e t a s s i m i l a t i o n d e d o n n é e s s é q u e n t i e l l e Fabien Campillo

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Yvonne Germain
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1 filtrage particulaire e t a s s i m i l a t i o n d e d o n n é e s s é q u e n t i e l l e Fabien Campillo

2 filtrage non linéaire [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 2/28

3 le modèle l évolution de l état est modélisée par x k = f k (x k 1 ) + w k w k iid N(0, Q w k) l observation est décrite par y k = h k (x k ) + v k v k iid N(0, Q v k) w k, v k, x 0 sont [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 3/28

4 le problème on veut calculer récursivement la loi conditionnelle π k de l état x k sachant les observations présentes et passées y 1:k = {y 1,...,y k } π k (dx) = P(x k dx y 1:k ) loi(x k y 1:k ) π k (dx) = P(x k dx y 1:k 1 ) loi(x k y 1:k 1 ) la loi conditionnelle π k représente tout ce que l on sait sur x k sachant le modèle a priori et les observations y 1:k [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 4/28

5 le filtre non linéaire méthode récursive pour calculer π k à partir de π k 1 et y k : prédiction: calculer π k à partir de π k 1 est du modèle d état π k (dx ) = π k 1 Q k (dx) déf = x π k 1 (dx) Q k (x, dx ) noyau markovien Q k (x, dx ) = P(x k dx x k 1 = x) correction: calculer π k à partir de π k et de y k (formule de Bayes) π k (dx) }{{} posteriori ψ k (x) }{{} vraisemblance π k (dx) }{{} priori ψ k (x) = ψ k (x,y k ) et ψ k (x, y) dy = P(y k dy x k = x) équation non linéaire (coef. de normalisation ψ k (x)π k (dx)) [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 5/28

6 le filtre non linéaire (suite) ici Q k (x, dx ) = N(f k (x), Q w k ) ψ k (x) exp( 1 2 [y k h k (x)] [Q v k ] 1 [ ] ) [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 6/28

7 en pratique le FNL est une équation dans un espace infini dimensionnel à chaque itération: intégrales peu d intérêt en pratique: peut se résoudre comme une EDP différences finies méthodes multigrilles [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 7/28

8 filtre de Kalman et extensions [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 8/28

9 modèle linéaire/gaussien c est le seul cas où (1) la solution est connue explicitement (2) elle peut être calculée à l aide d un algorithme x k = F k x k 1 + w k y k = H k x k + v k alors π k (dx ) = N(ˆx k, P k ) et π k (dx ) = N(ˆx k, P k ) avec ˆx k = F k ˆx k 1 P k = F k P k 1 Fk + Q w k K k = P k Hk [H k P k Hk + Q v k] 1 ˆx k = ˆx k + K k [y k H k ˆx k ] P k = [I K k H k ] P k [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 9/28

10 filtre de Kalman étendu linéariser les fonctions autour des estimées courantes et supposer que toutes les lois sont gaussiennes on obtient avec π k (dx ) N(ˆx k, P k ), π k (dx ) N(ˆx k, P k ) ˆx k = f k (ˆx k 1 ) P k = F k P k 1 F k + Q w k où F k = f k (ˆx k 1 ) K k = P k H k [H k P k H k + Q v k] 1 ˆx k = ˆx k + K k [y k h k (ˆx k )] P k = [I K k H k ] P k où H k = h k (ˆx k ) [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 10/28

11 Unscented Kalman filter but: ne pas calculer de gradient. Idée: transformation non linéaire de formules de quadrature Julier, J. Uhlmann. A general method for approximating nonlinear transformations of probability distributions, Technical report, University of Oxford, Julier, Uhlmann, Durrant-Whyte. A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators, IEEE Transactions on Automatic Control, Julier, Uhlmann. Unscented filtering and nonlinear estimation. IEEE Review, [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 11/28

12 Unscented transform on dispose d une formule de quadrature (ω i, x i ) i=1:n au second ordre pour x, i.e. n ω i x i = Ex i=1 n ω i (x i Ex) (x i Ex) = cov(x) i=1 then (ω i, y i ) i=1:n with y i = f(x i ) can be used for a quadrature formula for y = f(x). les auteurs proposent une méthode simple de calcul des σ points x i E(x) + [ (d + λ) cov(x) ω ]i i 1 2(d+λ) i = 1 d x i+d E(x) [ ] (d + λ) cov(x) ω i+d 1 2(d+λ) i = 1 d x 2d+1 E(x) ω 2d+1 λ d+λ (λ paramètre d échelle libre) [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 12/28 i

