MAP431 Autour des guides d onde

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "MAP431 Autour des guides d onde"

Transcription

1 MAP431 Autour des guides d onde Benjamin Goursaud De nombreu phénomènes peuvent être modélisés par un guide d onde. Voici une liste non ehaustive d applications des guides d onde dans différents domaines : acoustique musicale, acoustique sous-marine électromagnétisme : câbles coaiau, fibres optiques, micro-guides optiques élastodnamique : sismique, contrôle non destructif (aéronautique, centrales nucléaires, câbles) Mathématiquement, on représente un guide d onde par un milieu invariant dans une direction d espace. Le milieu de propagation est donc clindrique, de la forme : Ω = Ω s R, où Ω s est la section du milieu de propagation. On distingue alors deu tpes de guides : si Ω s est borné, on parle de guide fermé. Les câbles coaiau, par eemple, sont modélisés par des guides fermés. si Ω s est non borné, on parle de guide ouvert. Les fibres optiques sont, par eemple, modélisées par des guides ouverts. 1 Détermination des modes guidés d un guide fermé On considère la géométrie donnée par la figure 1. h Fig. 1 Géométrie du guide fermé considéré. On considère l équation des ondes : ( 1 ) c t ũ(t,,) = 0 dans R Ω, Ω = R [0,h] (1) Question 1 ũ (t,,) = 0 t,, = 0 ou h () On se place dans le régime périodique établi : cela revient à prendre ũ de la forme ũ = Re(ue iωt ), où Re désigne la partie réelle. Le signe dans e iωt est une simple convention. 1

2 Montrer que la résolution de (1-) se ramène à la résolution de l équation d Helmholtz suivante : ( ) + + k u = 0 dans Ω (3) Question = 0 sur Ω = R {0} R {h} (4) La théorie spectrale nous assure qu il eiste une famille de fonctions de H ([0,h]) (φ n ) n N et une famille de réels positifs (λ n ) n N avec λ n tels que : d φ n d = λ n φ n (5) dφ n d (0) = dφ n (h) = 0 (6) d On peut de plus normaliser les φ n de telle façon qu ils forment une base hilbertienne de L ([0,h]), i.e. : (φ n,φ m ) L ([0,h]) = h 0 φ n ()φ m ()d = δ m n où δ m n est le smbole de Kronecker : δ m n = 1 si n = m et 0 sinon. Déterminer les φ n et les λ n. Question 3 En déduire que toute solution de (3-4) s écrit : u = ( A n e iβn + B n e iβn) φ n () n N Déterminer la relation de dispersion : la relation liant β n,λ n et k. Question 4 Montrer qu on a l alternative suivante : β n 0. Dans ce cas, le mode e iβn se propage vers la droite et le mode e iβn se propage vers la gauche. β n = iγ n, γ n 0. Dans ce cas, le mode e iβn est évanescent vers la droite et le mode e iβn est évanescent vers la gauche. À k fié, combien a-t-il de modes propagatifs et de modes évanescents? Question 5 Avec l aide de SCILAB, en prenant h = 10 et k = 1, calculer tous les β n des modes propagatifs. Représenter l allure des modes, i.e. φ n () en fonction de.

3 k 1 Ω 1 Γ h k 0 Ω 0 Γ 0 Fig. Géométrie du guide ouvert considéré. Détermination des modes guidés d un guide ouvert On considère maintenant la géométrie donnée par la figure. On note Ω 0 = {(,) R,0 < < h}, Ω 1 = {(,) R, > h}, Ω = R R +, Γ = R {h}, Γ 0 = R {0} et k = k() = k 1 si > h, k = k() = k 0 si 0 < < h. On part directement de l équation de Helmholtz suivante : ( ) + + k u = 0 dans Ω (7) Question 6 = 0 sur Γ 0 (8) On recherche les modes guidés. Ceu-ci vérifient : u(,) = ψ()φ(), avec ψ() = Ae iβ + Be iβ, A,B,β constantes, φ L (R + ). Déterminer le sstème vérifié par φ. Montrer que la recherche des modes guidés conduit à la relation de dispersion suivante : où α 1 ir,α 0 R. Déterminer α 1 et α 0. Indication : on a les conditions de raccord suivantes : [φ] = sur Γ : [g()] = lim ε 0 +(g(h + ε) g(h ε)). Question 7 iα 1 = α 0 tan(α 0 h) (9) [ ] φ = 0 sur Γ. On note [g] le saut de g Avec SCILAB, déterminer numériquement les modes guidés en prenant h = 10,k 0 = 1.5 et k 1 = 1. Tracer l allure de ces modes : φ() en fonction de. Comparaison avec modes propagatifs du guide fermé. Remarque : Contrairement au cas du guide fermé, on ne peut pas écrire pour le guide ouvert : u(,) = n u n()φ n (), on doit écrire : u(,) = n u n()φ n () + λ u λ()φ λ ()dλ. Les modes propagatifs déterminés dans cette partie ne forment pas une base de L (R + ). 3

