PLANIFICATION DES LIVRAISON JOINTES DE DIFFERENTS PRODUITS A DIFFERENTS SITES

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1 0ème Conférence Francophone de Modélisation, Optimisation et Simulation- MOSIM 5 au 7 novembre 0 - Nancy France «de l économie linéaire à l économie circulaire» PLANIFICATION DES LIVRAISON JOINTES DE DIFFERENTS PRODUITS A DIFFERENTS SITES Mouna RAHMOUNI, Jean-Claude HENNET Laboratoire des sciences de l information et de système (LSIS), Aix-Marseille Université (AMU) Avenue Escadrille Normandie Niemen 97 Marseille Cedex 0 Mouna.rahmouni@lsis.org, Jean-claude.hennet@lsis.org Farhat Fnaiech Laboratory of Signal, Image and Energy Mastery (LSIEM), ENSIT University of Tunis, Tunisia 5 Avenue Taha Hussein, 008 Tunis fnaiech@ieee.org RESUME: Le problème de livraisons jointes de produits (JDP) consiste à planifier les livraisons de différents produits à différents sites de consommation ou de distribution en traitant les problèmes de groupement, de livraison et de stockage. Il s agit de construire des tournées de livraison sur un horizon de planification, en satisfaisant les demandes et en minimisant le coût total de commande, de livraison et de stockage. Les coûts fixes de commande portent d une part sur le lancement d une tournée, d autre part sur chaque couple (produit, site) présent ou non dans la tournée. Les taux de demandes étant supposées fixes et connus, le problème en horizon infini admet une solution périodique, le plan de livraison optimal sur une période-type pouvant se répéter indéfiniment. Dans notre approche, le problème est formulé en temps discret et nous choisissons comme période-type commune de cyclicité un multiple de la période élémentaire, et cette période-type sert d horizon de planification. Ainsi, les livraisons restent périodiques à travers la répétition de l horizon de planification, mais les livraisons pendant l horizon de planification ne sont pas contraintes à être périodiques. Les résultats numériques montrent en particulier la supériorité de cette approche sur une solution cyclique pour chaque couple (produit, site). KEYWORDS: modèle de livraison jointe des produits (JDP), LSP (Lot Sizing Problem), programmation linéaire. INTRODUCTION Le couplage entre production et transport est une réalité industrielle dont l importance est souvent sous-estimée dans les modèles de planification et de pilotage. En gestion des chaines logistiques, il s agit de synchroniser les productions et les approvisionnements de différentes entreprises en réseau, de façon à limiter les stocks de produits en amont, en interne et en sortie de chaque entreprise. Ainsi, ce couplage joue un rôle essentiel sur les performances des chaines logistiques, à travers la chaine de valeur et les critères économiques mais aussi pour les critères de qualité et les critères énergétiques, qui interviennent directement dans les objectifs de développement durable. La principale raison de cette lacune tient à la complexité des modèles de planification de la production et du transport. Celle-ci est liée à la grande variété des produits, aux caractères aléatoires ou incertains des temps de cycle et des durées d approvisionnement, ainsi qu à la nécessité d une prévision à moyen terme des flux et des activités. En outre, le caractère combinatoire des problèmes de gestion de production, à travers en particulier l existence de différentes gammes de fabrication, se combine aux caractères eux-aussi combinatoires des problèmes de transport, liés par exemple à la multimodalité (bateau, camions, trains, ) et à l existence de nombreuses possibilités envisageables (véhicules, routes, destinations, ) Pour concilier la complexité des systèmes et le caractère multicritère des décisions à prendre, la décomposition est certes un outil privilégié, mais elle peut s appliquer plus facilement aux objets, au temps et à l espace qu aux aspects fonctionnels. Dans le cadre général des réseaux d entreprises multiproduits et multi-sites, un des problèmes mathématiques génériques est le problème de livraison jointe de produits (Joint Delivery Problem, JDP), intégrant la gestion de stocks et l optimisation des tournées. Ce problème peut être analysé du point de vue du fournisseur qui gère les stocks de ses clients, en utilisant une approche intégrée du type VMI (Vendor Managed Inventory), devenue très courante lors de la dernière décennie (Yu, Zeng, Zhao,

