Les applications (Théorie des ensembles)

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1 Les applications (Théorie des ensembles) Applications d un ensemble sur un autre Définitions : Soit E et F deux ensembles et une relation R de E F. On définit une application f de E vers F qui à tout élément x de E associe par la relation R un unique élément y de F appelé image de x par f. On note : pour définir que f est une application de E vers F et pour définir que l image de x par f est l unique nombre y. f : E F () f : x y = f(x) (2) Soit un ensemble E et l application Id E définie comme suit : Id E : E E x x = f(x) Id E est appelée application identité sur E. Soit E = {0; }. f : E E x (y = f(x)) (y x) Le diagramme sagittale peut donner les images de l application f (puisque E est fini) : E E 0 0 S.Mirbel page / 5

2 Soit E et F deux ensembles. On définit une fonction f de E vers F qui à tout élément x de E associe au plus un élément y de F. y est appelé image de x par f. Le domaine de définition E de la fonction f est le sous-ensemble de E tel que pour tout x de E, il existe un unique y de F. La fonction f devient alors une application de E dans F. Exercice-exemple : Soit la fonction f définie de R dans R par y = x+5 2x.. Donner le domaine de définition D de la fonction f. On définit alors une application f : f : D R x y = f(x) = x+5 2x 2. Dans un repère orthogonal suivant, construire une idée du graphe de f. On pourra établir sur la calculatrice, un tableau de valeurs cohérent avec le domaine de définition. De plus on admettra que l application f est décroissante sur chaque intervalle de son domaine de définition S.Mirbel page 2 / 5

3 2 Composition des applications Soit deux applications : f : E F g : F G Pour tout nombre x de E il existe un unique y tel que y = f(x) et pour tout nombre y de F il existe un unique z de G tel que z = g(y). Ainsi pour tout nombre x de E, on associe un unique z de G qu on peut écrire g((f(x)). Cette nouvelle application de E G est notée g f : Exercice-exemple :. Soit E = {0; ; 2; 3} ; F = {a; b; c} et G = {0; } Soit les applications f et g telles que : g f : E G x z = g f(x) = g(f(x)) f : 0 a g : a 0 b b 2 c c 0 3 a Faire un diagramme sagittale qui donne la composition f g en décomposant chaque application (faire apparaître les trois ensembles E, F et G), puis simplifier l application par un autre diagramme sagittale ne donnant que les deux ensembles E et G. 2. Soit les applications suivantes : g : R R x 5x + 7 x x 2 Pour tout nombre x de R, donner l expression de g f(x) puis l expression de f g(x). S.Mirbel page 3 / 5

4 3 Propriétés des applications : surjection, injection, bijection 3. Antécédents Soit une application f de E dans F. Soit un élément y de F donné. S il existe au moins un élément x de f tel que y = f(x) alors x est appelé antécédent de y par l application f. 3.2 Applications surjectives Une application f de E dans F est dite surjective si pour tout élément y de F, il existe au moins un élément x de E tel que y = f(x). Soit S f cette proposition : S f : y F, x E; y = f(x) f est surjective. En effet, pour y donné il suffit de choisir l antécédent x = y 3. Soit l application g : g : R R g n est pas surjective. En effet, y = n a pas d antécédent. Par contre l application : : R R + est surjective. En effet, pour tout y de R +, il suffit de choisir x = y (ou x = y). 3.3 Applications injectives Une application f de E dans F est dite injective si pour tout élément y de F, il existe au plus un élément x de E tel que y = f(x). Autrement dit, si pour deux éléments x et x de E tels x x alors f(x) f(x ). Soit I f cette proposition : I f : y F, (!x E; y = f(x)) ( x E; y = f(x)) I f : (x; x ) E 2 x x ; f(x) f(x ) f est injective. En effet, pour x < x on a 3x + < 3x +. Soit l application g : g n est pas injective. En effet, pour x = 2 et x = 2 on a f( 2) = f(2) = 4. S.Mirbel page 4 / 5

5 3.4 Applications bijectives Une application f de E dans F est dite bijective si elle est surjective et injective. Ainsi pour tout y de F, il existe un unique élément x de E tel que y = f(x). Exemple : f est bijective. En effet, nous avons vu qu elle était surjective et injective. Soit f une application bijective de E dans F. Par définition, pour tout y de F, il existe un unique élément x de E tel que y = f(x) ; et réciproquement, pour tout x de E, il existe un unique nombre y de F qui lui est associé par une application dite réciproque, notée f. f : E F f : F E x y = f(x) y x = f (x) Remarque : f f = Id F et f f = Id E Exemple : f : R R y y 3 S.Mirbel page 5 / 5

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