4 Γ h Ω Γ 0 Γ + Γ + Fig. 3 Géométrie du guide fermé pertubé. 3 Simulation d un défaut dans un guide fermé On considère la géométrie donnée par la figure 3. On cherche à simuler l effet d un défaut localisé dans une région bornée que l on note Ω sur la propagation des ondes dans un guide d onde fermé. Question 8 On se place tout d abord dans le cas où il n a qu un seul mode propagatif. Quelle relation doivent vérifier k et h? On envoie le mode plan (u inc = φ 0 e iβ 0 ) sur Γ. On veut déterminer l onde transmise, qui se propage vers la droite, et l onde réfléchie, qui se propage vers la gauche. D après la question 3, la solution dans le guide non perturbé se décompose de la façon suivante : u = n (A ne iβn + B n e iβn )φ n (). Pour > +, le guide est non perturbé, donc on peut décomposer la solution comme à la question 3. On prend ici B n = 0 car on veut des ondes qui se propagent vers la droite. En première approimation, on peut négliger tous les modes évanescents et donc écrire : u A 0 e iβ 0 φ 0 (), donc n Γ + iβ 0u. Pour <, le guide est également non perturbé. On décompose u u inc comme à la question 3, mais en prenant ici A n = 0, puisque u u inc se propage vers la gauche. En négligeant les modes évanescents, on a : u u inc A 0 e iβ 0 φ 0 (), donc n Γ iβ 0u + g, où g est la donnée du problème. Que vaut g? On a donc le problème suivant : ( ) + + k u = 0 dans Ω (10) n = 0 sur Γ 0 (11) n = 0 sur Γ (1) n = iβ 0u + g sur Γ (13) n = iβ 0u sur Γ + (14) Déterminer la formulation variationnelle de ce problème. Peut-on appliquer le théorème de La- Milgram? Pourquoi? À l aide de FREEFEM++, en se plaçant dans le cas où il n a qu un mode 4

5 propagatif, simuler le guide non perturbé, puis en se donnant une perturbation, montrer l effet de la perturbation. Question 9 (facultative) Dans le cas où il a plusieurs modes propagatifs, comment peut-on généraliser la méthode décrite à la question précédente? Que devient la formulation variationnelle? 5

MAP431 Autour des guides d onde

MAP431 Autour des guides d onde MAP431 Autour des guides d onde Benjamin Goursaud benjamin.goursaud@ensta.fr De nombreu phénomènes peuvent être modélisés par un guide d onde. Voici une liste non ehaustive d applications des guides d

Plus en détail

Résolution numérique des équations non linéaires

Résolution numérique des équations non linéaires Chapitre 3 Résolution numérique des équations non linéaires Sommaire 3.1 Méthode de dichotomie.......................... 1 3. Méthodes itératives pour la résolution de F()=.......... 4 3.3 Facteur de convergence..........................

Plus en détail

Ondes (Phys202r) Partiel n 1

Ondes (Phys202r) Partiel n 1 DEUG S3 PMCP 6 octobre 6 Ondes Physr) Partiel n 1 durée: 1 heure sans documents, calculatrices autorisées L énoncé comporte 3 pages. Les questions 1 à 4 du B peuvent être résolues indépendamment les unes

Plus en détail

Réflexion et transmission par un système plan

Réflexion et transmission par un système plan Electromagnétisme, TD n 7, corrigé Réflexion et transmission par un système plan 1 1.1 Système à deux interfaces Calcul de ρ et τ. Traitement antireflet Champ incident : E0 ey exp[ i(kz + ωt)], k = ω/c

Plus en détail

Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale

Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale Pelletier Sylvain, BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: pour le 0 juin Eercice Résoudre l équation différentielle : E y y + 5y cos

Plus en détail

Sommaire. 1. Equations Différentielles Linéaires du second ordre Equation différentielle linéaire du second ordre

Sommaire. 1. Equations Différentielles Linéaires du second ordre Equation différentielle linéaire du second ordre Equations et systèmes différentiels 3 - Sommaire Eq Différentielles Linéaires du 2 nd ordre Linéaire du second ordre 2 Existence des solutions 2 3 Recherche des solutions 2 4 Recollement de solutions 4

Plus en détail

Ondes dans un plasma peu dense, en l absence ou en présence d un champ magnétique stationnaire.

