Cadre de travail Amphi 4 Hypothèse des petites perturbations : Evolution quasi-statique : Evolution isotherme :

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1 1 Rupture et Plasticité Plan du cours Comportements non linéaires des matériaux solides : Amphi 1 Rupture fragile : Singularités de contrainte et ténacité des matériaux : Amphi 2 Analyse énergétique de la propagation d une fissure : Amphi 3 Plasticité : Comportement élasto-plastique : Amphi 4 Dissipation plastique : Amphi 5 Structures élasto-plastiques standard : Amphi 6 Charges limites : Amphi 7

2 2 Elasto-plasticité Amphis 4, 5 et 6 Au delà de la limite d élasticité apparaissent des déformations plastiques...essentielles en mise en forme...dissipant de l énergie. Objectif = expliquer QUAND et COMMENT apparaissent ces déformations plastiques

3 Cadre de travail Amphi 4 Hypothèse des petites perturbations : Configuration actuelle = configuration initiale. Tenseur des déformations linéarisées : ε = 1 2 ( ) ξ + T ξ, Tenseur vitesse de déformation : ε = 1 2 ( ) ξ + T ξ = d(v), ε = d(v). Evolution quasi-statique : les termes d accélération sont négligés. Evolution isotherme : les variations de température sont négligées. 3

4 4 Loi de comportement élasto-plastique I. Rappel du cas uniaxial. II. Surface seuil de plasticité. Surface initiale. III. Surface seuil de plasticité. Ecrouissage. IV. Déformation plastique. Règle de normalité. Plasticité parfaite. V. Critère de charge-décharge. VI. Déformation plastique. Matériau écrouissable.

5 5 I. Rappel du cas uniaxial Chargement uniaxial (limite d élasticité) A 0 A O B ε ε p ε el Limite d élasticité = seuil de plasticité Limite élastique initiale (en partant de 0) : 0 Limite élastique actuelle (en partant de B) : A.

6 6 Ecrouissage : la limite d élasticité dépend de la déformation plastique. (MPa) ε ε domaine de domaine non linéaire linéarité Acier inox : seuil = fonction (ε p ). Ecrouissage Acier doux : seuil constant. Plasticité parfaite

7 7 II. Chargements multiaxiaux. Surface initiale de plasticité L état de contrainte dans une structure est en général multi-axial :. Généralisation de la notion de seuil de plasticité Surface seuil de plasticité Domaine d élasticité _ domaine dans l espace des contraintes tel que - A l intérieur du domaine, le régime est élastique : domaine d élasticité. - Sur le bord du domaine, le régime est élastoplastique : surface seuil de plasticité. Critère = toute fonction f telle que Domaine d élasticité = {, f () < 0}, Surface seuil de plasticité = {, f () = 0}. Domaine d élasticité + surface seuil de plasticité = Domaine de plasticité

8 Détermination expérimentale de la surface seuil : 1. Essai de traction torsion M F Rayon interne R épaisseur e Zone utile = τ 0 τ = e z e z + τ ( e θ e z + e z e θ ), = F 2πRe, τ = M 2πR 2 e. 8

9 9 Essai de traction biaxiale 2 zone utile 1 = 1 e 1 e e 2 e 2.

10 10 Surface initiale de plasticité : essais de traction-torsion (Bui, 1970) Surface seuil de plasticité τ τ ( ^, ^ ) Σ offset Σ o ((t),τ(t)) = Σ(t)( ˆ, ˆτ), 0 Domaine d élasticité E offset τ Premières observations = 0 est dans le domaine d élasticité. Le domaine d élasticité est convexe. Surface seuil ellipse : grand axe petit axe 3.

11 11 Surface initiale de plasticité : modélisation Etat de contrainte en traction-torsion Critère de Tresca (cisaillement maximal) : = τ 0 τ = e z e z + τ ( e θ e z + e z e θ ), Sup i, j Sup i, j i j 0. Contraintes principales : 2 + 4τ 2, 0, 2 i j = 2 + 4τ 2, τ 2. 2 Tresca 2 +4τ La surface seuil est une ellipse. grand axe petit axe = 2.

12 12 Critère de von Mises = e z e z + τ ( e θ e z + e z e θ ), m = 3, s = 3 (e r e r + e θ e θ ) e z e z + τ( e θ e z + e z e θ ). Contrainte équivalente : eq = eq = ( ) 3 1/2 ( 2 s i js i j = 2 + 3τ 2) 1/ τ 2, vonmises 2 +3τ Tresca τ Von Mises La surface seuil est une ellipse. grand axe petit axe = 3. Meilleur accord modèle/expérience dans ce cas avec le critère de von Mises.

