M2 Probabilités et Statistiques Université Paris-Sud Calcul stochastique et processus de Markov Partiel du 26 novembre 2014, 3 heures sans documents

Transcription

1 M Probabilités et Statistiques Université Paris-Sud Calcul stochastique et processus de Markov Partiel du 6 novembre 4, 3 heures sans documents Barème approximatif. Ex. :.5pts, Ex. : 4.5pts, Pb A : 7pts, Pb B : 8pts. Dans tout l énoncé, on se place sur un espace de probabilité Ω, A, P muni d une filtration complète F t t [, ]. On rappelle la notation coshx = ex + e x pour x R. Exercice. Soit B un F t -mouvement brownien réel issu de. Pour tout x R, on note T x = inf{t : B t = x}. On fixe deux réels a et b avec a < < b, et on note T = T a T b. Montrer que, pour tout λ >, E[exp λt ] = b+a cosh cosh b a λ. λ Indication : Il pourra être utile de considérer une martingale de la forme M t = exp λbt α λt + exp λb t α λt avec un choix convenable de α. Exercice. Soit B un F t -mouvement brownien réel issu de Attention : B =. On fixe ε ], [ et on pose T ε = inf{t : B t = ε}. On se donne aussi deux réels λ > et α R\{}.. Montrer que Z t = B t Tε α est une semimartingale et expliciter sa décomposition comme somme d une martingale locale et d un processus à variation finie.. Montrer que le processus Tε X t = B t Tε α exp λ Bs est une martingale locale dès que α et λ vérifient une équation polynômiale que l on déterminera. 3. Calculer [ Tε E exp λ Problème A. Soit Y t t un processus adapté, à trajectoires continues et à valeurs positives ou nulles, et soit V t t un processus croissant à trajectoires continues, adapté, et tel que V =. On considère la condition suivante : B s ]. E[Y T ] E[V T ], pour tout temps d arrêt borné T.. Montrer que si M est une vraie martingale continue de carré intégrable, et M =, alors la condition D est satisfaite par Y t = M t et V t = M, M t.. Montrer que la conclusion de la question précédente reste vraie si on pose seulement que M est une martingale locale issue de. 3. On note Yt = s t Y s. Montrer que sous la condition D on a pour tout temps d arrêt borné S et tout c > : P [Y S c] c E[V S]. on pourra appliquer l inégalité D au temps d arrêt S R, avec R = inf{t : Y t c}. D

2 4. Soient c > et d >, et S = inf{t : V t d}. Soit aussi T un temps d arrêt borné. En remarquant que {YT c} {YT S c} {V T d} montrer que, sous la condition D, on a P [Y T c] c E[V T d] + P [V T d]. 5. Soit M une martingale locale avec M =, et soit γ ], [. Montrer que, pour tout temps d arrêt T, [ E s T γ ] M s γ γ E[ M, M T γ ]. on appliquera l inégalité de la question 4. avec c = d. Problème B. Soit Z t t une semimartingale continue. On pose qu il existe un F t -mouvement brownien réel B t t issu de et une fonction continue b : R R, tels que Z t = B t + bz s.. Soit F : R R une fonction de classe C sur R. Montrer que, pour que F Z t soit une martingale locale, il suffit que F satisfasse une équation différentielle du second ordre que l on déterminera.. Donner la solution de cette équation différentielle qui vérifie F = et F =. Dans la suite, F désigne cette solution particulière, qui s écrit sous la forme F x = x exp βy dy, avec une fonction β que l on déterminera en termes de b. On remarquera que F est strictement croissante sur R. 3. Dans cette question seulement, on pose que la fonction b est intégrable bx dx <. R a Montrer que la martingale locale M t = F Z t est une vraie martingale. b Montrer que M, M = p.s. c En déduire que lim Z t = +, lim inf Z t =, p.s. 4. On revient au cas général. Soient c < et d >, et T c = inf{t : Z t c}, T d = inf{t : Z t d}. Montrer que, sur l ensemble {T c T d = }, les variables aléatoires B n+ B n, pour n N, sont majorées par une constante déterministe indépendante de n. En déduire que P [T c T d = ] =. 5. Calculer P [T c < T d ] en fonction des quantités F c et F d. 6. On pose que b est nulle sur ], ] et qu il existe une constante α > / telle que bx α/x pour tout x. Montrer que, pour tout ε >, on peut choisir c < tel que P [T n < T c, pour tout n ] ε. En déduire que Z t + quand t, p.s. on pourra observer que la martingale locale M t Tc est bornée.

