Estimation de la probabilité de détection dans les mesures par contrôle non destructif

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1 Estimation de la probabilité de détection dans les mesures par contrôle non destructif Merlin KELLER, Nicolas BOUSQUET Rochebrune / 38

2 Contexte But : Estimer la distribution de la taille des défauts d un composant industriel Deux sources de données : données d expertise : mesures en laboratoire, supposées parfaites données d IS : mesures lors d inspections en service (IS), caractérisées par la probabilité de détection (POD) d un défaut, étant donnée sa taille Hypothèses basées sur l expertise : Egalité en loi des hauteurs de défauts d expertise et d IS Connaissance préalable du modèle de bruit et de la probabilité de détection des données d IS Question : comment estimer la distribution voulue sur la base des données disponibles? 2 / 38

3 Plan 1 Loi de la taille des défauts Approche classique Résultats sur données simulées 2 Estimation classique de la POD Résultats sur données simulées 3 Approche bayésienne Echantillonnage a posteriori Résultats sur données simulées 3 / 38

4 1 Loi de la taille des défauts 2 Estimation classique de la POD 3 Approche bayésienne 4 / 38

5 1 Loi de la taille des défauts Approche classique Résultats sur données simulées 2 Estimation classique de la POD Résultats sur données simulées 3 Approche bayésienne Echantillonnage a posteriori Résultats sur données simulées 5 / 38

6 Estimation à partir des données d expertise True density MLE Data histogram x (mm) Données d expertise x = (x 1,..., x ne ) vues comme un échantillon de la loi de la taille des défauts, décrite par f (x θ) θ estimable par maximum de vraisemblance : ˆθ = arg max θ n i=1 f (x i θ) 6 / 38

7 Probabilité de détection (POD) Pod(x) x (mm) On suppose que chaque défaut X détecté lors d une IS l est avec une certaine probabilité, dépendant de sa taille. On note : D {0, 1} la variable indiquant si X est détectée ou non ; G(x) = P(D = 1 X = x) la probabilité de détection, supposée connue (liée aux caractéristiques des instruments de mesure) 7 / 38

8 Densité d un défaut détecté avec bruit multiplicatif Densité d un défaut sachant qu il est détecté (cf. Bayes) : p(x = x θ, D = 1) = G(x)f (x θ) ; P d (θ) P d (θ) = G(x)f (x θ)dx taux de détection Hypothèse : on observe Y = X E, E bruit multiplicatif de densité f ɛ, supposée connue (liée aux instruments de mesure) Densité de Y p(y = y θ) = G(x)f (x θ)fɛ (y/x)dx/x ; P d (θ) Loi de Y simulable par acceptation-rejet Intégrales définissant la densité calculables par quadrature 8 / 38

9 MLE avec données tronquées et bruitées MLE MLE (expertise) Data histogram Parametric model data 0.25 MLE MLE (expertise) 0.20 Data histogram Smooth truncation model data Si l on dispose en plus de x d un échantillon y = (y 1,..., y nis ) de réalisations de Y, on peut aussi estimer θ en maximisant : l(x, y θ) = n E i=1 n IS f (x i θ) p(y = y j θ) j=1 9 / 38

11 Modélisation de la taille des défauts β = 1, η = 1 β = 2, η = 1 β = 2, η = 3 β = 4, η = On choisit pour décrire la distribution de la taille X d un défaut la loi de Weibull, de densité f (x η, β) = β/η (x/η) β 1 exp( (x/η) β )1 {x>0} On note θ = (η, β) IR 2 + le vecteur de paramètres à estimer 11 / 38

12 Principe Simulation des données x : n E = 198 réalisations de la loi de Weibull (β = 1.8, η = 3.1) y : n IS = 341 réalisations bruitées, et détectées selon la POD : G(x) = Φ (q(log(x/x 0 ))), x 0 = 6, q = 20 Bruit Gamma de moyenne 1, d écart-type 20% Quantités d intérêt Estimation de θ = (β, η), P d (θ), F (t θ) = P(X t θ) Calcul d intervalles de confiance à 95% Comparaison des estimations MLE : Basée sur les données complètes (x, y) Basée sur le seul échantillon x de la loi de Weibull 12 / 38

13 Estimation de θ, P d (θ) 7 IC 95 % Vraie Estimation Complete data 7 IC 95 % Vraie Estimation Parametric model sample β η P f(θ) β η P f(θ) 100 Gauche : Estimation sur données complètes (x, y) Droite : Estimation sur échantillon Weibull x seulement Optimisation numérique par algorithme du simplexe, intervalles de confiance par bootstrap et Delta-méthode 13 / 38

14 Estimation de la fonction de répartition F (t θ) 1.0 True CDF Estimated CDF 95 % bounds Complete data 1.0 Parametric model sample True CDF Estimated CDF 95 % bounds Gauche : Estimation sur données complètes Droite : Estimation sur échantillon Weibull seulement 14 / 38

15 Premières conclusions Bonne estimation de θ, grâce au grand nombre de données disponibles Les données tronquées bruitées n améliorent pas significativement l estimation... Mais permettent de valider les hypothèses du modèle (via un test d adéquation) : Choix d une POD Modèle de bruit f ɛ Loi paramétrique (Weibull) 15 / 38

16 Conclusions sur les données réelles Bonne adéquation de Weibull aux données d expertise Inadéquation du modèle aux données d IS. Explications possibles : 1 Mauvaise connaissance de la POD et du bruit d observation 2 Non prise en compte de l arrondi dans les données 16 / 38