2 MOSIM November Nancy - France 009), ou dans un cadre multi-acteurs où les acheteurs coopèrent en groupant leurs commandes, comme dans (Triqui, Hennet, 0). Au-delà des techniques d optimisation statique, on cherche à construire des politiques d approvisionnement dynamiques, ayant par exemple un caractère cyclique, comme dans les méthodes classiques de résolution du problème de réapprovisionnement joint (JRP). Dans cette étude, l'hypothèse classique de livraisons périodiques pour chaque couple (produit, site) a été levée afin de mieux utiliser les degrés de liberté dans le programme de livraison sur un cycle commun, utilisé dans l optimisation comme horizon de planification. En supposant fixé cet horizon de planification, la formulation proposée pour le modèle de livraison jointe (JDP) prend la forme d'une extension multi-sites du problème LSP (lot sizing problem) multi-produits classique (M. Sambasivan et S. Yahya, 005), (R. Jans et Z. Degraeve, 008), (S. Deleplanque et al., 0), mais avec des coûts de set-up majeurs et mineurs. C est un problème de programmation linéaire mixte en nombres entiers (MILP) ayant des variables réelles et des variables binaires. En tant que tel, il est connu comme étant un problème NPdifficile. Les modèles de dimensionnement de lots (LSP, Lot Sizing Problems) sont souvent utilisés dans la littérature pour gérer les tailles des lots lors de la production à fin d obtenir leur séquence optimale qui minimise la somme des couts de set-up et d inventaire. Certaines recherches sont focalisées sur le développement d un modèle de LSP classique à produit unique (N. Brahimi et al., 006). L objectif de ce modèle était de déterminer les périodes de production des lots de ce produit et les quantités produites durant cette période en minimisant le cout total de set-up et d inventaire présenté dans l équation (). Pour représenter les situations réelles avec plus de détails et d une manière précise, les modèles LSP multi-produit ont besoin d intégrer les contraintes de capacités de transport (L. van Norden et S. van de Velde, 005) et de ressources (K. S. Hindi, 995), (H. H. Millar et M. Yang, 99). Pour la résolution de ce type de produit, certains algorithmes évolutionnaires sont développé tels que les algorithmes génétiques qui permettent de résoudre le problème de LSP multi niveaux avec couts variables dans le temps (N. Dellaert et al., 000) et le problème de LSP classique avec contrainte de capacité de ressources (J. XIE, et J. DONG, 00) Cependant, les modèles de LSP développés auparavant sont des modèles orientés planification de la production en lot. Il s agit de déterminer la quantité produite à quel moment dans un horizon de temps de planification. Il ne s agit pas en fait de regrouper les différents produits en satisfaisant toutes les demandes dans un cycle commun de production ou de livraison comme dans notre modèle. Le modèle à cycle commun proposé permet d organiser les tournés de livraison pour les dates T, T,... pt de façon à minimiser la fonction de coût total sur l'horizon de temps, pt, tout en satisfaisant la demande et les contraintes de capacité de transport et de stockage. Pour chaque produit et sur chaque site, les niveau des stocks à la fin de l horizon sont imposés égaux aux niveaux initiaux, afin de construire une politique d approvisionnement qui peut être répétée périodiquement avec une périodicité pt. Ce papier est organisé comme suit : dans le deuxième paragraphe, nous développons et expliquons le modèle de gestion des livraisons jointes proposé (JDP) ainsi que son extension prenant en compte le choix des tournées (JDPR). Ces modèles sont validés par les résultats numériques de la troisième section. Enfin, nous concluons en donnant quelques perspectives d avenir sur le problème posé et les modèles étudiés. LES MODELES DE JDP Considérons un réseau de livraison de n produits à m sites de vente à partir d un entrepôt unique. Les demandes pour les différents produits sont supposées indépendantes et sans substitution. Le problème JDP est donc multi-produit multi-site avec groupement indirecte des livraisons, sous contraintes de transport et de stockage dans les différents sites de vente.. La formulation de base du modèle JDP Chaque site j est supposé avoir un taux de demande constant, noté