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1 I. Compétences à atteindre SITUATION-PROBLEME 1 : DES CASSE-TETES PAR-DESSUS LA TETE C1 C C3 C4 C5 C7 Calculer, déterminer, estimer, approximer Appliquer, analyser, résoudre des problèmes Représenter Repérer, comparer Démontrer Acquérir les notions propres aux mathématiques II. Autoévaluation et évaluations formatives Partie 1 : Pythagore Je dois être capable dans : Autoévaluation 1 ère évaluation ème évaluation C Déterminer la longueur d un segment à partir du théorème de Pythagore Repérer une configuration de Pythagore dans une situation géométrique C.1.6. Prouver la perpendicularité de deux droites en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.4.7. Résoudre des problèmes mettant en œuvre le théorème de Pythagore C Construire un segment de longueur a lorsque a est la somme ou la différence de carrés Construire une représentation géométrique complexe pour schématiser une situation existante C Traduire mathématiquement un énoncé et réciproquement SP Des casses têtes par-dessus la tête

2 C5 5. Déterminer une démarche 5.3 Organiser une démarche 5.4 Justifier des propositions C Mémoriser les définitions, formules et énoncés 7. Utiliser les définitions, formules et énoncés Signature des parents Partie : Radicaux et classement de réels Je dois être capable dans : Autoévaluation 1 ère évaluation ème évaluation C Déterminer si une racine carrée donnée possède ou non une valeur exacte Calculer la racine carrée d un nombre donné, avec ou sans calculatrice (en fonction du nombre) Donner la valeur approchée par excès ou/et par défaut d un nombre décimal donné selon le rang demandé Encadrer un nombre décimal donné selon l approximation demandée Arrondir un nombre décimal donné selon l approximation demandée Utiliser correctement les fonctionnalités de la calculatrice Utiliser les propriétés des radicaux pour simplifier ces derniers ou pour calculer plus facilement C Classer des nombres donnés selon leur appartenance aux ensembles mathématiques Simplifier l écriture d un nombre afin de le classer dans l ensemble mathématique le plus adéquat Traduire mathématiquement un énoncé et réciproquement C Mémoriser les définitions et les notations 7. Utiliser les définitions, formules et notations Signature des parents SP Des casses têtes par-dessus la tête

3 III. Rappels : le triangle rectangle A... C B Un triangle rectangle est L.. est Les.. sont IV. Casse-tête n 1 : Résolution de puzzles (Travail de groupes en classe : voir feuille annexe) V. Synthèses de l activité faite en classe 1) Puzzles 1 et : Approche du théorème Dans ces puzzles, expliquez quelle égalité d aires vous avez pu déduire : Y a-t-il a priori des conditions nécessaires à la réalisation de cette égalité? Si oui, lesquelles? Traduisez cette égalité à l aide d un schéma et de symboles mathématiques :. +.. =. SP Des casses têtes par-dessus la tête

4 ) Puzzles 3 et 4 : Affinement de la réflexion (partie 1) Quelle est la différence entre ces puzzles et les premiers : Quelle influence cette différence a-t-elle sur la constatation faite au point 1) : Affinez à présent vos conclusions : 3) Puzzles 5 et 6 : Affinement de la réflexion (partie ) Quelle est la différence entre ces puzzles et les premiers : Comment trouver alors la valeur du 3 ème côté dans ces puzzles : Une racine carrée d un nombre positif «a» est un nombre noté dont. Y aurait-il une autre possibilité? Si oui, cette solution peut-elle être envisagée dans le cas de cet exercice? Explique pourquoi. nombre qui se lit «..» a Symbole qui est le signe de l opération d extraction d une racine carrée et se lit «.».. c est OBLIGATOIREMENT un nombre SP Des casses têtes par-dessus la tête

5 Pouvez-vous estimer la valeur de ce nombre? Pour être plus précis, utilisons la calculatrice. Cette racine admet-elle une valeur exacte?.. Un nombre dont la racine carrée est un nombre naturel (= ) s appelle un carré parfait. La racine carrée d un nombre qui n est pas un..n admet pas de valeur.. Ou s arrêter dans ce cas? Nous allons la valeur d une racine carrée. Pour..une valeur approchée, on regarde le chiffre qui suit le rang demandé : - Si ce chiffre est. 5, on arrondit en laissant tomber la suite ; - Si ce chiffre est. 5, on ajoute 1 au rang demandé. Dans le cas de nos exercices, arrondissons au 0,001 près : La mesure du 3 ème côté dans le puzzle 5.. La mesure du 3 ème côté dans le puzzle 6.. Enonce, en tenant compte de tous les puzzles résolus, le théorème de Pythagore en français :.. et en symbole mathématique : SP Des casses têtes par-dessus la tête