3 Corrigé du partiel du 4 novembre 4. Ex.. Soit M comme dans l indication. Pour tout µ R, expµb t µ t/ est une vraie martingale. Comme une combinaison linéaire de martingales est une martingale, on voit que M t est une martingale. Pour t [, T ], on a a B t b et il en découle que la martingale arrêtée M T est bornée et est donc uniformémement intégrable. Le théorème d arrêt entraîne alors que E[M T ] = E[M ] = coshα λ. Par ailleurs, en choisissant α = b+a, on voit que M T = cosh b a λe λt, aussi bien sur l événement {T = T a } que sur {T = T b }. On trouve donc cosh b a λ E[e λt ] = cosh b + a λ. Ex... La fonction x x α est de classe C sur l ouvert ], [. Comme le processus B t Tε prend ses valeurs dans [ε, [, on a vu dans le cours qu on peut appliquer la formule d Itô et trouver. De même, si on pose Z t = B t Tε α = + α Tε B s α db s + Tε Y t = exp λ et X t = Z t Y t, la formule d intégration par parties donne X t = + Y s dz s + αα B s Z s dy s Tε B s α. en notant que Y, Z = puisque Y est à variation finie. En utilisant la question., et en notant que dy s = λ [,Tε ]s B s Y s, il vient Tε X t = + α Y s B s α αα t Tε Tε db s + Y s B s α λ Y s B s α. Les termes à variation finie s annulent si λ = αα. 3. Si λ > est fixé il existe une seule valeur α < telle que λ = αα, à savoir α = + 8λ. Alors le processus X t de la question précédente est une martingale locale bornée par ε α, donc une vraie martingale uniformément intégrable. En écrivant que E[X ] = E[X ] =, on trouve [ Tε ε α ] E exp λ = et on conclut que [ Tε E exp λ B s ] = ε +8λ. B s Problème A.. D après le cours, M t M, M t est une vraie martingale issue de. D après le théorème d arrêt cas des temps d arrêt bornés, pour tout temps d arrêt borné T, E[M T M, M T ] = et on voit que la condition D est satisfaite même avec égalité pour Y t = M t et V t = M, M t.. Soit T n = inf{t : M t n}. On peut appliquer la question. à la martingale M T n, et on a 3

4 pour tout temps d arrêt borné T, E[M T Tn ] E[ M, M T Tn ]. Quand n, le membre de droite tend vers E[ M, M T ] par convergence monotone, alors que le lemme de Fatou donne E[M T ] lim inf n E[M T T n ]. 3. Soit R = inf{t : Y t c}. Alors R et aussi T = S R sont des temps d arrêt. D après la propriété D, comme T est un temps d arrêt borné, E[Y T ] E[V T ] E[V S ]. D autre part, {R S} = {Y S c} et sur l ensemble {R S} on a Y T = Y R c. Donc, E[Y T ] E[Y T {R S} ] c P [R S]. On conclut que c P [YS c] = c P [R S] E[Y T ] E[V S ]. 4. Sur l ensemble {V T < d} on a S T et donc YT S = Y T. Il en découle que {YT c} {YT S c} {V T d}. En utilisant la question 3., on a donc P Y T c P Y T S c + P V T d c E[V T S] + P V T d. Mais V T S d par définition de S, donc aussi V T S V T d puisque V est croissant. 5. Sous la condition D, la question précédente donne pour c >, P [Y T c] c E[V T c] + P [V T c] c E[V T {VT <c}] + P [V T c]. On multiplie les deux cotés par γc γ et on intègre par rapport à dc. On a d abord [ Y dc γc γ P [YT T c] = E dc γc γ ] = E[YT γ ], et de même dc γc γ P [V T c] = E[V T γ ]. D autre part, dc γc γ c E[V T {VT <c}] = E [V T En récapitulant, on trouve E[Y T γ ] V T ] dc γc γ = γ γ E[V T γ ]. γ γ E[V T γ ] + E[V T γ ] = γ γ E[V T γ ]. D après la question. on peut appliquer ceci à Y t = M t et V t = M, M t : on trouve [ γ ] E M s γ γ E[ M, M T γ ]. s T A priori T est un temps d arrêt borné, mais si T est un temps d arrêt quelconque il suffit de remplacer T par T n en utilisant le théorème de convergence monotone. Problème B.. En appliquant la formule d Itô, et en remarquant que Z, Z t = B, B t = t, on a F Z t = F + F Z s db s + 4 F Z s bz s + F Z s.

