) en utilisant l éq.(9.8). On obtient: ( E) = 1 c 2 2 t E (9.10) Nous utiliserons ensuite l équation: ( E) = (, E) E (9.11) qui a été démontrée dans le chapitre 6.1, formule 6), éq.(6.15). Dans l application actuelle, le premier terme de droite s annule, dû à l éq. (9.6). On trouve: ( E) = E (9.12) et l équation(9.10) prend la forme: E(t, r) = 1 c 2 2 t E(t, r) (9.13) De la même manière, mais en appliquant la dérivée t à l éq.(9.8), on trouvera l équation de l évolution du champ B(t, r): c 2 B(t, r) = 2 t B (9.14) qui est la même que celle pour E(t, r), éq.(9.13). Remarque. Les deux équations ci-dessus sont du type de l équation de propogation dans (5.2). Dans le cas des ondes sonores, E et B seront remplacés par l amplitude A(t, r) de fluctuations mécaniques du milieu et la constante c sera remplacée par la vitesse du son. 32

33 La solution des équations (9.13), (9.14) de la formed une onde plane sont recherchées dans la forme: E(t, r) = E 0 e iωt+i k r (9.15) B(t, r) = B 0 e iωt+i k r (9.16) Remarque. Ces expressions sont habituellement mises en complèxe, juste pour une convenence mathématique. En réalité, pour des champs E et B physiques, il faut prendre la partie réelle toute seule, ou la partie imaginaire toute seule, ou les deux en même temps s il s agit de superposer deux polarisations differentes: E 0 = E (1) 0 + i E (2) 0 (9.17) B 0 = B (1) 0 + i B (2) 0 (9.18) En tout cas, on peut toujours déduire l évolution des champs E et B physiques, réels, à partir des expressions complèxes, les expression du type (9.15), (9.16), qui sont plus convenables (plus compactes) pour des analyses mathématiques. En subsituant E(t, r), l éq.(9.15), dans l équation d évolution (9.13), on trouve: k 2 E(t, r) = ω 2 1 c 2 E(t, r) (9.19) Pour permettre une solution non-triviale ( E(t, r) 0), il faut que ω 2 = c 2 k 2 (9.20) Autrement dit: ω(k) = ck (9.21) où k = k (pour la fréquence il est naturel de choisir la racine positive de l éq.(9.20)). La relation (9.21) entre la fréquence ω et le vecteur d onde k, d une onde plane, est appelée la relation de dispersion. Exercices. 1) En mettant les expressions (9.15), (9.16) pour E(t, r), B(t, r) dans les équations d évolution initiales, éqs. (9.7), (9.8), démontrer que les amplitudes E 0, B 0 d oscillation 33

34 de champs électriques et magnétiques, dans une onde électromagnétique, doivent être orthogonales entre elles; en plus, les deux amplitudes, E 0 et B 0, doivent être orthogonales au vecteur d onde k. Pour traiter cet exercice, il pourrait être utile d introduire le vecteur de direction de propogation d une onde: n = k k 2) Déssiner une figure qui montre l orientation relative des vecteurs n, E 0, B 0. 3) Trouver le rapport entre E 0 E 0 et B 0 B 0. (9.22) 10 Application en hydrodynamique. L écoulement d un fluide est décrit par un champ de vitesses v(t, r), qui représente la vitesse d une toute petite quantité de fluide (de tout petit volume, une goutte, qui s écoule avec le fluide) en un point r et au moment t. Dans le cas d un fluide parfait (de viscosité zéro), cette goutte de fluide, de masse dm, est contenue dans un volume dω( r, t) (qui se déplace avec le fluide), subit l action de la force interne (au fluide) de la forme: df int (t, r) = P (t, r) dω (10.1) P (t, r) est la pression (dans le fluide, au point r et au moment t). En plus, elle subit, l action de la force de la pesanteur: d fpes.(t, r) = dm g (10.2) g = g est l acceleration (des objets materiaux, dans le vide) dûe à la force de la pesanteur, Fig.18. Ensemble, les forces (10.1) et (10.2) induisent l équation de mouvement suivante, pour une goutte du fluide: dm d v dt = P dω + dm g (10.3) 34