6 4) Puzzle 7 : démonstration du théorème de Pythagore x y z Hypothèse ( = ) : Thèse ( = ) : Démonstration Quelles sont les figures géométriques qui vont être utilisées? Est-on certain de leur nature? Si oui, pourquoi? Si non, comment la prouver? SP Des casses têtes par-dessus la tête

7 Ecris à présent les différentes étapes de ton raisonnement : Pour démontrer : 1) On... sa démarche en indiquant : a).. b).. c).. ) On sa démarche en effectuant : a). b). 3) On.. chaque étape SP Des casses têtes par-dessus la tête

8 VI. Applications directes 1. Calcule la longueur du côté inconnu dans chacun des triangles rectangles suivants : 1) x = 46 cm y x z y = 6 cm z =? (au mm près) ) k k = 5,7 cm h g h = 3,1 cm g =? (au mm près) 3) M DM = 5,5 m D E EM = 5,1 m DE =? (au cm près) 4) Q QS = 1,41 dm S R QR = dm SR =? (au mm près). la valeur de x dans la situation suivante :. 8 x x.. SP Des casses têtes par-dessus la tête

9 3. Dans un triangle isocèle, la base mesure 6 cm et le périmètre 16 cm. Calcule la mesure de la hauteur relative à la base. (Sur feuille annexe) 4. Indique les valeurs arrondies de 37 : à 1 près :. à 0,1 près : à 0,001 près : Indique les valeurs arrondies de 7 : à 1 près :. à 10 - près : à 10-3 près : Indique les valeurs arrondies de 6 : à 1 près :. à 0,1 près : à 0,0001 près : Indique les valeurs arrondies de 6 5 : à 1 près :. à 10-5 près : à 10-1 près : Remarques : 1) Il existe une autre façon d exprimer la valeur d une racine carrée : Voici 3 exemples illustrés pour exprimer. Lis-les attentivement et essaie de comprendre comment cette écriture fonctionne. Aide-toi de la valeur de la calculatrice ( = 1, ) Exprimons de cette nouvelle façon à 1 près : 1 < < car SP Des casses têtes par-dessus la tête

10 Exprimons de cette nouvelle façon à 0,1 près : 1,4 < < 1,5 car Exprimons de cette nouvelle façon à 0,01 près : 1,41 < < 1,4 car Qu est-ce qu une valeur approchée par défaut?. Qu est-ce qu une valeur approchée par excès?.. En te basant sur ce que tu as trouvé ci-dessus, recherche à l aide de ta calculatrice : La valeur approchée par défaut au cent - millième près (=..) de 6 : La valeur approchée par excès au centième près (=..) de 4 :. La valeur approchée par excès au dix - millième près (=..) de 18 :... La valeur approchée par excès au millième près (=..) de 5 6 :. Encadrer un nombre x, c est le situer entre autres nombres : - un nombre plus petit que x, appelé - un nombre plus grand que x, appelé L approximation («à près») est l entre la valeur approchée par excès et celle par défaut. SP Des casses têtes par-dessus la tête

11 Encadre les valeurs suivantes : à 1 près de à 0,1 près de 54 :. 78 :.. à 0,01 près de à 0,001 près de 89 :. 48 : à 10 près de 150 : ) Quelque cas particuliers : a) Sans dessiner, pourrais-tu donner : Le côté d un carré dont l aire vaut 0 cm²?..... Le côté d un carré dont l aire vaut - 4 cm²?.....!! ATTENTION!! 1) Le nombre 0 admet.racine carrée : ) Aucun nombre..n admet de racine carrée b) Calcule les carrés suivants : (4)² =. (7)² =. (5)² =.. (-4)² = (-7)² = (-5)² =.. 16 =.. 49 =.. 5 =.. 3) Tout nombre strictement positif admet deux racines carrées... Pour plus de facilité, on considère que, pour tout nombre.. a : a la racine carrée.de a - a la racine carrée de a ex. : 9 est un réel positif et sa racine carrée positive est.. sa racine carrée négative est.. SP Des casses têtes par-dessus la tête