Ondes dans un plasma peu dense, en l absence ou en présence d un champ magnétique stationnaire. Ondes dans un plasma peu dense, en l absence ou en présence d un champ magnétique stationnaire. L équation du mouvement d un électron libre dans l ionosphère soumise aux champs électrique E et magnétique

Plus en détail

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2 Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques El Jadida A. Lesfari lesfariahmed@yahoo.fr http://lesfari.com EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS Eercice. Soit ϕ : R R définie

Plus en détail

Travaux dirigés de physique quantique PA101 - PC 3 Effet tunnel

Travaux dirigés de physique quantique PA101 - PC 3 Effet tunnel Travaux dirigés de physique quantique PA101 - PC 3 Effet tunnel On considère une particule de masse m dans un potentiel comme ci-dessus composé de deux zones à potentiel nul séparéesparunebarrièredehauteurv

Plus en détail

Sur l imagerie des guides d ondes élastiques

Sur l imagerie des guides d ondes élastiques Sur l imagerie des guides d ondes élastiques L. Bourgeois, F. Le Louër, E. Lunéville GDR MSPC et GDR Ondes 27 septembre 2010 Frédérique Le Louër 1 / 15 Rappels sur la Linear Sampling Method Imager un objet

Plus en détail

Espaces de dimension finie

Espaces de dimension finie [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1 Espaces de dimension finie Bases en dimension finie Dimension d un espace Exercice 1 [ 01634 ] [Correction] Soit E l ensemble des fonctions

Plus en détail

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Université Lyon 1 Année 213-214 Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Feuille 7 - Équations de transport I- Solutions classiques Exercice 1.

Plus en détail

Feuille d exercices n o 3

Feuille d exercices n o 3 L3 Variable complexe Feuille d exercices n o 3 Exercice 1. Soit P (z) = z 2 +az+b un polynôme de degré 2 à coefficients complexes, avec b. On note α et β les racines complexes de P, et on pose f(z) = 1/P

Plus en détail

Méthodes itératives de résolution des

Méthodes itératives de résolution des Chapitre 4 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 4.1 Généralités On se donne une matrice inversible A et un système linéaire Au = b. (4.1) On désire transformer (4.1) en un système équivalent

Plus en détail

MF1.2 - Ecoulements compressibles, dynamique des gaz et ondes de choc

MF1.2 - Ecoulements compressibles, dynamique des gaz et ondes de choc INSA de Rouen - MECA3 - Année 01-013 MF1. - Ecoulements compressibles, dynamique des gaz et ondes de choc Sommaire 1 Ecoulements compressibles et dynamique des gaz 1.1 Ecoulements à densité variable..............................................

Plus en détail

Autour des polynômes

Autour des polynômes utour des polynômes Introduction Nous nous limiterons au polynômes à une indéterminée X, construits sur les réels IR ou les complees C. Un polynôme P est défini par : k=n P X = a 0 + a X + a 2 X 2 +...

Plus en détail

Outil d analyse fonctionnelle

Outil d analyse fonctionnelle Outil d analyse fonctionnelle David Renard 1 novembre 2016 ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre 2016 1 / 17 Révisions ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse

Plus en détail

Exercice IV.1 On rappelle que la définition du déterminant à partir des permutations est la suivante

Exercice IV.1 On rappelle que la définition du déterminant à partir des permutations est la suivante Eercices avec corrigé succinct du chapitre 4 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qui apparaissent dans ce tete sont bien définis dans la version écran

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 2016-2017 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice 1 [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de

Plus en détail

Réponse indicielle des systèmes linéaires analogiques

Réponse indicielle des systèmes linéaires analogiques Réponse indicielle des systèmes linéaires analogiques Le chapitre précédent a introduit une première méthode de caractérisation des systèmes analogiques linéaires avec l analyse fréquentielle. Nous présentons

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 205-206 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a,

Plus en détail

Feuille 3 : Espaces vectoriels et sous espaces vectoriels

Feuille 3 : Espaces vectoriels et sous espaces vectoriels Feuille : Espaces vectoriels et sous espaces vectoriels Eercice. (Sous-espace vectoriels de R. Les sous-ensembles suivants de R sont ils des sous-espaces vectoriels? Faire des dessins!. {(, R + = }.. {(,

Plus en détail

FONCTIONS CARRÉMENT ASSOCIÉES

FONCTIONS CARRÉMENT ASSOCIÉES FONCTIONS CARRÉMENT ASSOCIÉES Objectif Outils Étudier une équation fonctionnelle se rattachant à une construction géométrique, en s appuant sur les résultats de l ensemble du programme d analse. Théorème

Plus en détail

Exercice 1 - (12 points)

Exercice 1 - (12 points) Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 007 - groupement A Spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, IRIST, Systèmes électroniques Exercice - ( points) On s intéresse à un système

Plus en détail

Méthodes de résolution des équations. différentielle linéaire, est :

Méthodes de résolution des équations. différentielle linéaire, est : Méthodes de résolution des équations différentielles linéaires Table des matières 1 Résolution d équations différentielles du 1er ordre 1 1.1 Equations différentielles linéaires sans second membre.......................

