Groupe de travail L'hypothèse de Riemann d'après Deligne
|
|
- Paule Henry
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 - Groupe de travail L'hypothèse de Riemann d'après Deligne INTRODUCTION F. DÉGLISE Table des matières Rappels sur SGA Cohomologie étale géométrique 2 2. Correspondance de Frobenius 4 3. Hypothèse de Riemann 6 Réérences 7 Rappels sur SGA4 Soit X un schéma noethérien excellent. On note X ét le site étale de X. On xe un anneau Λ et on note Λ ΛX mod la catégorie des aisceaux de Λ-modules sur X ét. Pour un objet F de Λ ΛX mod, rappelons les dénitions suivantes : Si M est un Λ-module, on note M X le aisceau étale sur X associé au préaisceau V/X M. On dit que F est constant resp. ni) sur X si F est isomorphe à un aisceau de la orme M X pour un Λ-module M resp. de type ni). On dit que F est localement constant resp. ni) si il existe un recouvrement étale π : W X tel que π F ) est constant resp. ni). On dit que F est constructible si F appartient à la sous-catégorie abélienne épaisse stable par extension et acteurs directs) de Λ ΛX mod engendrée par les aisceaux localements constants nis Soit K un complexe de Λ ΛX mod. On dit que K est constructible si il est cohomologiquement borné et que ses aisceaux de cohomologie sont constructibles. On utilisera dans le groupe de travail la catégorie triangulée suivante : D b cx ét, Λ), sous-catégorie pleine de la catégorie dérivée de Λ ΛX mod ormée des complexes constructibles. On utilisera sans démonstration le ormalisme des 6 oncteurs de Grothendieck récemment complété par Gabber). En particulier l'existence des oncteurs : Pour un morphisme de type ni : X, les complexes constructibles sont stables par les oncteurs adjoints :, R ). Pour un morphisme de type ni : X, il existe une paire de oncteurs adjoints!,! ) tels que! = si est propre et! = si est une immersion ouverte. Date: Octobre
2 INTRODUCTION 2 si X est de type ni sur un corps ni ou séparablement clos) Les complexes constructibles sont stables par le produit tensoriel dérivé et le Hom interne. 1 Je passe sur les propriétés ondamentales suivantes : pureté, ormules de changement de base, ormules de projection. 1. Cohomologie étale géométrique 1.1. Soit X un F p -schéma de type ni, Λ un anneau de torsion première à p. Alors, l'algèbre de cohomologie H X ét, Λ X ) est de type ni en tant que Λ-module. 2 En eet, le théorème de constructibilité 3 arme que, si π : X Spec F p ) est le morphisme structural, le complexe suivant Rπ Λ X ) est constructible. Vu que le site étale de F p est trivial, cela signie encore que c'est un complexe parait de Λ-modules, et on conclut par la relation : H n X ét, Λ X ) = R n π Λ X ). Dénition 1.2. Avec les notations qui précèdent, on dénit la cohomologie étale l-adique rationnelle) de X comme le Q l -espace vectoriel de dimension nie : ) H n X ét, Q l ) := lim H n X ét, Z/l n.z) Q. Du ait que le système projecti ci-dessus vérie la condition de Mittag-Leer, la cohomologie étale l-adique de X est représentée par le complexe Q Z lim Rπ Z/l n ) Z) X. On peut le voir aussi comme la partie ) rationnelle du complexe l-complété au sens triangulé du complexe Rπ Z/lZ)X. On notera donc : RΓX, Z l ) = lim Rπ Z/l n ) Z) X RΓX, Q l ) = lim Rπ Z/l n Z) X ) ) Z Q Remark 1.3. Pour un schéma X quelconque, il aut utiliser la limite projective dérivée. Théorème 1.4. Soient X et des F p -schémas propres. Alors, le morphisme canonique : est un isomorphisme. p+q=n H p X ét, Q l ) Ql H q ét, Q l ) H n X Fp ) ét, Q l ) 1. Le produit tensoriel et le Hom interne des aisceaux de Λ-module se dérivent sur la catégorie dérivée non bornée DX ét, Λ). 2. Il n'est pas nécessaire que la torsion de Λ soit première à p. 3. Il est admis dans le paragraphe 0.1. Rappelons que dans le cas propre, il résulte de SGA4, XIV, 1.1 et que le cas général s'en déduit par dévissage en utilisant la résolution par altération à la De Jong.