35 En divisant les deux parties de cette équation par dω, on trouve l équation de Euler pour un fluide parfait: ρ d v dt = P + ρ g (10.4) ρ ρ(t, r) est la densité du fluide, au point r et au moment t. Il faut préciser que la dérivée d v/dt dans cette équation correspond à l accélération de la goute du fluide. C est à dire, on dérive v(t, r) par rapport à t en suivant l écoulement du fluide, Fig.18. Il s agit de la dérivée particulière où on dérive v(t, r) par rapport à t (dérivée partielle t / t) et par rapport à l évolution de r avec t ( on suppose, dans le cas de la dérivée particulière, que r = r(t) suit le fluide). La dérivée particulière sera noter d t ou d/dt. Par exemple, la dérivée particulière de la densité ρ(t, r) s écrit comme suit: d t ρ(t, r) dρ(t, r) dt = t ρ(t, r) + ρ(t, r), v(t, r) = ( t + v, )ρ(t, r) (10.5) La dérivée particulière de la vitesse du fluide, qui figure dans l éq. (10.4), s écrit de la même manière: d v dt = ( t + v, ) v (10.6) Le cas d hydrodynamique, qui est encore plus spécial, correspond au fluide incompressible. Il y a deux façons équivalentes d exprimer la condition d incompressibilité du fluide. La première est de la forme: div v = 0 (10.7) Alors, en exercice 1, il est proposé de démontrer que la condition (10.7) est équivalente à la contrainte que la densité ρ(t, r) du fluide vérifie la condition (qui est la seconde): dρ(t, r) dt = 0 (10.8) Il s agit de la dérivée particulière de ρ(t, r). Eq.(10.8) démande que la densité de la goute dans la Fig.18 (qui suit l écoulement du fluide) reste constante. 35

36 Indication. Pour démontrer l équivalence des conditions (10.7) et (10.8) il est suggeré d utiliser l équation de conservation de masse, dans la forme locale: ρ dt + div(ρ v) = 0 (10.9) Cette équation est équivalente à l équation du bilan local des particules qui forment le fluide, comp. les éqs.(3.6), (3.7). Considerons ensuite l écoulement stationnaire du fluide parfait et incompressible. Stationnarité de l écoulement demande que la dérivée partielle t de toutes les grandeurs qui décrivent le fluide soit égale à zéro. En particulier, il faut que: t ρ(t, r) = 0 (10.10) (Nous noterons qu en général les conditions t ρ = 0 et d t ρ = 0 ne sont pas équivalentes). On pourrait reécrire l équation de Euler (10.4) sous la forme: où U( r) est le potentiel de la pesanteur, d v dt = 1 ρ P + g = 1 ρ P U (10.11) g = U (10.12) En exercice 2, il est suggeré de justifier, qu en cas de l écoulement stationnaire du fluide incompressible, on a l égalité: 1 ρ P = P ρ En utilisant cette égalité, l équation (10.11) pourrait être mise sous la forme: (10.13) d v dt = u (10.14) où u = P ρ + U (10.15) Rappelons que nous avons obtenu l équation (10.14) dans le cas spécial d écoulement stationnaire du fluide parfait et incompressible. Dans ce cas la fonction u est donnée par 36

37 l éq.(10.15). Plus généralement, un écoulement d un fluide, dont la dérivée particulière de v est égale à un gradient d une fonction, possède des propriétés assez remarquables. En exercice 3, il est suggeré de démontrer une de ces propriétés. Théorème de Bernoulli. Si l écoulement d un fluide est stationnaire et où u est une fonction quelconque, alors la quantité: est constante le long d une ligne de courant. C est à dire: d v dt = u (10.16) v u (10.17) d t ( v2 2 + u) = 0 (10.18) Indication pour la démonstration: d t v 2 2 = v, d t v = v, u =... (10.19) Il faudra utiliser le fait que, dans le cas de l écoulement stationnaire, d t = v, (10.20) Justifier cette égalité. 37