Plus en détail

Tutorat no 2. Propriétés géométriques des fonctions analytiques. 1.1 Rappels de calcul différentiel : interprétation géométrique du gradient

Tutorat no 2. Propriétés géométriques des fonctions analytiques. 1.1 Rappels de calcul différentiel : interprétation géométrique du gradient 1 ESPCI Première année Année 2005-2006 Méthodes Mathématiques Cyrille Barreteau cyrille.barreteau@cea.fr http ://www-drecam.cea.fr/phocea/membres/cours/index.php Tutorat no 2 Propriétés géométriques des

Plus en détail

Mathématiques 2. Équations linéaires

Mathématiques 2. Équations linéaires Mathématiques 2 PC 4 heures Calculatrices autorisées 212 Dans tout le problème, le corps de base des espaces vectoriels est R. Les matrices et les sstèmes linéaires sont à coefficients réels. Les suites

Plus en détail

Devoir surveillé n o 4 (4

Devoir surveillé n o 4 (4 Lycée Marceau MPSI 015/016 Le lundi 0 novembre 015 Devoir surveillé n o heures) Ce devoir est constitué de quatre exercices et d'un petit problème L'ordre des exercices ne correspond à aucun critère de

Plus en détail

Cours 2 Champ électrique PHY332

Cours 2 Champ électrique PHY332 Cours 2 Champ électrique PHY332 1. Rappel Introduction 2. Notion de champ 3. Champ électrique d une charge ponctuelle 4. Distribution de charges 5. Les conducteurs 6. Mouvement d une particule chargée

Plus en détail

Conversion alternative alternative à fréquence invariable

Conversion alternative alternative à fréquence invariable DEPARTEMENT ELECTRICITE Laboratoire d Electronique Industrielle + - ; 6 - + 1 3 7 -., 4) -, - ) 7 5) - Conversion alternative alternative à fréquence invariable 1 Introduction Nous rappelons que l exercice

Plus en détail

Chapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction.

Chapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction. hapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction. I Introduction : le cas de la fonction eponentielle A Approimation affine de ep au voisinage de 0 n notera f la fonction eponentielle f :

Plus en détail

Introduction aux problèmes mal posés.

Introduction aux problèmes mal posés. Introduction aux problèmes mal posés. Lionel Ségui GdT Ignotus LAAS-CNRS 18 janvier 2007 Qu est-ce qu un problème bien posé? La notion de problème bien posé (Hadamard). Soit A : U X Y un opérateur, X et

Plus en détail

Il est facile de montrer que l intersection d une famille de tribus sur un ensemble E est encore une tribu de parties de E.

Il est facile de montrer que l intersection d une famille de tribus sur un ensemble E est encore une tribu de parties de E. cours 4, le mercredi 2 février 2011 Intersection de tribus Si, sur un même ensemble, on dispose d une famille (F i ) i I de tribus, on peut considérer la famille F des parties A qui appartiennent à toutes

Plus en détail

Propagation des ondes électromagnétiques

Propagation des ondes électromagnétiques Ondes Électromagnétiques Propagation des ondes électromagnétiques 1 Equation d onde 1.1 Préliminaires On va ici étudier des signaux variant sinusoïdalement dans le temps, on utilisera donc la notation

Plus en détail

Mines d Albi,Alès,Douai,Nantes Filière MPSI - Corrigé

Mines d Albi,Alès,Douai,Nantes Filière MPSI - Corrigé Mines d Albi,Alès,Douai,Nantes 2 - Filière MPSI - Corrigé Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à

Plus en détail

Équations de droites

Équations de droites Équations de droites I/ lignement, colinéarité II/ Coefficient directeur III/ Équations de droites 1/ Définition / Comment dire si un point appartient à une droite dont on connaît l équation 3/ Propriétés

Plus en détail

1 Équations du mouvement. 1.1 Approximation de Boussinesq Flottabilité... 2

1 Équations du mouvement. 1.1 Approximation de Boussinesq Flottabilité... 2 Plan du cours Plan 1. Entropie, énergie interne et conservation de l énergie 2. Fluide stratifié 3. Effets combinés de la rotation et de la stratification 4. Dynamique lente de grande échelle 5. Stabilité

Plus en détail

Rappels mathématiques

Rappels mathématiques Rappels mathématiques Table des matières Fonction réelle d une variable réelle. Quelques remarques sur les unités.......... Notions d infiniment petit............. Définition.................... Quelques