12 VII. Problèmes 1) Dans chacune des situations suivantes, écris, lorsque c est possible, l égalité de Pythagore : a) b) c) A A. A B C B ll. X ll C B v. O v C ) Une grenouille se trouve en A sur le bord d une mare circulaire. Elle nage 18m avant de rencontrer le bord B de la mare, puis elle change de direction et nage encore 6m pour se retrouver au point C diamétralement opposé à A. Quelle distance aurait-elle parcourue si elle avait effectué le trajet [AC] en ligne droite? 3) a) Calcule la longueur de la diagonale d un carré de 5 cm de côté. b) Exprime la longueur de la diagonale d un carré en fonction de la longueur x de son côté. (Aide-toi du dessin ci-contre) A x C B D 4) a) Calcule la longueur de la diagonale d un cube de 5 cm d arête. B C b) Exprime la longueur de la diagonale d un cube en fonction de la longueur x de son arête. (Aide-toi du dessin ci-contre) A x F D G E H 5) Soit un triangle équilatéral de 10 cm de côté. Calculer l aire de ce triangle. 6) Pour couvrir le toit de la maison ci-contre, il faut prévoir 0 tuiles au m². Calcule la quantité de tuiles qu il faut acheter D G A B C E F SP Des casses têtes par-dessus la tête

13 VIII. Casse-tête n : La corde à triangles Sur une corde, on a fait 13 nœuds équidistants et on noue les extrémités en faisant coïncider le premier et le treizième nœud. On obtient donc une corde fermée sur laquelle on peut compter 1 intervalles de même longueur. En tendant la corde, il est possible de former des triangles dont les sommets coïncident avec un des noeuds. Parmi ces triangles, combien y en a-t-il d équilatéraux, d isocèles et de rectangles? Dans chaque cas, précise le nombre d intervalles sur chaque côté et justifie la nature du triangle : Dessin du triangle AB BC AC Nature du triangle (avec justifications) Généralisons : comment vérifier qu un triangle est rectangle? Soit un triangle ABC Supposons qu il soit rectangle. Dans ce cas, par Pythagore :.. Si, en mesurant, on s aperçoit que cette condition est vérifiée, alors le triangle. A b a C c Nous pouvons en déduire que : B Dans un triangle, si le carré d un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. C est la RECIPROQUE du théorème de Pythagore, qui s écrit en symbole mathématique : SP Des casses têtes par-dessus la tête

14 IX. Exercices et problèmes 1) Les triangles suivants sont-ils rectangles? Si oui, en quel sommet : A 10 6 B C 8 B 5 8 A 3 C ) On donne le triangle XYZ : XY = a ; YZ = b et XZ = c. (fais un dessin si nécessaire) Dans les cas suivants, vérifie si le triangle est rectangle (utilise ta calculatrice) et précise alors le sommet de l angle droit : a b c 1) ) ) ) On a dressé un mât qui s élève exactement à 8,15 m du sol. Un tendeur de 9 m de long attaché à son sommet s écarte de 4,05 m du pied du mât. Celui-ci est-il vertical? Justifie SP Des casses têtes par-dessus la tête

15 X. Quelques constructions 1.- Construire un segment de longueur a lorsque a est la somme de carrés. Si a = m² + n² alors a est la longueur de l..d un triangle.. dont les côtés de l angle droit ont des longueurs. et... Construction a) On construit un angle droit ; b) On mesure, sur les côtés de cet angle, les longueurs m et n ; c) On construit l hypoténuse de ce triangle en rejoignant les extrémités de ces côtés. La mesure de l hypoténuse est a. n a m.- Construire un segment de longueur a lorsque a est la différence de carrés. Si a = m² - n² alors a est la mesure d un de l angle droit d un triangle. où l hypoténuse mesure et l autre côté de l angle droit mesure.. Construction. a) on construit un angle droit ;!! Puisque c est une différence, l ordre a de l importance! b) sur un des côtés de cet angle, on mesure la longueur n ; c) on ouvre le compas d une longueur m afin de tracer l hypoténuse ; d) on pique la pointe à l extrémité du côté de l angle droit de longueur n ; e) l extrémité du ème côté de l angle droit est l intersection de ce ème côté avec l arc de cercle ainsi tracé ; f) La mesure du ème côté de l angle droit est a. a m n Exercice : Construire un segment de longueur : a) b) 8 c) 6 d) 13 e) 17 SP Des casses têtes par-dessus la tête

