Études de signes, équations et inéquations, cours de seconde

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1 Études de signes, équations et inéquations, cours de seconde F.Gaudon 6 janvier 2008 Table des matières 1 Résolution d équations produits ou quotients Résolution d équations produits Résolution d équations quotients Étude du signe des fonctions affines 3 3 Études de signes de produits et de quotients Exemple d étude de signe d un produit Exemple d étude de signe d un quotient Application à la résolution d inéquations Vocabulaire Compléments de vocabulaire sur les intervalles Exemple de résolution d inéquations Synthèse sur les équations et inéquations 6 6 Résolutions graphiques 6 1

2 1 Résolution d équations produits ou quotients 1.1 Résolution d équations produits Un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Résolution de l équation (3x + 2)(4x 3) = 0 dans l ensemble des réels. D après la propriété énoncée, 3x + 2 = 0 ou 4x 3 = 0 c est à dire 3x = 2 ou 4x = 3 ou encore x = 2 ou x = 3. L équation (3x + 2)(4x 3) = 0 a donc pour 3 4 solutions 2 et Résolution d équations quotients Définition : on appelle valeur interdite d une fonction f donnée, tout réel x n appartenant pas à l ensemble de définition de la fonction f. Soit f la fonction définie par f(x) = 2x+3. Alors 5 est une valeur interdite car x 5 pour x = 5, le dénominateur serait nul, ce qui rend incalculable l image de 5 par f. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul. Exemples d application : 1. On considère l équation (3x + 2)(4x + 1) 5x + 3 = 0. 5x + 3 = 0 si et seulement si 5x = 3 c est à dire x = 3. 5 est donc la 5 3 seule valeur interdite. On résout l équation sur R 5. 3 On a (3x+2)(4x+1) = 0 si et seulement si (3x + 2)(4x + 1) = 0 c est à dire 5x+3 3x + 2 = 0 ou 4x + 1 = 0 donc x = 2 1 ou x =. Les solutions de 3 4 l équation sont donc 2 1 et

3 2. On considère l équation x 2 2 3x 1 = 0. On détermine les valeurs interdites : 3x 1 = 0 donne x = 1. 3 On écrit le numérateur sous forme d un produit en factorisant : x 2 2 3x 1 = (x 2)(x + 2) 3x 1 On résout l équation produit obtenue : (x 2)(x + 2) = 0 x = 2 ou x = 2 On détermine les solutions en supprimant les valeurs interdites qui ne peuvent être solutions : S = { 2; 2} 2 Étude du signe des fonctions affines Méthode : Soient a et b deux nombres réels avec a 0. Étudier le signe du nombre ax + b signifie déterminer les valeurs de x pour lesquelles ax + b 0 et celles pour lesquelles ax + b 0. ax + b est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à b, du signe a opposé pour les valeurs inférieures. Synthèse : On résume l étude dans un tableau de signe : Si a > 0 Si a < 0 x b + a signe de ax + b x b + a signe de ax + b 3

4 3 Études de signes de produits et de quotients 3.1 Exemple d étude de signe d un produit On considère le produit (x 3)(1 x). On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de x 3 et de 1 x, puis on utilise la règle des signes. x x x (x 3)(1 x) Exemple d étude de signe d un quotient. On considère le quotient 3 2x x + 1 On détermine les valeurs interdites : ici, on doit avoir x c est à dire x 1. On procède de même que pour l étude de signe d un produit. 2 x x x x x Application à la résolution d inéquations 4.1 Vocabulaire Définition : 4

5 On appelle inéquation produit, toute inéquation de la forme f(x)g(x) 0 ou f(x)g(x) 0 où f et g sont deux fonctions. On appelle inéquation quotient, toute inéquation de la forme f(x) 0 ou g(x) f(x)g(x) 0 où f et g sont deux fonctions. 4.2 Compléments de vocabulaire sur les intervalles Définition : Soient I et J deux intervalles. L intersection de I et J notée I J est l ensemble des nombres appartenant à la fois à I et à J. La réunion de I et J notée I J est l ensemble des nombres appartenant à I ou (inclusif) à J. Lorsque les intervalles I et J n ont aucun point commun, leur intersection est l ensemble vide noté. On dit aussi que les intervalles sont disjoints. 4.3 Exemple de résolution d inéquations. On considère l inéquation 3x + 1 x 2 5 On détermine les valeurs interdites : x 2 = 0 donne x = 2. On écrit l inéquation sous la forme d une inéquation quotient : 3x + 1 x x + 1 5(x 2) 0 x 2 3x + 1 5x x 2 2x x 2 On étudie le signe du quotient obtenu : 5

6 x -5, x x x+11 x On détermine à partir du tableau les valeurs de x solutions de l inéquation : S = [ ; 5, 5] ]2; + [ 5 Synthèse sur les équations et inéquations On sait résoudre : les équations et inéquations du premier degré ; les équations ou inéquations produits ; les équations ou inéquations quotients. On se ramène donc à l une ou l autre de ces équations ou inéquations grâce à des transformations algébriques. (x + 2) 2 = 9 (x + 2) 2 9 = 0 (x + 2) = 0 (x + 2 3)(x ) = 0 d après l identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b) (x 1)(x + 5) = 0 C est une équation produit. Donc x 1 = 0 ou x + 5 = 0 c est à dire x = 1 ou x = 5. L équation a donc deux solutions 1 et Résolutions graphiques 6

7 Soit k un nombre réel, f une fonction et C f sa représentation graphique dans un repère. Les solutions de l équation f(x) = k sont les abscisses des points d intersection de la courbe avec la droite parallèle à l axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k) (droite d équation y = k). Les solutions de l inéquation f(x) k (respectivement f(x) k) sont les abscisses des points de la courbe situés en dessous (respectivement au dessus) de la droite parallèle à l axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k) (droite d équation y = k). Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction f définie par f(x) = x 2. L équation f(x) = 4 a pour solutions 2 et -2. L inéquation f(x) 4 a pour ensemble solution [ 2; 2]. L inéquation f(x) 4 a pour ensemble solution ] ; 2] [2; + [. 7

8 Soient f et g deux fonctions et C f et C g leur représentation graphique dans un repère. Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection des deux courbes C f et C g. Les solutions de l inéquation f(x) g(x) sont les abscisses des points de la courbe C f situés en dessous des points de C g de même abscisse. Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies par f(x) = x 2 et g(x) = 1 2 x Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont -2 et 2. L ensemble des solutions de l inéquation f(x) < g(x) est l ensemble ] 2; 2[. 8