3 INTRODUCTION 3 Démonstration. Pour le démontrer, on commence par le cas des coecients Λ = Z/l n.z. On considère le diagramme cartésien : Z p q posant h = p q. On peut aire le calcul suivant : X p Spec F p ) Rh Λ Z ) = Rq Rp q Λ X ) L Λ p Λ )) 1) = Rq Rp q Λ X ) L Λ Λ ) 2) = Rq q Rp Λ X ) L Λ Λ ) 1) = Rp Λ X ) L Λ Rq Λ ) où les identications 1) résultent de la ormule de projection et l'identication 2) de la ormule de changement de base propre. Après complétion l-adique on obtient un isomorphisme de la orme : RΓZ, Z l ) RΓX, Z l ) ˆ L ΛRΓ, Z l ) qui ait intervenir a priori un produit tensoriel complété. Or, le morphisme canonique : RΓX, Z l ) L Λ RΓ, Z l ) RΓX, Z l ) ˆ L ΛRΓ, Z l ) est un isomorphisme vu que les complexes en jeu sont paraits. Prenant ensuite la partie rationnelle, on en déduit un isomorphisme de complexes : RΓZ, Q l ) RΓX, Q l ) ˆ L ΛRΓ, Q l ) q comme attendu On ne le démontrera pas ici, mais la cohomologie étale l-adique dénit une cohomologie de Weil au sens classique et même au sens mixte). Rappelons que cela signie l'existence d'une classe de cycles vériant une condition de normalisation) et d'une dualité de Poincaré pour les schémas projectis lisses - dans le cas mixte, on demande l'existence d'une cohomologie à support compact et d'un accouplement de dualité entre cohomologie et cohomologie à support compact. D'ailleurs, ces propriétés sont conséquences du théorème précédent et des calculs élémentaires suivants pour X = A 1 Fp, G m : H i X ét, Q l ) { Q l si i = 0 ou i = 1, X = G m ), 0 sinon. On déduit des axiomes d'une cohomologie de Weil la ormule des traces de Leschetz ou plutôt une première orme de cette ormule) : Proposition 1.6. Soit X un F p -schéma projecti lisse de dimension n et φ : X X une correspondance. Alors, la ormule suivante est vraie : deg[φ].[ X ]) = 2n i=0 trφ, H i X ét, Q l )) où le membre de gauche désigne le degré du cycle de CH 0 X X) obtenu par intersection dans l'anneau de Chow de X X.
4 INTRODUCTION 4 2. Correspondance de Frobenius 2.1. Rappelons que pour une F p -algèbre A, l'endomorphisme de Frobenius : F A : A A, p est un morphisme entier, injecti si A est intègre. Le morphisme induit sur X = SpecA), noté F X, est l'identité sur les espaces sous-jacents. Ce morphisme est évidemment naturel en A, ce qui se traduit par un diagramme commutati 2.1.1) F X FX X pour tout morphisme de schémas ane. Par ailleurs, l'endomorphisme de Frobenius est compatible à la localisation dans le sens où, dans le cas où est une immersion ouverte, le diagramme ci-dessus est cartésien. Ainsi, pour un F p -schéma X quelconque, les endomorphismes de Frobenius des ouverts anes de X se recollent et induisent un morphisme F X : X X. Dénition 2.2. Avec les notations qui précèdent, on appelle F X l'endomorphisme de Frobenius de X. Notons que F X est encore entier et il satisait la propriété de onctorialité donnée par le diagramme 2.1.1). Si de plus X/F p est séparé de type ni, de diagramme joint au ait que F Fp est l'identité montre que F X est de plus ni en appliquant EGA I, v)). On peut aussi décrire F X comme le morphisme d'espace annelés 1 X, F X ) où F X est le morphisme de aisceaux d'anneaux O X U) O X U), p Soit X un F p -schéma et K un corps de caractéristique p. Le morphisme induit par F X sur l'ensemble des K-points de X F X : XK) XK) est égal au morphisme FK induit par le Frobenius de K d'après le diagramme commutati 2.1.1). Comme F K est injecti, on en déduit que F X est injecti : F X est donc radiciel. Comme on a déjà vu qu'il est entier et surjecti, on a donc obtenu : Proposition 2.4. Pour tout F p -schéma X, l'endomorphisme de Frobenius F X est un homéomorphisme universel Considérons un morphisme : X de F p -schémas. On lui associe un schéma par la ormule : p/x) := F 1 X ).