13 13 Forme générale du domaine initial de plasticité. (1) P t (1) + (1 t) (2) (2) Domaine initial de plasticité : P est convexe, et contient 0 dans son intérieur. Conséquences pour le choix du critère de plasticité, i.e. de toute fonction f définissant le domaine de plasticité : P = {, f () 0 }. f est choisie convexe et telle que f (0) < 0.

14 14 III. Chargements multiaxiaux. Ecrouissage La charge est poursuivie au delà de la surface initiale de plasticité. τ τ Chargement radial en traction-torsion Traction puis torsion

15 15 Manifestations de l écrouissage Surface seuil initiale Modification de taille : écrouissage Trajet de chargement isotrope. τ Surface seuil actuelle Translation du centre du domaine 0 d élasticité : écrouissage cinématique effet Bauschinger (limite d élasticité en compression < limite élasticité en traction après écrouissage). Distorsion ou changement de forme de la surface seuil.

16 16 Modélisation de l écrouissage Domaine initial de plasticité : f () = F () 0 0. Surface seuil initiale τ Trajet de chargement Surface seuil actuelle Ecrouissage isotrope : changement de taille de la surface seuil. 0 f (,R) = F () R 0. R paramètre scalaire mesurant la taille du domaine. Surface seuil initiale τ Trajet de chargement Surface seuil actuelle Ecrouissage cinématique : Changement de centre de la surface seuil 0 X f ( X) 0. X : contrainte interne, centre du domaine. Cas général : f (,X,R) = F ( X) R 0. R et X évoluent avec la déformation plastique.

17 17 Rappel du cas uniaxial IV. Déformation plastique. A 0 A Evolution de la déformation plastique Décomposition de la déformation ε en partie élastique ε el (récupérable par décharge) et partie plastique ε p (déformation permanente après O B ε décharge) : ε = ε el + ε p. Décharge A B parallèle au trajet élastique : ε p ε el ε el = E, εp? Comportement élasto-plastique. ε p identique le long de AB impossible de déterminer ε p, mais on peut déterminer ε p : Sur AB : si < A, dε p = 0, si = A, d 0 dε p = 0, dε = dε el, si = A, d 0 dε = dε el + dε p, dε el = d E, dεp 0.

18 18 Chargements multiaxiaux Décomposition de la déformation totale : ε = ε el + ε p, ε el = S :, ε p? Aspects expérimentaux Vecteur dε p porté à partir de. τ Jauges de déformation : dε zz, dε θz, dε p zz, dε p θz,

19 19 Autre matériau, autre trajet de chargement τττ

20 20 Modélisation : règle de normalité en plasticité parfaite Etat de contrainte sur le seuil. Comment évolue la déformation plastique? Si est l intérieur du domaine d élasticité les déformations plastiques n évoluent pas. Si est sur la surface seuil de plasticité, la vitesse de déformation plastique est, dans les métaux, donnée par la règle de normalité : ε p est normale extérieure à la surface seuil de plasticité au point représentatif de l état de contrainte. f () = 0, et, si f est dérivable : P f( _ ) < 0 f( _ ) = 0 _ f( _ ) > 0 ε. p _ ε p = λ f (), λ 0. λ : multiplicateur plastique, laissé indéterminé par la loi de comportement. Les états de contraintes hors du domaine de plasticité ne sont pas physiquement admissibles.

21 Equations de comportement pour un solide élastique parfaitement plastique... et critère f dérivable. ε = ε el + ε p, ε el = S :, f () 0, ε p = λ f (), λ inconnu Décompte équations-inconnues λ = 0 si f () < 0, λ 0 si f () = 0. Connaissant l incrément de déformation ε, peut-on déterminer l incrément de contrainte? En élasticité (ou en régime élastique) : ε = S :, 6 équations pour 6 inconnues. En élasto-plasticité : Equation supplémentaire : ε = S : + λ f (), 6 équations pour inconnues. λ = 0 si f () < 0, λ 0 si f () = 0. Bilan OK! 21

22 22 Critère de von Mises Deviateurs s_ 3 _ p m i i 2 Contrainte équivalente mesurant l intensité du cisaillement : ( ) 3 1/2 f () = eq = 2 s : s, où = m i + s, s = K : déviateur de, K projecteur sur les déviateurs. 1 f ( + pi) = f (). Le domaine de plasticité de von Mises est un cylindre de génératrices parallèles à l axe des pressions. 3 p i f () = f s () : s = 3 2 s : s eq. Déviateurs 2 s = K, et donc f () = 3 2 s eq, puisque K : s = s. 1 ε p = 3 2 λ s eq. ε p parallèle à s.

23 23 Récapitulation dans le cas du critère de von Mises On suppose de plus l élasticité isotrope. ε = ε el + ε p, ε el = E ν tr i + 1+ν E, eq 0, ε p = 3 2 λ s eq, λ = 0 si eq < 0, λ 0 si eq = 0.

