MAP431 Autour des guides d onde

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1 MAP431 Autour des guides d onde Benjamin Goursaud benjamin.goursaud@ensta.fr De nombreu phénomènes peuvent être modélisés par un guide d onde. Voici une liste non ehaustive d applications des guides d onde dans différents domaines : acoustique musicale, acoustique sous-marine électromagnétisme : câbles coaiau, fibres optiques, micro-guides optiques élastodnamique : sismique, contrôle non destructif (aéronautique, centrales nucléaires, câbles) Mathématiquement, on représente un guide d onde par un milieu invariant dans une direction d espace. Le milieu de propagation est donc clindrique, de la forme : Ω = Ω s R, où Ω s est la section du milieu de propagation. On distingue alors deu tpes de guides : si Ω s est borné, on parle de guide fermé. Les câbles coaiau, par eemple, sont modélisés par des guides fermés. si Ω s est non borné, on parle de guide ouvert. Les fibres optiques sont, par eemple, modélisées par des guides ouverts. 1 Détermination des modes guidés d un guide fermé On considère la géométrie donnée par la figure 1. h Fig. 1 Géométrie du guide fermé considéré. On considère l équation des ondes : ( 1 ) c t ũ(t,,) = 0 dans R Ω, Ω = R [0,h] (1) Question 1 ũ (t,,) = 0 t,, = 0 ou h () On se place dans le régime périodique établi : cela revient à prendre ũ de la forme ũ = Re(ue iωt ), où Re désigne la partie réelle. Le signe dans e iωt est une simple convention. 1

2 Montrer que la résolution de (1-) se ramène à la résolution de l équation d Helmholtz suivante : ( ) + + k u = 0 dans Ω (3) Question = 0 sur Ω = R {0} R {h} (4) La théorie spectrale nous assure qu il eiste une famille de fonctions de H ([0,h]) (φ n ) n N et une famille de réels positifs (λ n ) n N avec λ n tels que : d φ n d = λ n φ n (5) dφ n d (0) = dφ n (h) = 0 (6) d On peut de plus normaliser les φ n de telle façon qu ils forment une base hilbertienne de L ([0,h]), i.e. : (φ n,φ m ) L ([0,h]) = h 0 φ n ()φ m ()d = δ m n où δ m n est le smbole de Kronecker : δ m n = 1 si n = m et 0 sinon. Déterminer les φ n et les λ n. Question 3 En déduire que toute solution de (3-4) s écrit : u = ( A n e iβn + B n e iβn) φ n () n N Déterminer la relation de dispersion : la relation liant β n,λ n et k. Question 4 Montrer qu on a l alternative suivante : β n 0. Dans ce cas, le mode e iβn se propage vers la droite et le mode e iβn se propage vers la gauche. β n = iγ n, γ n 0. Dans ce cas, le mode e iβn est évanescent vers la droite et le mode e iβn est évanescent vers la gauche. À k fié, combien a-t-il de modes propagatifs et de modes évanescents? Question 5 Avec l aide de SCILAB, en prenant h = 10 et k = 1, calculer tous les β n des modes propagatifs. Représenter l allure des modes, i.e. φ n () en fonction de.

3 k 1 Ω 1 Γ h k 0 Ω 0 Γ 0 Fig. Géométrie du guide ouvert considéré. Détermination des modes guidés d un guide ouvert On considère maintenant la géométrie donnée par la figure. On note Ω 0 = {(,) R,0 < < h}, Ω 1 = {(,) R, > h}, Ω = R R +, Γ = R {h}, Γ 0 = R {0} et k = k() = k 1 si > h, k = k() = k 0 si 0 < < h. On part directement de l équation de Helmholtz suivante : ( ) + + k u = 0 dans Ω (7) Question 6 = 0 sur Γ 0 (8) On recherche les modes guidés. Ceu-ci vérifient : u(,) = ψ()φ(), avec ψ() = Ae iβ + Be iβ, A,B,β constantes, φ L (R + ). Déterminer le sstème vérifié par φ. Montrer que la recherche des modes guidés conduit à la relation de dispersion suivante : où α 1 ir,α 0 R. Déterminer α 1 et α 0. Indication : on a les conditions de raccord suivantes : [φ] = sur Γ : [g()] = lim ε 0 +(g(h + ε) g(h ε)). Question 7 iα 1 = α 0 tan(α 0 h) (9) [ ] φ = 0 sur Γ. On note [g] le saut de g Avec SCILAB, déterminer numériquement les modes guidés en prenant h = 10,k 0 = 1.5 et k 1 = 1. Tracer l allure de ces modes : φ() en fonction de. Comparaison avec modes propagatifs du guide fermé. Remarque : Contrairement au cas du guide fermé, on ne peut pas écrire pour le guide ouvert : u(,) = n u n()φ n (), on doit écrire : u(,) = n u n()φ n () + λ u λ()φ λ ()dλ. Les modes propagatifs déterminés dans cette partie ne forment pas une base de L (R + ). 3

4 Γ h Ω Γ 0 Γ + Γ + Fig. 3 Géométrie du guide fermé pertubé. 3 Simulation d un défaut dans un guide fermé On considère la géométrie donnée par la figure 3. On cherche à simuler l effet d un défaut localisé dans une région bornée que l on note Ω sur la propagation des ondes dans un guide d onde fermé. Question 8 On se place tout d abord dans le cas où il n a qu un seul mode propagatif. Quelle relation doivent vérifier k et h? On envoie le mode plan (u inc = φ 0 e iβ 0 ) sur Γ. On veut déterminer l onde transmise, qui se propage vers la droite, et l onde réfléchie, qui se propage vers la gauche. D après la question 3, la solution dans le guide non perturbé se décompose de la façon suivante : u = n (A ne iβn + B n e iβn )φ n (). Pour > +, le guide est non perturbé, donc on peut décomposer la solution comme à la question 3. On prend ici B n = 0 car on veut des ondes qui se propagent vers la droite. En première approimation, on peut négliger tous les modes évanescents et donc écrire : u A 0 e iβ 0 φ 0 (), donc n Γ + iβ 0u. Pour <, le guide est également non perturbé. On décompose u u inc comme à la question 3, mais en prenant ici A n = 0, puisque u u inc se propage vers la gauche. En négligeant les modes évanescents, on a : u u inc A 0 e iβ 0 φ 0 (), donc n Γ iβ 0u + g, où g est la donnée du problème. Que vaut g? On a donc le problème suivant : ( ) + + k u = 0 dans Ω (10) n = 0 sur Γ 0 (11) n = 0 sur Γ (1) n = iβ 0u + g sur Γ (13) n = iβ 0u sur Γ + (14) Déterminer la formulation variationnelle de ce problème. Peut-on appliquer le théorème de La- Milgram? Pourquoi? À l aide de FREEFEM++, en se plaçant dans le cas où il n a qu un mode 4

5 propagatif, simuler le guide non perturbé, puis en se donnant une perturbation, montrer l effet de la perturbation. Question 9 (facultative) Dans le cas où il a plusieurs modes propagatifs, comment peut-on généraliser la méthode décrite à la question précédente? Que devient la formulation variationnelle? 5