16 XI. Démonstrations 1) [ AC ] et [ BD ] sont segments qui se coupent en O et sont perpendiculaires. Démontre que AB + CD = AD + Dessin Hypothèse : BC Thèse : Démonstration : ) On considère le carré ABCD de côté 1 cm. On note E le milieu de [ AB ] et F un point de [ BC ] tel que BF = 3 cm. Démontre que le triangle DEF est rectangle. 3) Démontre que triangles rectangles sont isométriques s ils ont l hypoténuse de même longueur et un côté de l angle droit de même longueur. 4) On a tracé approximativement la figure ci-dessous dans laquelle AC =10, AB =8, BC =6, AD =9,6 et CD =,8. Les segments [ AD] et [ ] B H E D BC se coupent en H. Les droites AB et CD se coupent en E. Démontre que H est l orthocentre du triangle AEC (Rappel : l orthocentre est l intersection des 3 hauteurs du triangle.) A C SP Des casses têtes par-dessus la tête

17 NOM : PRENOM : CLASSE : DATE : CHAP 1 : PYTHAGORE XII. FAISONS LE POINT (sur feuille annexe) Tâches évaluées : C Déterminer la longueur d un segment à partir du théorème de Pythagore Repérer une configuration de Pythagore dans une situation géométrique C.1.6. Prouver la perpendicularité de deux droites en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.4.7. Résoudre des problèmes mettant en œuvre le théorème de Pythagore ou sa réciproque C Construire un segment de longueur a lorsque a est la somme ou la différence de carrés Construire une représentation géométrique complexe pour schématiser une situation existante C5 5. Déterminer une démarche 5.3 Organiser une démarche 5.4 Justifier des propositions C C C.1.6 C.4.7 C 3.. C 3.3. C 5. C 5.3 C 5.4 Exercice 1 Exercice Exercice 3 Exercice 4 Evaluation globale SP Des casses têtes par-dessus la tête

18 1) La figure plane suivante comporte quatre angles droits. Calcule la distance manquante BC. Détaille ta démarche. ) Une diagonale d un losange mesure 7 cm et un côté de ce losange, 5 cm. Ce losange est-il un carré? Justifie. 3) Construis un segment de longueur 0 de façons différentes. Indique tous tes calculs. 4) Dans le prisme droit représenté ci-dessous, Q est un point fixé sur une arête. En le reliant aux sommets A et F, on obtient un triangle. Différentes mesures sont données sur la figure. On te demande de démontrer que le triangle AQF N EST PAS un triangle rectangle. B C 4 6 A 11 Q 3 E F 9 D Rappel Pour cette démonstration, tu justifieras tes réponses en citant et mentionnant les théorèmes et/ou les propriétés que tu utilises. Tu veilleras également à faire apparaître la structure de ta démarche. SP Des casses têtes par-dessus la tête

19 XIII. Revenons aux radicaux et incluons-les dans nos savoirs! 1) Les opérations avec les radicaux a)complète le tableau suivant (écris les nombres non entiers sous la forme d une fraction irréductible) a b a. b a b a b a. b a. b a b a b Complète par = ou. a, b...: a. b a. b et a b a b Exemples = =... 0 = = =... =... b)complète le tableau suivant (écris les nombres non entiers sous la forme d une fraction irréductible) a b a b a + b a + b a b a b Complète par = ou. a, b...: a + b a + b et a b a b SP Des casses têtes par-dessus la tête

20 c) Exercices 1.- Vrai ou faux? Pourquoi? 1) 9.4 = 3. 4) = ) 9 = 3 5) ( 37 ) = 37 3) 9.( 4) = 3. 6) 11 = 11².- Simplifie les expressions suivantes à l aide des propriétés vues : 4 1) 18 3) ) 3 ) 1 4) 8 9 7) 744 6) ) Simplifie au maximum 1) ) ) ) ) ) ) ) 10) 11) ( 3).(3 ).( 5) a². b 4 13) 14) 15) 16) 17) a². x a² b. 3 a b a 5. ab. b ² 3 a² b. 3a b a 49 a b. 9a b 6) ) 6 10 a c 18) ab. 4a b SP Des casses têtes par-dessus la tête

21 4.- Additionne selon les 4 exemples : a) = b) = = = c) ( 3 3)( 3 + 3) =..² - ² =. =. =. d) ( 3 ) = =. =. 1) ) ) ) ) ) ( 5 5 ) 10 7) ( 5 3)( 5 3) 8) ( )( 1 ) 9) ( ) 3 10) ( ) SP Des casses têtes par-dessus la tête