D ij, pour le produit i. Chaque tournée a un coût fixe, noté S. Chaque commande (i,j) a un coût fixe additionnel de commande, noté s ij, indépendant de la quantité commandée et un coût variable cq, proportionnel à la quantité livrée, q ij. Le modèle de base ne considère pas explicitement les tournées. Le problème de choix des tournées sera intégré dans le modèle JDPR (Joint Delivery Problem with Routing). Les notations du modèle de base sont les suivantes, tous les coûts étant supposés positifs : n: nombre de produits m: nombre de sites p: nombre de tours dans temps élémentaire de cycle de réapprovisionnement T: période élémentaire du plan d approvisionnement D ij : taux de demande de produit i au site j. h ij : cout unitaire de stockage du produit i au site j par unité de temps x : variable binaire égale à si la demande de produit i de site j est livré au tour k u k : variable binaire égale à si le tour k est actif q : quantité de produit i livré au site j au tour k S : cout fixe de livraison s ij : cout fixe additionnel de livraison par produit i et par site j c ij : coût de livraison du produit i au site j par unité de produit et par unité de temps

3 MOSIM November Nancy - France z : quantité de produit i stocké au site j au tour k avant livraison du tour k Z ij : capacité de stockage du produit i dans le site j (mesuré en nombre de produits) v i : volume de produit i V k : capacité de livraison au tour k. En notant HC le coût total de stockage pendant l horizon de planification pt, la fonction de coût total sous l horizon pt s écrit : p n m TC= u S ( x s c q ) HC k ij ij k i j k p. () sous les contraintes p i, j, q D pt () ij k i, j, k, q x D ij pt () i, j, k, z - z - q -D T () ij i, j, k, z Z ij (5) n m k, viq Vuk (6) i j i, j, k, x 0,, u 0,, q 0, z 0 (7) k La fonction objectif () minimise la somme des couts de commande, de livraison et de stockage durant l horizon de temps de planification pt. Le terme de coût total de stockage, HC, sera calculé de façon détaillée à la section.. L équation () d évolution des stocks, couplée avec les contraintes de non-négativité, (7), garantissent la satisfaction de la demande à chaque période pour chaque couple (i,j). En imposant de plus la contrainte (), on impose la périodicité du plan de livraison, qui pourra être reproduit à l identique sur l horizon [(p+)t pt] et sur les cycles suivants, tant que les paramètres du problème gardent la même valeur. Les contraintes logiques () relient les quantités de livraison q aux variables binaires de décision x, comme dans la plupart des modèles de dimensionnement de lots (LSP). Les contraintes (5) représentent les contraintes de capacité de stockage en supposant que chaque produit i a un lieu de stockage spécifique dans chaque site j. Sous d autres hypothèses, comme des entrepôts de stockage communs à plusieurs produits, les contraintes de stockage seraient bien sur différentes mais resteraient linéaires. Les contraintes (6) représentant les contraintes de capacité de livraison à chaque tour k si le tour est actif ( uk ). On peut noter que les variables binaires x et u k doivent aussi satisfaire les contraintes suivantes : i, j, k, x u k (8) Mais les contraintes (8) peuvent être relâchées dans la mesure où elles sont impliquées par la conjonction des contraintes () et (6). En effet, uk 0 implique par (6) q 0 i, j. D après (), x 0 i, j est admissible et donc optimal d après l expression du critère, dans lequel tous les coûts sont supposés positifs on nuls.. Détermination du cout total de stockage Pour déterminer la fonction de cout total de stockage, HC, considérons le niveau de stock optimal à la période courante k, juste après la date de livraison. Il vaut : z q avec : DijT z q pdij T. En effet, d après une propriété classique en gestion de stocks, toute livraison ne peut intervenir que lorsque le niveau de stock est minimal (0 en l absence de stock de sécurité). Elle doit couvrir la demande sur un nombre entier de périodes. Si la livraison est effectué au tour k, le terme kd ij est égal à q et la quantité en stock prend la valeur 0, sinon zi jk kd ij et q 0. Le niveau de stock en fin de période k vaut z z q DijT (9) Le niveau de stock moyen pendant la période k peut donc s écrire : z q z DijT z q. (0) On peut donc écrire : n m p pdijt HC hij z q. () i j k Or d après l équation (), la quantité