5 INTRODUCTION 5 On note ce schéma simplement p) lorsque X est clair. Considérant le diagramme commutati 2.1.1), on obtient un unique morphisme F /X s'insérant dans le diagramme commutati suivant : 2.5.1) F F /X p) X F X X X F X X. Dénition 2.6. Avex les notations qui précèdent, F /X est appelé le morphisme de Frobenius relati associé à /X. Le diagramme précédent montre que si /X est séparé de type ni, alors F /X est de type ni c. EGA I, v)). Exemple 2.7. Dans le cas de la projection : A n X X de la droite ane sur un F p -schéma, le schéma A n X )p) s'identie à A n X et le Frobenius relati An X An X )p) s'identie au morphisme qui envoie l'indéterminée t i sur t p i. Notons que ce morphisme est plat ni et même libre de rang p n. Notons pour nir la proposition suivante : Proposition 2.8. Soit X un F p -schéma et un X-schéma localement de présentation nie. i) Les conditions suivantes sont équivalentes : i) /X est étale. ii) F /X est un isomorphisme. ii) Si /X est lisse de dimension relative n, alors F /X est ni et plat, localement libre de rang p n. Notons que le point 2) résulte du point 1) compte tenu de l'exemple précédent. On renvoie à SGA5, XV, prop. 2 pour le point 1) Considérons un schéma projecti lisse X de dimension n. Alors l'endomorphisme de Frobenius F de X induit une action sur la cohomologie : F : H X ét, Q l ) H X ét, Q l ). La proposition 1.6 appliquée à la correspondance F r donne la ormule des traces suivantes 2.9.1) N r = 2n i=0 trf r ), H i X ét, Q l )) où N r est le nombre des points xes de F r agissant sur X, soit le cardinal de XF p r). 5 Au passage, on déduit de ce qui précède le résultat suivant : 4. Touteois, le ait que ii) implique i) est une conséquence immédiate de EGA4, C'est la seule implication utilisée pour prouver 2). 5. En eet, du ait que df = 0, Γ F est transverse à la diagonale X autrement dit, Γ F X X X est un schéma lisse ici une somme de corps). Il en est de même de F r.
6 INTRODUCTION 6 Lemme Sous les hypothèses qui précèdent, le morphisme est l'identité. Si X est de dimension n, est la multiplication par p n. F : H 0 X ét, Q l ) H 0 X ét, Q l ) F : H 2n X ét, Q l ) H 2n X ét, Q l ) Démonstration. On se ramène au cas où X est connexe. Soit p : X Spec F p ) le morphisme structural. Le premier point résulte de la commutativité du diagramme : H 0 F p, Q l ) p H 0 X ét, Q l ) F H 0 F p, Q l ) p F Fp H 0 X ét, Q l ) et du ait trivial que p est un isomorphisme. Considérons le deuxième point. Soit ϕ le Frobenius de F p. C'est un automorphisme. Le diagramme commutati 2.5.1) montre que F est le composé suivant : X F X/ Fp p) ϕ X X où X p) = ϕ 1 X) et ϕ est le morphisme induit par ϕ. Ainsi, la proposition précédente montre que F est plat ni localement libre de rang p n. La ormule du degré s'applique donc à F et on en déduit la relation suivante : ) F F = p n.id. Or par dualité de Poincaré, H 2n X ét, Q l )n) est un Q l -espace vectoriel de rang 1 engendré par la classe ondamentale η de X, qui est caractérisée par la propriété : π η) = 1. On en déduit : ) F η) = η. A priori, F η) = µ.η et les deux relations précédentes impliquent donc µ = p n. 3. Hypothèse de Riemann 3.1. Soit X 0 un F p -schéma de type ni. Rappelons qu'on associe à X une onction : ZX, t) = 1 1 t δx x X 0 où la somme parcourt les points ermés x de X et δ x = [κ x : F p ] désigne le degré résiduel de x. 6 Une propriété remarquable de cette onction est la ormule suivante : t. d dt log ZX, t) = r>0 N r.t r où N r est le nombre de points ermés de X à valeurs dans F q r. 7 Comme on l'a déjà vu, on déduit de cette relation et de la ormule des traces de Leschetz pour les puissance du Frobenius c 2.9.1)) l'interprétation cohomologique des onctions zêta : 6. Cette onction est liée à la ocntion Zêta de Weil par la relation ζ X s) = ZX, p s ). 7. On la déduit de la ormule suivante : N r = δ x. x X 0,δ x r
7 INTRODUCTION 7 Théorème 3.2 Grothendieck). Supposons avec les notations qui précèdent que X est projecti lisse. Soit l un premier diérent de p. Pour un entier i [0, 2n], on note ϕ i l'endomorphisme induit par le Frobenius F de X sur H i X ét, Q l ) et on dénit le polynôme en t suivant : Alors, l'égalité suivante est vraie : P i t) = det1 t.ϕ i ). 8 ZX, t) = P 1t)P 3 t) P 0 t)p 2 t) On déduit de là toutes les conjectures de Weil exceptée l'hypothèse de Riemann. C'est le premier objecti de ce groupe de travail ; autrement dit, on démontrera le théorème suivant d'après [Del74] : Théorème 3.3 [Del74, 1.6]). Avec les notations du théorème précédent, pour tout entier i, P i t) est un polynôme à coecients entiers indépendants de l et ses racines ont pour valeur absolue p i/2. Il s'agira en ait de démontrer le résultat suivant : Lemme 3.4 [Del74, 1.7]). Avec les notations du théorème précédent, pour tout i [0, 2n], les valeurs propres de F agissant sur H i X ét, Q l ) sont des entiers algébriques de valeur absolue p i/2. Réérences [Del74] Pierre Deligne. La conjecture de Weil. I. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 43) : , Autrement dit, P i t) = ±t n χ ϕi t 1 ).