Plus en détail

Chapitre 4 Equations différentielles couplées

Chapitre 4 Equations différentielles couplées Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2009-2010 Chapitre 4 Equations différentielles couplées 1 Champs de vecteurs et trajectoires : 1.1 Définitions : Définition 1.1 Un champ de vecteurs

Plus en détail

Devoir Surveillé Samedi 24 Mars 2012

Devoir Surveillé Samedi 24 Mars 2012 Devoir Surveillé Samedi 4 Mars 01 BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain $\ CC BY: = Durée : 3h Eercice 1 Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On en choisit 3 au hasard et 7 simultanément. 1. Quel

Plus en détail

Mascaret du Mont Saint-Michel

Mascaret du Mont Saint-Michel Eamen Hydraulique a surface libre O. Tual, mars Avertissement : Aucun document autorise. Dure e : 4. EXERCICE. Mascaret du Mont Saint-Micel Lorsque le coefficient de la mare e est suffisamment fort (vives-eau),

Plus en détail

INTERFERENCES LOCALISEES : LAMES PRISMATIQUES ET ANNEAUX DE NEWTON.

INTERFERENCES LOCALISEES : LAMES PRISMATIQUES ET ANNEAUX DE NEWTON. INTERFERENCES LOCALISEES : LAMES PRISMATIQUES ET ANNEAUX DE NEWTON. PLAN DU COURS. Lames prismatiques..... Les indices de réfraction.... 3. Epression de la différence de chemins optiques.... 3.3 Epression

Plus en détail

CONCOURS 2013 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière PC. (Durée de l épreuve : trois heures) L usage d ordinateur ou de calculatrice est interdit.

CONCOURS 2013 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière PC. (Durée de l épreuve : trois heures) L usage d ordinateur ou de calculatrice est interdit. A 2013 MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH Filière PC). ÉCOLE

Plus en détail

Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues

Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues 1 Quelques calculs élémentaires 11 Limites On rappelle les limites suivantes : lim ep = + et lim ep = 0 lim ln = + et lim ln = 0 Eercice 1 Soit

Plus en détail

Théorème 1 (Convergence dominée) Soient I = [a, b[ un intervalle réel avec < a < b + et (f n ) n N

Théorème 1 (Convergence dominée) Soient I = [a, b[ un intervalle réel avec < a < b + et (f n ) n N Agrégation Interne Esaces L Produit de convolution Transformation de Fourier On ourra revoir les oints de cours suivant : intégrales définies et généralisées ; théorème de convergence dominée, théorèmes

Plus en détail

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités CHAPITRE 26 Rappels de théorie de l intégration et des probabilités 26.1 Résultats de théorie de l intégration 26.1.1 Théorème de dérivation des intégrales à paramètre On en énonce une version lisible

Plus en détail

Chapitre 2 : Suites numériques

Chapitre 2 : Suites numériques Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 013-014 Chapitre : Suites numériques Dans tout ce qui suit on considère des suites (u n ) n N à valeurs réelles, c est à dire des applications de N

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2010 DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

CONCOURS COMMUN 2010 DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES CONCOURS COMMUN DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES PROBLÈME Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Corrigé ) Si a = b, = y et donc le support de Γ a,b est inclus dans la droite

Plus en détail

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE CHAPITRE 4 FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE On appelle fonction numérique une application définie sur une partie D de R, à valeurs dans R. 1 Bornes d une fonction Définition 4.1 Soient D R et f : D R. f

Plus en détail

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE. Réponse optique de nano-objets métalliques

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE. Réponse optique de nano-objets métalliques ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2010 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L utilisation des calculatrices est

Plus en détail

Equations de Laplace, Helmholtz, et Schrödinger pour les hydrogénoïdes

Equations de Laplace, Helmholtz, et Schrödinger pour les hydrogénoïdes Equations de Laplace, Helmholtz, et Schrödinger pour les hydrogénoïdes Le but de ce cours est d aborder des équations en coordonnées sphériques dont les méthodes de résolution sont voisines. θ I Laplacien

Plus en détail

Limites d une fonction Continuité ponctuelle

Limites d une fonction Continuité ponctuelle Limites d une fonction Continuité ponctuelle Bcpst 1 3 janvier 2017 I Parties de et ordre I.1 Intervalles Definition 1.1 Intervalle de Un intervalle de est un ensemble d une des formes suivantes (a, b)

Plus en détail

Limites et fonctions continues

Limites et fonctions continues Limites et fonctions continues Vidéo partie. Notions de fonction Vidéo partie 2. Limites Vidéo partie 3. Continuité en un point Vidéo partie 4. Continuité sur un intervalle Vidéo partie 5. Fonctions monotones