18 Principe Les données d expertise suffisent à estimer la loi de la taille des défauts On peut alors estimer la POD à partir des données d IS, en supposant une forme paramétrique G(x) = G(x η), par plug-in : ˆη = arg max η n IS G(x η)f (x ˆθ)f ɛ (y j /x)dx/x j=1 P d (η, ˆθ) Permet de confirmer l égalité en loi entre données d expertise et d IS, d estimer le nombre moyen de défauts non détectés, leur loi, / 38

19 Mise à jour des hypothèses Données d IS arrondies à l entier le plus proche (censure par intervalle), bruit gaussien additif La log-vraisemblance (conditionelle à ˆθ) des données d IS s écrit alors : L(y η) = n IS log P d (η, ˆθ) + { z=k+ 1 2 n k log k y n k = {y j = k} z=k 1 2 x G(x η)f (x ˆθ)f ɛ (z x)dxdz On se limite dans la suite à une POD log-normal : η = (x 0, q) } 19 / 38

21 Données simulées Parametric model data Density Data histogram Density Data histogram Smooth truncation model data / 38

22 Estimation de x 0, q, P d (η, θ) IC 95 % Vraie Estimation /q x 0 Pf (θ) 100 θ estimé sur échantillon Weibull x seulement puis, POD log-normale (η = (x 0, q)) estimée sur y (filtrées, bruitées, arrondies) Optimisation numérique par algorithme du simplexe, intervalles de confiance par bootstrap et Delta-méthode 22 / 38

23 Estimation de la fonction POD True POD Estimated POD 95 % bounds Estimation peu-précise, due à l incertitude sur l étalement q Intervalles de confiance erronés : approche fréquentiste peut-être non adaptée 23 / 38

24 Estimation de la CDF Empirical CDF True CDF Estimated CDF 95 % bounds Bon encadrement des CDF réelle et empirique, malgré la mauvaise estimation de la POD : Peut indiquer le caractère peu identifiable du modèle 24 / 38

25 Vraisemblance de q log(y θ) /q Vraisemblance de q, conditionnellement à la vraie valeur de x 0 Explique l incertitude sur ce paramètre / 38

26 Bilan sur les données réelles Grande incertitude sur la POD (en particulier, sur q) : approche par maximum de vraisemblance peu adaptée Évaluation erronée des incertitudes par les intervalles de confiance bootstrap... Et si on essayait le bayésien??? [1] : Estimation bayésienne du modèle à POD fixée, introduction des défauts non détectés comme variables latentes 26 / 38

29 Algorithme de Metropolis-Hastings On redéfinit η = (x 0, q) comme η = (log x 0, q 2 ) := (µ, τ) But : Simuler π(η y) π(η)l(y η) À l étape t, η t = (µ t, τ t ). Mise à-jour alternée de µ puis τ : (marche aléatoire) µ t+1 = µ c := µ t + σz, Z N (0; 1) avec proba { min 1; π(µc, τ t )L(y µ c }, τ t ) π(η t )L(y η t ) sinon µ t+1 = µ t (loi uniforme) τ t+1 = τ c := τ t U, U U[1 ɛ; 1 + ɛ] avec proba { min 1; π(µ t+1, τ c )L(y µ t+1, τ c } )τ t π(µ t+1, τ t )L(y µ t+1, τ t )τ c sinon τ t+1 = τ t 29 / 38

30 Calibration adaptative But : Eviter un taux d acceptation trop fort (pas d exploration) ou trop faible (blocage de la chaîne) Idée : toutes les K = 30 itérations, mettre à jour σ et ɛ en fonction des taux d acceptations A µ et A τ si A µ (resp. A τ ) >.8, on multiplie σ (resp. ɛ) par 1.1 si A µ (resp. A τ ) <.2, on multiplie σ (resp. ɛ) par 0.9 sinon on conserve les valeurs courantes taux d acceptations calculés sur toutes les itérations : stabilisation asymptotique Nécessite une calibration fine, sans doute dépendante des données 30 / 38

32 Choix des lois a priori On utilise pour π(µ, τ) une loi informative (Gamma-Gaussienne), pour compenser le manque d information apporté par les données : π(µ τ) = N (µ µ ; 1/(10τ)) π(τ) = G(τ 1; τ ) On utilise ici les vraies valeurs (µ, τ ) à remplacer ultérieurement (e.g. par le MLE). 32 / 38

33 Convergence de la chaîne x /q Bon comportement global des deux chaînes Distribution sur τ non centrée sur τ 33 / 38

34 Densités marginales a posteriori 10 8 prior posterior true prior posterior true x /q Apport visible d information par les données Distribution sur τ non centrée sur τ 34 / 38

35 Estimation de x 0, q, P d (η, θ) cred. int. 98 % True Posterior mean x 0 q P d / 38

36 Estimation de la fonction POD True POD Estimated POD 98 % bounds Estimation bien plus précise que par le MLE la vraie POD est bien encadrée par les intervalles de crédibilité 36 / 38

37 Estimation de la CDF 1.0 True CDF Estimated CDF 98 % bounds Estimation bien plus précise que par le MLE la vraie CDF est bien encadrée par les intervalles de crédibilité 37 / 38

38 Discussion Résultats L approche bayésienne est bien adaptée pour le modèle POD Premiers résultats encourageants sur données simulées... mais tout reste à faire! Perspectives Construction d une vraie loi a priori Initialisation de l algo ailleurs qu en les vraies données (e.g. le MLE) Résultats sur données réelles Estimation conjointe de (θ, η) sur la base des données totales Modélisation non paramétrique de la POD 38 / 38

39 G. Celeux, M. Persoz, J.N. Wandji, F. Perrot Using Markov Chain Monte Carlo methods to solve full Bayesian modeling of PWR vessel flaw distributions. Reliability Engineering and System Safety, 66 : , / 38