22 d) Dépassement Rendre un dénominateur rationnel, c est faire disparaître tout irrationnel de celui-ci. 1.- Exemple simple 7 a un dénominateur qui est irrationnel. Voici comment le faire disparaître : = = = 1 (Ne change pas le résultat) On multiplie la fraction de départ par une nouvelle fraction ayant l irrationnel en numérateur et en dénominateur.- Exemple complexe a un dénominateur qui contient un irrationnel. Voici comment le faire disparaître : = 1 (Ne change pas le résultat) ( 7 3) ( ) ( ) = = = = Donne des binômes conjugués ( Produits remarquables) On multiplie la fraction de départ par une nouvelle fraction ayant le binôme conjugué du dénominateur en numérateur et en dénominateur 3.- Exercice : Rends le dénominateur rationnel : 1) ) 3) ) 8 5) a + a a 6) ) 3 8) ) ) SP Des casses têtes par-dessus la tête

23 ) Les ensembles de nombres et les radicaux 1.- Quels sont les ensembles de nombres que tu connais déjà?.- Redéfinis chacun d entre eux et représente-les les uns par rapport aux autres sous forme d ensembles (sur une feuille annexe) Un même nombre peut s écrire de plusieurs façons. Par exemple, = =,5 = Comment reconnaître alors dans quel ensemble il peut être classé? 4.- Voici plusieurs nombres, place-les au bon endroit sur ton dessin : ; -4 ; 1 3 ; 4 6 ; 3,193 ; 5 ; 4 ; 7 ; -5,6 ; 6 ; 9 ; 1, ; π ; ; 16 9 Tu n arrives pas à en classer certains?? Voici une piste de réflexion qui pourra surement t aider : a) Voici 4 nombres : 3 4 ; 7 35 ; et Dans quel ensemble classerais-tu ces nombres?... Pourquoi?. b) Donne l écriture décimale de chacun d entre eux : 3 4 = = 7 35 = 79 5 = Peux-tu donner la dernière décimale à chaque fois?... Les nombres qui ont une dernière décimale sont appelés Les autres, ceux qui ne se finissent pas, sont appelés. SP Des casses têtes par-dessus la tête

24 c) Tente de déterminer, en expliquant ta manière de procéder, la 5 ème décimale des nombres qui sont illimités : car... car... Ces nombres sont appelés les. Leurs décimales sont caractérisées par.. qui Notation : Après cet exercice, que peux-tu dire de l écriture décimale des nombres rationnels? d) Ne pourrait-on pas aussi écrire un nombre illimité non périodique sous la forme d une fraction? Pourquoi? e) Dans quel ensemble classerais-tu ces nombres?... Vérifie ton classement de la p. et ajoute, en vert, les nombres que tu avais laissé en suspens. f) Affiche sur ta calculatrice le nombre : Combien de décimales obtiens-tu? Est-ce le nombre correct de décimales de ce nombre? Pourquoi? Es-tu certain que la dernière décimale affichée est exacte? Pourquoi? Pourrais-tu déterminer la 5 ème décimale? Pourquoi? Donne d autres exemples de nombres «réagissant» de la même façon que (vérifie avec ta calculatrice si c est nécessaire) : Compare ces nombres avec ceux donnés aux points précédents. Quelles sont leurs différences? Dans quel ensemble classerais-tu ces nombres?... A l aide de ce que tu viens de trouver, complète finalement le dessin des ensembles des nombres.(en rouge) SP Des casses têtes par-dessus la tête

25 Exercices 1.- Complète le tableau suivant : Nombre Ensemble de nombres Notation de cet ensemble Ècriture décimale du nombre 3-9 5, π.- Classe les nombres suivants dans l ensemble qui convient après avoir redessiné tous les ensembles de nombres. 6 1 ; -95, ; 8 ; 4, ; ; 0, ; 354 ; ; 3 31 ; ; π ² 3.- Vérifie si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Justifie tes réponses par un calcul, par un contre-exemple, par l énoncé d une règle ou d une définition. a) tout nombre rationnel est un nombre irrationnel b) le nombre 0 est un nombre irrationnel c) tout radical est un nombre irrationnel d) l inverse de égale sa moitié e) un nombre irrationnel est un nombre réel f) un nombre irrationnel peut s écrire sous la forme d une fraction g) le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel h) le nombre π est un irrationnel i) le carré d un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. SP Des casses têtes par-dessus la tête