totale livrée sur l horizon est fixe, ce qui implique : n m p n m pt HC h z h D () ij ij ij i j k i j La fonction de coût total sous l horizon pt s écrit donc: p n m p n m n m p n m pt TC= u S x s pt c D h z h D k ij ij ij ij ij ij k i j k i j i j k i j Comme le terme n m hij pt( cij ) D i j ij () est constant, on peut minimiser de façon équivalente le coût total réduit suivant : p n m p n m p () OC= u S x s h z k ij ij k i j k i j k Le problème JDP peut donc être résolu par programmation linéaire mixte en minimisant par rapport aux variables u k, x, z, q la fonction de coût () sous les contraintes ()-(7).. Formulation étendue Dans la formulation précédente du problème JDP, le caractère multi-site n apparait pas clairement, ou plutôt tous les couples (i,j) sont indépendants entre eux et donc assimilables à des produits différents. Pour indiquer que

4 MOSIM November Nancy - France des produits (i,j) et (i,j) sont livrés au même site j et utiliser cette propriété dans le problème d optimisation, il est nécessaire d expliciter les routages et d intégrer leur coût dans la fonction à optimiser. De nombreux auteurs se sont intéressés à ce problème dans le cadre du problème IRP (Inventory Routing Problem) introduit par Bell et al. (98). Ce problème vise à coupler les décisions de livraison et de routage. Son extrême complexité vient du fait que les décisions de routages sont généralement optimisées pour chaque tournée (Coelho et coauteurs, 0). L approche que nous proposons repose sur les hypothèses que les coûts des trajets ne varient pas dans le temps et que le nombre de site n est pas très grand (0 au maximum). Il est alors possible de résoudre a priori tous les problèmes de voyageur de commerce (TSP) associé à tous les sous-ensembles de sites. Dans les cas les plus simples, le problème TSP peut être résolu par énumération. Mais il existe aussi des méthodes exactes très performantes de résolution du TSP déterministe, comme la méthode «Concorde», proposée par (Appelgate et co-auteurs, 00). Soit donc S(l) un sous-ensemble quelconque de sites. Le m nombre total de sous-ensembles est M. On suppose que le coût minimal de transport C l a été calculé pour chaque sous-ensemble S(l) par résolution du TSP associé. On introduit alors les variables logiques y définies par : lk ylk si le sous-ensemble de sites l est choisi pour le tour k ylk 0 sinon. Pour relier les variables binaires de sous-ensembles aux variables logiques de sites, on peut noter que tous les sites du sous-ensemble peuvent être livrés, et qu un site non livré ne peut pas appartenir au sous-ensemble retenu. Pour représenter ces relations, nous introduisons aussi des variables logiques associées aux sites, w jk, définies par: wjk si le site j est visité au tour k wjk 0 sinon. Les relations couplant les variables logiques peuvent alors s écrire ainsi: i, j, k, x w jk (5) et j S( l), ylk wjk k, l,, M, j S( l), wjk y. (6) lk Le problème de livraisons jointes avec choix des tournées, noté JDPR (Joint Delivery Problem with Routing) se formule ainsi : minimiser u k, x, z, y jk p n m p n m p p M O CR= u S x s h z C y k ij ij l lk k i j k i j k k l sous les contraintes ()-(7), (5), (6), avec l k y j, k, w 0,,,, 0,. (7) jk LES RESULTATS NUMERIQUES lk Dans ce paragraphe, nous allons représenter les résultats numériques obtenus en utilisant le logiciel de programmation linéaire glpk (A. Makhorin, 0) pour l évaluation et la validation de notre modèle proposé.. Comparaison avec le modèle mono-site Pour comparer notre modèle de JDP avec un modèle de JRP classique (I.K. Moon, 006), il est nécessaire de développer un MILP (M. Rahmouni, 0) représentant les livraisons dans un cycle commun de réapprovisionnement. Pour cet exemple, on prend le nombre de tour p égal au plus petit commun multiple des périodes de livraison élémentaires k ij k ij p ppcmk ij avec T 0,88 D i h i s i S V v i , , , , , ,5 6 Table : les données de l exemple 6produits-site Cout par produit Notre Modèle modèle de Moon and Cha 095 8, ,5 9, 86,,8 0, ,8 69, 6 65,6 99,88 Notre modèle Cout total Modèle de Moon and Cha 07,8 0,5 Table : comparaison entre notre modèle et le modèle JRP classique de Moon and Cha