24 24 Commentaires : 1. Les déformations plastiques sont incompressibles (pas de variation de volume) : tr ε p = 3 2 λ trs eq = On définit la vitesse de déformation plastique équivalente, et la déformation plastique cumulée p : ε p eq def = ( ) 2 1/2 3 ε p i j ε p i j = λ, p(t) def = t 0 ε p eq(s) ds, ṗ = λ = ε p eq. 3. Justification du facteur 2/3 (analogue du 3/2 pour eq ) : De plus en traction simple : = e z e z, : ε p = eq ε p eq. ( s = 1 3 e x e x 1 3 e y e y + 2 ) 3 e z e z, ε p = 3 2 λ s ( = ṗ 1 eq 2 e x e x 1 ) 2 e y e y + e z e z. ṗ vitesse de déformation plastique axiale.

25 25 V. Charge-décharge A B 1 2 Retour sur le cas uniaxial : même si le seuil de plasticité est atteint, les déformations plastiques n évoluent qu en charge (trajet 2). ε Etat multiaxial : il y a charge si f ((t)) = 0 et f ((t + dt)) = 0 dt > 0, dt 1. ḟ ()(t) = 0 f () : = 0 ε p (t) : (t) = 0. En plasticité parfaite, incrément de contrainte et incrément de déformation plastique sont orthogonaux.

26 26 Quelques points de rigueur mathématique (problème non linéaire!) ε. p O d d t d+ d t 1. n existe pas toujours. d + dt (t) = d dt (t) = lim dt > 0 0 lim dt < 0 0 (t + dt) (t). dt (t dt) (t). dt La relation d orthogonalité s applique à d+ dt (t). 2. Equation différentielle non linéaire. Supposons ε(t) connue : S : (t) + λ f () = ε(t), avec f () 0 et λ f () = 0. Equation différentielle non linéaire. λ fonction implicite et inconnue de dont on ne sait pas si elle vérifie la condition de Lipschitz. Existence, unicité, régularité en t d une solution non triviales.

27 VI. Règle de normalité dans les matériaux écrouissables Domaine et critère de plasticité pour matériaux écrouissables f = f (,X,R) = F ( X) R. R variable scalaire mesurant la taille du domaine, X variable tensorielle repérant le centre du domaine. P(X,R) = {, f (,X,R) 0}. Comment R et X dépendent-elles de la déformation plastique? Modèle le plus couramment utilisé : X = H : ε p, R = R(p), p(t) = t 0 λ(s)ds. R Exemple : identification d un modèle d écrouis- 0 0 sage isotrope Effectuer un essai de traction simple et relever la p ε p courbe (ε, ). En déduire la courbe (p,r), p = ε /E, R =. Modèle d écrouissage isotrope : eq R(p) 0. 27

28 28 Règle de normalité Enoncé sans changement par rapport au cas parfaitement plastique :, X, R étant connues, la vitesse de déformation plastique ε p est nulle si est intérieur à P(X,R) et normale extérieure à la surface seuil de plasticité si est sur le bord de P(X,R). ε p = λ f (,X,R), λ 0. Equations de comportement pour les matériaux élasto-plastiques écrouissables : ε = ε el + ε p, ε el = S :, f (,X,R) 0, ε p = λ f (,X,R), λ = 0 si f () < 0, λ 0 si f () = 0, X = H : ε p, R = R(p), p(t) = t 0 λ(s)ds.

29 29 Levée de l indétermination sur le multiplicateur plastique La loi de comportement permet-elle de calculer de façon unique la vitesse de déformation ε associée à une variation de contrainte? A B 1 2 A. B. ε Module tangent ε Non si l écrouissage est nul (plasticité parfaite) λ indéterminé. Oui si l écrouissage est positif. λ déterminé sans équivoque. ε

30 Démonstration En régime élastique ou en décharge : ε = S :. Seul le cas de la charge nécessite une démonstration. Charge si f = 0 à t et à t + dt, donc si ḟ = 0. f = F ( X) R = 0, ḟ = F F ( X) : R ( X) : Ẋ (p)ṗ = 0. p Rappel : ṗ = λ, Ẋ = H : ε p, on pose N = F R ( X) et h = p (p). Il vient : ( ) N : λ N : H : N + h = 0, λ = ( ) + N :, (si dénominateur > 0). N : H : N + h ε = S : + λn ε = S ep :, où S ep = S + N N N : H : N + h. Attention : le tenseur de souplesse tangent S ep est anisotrope et dépend de, X et p. 30

31 31 Conclusions Surface seuil de plasticité fixe (plasticité parfaite) ou variable (écrouissage). Règle de normalité : la vitesse de déformation plastique est une normale extérieure à cette surface seuil. Multiplicateur plastique indéterminé en plasticité parfaite, parfaitement déterminé en plasticité avec écrouissage positif. Ecriture de la règle de normalité dans le cas d un critère non différentiable?