Plus en détail

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x Calculs et entraînement. Eercice 1. [limites ] Calculer les limites suivantes : 1. lim + e + ln. lim + (ln ) 3 + sin 3. lim + 1 + + 4. lim + e 1 sin + cos 7. lim + + 1 1 10. lim + 1 13. lim 5. lim e 1

Plus en détail

Généralités sur les phénomènes de propagation

Généralités sur les phénomènes de propagation Chapitre 6 Généralités sur les phénomènes de propagation 6.1 Propagation à une dimension 6.1.1 Equation de propagation Dans les phénomènes vibratoires traités dans les chapitres précédents, nous nous sommes

Plus en détail

J.F.C. p. 1. Q1 On dit que Z suit une loi exponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par :

J.F.C. p. 1. Q1 On dit que Z suit une loi exponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par : 6-- 4 JFC p Eercice EDHEC 998 E 3 Q On dit que Z suit une loi eponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par : f) = e a) Vérifier que f est bien une densité de probabilité b) Déterminer

Plus en détail

CONCOURS BLANC PCSI MATHÉMATIQUES 1 - Correction

CONCOURS BLANC PCSI MATHÉMATIQUES 1 - Correction CONCOURS BLANC PCSI MATHÉMATIQUES - Correction Eercice. Calculs d intégrales Les trois questions sont indépendantes. t. Par I.P.P., arctan t dt = t arctan + t dt = t arctan t ln( + t + C.. Il faut se ramener

Plus en détail

Année , Semestre 2 Analyse fonctionnelle 2. orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/af2.html

Année , Semestre 2 Analyse fonctionnelle 2.  orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/af2.html Universités de Tours & d Orléans M1 MA Année 216 217, Semestre 2 Analyse fonctionnelle 2 http://www.univ orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/af2.html Chapitre 5 : Distributions tempérées Définitions

Plus en détail

FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Lycée Thiers FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES EDL - 1 Soit n N. Résoudre sur ], + [ l équation différentielle 2t + = t n. Résoudre sur R l équation différentielle ch (t) + sh (t) = 1 1 + t 2. Soit I un

Plus en détail

Notions sur les lignes de transmission

Notions sur les lignes de transmission Notions sur les lignes de transmission SOMMAIRE! 1. Introduction! 2. ircuit équivalent! Tension et courant! Exemple du guide d onde plan! Éléments du circuit équivalent! 3. igne continue infinie! Équation

Plus en détail

MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures)

MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures) MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation

Plus en détail

I Introduction. TP Ondes 1 Câble coaxial. 1 Présentation. 2 Méthodes

I Introduction. TP Ondes 1 Câble coaxial. 1 Présentation. 2 Méthodes TP Ondes 1 Câble coaxial I Introduction 1 1 Présentation 1 2 Méthodes 1 II Rappel 2 1 Équation de propagation 2 2 Réflexion en bout de ligne 2 III Régime impulsionnel 3 1 Impédance caractéristique 3 2

Plus en détail

La méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis Chapitre 6 La méthode des éléments finis 6.1 Introduction La méthode des éléments finis est actuellement la méthode la plus utilisée pour la résolution de problèmes aux limites. Elle découle directement

Plus en détail

TD9. ENS Cachan M1 Hadamard Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites

TD9. ENS Cachan M1 Hadamard Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M1 Hadamard 2016-2017 TD9 Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites Soient E,F deux espaces de Banach. On note B la boule unité fermée de

Plus en détail

Simulation numérique pour l aéronautique

Simulation numérique pour l aéronautique Simulation numérique pour l aéronautique Eric Darrigrand Amphis des lycéens Introduction La simulation numérique motivée par des applications nombreuses et variées : médecine, construction d ouvrages,

Plus en détail

Matrices stochastiques

Matrices stochastiques Énoncé On note E n le sous-ensemble de M n (IR) formé des matrices M = (m i ) telles que : Pour tous indices i et de {1,..., n}, m i 0. Pour tout indice i de {1,..., n}, m i = 1. =1 1. Montrer que l ensemble

Plus en détail

Transformations du plan et de l espace

Transformations du plan et de l espace [http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1 Montrer que si A et B sont des points fies de f alors la droite (AB) est invariante par f. Eercice 5 [ 0218 ] [Correction] Soient A, B,

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2009 Épreuve de modélisation, option B : calcul scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2009 Épreuve de modélisation, option B : calcul scientifique Agrégation eterne de mathématiques, session 2009 Épreuve de modélisation, option B : calcul scientifique (Public 2009) Résumé : On étudie les phénomènes électriques accompagnant le battement cardiaque,

Plus en détail

ONDES. Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :

