I- Cercle trigonométrique, Radian

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1 er S TRIGONOMETRIE Objectifs : Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale. Déterminer les cosinus et les sinus d angles associés. Résoudre dans les équations d inconnue x : cos x = cos a et sin x = sin a. I- Cercle trigonométrique, Radian Rappel de nd ) Cercle trigonométrique Soit (O ; I, J) un repère orthonormal du plan. Le cercle de centre O, de rayon OI =, d origine I et de sens de parcours positif (ou sens direct), est appelé cercle trigonométrique. Par convention le sens direct correspond au sens inverse des aiguilles d une montre. L autre sens est alors appelé le sens indirect. ) Le Radian Le radian est une unité de mesure des angles proportionnelle au degré, de sorte qu un angle plat (8 ) mesure radians. On la note rad. Un tour complet (6 ) correspond à un angle mesurant rad. Lorsqu un cercle a pour rayon R, la longueur de ce cercle est R Comme il y a proportionnalité entre longueur de l arc et mesure de l angle au centre qui l intercepte, on a : un angle au centre de radian intercepte un arc de longueur R (Fig.) un angle au centre de θ radians (avec θ [ ; ]) intercepte un arc de longueur R θ ( Fig) Fig. Fig. Lorsque le cercle a pour rayon, la longueur de ce cercle est un angle au centre de radian intercepte un arc de longueur. (Fig.) un angle au centre de θ radians (avec θ [ ; ]) intercepte un arc de longueur θ. (Fig.4) Avec un cercle de rayon, c est le même nombre θ qui donne à la fois longueur de l arc et mesure en radians de l angle au centre qui l intercepte. Fig. Fig.4

2 Exercice : Compléter le tableau de conversion suivant : Angle en radians Angle en degrés ) Cosinus et sinus d un nombre réel Soit (d) la droite tangente au cercle en I. On note K le point de coordonnées ( ; ). On munit (d) du repère (I ; K). Cette droite représente la droite des nombres réels. Le cercle trigonométrique a pour rayon donc son périmètre est égal à., dans l unité de longueur choisie, est la longueur du demi- cercle C. Enroulons (d) sur le cercle. Les points de (d) viennent en coïncidence avec les points du cercle. Exemple : A est le point de (d) vérifiant IA =, La longueur de IJ est, IB = A J O B K - I Remarque : IOJ =9 = rad, IOA =8 = rad, - et sin = ; cos = et sin =. - - A n'importe quel nombre réel x, on peut faire correspondre un point sur le cercle trigonométrique tel que IOM = x rad. Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que IOM = x rad. Le cosinus de x, noté cos x, est l abscisse de M. Le sinus de x, noté sin x, est l ordonnée de M. La tangente de x, noté tan x, est donné par l'abscisse de T sur l'axe ( I T ) et on a tan x tan x = sin x pour tout x + cos x k, k Exemples : cos = et sin = ; cos = - Propriétés : Pour tout x réel, - cos x ; - sin x ; cos² x + sin² x = ; cos(- x) = cos x ; sin(- x) = - sin x ; cos( x + ) = cos x ; sin ( x + ) = sin x

3 Valeurs remarquables x en radian x en degré cos x sin x Exercice : a) Construire un cercle trigonométrique et placer sur ce cercle les points correspondant aux nombres 4 ; 5 6 ; ; 7 ; 5 b) Déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus des nombres précédents. # Exercice : On considère x $ % ; & ' ( et sin x =. Déterminer la valeur exacte de cos x. 4 II- Mesure d un angle orienté de vecteurs non nuls du plan ) Mesures d un angle de vecteurs non nuls du plan orienté Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté. On choisit un point O quelconque du plan. Il existe deux points uniques A et B tels que OA' = u et OB' = v. Il existe deux points uniques A et B intersection du cercle trigonométrique de centre O avec les demi- droites [OA ) et [OB ). On note α la longueur appartenant à [ ; [ de l arc du cercle trigo. parcouru de A vers B dans le sens positif. On appelle mesures de l angle orienté de vecteurs LES MESURES D UN ANGLE ORIENTE DE VECTEURS SONT EN RADIANS. désigne l ensemble des nombres entiers négatifs, positifs ou nul. Par commodité, on confond l angle et ses mesures et on écrit ou encore ou encore Parfois, on écrit simplement Remarque : AOB = u, v ( ), tous les nombres = + k # $ avec k % ( ) = + k # avec k $ ( ) = + k, k # ( ) [# ] ce qui se lit ( ) congru à α modulo ( ) = signifiant qu une mesure de ( ) est α

