Aide mémoire Géométrie 3 è m e

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1 Sinus d'un angle aigu: ide mémoire Géométrie è m e Sinus: est un triangle rectangle en. le sinus de l'angle, noté sin, est le rapport sin = longueur du côté opposé de l'angle longueur de 'hypoténuse côté opposé à sin = côté opposé à sin 5,1 = 4 5 = 0,8 5,1 6,9 sin = hypoténuse sin 6,9 = 5 = 0,6 Remarque: Le sinus et le cosinus de n'importe quel angle aigu sont compris entre 0 et 1 Tangente d'un angle aigu: Tangente: est un triangle rectangle en. le sinus de l'angle, noté sin, est le rapport tan longueur du côté opposé = longueur du côté adjacent tan = = tan 5,1 = 4 1, et tan = = tan 6,9 = 4 = 0,75 Démonstrations et exemples: cos² x + sin² x = (cos x)² + (sin x)² = + = ² ² + ² ² D'après la propriété de Pythagore: ² + ² = ² on a donc ² + ² ² Soit l'angle : = ² ² = ² + ² ² = 1 Donc cos² x + sin² x = 1 = (cos 5,1 )² + (sin 5,1 )² = = ² 5² + 4² 5² ² + 4² or ² + 4² = = 25 = 5² 5² = ² + 4² 5² = 5² 5² = 1 On peut aussi écrire que: (cos 5,1 )² + (sin 5,1 )² = (0,6)² + (0,8)² = 0,6 + 0,64 = 1 tan x = sin x cos x sin x cos x = = = = tan x 4 5 sin 5,1 cos 5,1 = = = 4 = tan 5,1 5 sin 5,1 On peut écrire que: cos 5,1 = 0,8 0,6 = 4 1, = tan 5,1 Distance de deux points dans un repère orthonormé: Remarque: La tangente d'un angle aigu est un nombre positif. Un repère est orthonormé lorsque l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées sont perpendiculaires et gradués avec la même unité de longueur. Formules de trigonométrie: cos² x + sin² x = 1 tan x = sin x cos x Dans un repère orthonormé, les points et ont pour coordonnées (x ; y ) et (x ; y ). lors: ²= (x - x )² + (y - y )² et donc = (x - x )² + (y - y )²

2 Vecteurs: y 4 2 ( - ; 1 ) et ( 4 ; ) ² = (4 (- ))² + ( 1)² ² = 7² + 2² = = 5 Direction et sens: Lorsque deux droites sont parallèles //, on dit qu'elles ont même direction. Une direction étant donné par une droite (), il y a deux sens possibles: de vers ou de vers. 1 = 5 7, x Propriété de Thalès: (d) et (d') sont deux droites sécantes en et M sont deux points de (d), distincts de et N sont deux points de (d'), distincts de Si les droites () et (MN) sont parallèles //, alors M = N = MN (d) (d') (d) (d') (d) (d') M N M N M N Réciproque de la propriété de Thalès: (d) et (d') sont deux droites sécantes en et M sont deux points de (d), distincts de et N sont deux points de (d'), distincts de M Si = N droites () et (MN) sont parallèles //. et les points,, M et les points,, N sont dans le même ordre, alors les Translation et égalité vectorielle: Soit la translation qui transforme les points,, E,...en, D, F,... cette translation est associée le vecteur u : - de direction: celle indiquée par la droite () - de sens: celui de vers - de longueur: la longueur e vecteur peut aussi être noté, D, EF,... La translation est appelée translation de vecteur Dire que = D signifie que la translation qui transforme en transforme aussi en D. u u u D u = = D Des vecteurs sont égaux signifient qu'ils ont: - même direction - même sens - même longueur (d') (d) M N, M, et, N sont alignés dans le même ordre M = 2 N = 4,5 = 2 alors () // (MN) Milieu d'un segment: Si I est le milieu du segment [], alors I = I. Si I = I, alors I est le milieu du segment [] I