ONDES. Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que : Spé ψ 2014-2015 Devoir n 8 ONDES Le problème, consacré à l acoustique d un silencieu automobile, se décompose en trois volets : la première partie développe l étude générale d une onde acoustique dans

Plus en détail

Etude des réseaux de diffraction

Etude des réseaux de diffraction Etude des réseaux de diffraction Un réseau est constitué par la répétition périodique d un motif diffractant, comme par exemple une fente. Les interférences entre les rayons issus des nombreux motifs successifs

Plus en détail

Devoir Vacances Commentaires et corrections

Devoir Vacances Commentaires et corrections Devoir Vacances Commentaires et corrections Voici quelques éléments pour vous aider à faire ce devoir et les corrections de quelques erreurs d énoncé : I) Exercice 1 Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Plus en détail

Eléments propres d un endomorphisme

Eléments propres d un endomorphisme [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 16 Enoncés 1 Eléments propres d un endomorphisme Eercice 1 [ 768 ] [Correction] Soient E = C (R, R) et D l endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f.

Plus en détail

(croissances comparées) x + x 1 x x 1. 1 x 1 x 1 x = 2 = 1

(croissances comparées) x + x 1 x x 1. 1 x 1 x 1 x = 2 = 1 Eercice.. 2. 3. e 2 ln = e 2 ( 2 ) /2 } ln {{ / } (ln ) 3 2 2 = (ln ) 3 / 2 / /(2) 2 }{{} sin 0 car sin est bornée et 0. 0 4. e (aucune difficulté!) 5. Il faut distinguer 0 et 0. 6. (croissances comparées)

Plus en détail

le domaine acoustique

le domaine acoustique Expertise mécanique des sciages par analyse des vibrations dans le domaine acoustique Thèse en mécanique option acoustique Soutenu par Loïc BRANCHERIAU CIRAD Forêt Qualité et Valorisation des Bois de Plantation

Plus en détail

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre

Plus en détail

Suites. Chapitre 2. 1 Généralités sur les suites. Sommaire. 1.1 Définition d une suite. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites. Chapitre 2. 1 Généralités sur les suites. Sommaire. 1.1 Définition d une suite. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques Chapitre 2 Suites Sommaire 1 Généralités sur les suites....................................... 1.1 Définition d une suite...................................... 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques..........................

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BACCALAURÉA GÉNÉRAL EION 00 MAHÉMAIQUE ÉRIE : DURÉE DE L ÉPREUVE : heures COEFFICIEN : 7 Ce sujet comporte pages L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. L'usage des formulaires de mathématiques

Plus en détail

1, 2, 3... Sciences. Année académique Questionnaire et Corrigé Examen de mathématiques générales B du 25 mai 2016 biologistes

1, 2, 3... Sciences. Année académique Questionnaire et Corrigé Examen de mathématiques générales B du 25 mai 2016 biologistes ,,... Sciences Année académique 5- Questionnaire et Corrigé Eamen de mathématiques générales B du 5 mai biologistes Version 4 mai QUESTIONNAIRE. On donne eplicitement la fonction f par f(, ) = arcsin().

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Matrices et carrés magiques

Problèmes de Mathématiques Matrices et carrés magiques Énoncé Dans tout le problème, n est un entier supérieur ou égal à 2. On désigne par M n (IR) l algèbre des matrices carrées d ordre n à coefficients réels. Pour tout A de M n (IR), on note a ij le coefficient

Plus en détail

Modèles simples de la Variabilité Climatique. Cours 4: Oscillations de basse fréquence dans la troposphère aux latitudes tempérées

Modèles simples de la Variabilité Climatique. Cours 4: Oscillations de basse fréquence dans la troposphère aux latitudes tempérées Modèles simples de la Variabilité Climatique François Lott Cours 4: scillations de basse fréquence dans la troposphère aux latitudes tempérées 1 bservations 2 Le modèle simple de Charney et DeVore (1977)

Plus en détail

Fonctions de deux variables

Fonctions de deux variables Chapitre Fonctions de deu variables Sommaire. Rappels.......................................................... 75.. Généralités..................................................... 75.. Représentation

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. Partie I - Un exemple pratique

MATHÉMATIQUES II. Partie I - Un exemple pratique MATHÉMATIQUES II Dans ce problème, les figures ou les commentaires, même non demandés, qui éclaireraient les situations ou les hypothèses rencontrées seront les bienvenus Dans tout le problème, on désigne

Plus en détail

ministère éducation nationale jeunesse vie associative E AGRÉGATION CONCOURS EXTERNE

ministère éducation nationale jeunesse vie associative E AGRÉGATION CONCOURS EXTERNE ministère éducation nationale jeunesse vie associative E AGRÉGATION CONCOURS EXTERNE 2 3 4 5 6 7 8 9 III) Instabilité de Saffman-Taylor Dans cette partie, on souhaite étudier le mécanisme de digitation

