ENTRAINEMENT KANGOUROU page 1/3 Spécial : Années! (J)

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1 ENTRAINEMENT KANGOUROU page / Spécial : Années! (J) Au Kangourou des maths il y a niveaux de questions qui sont notés, du plus facile au plus difficile, E, B, C, J et S. Grâce à leur numéro, ici en gras, vous pouvez retrouver ces questions et leurs corrigés dans les livres et annales Kangourou. K0C0 Combien vaut 00 00? A) B) 0 C) 0 D) 00 E) 0 K00C0 0 % de 000, c est : A) 00 B) 00 C) 00 D) 000 E) 000 K0C0 Le Kangourou calcule Le résultat est : A) B) 0 C) D) 00 E) KC0 (+ + + ) vaut : A) 0 B) C) D) E) KC0 Tous les entiers de à sont alternativement ajoutés et soustraits, comme ceci : Le résultat est : A) B) C) D) 0 E) KC0 Quel est le plus grand nombre? A) B) C) D) E) KC0 Laquelle de ces divisions a pour quotient et pour reste? A) : B) : C) : D) : E) : K0C0 Combien vaut 00 x ? A) B) 0 C) D) 00 E) 0 0 KJ0 Le tiers de la moitié du neuvième de vaut : A) B) C) D) E) K00J0 Pour l an 000, quelle écriture convient? A) B) C) D) E) K0J0 La moyenne de deux nombres est 00. Si l un de ces nombres est, quel est l autre? A) 00 B) 00 C) 00 D) 00 E) 00 K0J0 Quelle est la moyenne de 00 et 00? A) B) 000 C) 00 D) 00 E) 00 K0J0 Combien y a-t-il de nombres de quatre chiffres, multiples de 00, dont les quatre chiffres sont distincts? A) B) C) D) E)

2 ENTRAINEMENT KANGOUROU page / Spécial : Années! (J) K0J0 Paul, le jardinier, a cueilli 00 fruits. La moitié est constituée de cerises, un quart d abricots. Combien de ses fruits ne sont ni des cerises, ni des abricots? A) B) C) 0 D) 00 E) K0C0 La somme de 000 nombres entiers strictement positifs est 00. Quel est leur produit? A) B) 000 C) 00 D) E) on ne peut pas savoir KC0 Quel est le nombre le plus grand? A) B) C) D) E) K0J Chaque lettre représente un chiffre différent, et chaque chiffre est représenté par une lettre différente. Quel chiffre peut être représenté par la lettre G? A) B) C) D) E) K0J (question subsidiaire, il faut répondre un chiffre de 0 à ). KAN + KAG + KNG =? KC Quelle est la somme des chiffres du nombre N=0? A) B) C) D) 0 E) KC On a écrit l un après l autre tous les nombres entiers strictement positifs. Quel chiffre est situé à la ème place? A) B) C) D) E) KC J effectue le produit de tous les nombres impairs compris entre et. Quel est le chiffre des unités du produit obtenu? A) B) C) D) E) KC Quelle est la somme des chiffres du nombre 0? A) B) C) 0 D) E) KC On divise par le nombre «0 0 0» dont l écriture décimale est un suivi de zéros. Quel reste obtient-on? A) B) C) D) 0 E) KC On calcule la somme de tous les nombres entiers de 00 à puis on en retranche la somme de tous les nombres entiers de 00 à : ( ) ( ). Le résultat est : A) B) 00 C) D) 00 E)