4 ) Mesure principale Parmi toutes les mesures de l angle orienté de vecteurs ] ; ] est appelée mesure principale. u, v ( ) la seule qui appartient à l intervalle Exemple : pour tout vecteur u non nul on a : ( u, u ) = + k,k u, Ainsi, ; ; 4 ; ; ( u) = ( u, u) = + k,k # 4 sont des mesures de ( u, u Ainsi, ; ; 5 ; ; ; ), sa mesure principale 5 sont des mesures de ( u, u ), est. sa mesure principale est. Exercice 4 : Déterminer la mesure principale des angles orientés a) 7 6 b) ) Cosinus et sinus d angle orienté c) 89 u, v ( ) dont une mesure est : u, v ( ), alors il existe un entier relatif k tel que Si a et b sont deux mesures en radians d un angle orienté a = b + k, ainsi cos a = cos b et sin a = sin b. Définition : Le cosinus (ou le sinus) d un angle orienté de vecteur est le cosinus (ou le sinus) de l une quelconque des mesures en radian de cet angle. On note cos ( ) et sin ( ). Exercice 5 : Construire un carré ABCD direct, et un triangle équilatéral ABE direct (à l intérieur du carré). Déterminer une mesure de AD, CB ( ) et de ( CE ) ; puis cos ( AD ) ; sin( AD ). III- Propriétés des angles orientés ) Angle orienté et colinéarité Propriété : Soient u et v sont des vecteurs non nuls. u et v sont colinéaires de même sens si et seulement si u et v sont colinéaires de sens contraires si et seulement si ) Relation de Chasles ( ) =. ( ) =. Théorème (admis) : Pour tous vecteurs non nuls u, v et w, on a : u, v Conséquences de la relation de Chasles u et v désignent deux vecteurs non nuls du plan orienté. ( ) + ( v, w ) = ( u, w ) [] v, u ( ) = u, v ( ) [] ( u, v ) = ( u, v )

5 [] u, v ( ) = u, v ( ) + [4] ( u, v ) = ( u, v ) + Exercice 6 : Sachant que AB, AC AC, BA ( ),CA, AB,CA ( ) =. Donner une mesure de ( AB ), ( AC ), ( BA ) et ) Cosinus et sinus d angles associés Sur le cercle trigonométrique on place un point M tel que (OI, OM)= x + k et N, P, R symétriques de M par rapport aux axes et au centre du cercle alors : (OI ; ON) = -x +k (OI ; OP) = -x +k (OI ; OR) = + x +k cos (-x) = cos x sin (-x) = -sin x tan (-x) = -tan x cos (+x) = -cos x sin (+x) = -sin x tan (+x) = tan x cos (-x) = -cos x sin (-x) = sin x tan (-x) = -tan x cos ( +x) = -sin x sin ( +x) = cos x cos ( -x) = sin x sin ( -x) = cos x tan ( +x) = - tan x tan ( -x) = tan x Exercice 7 : On donne : sin = 6.Déterminer la valeur exacte de cos 4 valeurs exactes du sinus et du cosinus de 5 ; 7 ;. ; puis en déduire les 4) Equations trigonométriques Equation du type cos x =cos a # x = a + k Alors $, k & % x = a + k Exercice 8 : a) Résoudre l équation cos x = b) Résoudre l équation sin x = sur, puis sur ] ; ]. Equation du type sin x = sin a x = a + k Alors #, k % $ x = a + k sur, puis sur ] ; ].