1 Fonction valeur absolue

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1 ISEL - Année Mathématiques FONCTIONS USUELLES Fonction valeur absolue Dénition La valeur absolue d'un nombre réel est = ma(, ) = Propriété Soient a et b deu réels, on a: a = a ; a b b a b; a b a b ou a b; ab = a b ; a b a + b a + b. Propriété Inégalité triangulaire:,, z IR, z + z. La fonction valeur absolue est { si si <. dénie, continue sur IR à valeurs dans IR +, dérivable sur IR. Sa dérivée est constante et égale à - sur IR et constante et égale à sur IR+. paire, croissante sur IR +. Fonction partie entière Dénition La partie entière d'un nombre réel est le plus grand élément de Z inférieur ou égal à. On le note [] ou E() et on a: IR, E() < E() +. Propriété Tout nombre réel peut s'écrire de manière unique: = E() + d avec d [, [. Propriété Soient, IR, E() + E() E( + ) E() + E() +. Soient IR, IN, E( + ) = E() +. La fonction partie entière, E(), est dénie sur IR à valeurs dans Z, croissante, continue et dérivable sur IR\ Z, de dérivée nulle.

2 Fonctions logarithmes et eponentielles. Logarithme népérien Dénition La fonction logarithme népérien est dénie sur IR + Propriété 5 Soient a et b deu réels strictement positifs, on a: ln(ab) = ln(a) + ln(b); à valeurs dans IR par ln = dt t. ln( a b ) = ln(a) ln(b); ln(a r ) = r ln(a) avec r IR. La fonction ln est de classe C sur IR +, sa dérivée première est: IR+, (ln ) =, strictement croissante sur IR +. La fonction ln est une bijection de IR + Limites à connaître:. Eponentielle sur IR, elle admet donc une fonction réciproque. ln = et ln = ln = et + + ln( + h) = h h ln = Dénition La fonction eponentielle, dénie sur IR à valeurs dans IR +, est la fonction réciproque de la fonction ln, on la note e ou ep(). Ainsi on a: (, ) (IR, IR + ), = e = ln En particulier: e = et ln = ; e = e, 78 et ln e =. Propriété 6 Soient a et b deu réels, on a: e a+b = e a e b ; e a b = ea e b ; e ra = (e a ) r avec r IR. La fonction ep est de classe C sur IR, sa dérivée n ième est: n IN, IR, (e ) (n) = e, strictement croissante sur IR. Limites à connaître: e = et + e = + e = et + e h = h h e = +

3 . Logarithme et eponentielle de base a IR + Dénition 5 Soit a IR +. La fonction logarithme de base a est dénie sur IR + à valeurs dans IR par log a() = ln ln a. La fonction eponentielle de base a est dénie sur IR à valeurs dans IR + par ep a() = e ln a = a. log a et ep a sont réciproques l'une de l'autre, ainsi on a: (, ) (IR, IR + ), = ep a = log a En particulier: ep a = et log a = ; ep a = a et log a a =. Remarque: La fonction logarithme népérien est la fonction logarithme de base e. La fonction log est parfois notée log (en particulier en sciences phsiques). Soit a IR +, les fonctions log a et ep a sont de classe C respectivement sur IR + et sur IR, leurs dérivées nième pour n IN sont: IR +, (log a ) (n) = ( )n+ ln a strictement monotones respectivement sur IR + (n )! n IR, (ep a ) (n) = (ln a) n ep a et sur IR. 5 Fonctions logarithme et eponentielle de base a log avec a> ep avec a> log avec <a< ep avec <a< 5

4 Fonction puissance d'eposant α IR Dénition 6 La fonction puissance est dénie sur IR + à valeurs dans IR+ par p α() = α = e α ln. Propriété 7 Soient α, β deu réels, et, deu réels strictement positifs, on a: α α = () α ; α α = ( )α ; α β = α+β ; α = α ; ( α ) β = αβ. Si α lq, c'est à dire si α = p q (p Z, q IN ), on a: La fonction p α est >, α = p q = q p = ( p ) q = ( q ) p de classe C sur IR +, lorsque α IR\ Z sa dérivée n ième, n IN, est: (p α ()) (n) = n k= (α k)α n strictement croissante si α > et strictement décroissante si α < sur IR +. La fonction p α réalise donc une bijection de IR + sur IR+, elle admet donc une fonction réciproque: p α et sont réciproques l'une de l'autre, et on a: p α Limites à connaître: (, ) IR +, = α = α Si α >, + α = et + α = + Si α <, + α = + et + α = 8 Fonctions puissances a a< a= <a< a= a> 6 6 8