5 Donc, si F vérifie l équation différentielle F + bf =, on voit que F Z t = F + F Z s db s est une martingale locale.. L unique solution de F + bf = avec F =, F = est F x = x exp βy dy avec βy = y bzdz. Comme F x = exp βx >, F est strictement croissante. 3. Si b est intégrable on a, pour tout x, exp K F x expk, où K = bx dx. On R remarque aussi que M, M t = F Z s. a. D après ce qui précède, M, M t expkt, donc en particulier E[ M, M t ] <. On sait qu alors M est une vraie martingale. b. De même M, M t exp K t, et donc M, M =. c. Le théorème de Dubins-Schwarz assure qu on peut trouver un mouvement brownien γ tel que M t = γ M,M t pour tout t. Compte-tenu des propriétés du mouvement brownien, cela entraîne que lim M t = + p.s. Puisque M t = F Z t et F est continue et croissante, cela n est possible que si lim Z t = + p.s. Le cas de la liminf est traité de la même manière. 4. Par un argument de continuité, on a sur l ensemble {T c T d = }, pour tout t, Z t [c, d] et donc bz t C = bx <. x [c,d] Il en découle que sur le même ensemble on a pour tout n N, n+ B n+ B n Z n+ Z n + bz t dt d c + C. Or, comme les v.a. B n+ B n sont indépendantes et de même loi N,, on a pour tout a, N P B n+ B n a = lim P { B n+ B n a} = lim P B a N =. N N n N Finalement, P T c T d = P n= n N n B n+ B n d c + C =. 5. Les temps T c et T d sont des temps d arrêt comme temps d entrée d un processus continu adapté dans un fermé. La martingale locale arrêtée F Z t Tc T d est bornée par c d et est donc une vraie martingale u.i. En appliquant le théorème d arrêt à cette martingale, et en utilisant le fait que T c T d < p.s., on a = F = E[F Z Tc T d ] = F cp T c < T d + F dp T d < T c. Comme par ailleurs P T c < T d + P T d < T c = parce que T c T d < p.s. 5 on calcule

6 facilement P T c < T d = F d F d F c. 6. Puisque b est nulle sur ], ], on voit que F x = x pour x. Par ailleurs, soit C une constante telle que by C pour tout y [, ]. Alors, si y, Donc, pour tout x, F x F + x βy C + α y dx x exp βydy F + exp C = C + α log y. x où C est une constante finie, et on utilise le fait que α >. D après ce qui précède, pour tout n, Si on choisit c tel que on a P T n < T c = F c F n F c c c + C ε. y α dy F + exp C α c c + C. P T n < T c, n = lim n P T n < T c ε. Ensuite, puisque F est bornée sur R +, la martingale locale M t Tc est une vraie martingale u.i. donc converge p.s. La fonction F étant strictement croissante et continue, cela entraîne que Z t Tc converge p.s. vers Z [c, + ]. Sur l ensemble {T n < T c, n } la limite est nécessairement +. L événement {Z t + } a donc probabilité plus grande que ε, pour tout ε >. = C 6