3 Vecteurs et parallélogrammes: Si [D] et [] ont le même milieu, alors = D et = D Si = D, alors [D] et [] ont le même milieu et = D. D Vecteurs particuliers: Vecteur nul: 0 0 = = =... 0 D'après la relation de hasles: + 0 = + = Vecteurs opposés: est le vecteur opposé à = D'après la relation de hasles: + = = 0 Somme de deux vecteurs: D Règle du parallélogramme: M est un parallélogramme alors, + = M ' Par la translation de vecteur, la figure se transforme en ' par la translation de vecteur, la figure ' se transforme en '' alors, la translation de vecteur transforme en '' M M parallélogramme + donc: = M donc: + = + M = M (d'après la relation de hasles). '' oordonnées d'un vecteur: et sont les points de coordonnées (x ; y ) et (x ; y ). alors, le vecteur a pour coordonnées (x - x ; y - y ) Relation de hasles:, et sont trois points quelconques. On dit que la somme des vecteurs et est le vecteur + = y ( - ; 1 ) (4 ; ) +2 (x - x ; y - y ) (4 ( ) ; 1) ( 7 ; 2 ) x

4 Remarques: Section d'une sphère par un plan: La section d'une sphère par un plan est un cercle. ( + ; + ) ( + ; 0 ) ( + ; - ) (0 ; - ) ( - ; - ) ( - ; 0 ) (- ; + ) ( 0 ; + ) omposition de deux symétries centrales: Soit une sphère de centre O et de rayon R Soit P un plan perpendiculaire en I à un diamètre [NS] Soit OI le distance du centre O au plan P. La figure a pour symétrique ' par rapport à. La figure ' a pour symétrique '' par rapport à. (c'est-à-dire lors la translation de vecteur 2 en '' + ) transforme directement ' M 0 < OI < R OI = 0 OI = R MM'' = + = 2 M'' '' Le cercle de section a pour Le cercle de section a même Le cercle de section a pour centre I centre O et même rayon R que centre S (ou N) et pour Pour tout point M de ce cercle, la sphère: on dit que c'est un rayon O. On dit que le plan le triangle OIM est rectangle en I grand cercle de la sphère. P est tangent à la sphère en S ( ou N ) Remarque: Si OI > R, le plan P ne coupe pas la sphère. Sphère: La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M tels que OM = R. La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M tels que OM Sections d'un pavé droit par un plan: La section d'un pavé droit par un plan P parallèle // à une face est un rectangle. La section d'un pavé droit par un plan P parallèle // à une arête est un rectangle [NS] est un diamètre de la sphère et NS = 2R P est // à la face DEH P est // à l'arête [E]

5 Sections d'un cylindre de révolution par un plan: Rotation: La section d'un cylindre de rayon R par un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle de rayon R et dont le centre à cet axe. La section d'un cylindre par un plan parallèle // à l'axe est un rectangle. En tournant autour de O d'un angle D O de mesureα, la figure (F) vient se α O superposer à (F') (F) M α D' ' Sections d'une pyramide par un plan: La section d'une pyramide par un plan parallèle // à la base est un polygone de même forme que la base: ses côtés sont parallèles // à ceux de la base. ' Image d'un point par une rotation: M' ' (F') Par la rotation de centre O et d'angle α, dans le sens de la flèche: - l'image d'un point M (distinct de O) est le point M' tel que OM = OM' et MOM' = α (en tournant dans le sens de la flèche). - l'image de O est le point O D est un carré. lors, IJKL est un carré et (IJ) // (), (JK) // (), etc... Sections d'un cône de révolution par un plan: La section d'un cône de révolution par un plan parallèle // à la base est un cercle dont le centre à la hauteur du cône. Une rotation conserve les longueurs, l'alignement, les angles et les aires. (voir 1 ère figure):,,, D, M ont pour image ', ', ', D' et M' = '', M, alignés donc ', M', ' alignés Image de figures par une rotation: = ''' Les quadrilatères D et '''D' ont même aire.

6 Par une rotation: - une droite (d) a pour image une droite (d') - un segment a pour image un segment de même longueur - une demi-droite a pour image une demi-droite - un cercle de centre I a pour image le cercle de même rayon dont le centre I' est l'image de I Il existe un cercle passant par tous les sommets d'un polygone régulier. On l'appelle le cercle circonscrit au polygone régulier. le centre O de ce cercle est appelé le centre du polygone régulier. et sont deux sommets consécutifs d'un polygone régulier de centre O. La rotation de centre O et d'angle O dans un sens quelconque transforme le polygone régulier en lui-même. ngles inscrits dans un cercle: ( ) est un cercle de centre O: - On dit qu'un angle M est inscrit dans ( ) lorsque son sommet M à ( )et lorsque [M] et [M] sont des cordes de ( ). O = O = O = 120 O = O =... = 90 O = O =... = 60 - O est l'angle au centre associé à l'angle inscrit M; On dit qu'ils interceptent le même arc de cercle. La mesure d'un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre associé. M = N = 1 2 O Polygones réguliers: Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles ont la même mesure

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