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailRAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détail1 Première section: La construction générale
AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailL isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques par Laurent Fargues
Préambule.................................... xv Bibliographie... xxi I L isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques par Laurent Fargues Introduction...................................
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailIntroduction a l'algorithmique des objets partages. Robert Cori. Antoine Petit. Lifac, ENS Cachan, 94235 Cachan Cedex. Resume
Introduction a l'algorithmique des objets partages Bernadette Charron{Bost Robert Cori Lix, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France, charron@lix.polytechnique.fr cori@lix.polytechnique.fr Antoine
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1
ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ OLIVIER COLLIER Exercice 1 Le calcul de la banque. 1 Au bout de deux ans, la banque aurait pu, en prêtant la somme S 1 au taux d intérêt r pendant un an, obtenir
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détailGroupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples
Groupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples Franck LESIEUR Mathématiques et Applications, Physique Mathématique d Orléans UMR 6628 - BP 6759 45067 ORLEANS CEDEX 2 - FRANCE e-mail
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailpar Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis
LA CATÉGORIE Θ DE JOYAL EST UNE CATÉGORIE TEST par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis Résumé. Le but principal de cet article est de prouver que la catégorie cellulaire Θ de Joyal est une catégorie
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailI3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300
I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,
Plus en détailCompte rendu des TP matlab
Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailRéalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Plus en détailrf( 1 f(x)x dx = O. ) U concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse
page 8 AGREGATIN de MATHEMATIQUES: 1991 1/5 externeanalyse concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse NTATINS ET DGFINITINS Dans tout le problème, R+ désigne l intervalle
Plus en détailC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 2011) 1077 1081 Contents lists available at SciVerse ScienceDirect C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I www.sciencedirect.com Géométrie algébrique Le lemme fondamental métaplectique
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailCondition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1
General Mathematics Vol. 18, No. 4 (2010), 85108 Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 Faiza Belarbi, Amina Angelika Bouchentouf Résumé Nous étudions
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailTIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES
Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailLa Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37
La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 26. Groupes de Teichmüller profinis (Discrétification et prédiscrétification) Soit π un groupe profini à lacets de type g, ν, T le Ẑ-module
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et changements de variables
Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailThéorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles
Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailProduit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4
Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailLES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1
Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détailAOT 13. et Application au Contrôle Géométrique
AOT 13 Géométrie Différentielle et Application au Contrôle Géométrique Frédéric Jean Notes de cours Édition 2011/2012 ii Table des matières 1 Variétés différentiables 1 1.1 Variétés différentiables............................
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailMesure et Intégration (Notes de cours de L3)
Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détail