3 ENTRAINEMENT KANGOUROU page / Spécial : Années! (J) K0C Vous disposez de bâtons de longueur cm, cm, cm, 00 cm, 00 cm et 00 cm. Vous devez en choisir trois pour former un «vrai» triangle. De combien de façons différentes pouvez-vous le faire? A) B) C) D) E) plus de 0 K0J0 On considère tous les nombres de quatre chiffres que l on peut écrire avec les quatre chiffres du nombre 00. La somme de tous ces nombres vaut : A) 00 B) C) D) 0 E) K0J Combien vaut le produit!! + + " ? A) 00 B) 00 C) 00 D) 00 E) 00 K0J N est le nombre formé de 00 chiffres. Combien vaut la somme des chiffres du produit 00 N? A) 0000 B) 00 C) 000 D) 000 E) K0J Dans un carré de côté 00, les carrés de côté sur les diagonales sont coloriés (la figure montre la situation avec un carré de côté ). Combien mesure la surface restée blanche? A) 00 B) C) 00 D) E) 00 K0J Dans ce village, tous les habitants ont un nombre de cheveux différent. Personne n a exactement 00 cheveux. Mathieu est l habitant du village qui a le plus de cheveux. Il y a plus d habitants dans le village que Mathieu n a de cheveux. Quel est le plus grand nombre possible d habitants de ce village? A) On ne peut pas le déduire B) 00 C) 00 D) 00 E) 00 KC Dans le nombre de huit chiffres, on doit remplacer les points par des chiffres en s arrangeant pour que le nombre obtenu soit divisible par, et. Combien de nombres différents peut-on fabriquer satisfaisant à ces conditions? A) B) 0 C) 0 D) 0 E) KC0 Dans la suite de chiffres, chaque entier est écrit autant de fois que sa valeur. Quel est le ème chiffre écrit? A) 0 B) C) D) E) K0J (question subsidiaire, il faut répondre un chiffre de 0 à ). Le nombre 00 est divisible par et la somme de ses chiffres vaut. Combien de nombres s écrivant avec chiffres et strictement inférieurs à 00 possèdent ces deux propriétés? Le Kangourou des mathématiques, rue de l épée de bois 00 Paris

4 Spécial : Années! (J) page / Solutions K0C0 : Réponse C. Il s agit de respecter les priorités des opérations : = 0. K00C0 : Réponse C. ( ) 0 = 0 0 = 00. K0C0 : Réponse B. Quelles que soient les erreurs de priorité commises, la réponse est 0. KC0 : Réponse B. (+ + + ) = 0 =. KC0 : Réponse C. Grouper : ( ) + ( ) + + ( ) + ( 0). Il y a fois, soit. KC0 Solution : Réponse E. < 00, < 00, < 00, < 00, =. KC0 Solution : Réponse D. = +. K0C0 : Réponse B = = 0. KJ0 : Réponse D. =. K00J0 : Réponse D. 000 = 0 = =. K0J0 : Réponse D. Soit X le nombre cherché. On sait que + X = 00. Donc X = 00 = 00. K0J0 : Réponse D = = 00. K0J0 : Réponse C. Les nombres de quatre chiffres divisibles par 00 sont : 00, 0, 0 et 0. Seuls les derniers ont leurs quatre chiffres différents.

5 Spécial : Années! (J) page / SOLUTIONS K0J0 : Réponse C. Si on enlève une moitié plus un quart, il reste le quart des fruits, soit 0. K0C0 : Si les 000 entiers strictement positifs étaient, leur somme serait 000. Donc tous les entiers sont sauf un qui est. Le produit est donc. KC0 : Réponse C. = ; < 000 ; >0 ; < 000 et 000 =0 ; < 000. K0J : Réponse A. Si G vaut, alors nécessairement N vaut ; K vaut et A vaut. C est correct et il n y a qu une seule réponse juste. C est donc la réponse A. (Il y a une autre solution au cryptarithme : K =, A =, N = et G =, réponse non proposée.) K0B = K0C = K0J : Réponse. Regardons le chiffre des centaines : le triple du chiffre, plus la retenue (qui peut valoir 0, ou ), doit valoir 0. Or 0 = +. C est donc que la retenue vaut et que =. Alors, en regardant les dizaines, + ou + + ou + + vaut 0. Si vaut, en regardant les unités, on doit avoir + + =, ce qui est impossible. Si vaut, en regardant les unités, on doit avoir + + =, ce qui est impossible puisque < 0. Donc = et on a bien + + = avec = 0. Finalement + =. KC : Réponse C ( chiffres) =. KC : Réponse B. On écrit nombres de chiffre donc chiffres ; puis 0 nombres de chiffres donc 0 chiffres ; (0 + ) = = 0, 0 = 0+; le premier nombre de chiffres est 00 ; le 0 ème nombre de chiffres est 00 ; et le ème chiffre est le du nombre 0. KC : Réponse C. Deux remarques : Tout nombre impair multiple de se termine par ; tout produit de nombres impairs est impair. Le chiffre cherché est donc. KC : Réponse E. 0 puissance, c est suivi de zéros. Si je lui ôte, le chiffre des unités du nombre obtenu est, celui des dizaines est un 0 (attention à la retenue) et tous les autres chiffres sont des. Il y a donc = chiffres dans ce nombre. La somme des chiffres de 0 est =. Le Kangourou des mathématiques, rue de l épée de bois 00 Paris