5 . Puissance entière α Z Considérons α Z + ( α Z ): p α est dénie sur IR à valeurs dans IR + si α est pair et à valeurs dans IR si α est impair. p α est dénie sur IR à valeurs dans IR + Si α est pair, alors p α et p α sont paires. si α est pair et à valeurs dans IR si α est impair. La restriction de p α à IR + dénit une bijection de IR + vers IR + (de réciproque la racine n ième ). Si α est impair, alors p α et p α sont impaires. p α réalise une bijection de IR vers IR (de réciproque la racine n ième ). p α et p α sont de classe C sur leur domaine de dénition et leurs dérivées n ième, n IN, sont: (p α ()) (n) = ( α ) (n) = { α! (α n)! α n si n α si n > α (p α ()) (n) = ( α )(n) = ( ) n α! (α n)! α+n Fonctions puissances a entier a< pair a< impair a> pair a> impair 5 5. Croissances comparées des fonctions logarithme népérien, eponentielle et puissance α >, β IR, + ln + α = α ln = + + e β = + e (ln ) β = + + β e = (ln + )β e = 5

6 5 Fonctions hperboliques Dénition 7 Les fonctions cosinus, sinus et tangente hperboliques sont dénies sur IR par: ch : IR e +e ; sh : IR e e et th : IR sh ch Propriété 8 Soient, deu réels, on a: ch + sh = ch sh = ch sh = ch( + ) = ch()ch() + sh()sh(); sh( + ) = sh()ch() + ch()sh(). Les fonctions hperboliques sont de classe C sur IR, les dérivées premières sont: IR, (ch) = (sh) = (th) = La fonction ch est les fonctions sh et th sont (restriction de l'étude à IR + ). Sur IR +, les fonctions hperboliques sont strictement croissantes, les ite en + sont: ch = + sh = + th = + 5 Fonctions hperboliques ch sh th 6

7 6 Fonctions trigonométriques (ou circulaire) 6. Fonctions directes Dénition 8 Les fonctions trigonométriques sont les fonctions cosinus, sinus et tangente: cos : IR [, ] cos ; sin : IR [, ] sin et tan : IR\{ La fonction cotangente est dénie sur IR\{k, k Z} par cotan = cos sin. Propriété 9 Soient IR et (a, b) IR, on a: cos = ei +e i cos + sin = ; et sin = ei e i i cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b; sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b; tan(a + b) = tan a+tan b tan a tan b. + k, k Z} IR tan = sin cos Les fonctions trigonométriques sont de classe C sur IR pour cos et sin, et de classe C sur chaque intervalle ] + k, + k[, k Z pour tan, les dérivées premières sont: IR, (cos ) = sin, (sin ) = cos, (tan ) = + tan = cos Les fonctions cos et sin sont périodiques, la fonction tan est périodique; la fonction cos est paire, les fonctions sin et tan sont impaires. Limite à connaître: Valeurs remarquables: sin cos tan = ; = ; =. / 6 cos sin tan Fonctions trigonometriques NA cos sin tan

8 6. Fonctions réciproques Dénition 9 La fonction cos : est bijective et sa bijection réciproque est la fonction arccos :. Ainsi on a: (, ) [, ] [, ], = arccos = cos La fonction arccos est de classe C sur ], [, sa dérivée première est: ], [, (arccos ) = Dénition La fonction sin : est bijective et sa bijection réciproque est la fonction arcsin :. Ainsi on a: (, ) [, ] [, ], = arcsin = sin La fonction arcsin est de classe C sur ], [, sa dérivée première est: ], [, (arcsin ) = La fonction sin [, ] étant impaire, la fonction arcsin est donc Fonction arcsinus.5 sin arcsin Dénition La fonction tan : est bijective et sa bijection réciproque est la fonction arctan :. Ainsi on a: (, ) IR ], [, = arctan = tan Attention, la fonction arctan n'est pas le quotient des fonctions arcsin et arccos. La fonction arctan est de classe C sur IR, sa dérivée première est: IR, (arctan ) = La fonction tan ], [ étant impaire, la fonction arctan est donc 8

9 Propriété Egalités pratiques: IR +, arctan + arctan = ; IR, arctan + arctan = ; [, ], cos(arcsin ) = ; sin(arccos ) = ; IR, cos(arctan ) = + ; sin(arctan ) = ; + [, ]\{}, tan(arccos ) = ; ], [, tan(arcsin ) =. Valeurs remarquables: arccos arctan arcsin 9