Plus en détail

2 : LIMITE ET CONTINUITE

2 : LIMITE ET CONTINUITE : LIMITE ET CONTINUITE LISTE DES COMPTENCES CODE L0 L0 L0 L04 L05 L06 L07 L08 L09 L0 DENOMINATION Savoir calculer la ite en un point d un monôme Savoir calculer la ite en l infini d un monôme Savoir calculer

Plus en détail

FASCICULE D'EXERCICES

FASCICULE D'EXERCICES ELEMENTS D'ALGEBRE LINEAIRE, A L'USAGE DES ETUDIANTS DE L'U.E. M1PY3W01 FASCICULE D'EXERCICES A partir de Septembre 2014, le programme de cette U.E. devient le programme d'algèbre et application à la résolution

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

Approximation paraxiale de l équation des ondes

Approximation paraxiale de l équation des ondes Approximation paraxiale de l équation des ondes Houssem Haddar Houssem.Haddar@inria.fr Présentation du problème Dans de nombreux problèmes pysiques, en particulier en géopysique pétrolière et en sismique,

Plus en détail

Cours Acoustique. Analyse des signaux. D. Duhamel

Cours Acoustique. Analyse des signaux. D. Duhamel Cours Acoustique Analyse des signaux D. Duhamel 1 Domaines de représentation des signaux Buts : caractériser les signaux, visualiser et extraire les propriétés des systèmes, interpréter les résultats d

Plus en détail

Tutorats de Mécanique Quantique Fascicule d exercices n 2

Tutorats de Mécanique Quantique Fascicule d exercices n 2 1 Département des Sciences de la Matière 00-003 Magistère de Sciences de la Matière, 1ère année Tutorats de Mécanique Quantique Fascicule d exercices n Exercice I : Soient A, B deux opérateurs hermitiques.

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL Chapitre 15 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Objets du calcul différentiel du premier ordre 2 1.1 Dérivées partielles et gradient..................................

Plus en détail

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité Notations

Plus en détail

Physique 2. Trajectoires électroniques dans un atome Traitement du rayonnement Zeeman

Physique 2. Trajectoires électroniques dans un atome Traitement du rayonnement Zeeman Phsique 2 PC 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Trajectoires électroniques dans un atome Traitement du raonnement Zeeman Le champ magnétique régnant à la surface du soleil est un des paramètres qui

Plus en détail

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle Bcpst 1 27 février 2017 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, et sauf mention contraire : I est un intervalle de non vide et non réduite à un point ; est un domaine

Plus en détail

Introduction aux méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles (EDP)

Introduction aux méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) Introduction aux méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) Cours 1 Sébastien Deheuvels, Laurène Jouve Institut de Recherche en Astrophysique et Planétologie Octobre

Plus en détail

Vincent Pilaud Kholles de mathématiques 8 novembre 2005 MP* - Lycée Charlemagne - Paris a 0 a 1...,a n V (a 0,...

Vincent Pilaud Kholles de mathématiques 8 novembre 2005 MP* - Lycée Charlemagne - Paris a 0 a 1...,a n V (a 0,... Vincent Pilaud Kholles de mathématiques 8 novembre 2005 MP* - Lycée Charlemagne - Paris Algèbre linéaire 1 Déterminants Exercice [Van Der Monde] 1 Soient a 0,,a n K Calculer 1 1 1 a 0 a 1,a n V (a 0,,a

Plus en détail

TRAITEMENT DU SIGNAL

TRAITEMENT DU SIGNAL pé ψ 213-214 Devoir n 2 TAITEMENT DU IGNAL Le thérémine est l ancêtre des instruments de musique électronique. et instrument a été inventé en 1919 par le physicien russe Léon Theremin. Il a réalisé son

Plus en détail

Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive

Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive Ce document vient en complément du chapitre 6 du livre Informatique, programmation et calcul scientifique en Python et Scilab, publié chez ellipses.

Plus en détail

1. Espaces probabilisés dénombrables

1. Espaces probabilisés dénombrables Probabilités sur un univers dénombrable 12-1 Sommaire 1. Espaces probabilisés dénombrables 1 1.1. Ensemble dénombrables......... 1 1.2. Suite infinie d événements........ 1 1.3. Probabilité sur un univers

Plus en détail

Propagation libre dans le vide sans sources

Propagation libre dans le vide sans sources Cours d électromagnétisme Propagation libre dans le vide sans sources Hypothèses : On se place dans le vide dont les caractéristiques sont :,, 0, 0. Il y a une source de champs (par exemple : dipôle rayonnant).

Plus en détail