5 MOSIM November Nancy - France Site Site Site En outre, en modifiant la valeur de la capacité maximale de livraison dans notre modèle, nous avons remarqué un changement de la stratégie de la livraison pour le produit. En effet, avec une capacité maximale de livraison V=50000, on livre toute la quantité de produit au troisième tour (OC=7.8) et pour V=90000 toute la quantité de produit est livré au deuxième tour comme tous les autres produits. Ainsi, la stratégie optimale obtenue par glpk est de livrer toute la quantité au tour k= pour tous les produits. Cette stratégie donne un cout total optimisé OC=07,8.. Résolution du modèle multi-sites Dans le cas multi-sites, nous allons déterminer la route optimale en exécutant le PL représentant les équations (5) jusqu à (5). Pour l exemple de modèle multi-sites multi-produits représenté dans le tableau ci-dessous, le cycle élémentaire de réapprovisionnement a comme valeur T=0,097. D ij h ij s ij S c ij V v i Table : les données de l exemple produits-sites L exécution de cet exemple nous a donné les résultats suivants : Tour Route optimale Quantité livré , , , 5 0--, Cout total=7790, Table 5: la route optimale obtenue CONCLUSION Ce document a analysé un problème de JDP multiproduit et multi-site déterministe avec contrainte de stockage et de transport. Du point de vue du coût total de livraison, les sites ont intérêt à grouper leurs commandes pour partager le coût fixe de tournée et les frais de transport. Du point de vue des acteurs économiques, le problème de minimisation du coût total moyen se pose soit au distributeur qui a fixé ses prix de livraison et cherche à minimiser ses coûts, soit à l ensemble des sites de ventes, qui ont décidé de collaborer et cherchent à minimiser le coût réel moyen de livraison. Dans l'hypothèse de taux de demande constants, la périodicité de la solution a été traduite en une approche de cycle commun. Les livraisons ont ensuite été prévues sur un horizon de temps égal au cycle commun sélectionné. La périodicité est alors obtenue par la répétition du cycle commun, mais il n'y a aucune nécessité de la politique cyclique dans l'horizon de planification. Ainsi, le problème qui a été définie est une version de la solution détendue entièrement cyclique (avec des temps de cycle k ij T) qui peuvent être trouvés dans la littérature. Par conséquent, l'expérience numérique a confirmé qu'un meilleur rendement est obtenu avec l'approche de la planification du cycle commun que l'approche totalement cyclique classique. REFERENCES A. Makhorin (0), GLPK Package, GNU Project, [Online]. Available: /. D. Applegate, W. Cook, S. Dash, A. Rohe, 00, Solution of a min-max vehicle routing problem, INFORMS Journal on Computing, (), p. H. H. Millar et M. Yang, 99, an application of lagrangean decomposition to the capacitated multi-item lot sizing problem, Computers Operations Research. 0(), p I.K. Moon, B.C. Cha, 006, the joint replenishment problem with resource restriction. European Journal of Operational Research, 7, p J. XIE, et J. DONG, 00, Heuristic Genetic Algorithms for General Capacitated Lot-Sizing Problems, Com-

6 MOSIM November Nancy - France puters and Mathematics with Applications,, p K. S. Hindi, 995, computationally efficient solution of the multi-item, capacitated lot-sizing problem, Computers industrial Engineering, 8(), p L. van Norden et S. van de Velde, 005, Multi-product lot-sizing with a transportation capacity reservation contract, European Journal of Operational Research, 65, p. 7 8 M. Rahmouni, J.-C. Hennet and F. Fnaiech, 0, Mixed Integer Linear Programming for Delivery Planning in Joint Replenishment Problems, IEEE, codit M. Sambasivan et S. Yahya, 005, A Lagrangean-based heuristic for multi-plant, multi-item,multi-period capacitated lot-sizing problems withe inter-plant transfers, Computers & Operations Research,, p N. Brahimi, S. Dauzere-Peres, N. M. Najid, A. Nordli, 006, Single item lot sizing problems, European Journal of Operational Research, 68, p. 6 N. Dellaert, J. Jeunet et N. Jonard, 000, A genetic algorithm to solve the general multi-level lot-sizing problem with time-varying costs, International Journal of Production Economics, 68, p. -57 R. Jans et Z. Degraeve, 008, Modeling Industrial Lot Sizing Problems: A Review, International Journal of Production Research, 6(6), p S. Deleplanque, C. Duhamel, S. Kedad-Sidhoum, H. Liberalino et A. Quilliot, 0, Décomposition d un Problème de Lot-Sizing Multi-site en Problèmes de Localisation et de Multi-flots, ROADEF, France