6 Spécial : Années! (J) page / SOLUTIONS KC : Réponse D. Si on divise par un nombre tel que 000, 0 000, , etc., on obtient toujours un reste égal à 0. (0 n =0 n 0 +0 n et 0 divisible par.) KC : Réponse A. On enlève les parenthèses et on calcule (00 00) + (0 0) + + ( ) soit une somme de 00 termes, tous égaux à 00. K0C : Réponse D. L inégalité triangulaire interdit de faire un triangle avec les petits bâtons, ainsi qu avec un «grand» et deux petits. Il y a donc nécessairement deux «grands» et un petit (qui ne peut pas être «trop» petit) ou bien les grands. Cela fait donc solutions : (00 ; 00 ; ), (00 ; 00 ; ), (00 ; 00 ; ), (00 ; 00 ; ), (00 ; 00 ; ) et (00 ; 00 ; 00). K0J0 : Réponse E =. K0J : Réponse D. Il faut effectuer chaque parenthèse. Le produit cherché est alors :! 00 ## 00. Par une belle série de simplifications à la chaîne, ce produit vaut finalement 00 soit 00. K0J : Réponse B. En imaginant posée la multiplication 00 ", on voit une addition de 00 termes valant tous 00, avec un décalage d un chiffre à chaque fois. On obtient un résultat qui est un nombre de 00 chiffres, se terminant par, commençant par et contenant 000 chiffres au centre :. La somme des chiffres de ce produit vaut : = 00. K0J : Réponse A. Dans le carré de n carreaux de côté, chaque diagonale comporte n carreaux. L aire totale est n. Le nombre des carreaux en diagonales est n + n, soit n. D où la surface blanche : n n + soit (n ). K0J: Réponse C. Si tous les habitants ont un nombre différent de cheveux et que Mathieu est celui qui en a le plus, le nombre de cheveux de Mathieu doit au moins être égal au nombre d habitants moins un (on peut être chauve!). On a h m en notant h le nombre d habitants et m le nombre de cheveux de Mathieu. Or il y a plus d habitants que Mathieu n a de cheveux : m < h. On déduit m = h ; et à chaque entier de 0 à m correspond un habitant ayant ce nombre de cheveux. Comme personne n a exactement 00 cheveux, le maximum pour m est 00, et donc 00 pour h.

7 Spécial : Années! (J) page / SOLUTIONS KC : Réponse A. Pour être divisible par et, le nombre doit se terminer par le chiffre 0. La somme des autres chiffres doit être multiple de. On doit donc placer chiffres dont la somme est égale à, à ou à. Un travail un peu long, schématisé par l arbre ci-dessous, montre qu il y a respectivement 0, et possibilités pour chacun de ces trois cas. Au total possibilités. 0 0 possibilités possibilités 0 0 possibilités KC0 : Réponse C. Pour écrire d abord ce qui correspond à des nombres à chiffre, on écrit : , soit chiffres. Ensuite on écrit des nombres à chiffres ; et c est le, soit ème qui nous intéresse dans cette suite. (On n arrivera pas aux nombres à trois chiffres qui ne commencent que bien plus loin.) Comme est un nombre impair, c est donc un chiffre correspondant à des dizaines (comme le er, le ème, le ème, ). Quand on commence à écrire vingt fois 0, on en a déjà écrit ( "+) soit ( ) puisque = 0 + = + = + = + = + ; cela fait 0. Quand on commence à écrire trente fois 0, on en a écrit en plus! ( "+ ) soit ( ), c est-à-dire 0. Quand on commence à écrire quarante fois 0, on en a écrit en plus! ( " +) soit ( ), c est-à-dire 0. On en est alors à , soit 0 et la série des quarante (qui comptera plus de 0 chiffres et «certainement» 0) dépassera. C est donc un qui se trouvera en ème position. K0J : Réponse. Les nombres cherchés sont multiples de, donc de ; leurs deux derniers chiffres forment un nombre multiple de et leur somme est strictement inférieure à. Ces deux derniers chiffres ne peuvent donc être que 00, 0,, 0, ou 0. Les nombres cherchés, strictement inférieurs à 00 et à chiffres, ont comme premier chiffre, et on trouve le deuxième chiffre de façon que la somme des chiffres soit. D où les nombres : 00, 0,, 0, 0, 0.