13 Unscented Kalman filter σ k 1 = (ω i k 1, xi k 1 ) σ points pour N(ˆx k 1, P k 1 ) ˆx k = σ k 1 ω i k 1 f k(x i k 1 ) P k = σ k 1 ω i k 1 [f k(x i k 1 ) ˆx k ][ ] + Q w k σ k = (ω i k, x i k ) σ points pour N(ˆx k, P k ) ŷ k = σ k ω i k h k (x i k ) S k = σk ω i k [h k (x i k ) ŷ k ] [ ] + Q v k U k = σ k ω i k [x i k ˆx k ][h k (x i k ) ŷ k ] ˆx k = ˆx k + U k [S k ] 1 [y k ŷ k ] P k = P k U k [S k ] 1 [U k ] [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 13/28

14 approximation particulaire [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 14/28

15 approximation particulaire méthode de Monte Carlo séquentielle biblio Gordon, Salmond, Smith. Novel approach to nonlinear/non Gaussian Bayesian state estimation, IEE Proceedings, Doucet, de Freitas, Gordon (eds). Sequential Monte Carlo Methods in Practice. Springer-Verlag, [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 15/28

16 Monte Carlo Eφ(x) 1 N N φ(ξ i ) où ξ 1:N iid loi(x) i=1 valable pour tout φ loi(x) 1 N N i=1 δ ξ i convergence assez lente (en 1 N ) mais ne dépend pas de la dimension comment faire évoluer un échantillon en temps? [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 16/28

17 Monte Carlo séquentiel supposons que l on dispose d un N échantillon ξk 1 1:N loi(x k 1 y 1:k 1 ), i.e. de la π k 1 π N k 1 = 1 N N i=1 δ ξ i k 1 prédiction: on simule indépendamment ξk i Q k (ξk 1, i dx) = N(f k (ξk 1), i Q w k) i.e. ξk i = f k (ξk 1 i ) + [Qw k ]1/2 randn(), et N π k π N k = 1 N i=1 δ ξ i k [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 17/28

18 Monte Carlo séquentiel (suite) correction: on pondère les particules en fonction de leur vraisemblance ω i k ψ k (ξ i k ) = exp( 1 2 [y k h k (ξ i k )] [Q v k] 1 [ ] ) (et N i=1 ωi k = 1) ré échantillonage: ξ 1:N k iid N i=1 ω i k δ ξ i k éviter la dégénérescences des poids implémentation spécifique [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 18/28

19 Monte Carlo séquentiel (suite) on doit +/- savoir simuler l équation d état calculer la vraisemblance utiliser une procédure de rééchantillonnage efficace avantages simple à développer et à mettre en œuvre (intuitif) beaucoup de variations réellement non linéaire inconvénient peut-être lent (beaucoup de particules) [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 19/28

20 filtres de Kalman d ensemble [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 20/28

21 biblio Evensen. Sequential data assimilation with a nonlinear quasi geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics, Journal of Geophysical Research, Burgers, van Leeuwen, Evensen. On the Analysis Scheme in the Ensemble Kalman Filter, Monthly Weather Review, Evensen. The ensemble Kalman filter: theoretical formulation and practical implementation, Ocean Dynamics, Pham. Stochastic methods for sequential data assimilation in strongly nonlinear systems, Monthly Weather Review, [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 21/28

22 acquisition de données prévision d ensemble prévision météo avec 1 seule simulation: impossible on génère plusieurs simulation issues de conditions initiales différente interprétation probabiliste: fréquence relative des évènements acquisition de données c est un problème de filtrage (prévision/prédiction + analyse/correction) dimension de l espace d état très grande [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 22/28

23 Kalman étendu système x k = f k (x k 1 ) + w k et y k = h k (x k ) + v k FKE ˆx k = f k (ˆx k 1 ) P k = F k P k 1 F k + Q w k où F k = f k (ˆx k 1 ) K k = P k H k [H k P k H k + Q v k] 1 ˆx k = ˆx k + K k [y k H k ˆx k ] P k = [I K k H k ] P k deux problèmes concernant la covariance place mémoire calcul prédiction/correction [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 23/28

24 représentation d ensemble représentation de la loi loi(x k y 1:k ) ξ 1:N k moyenne empirique: µ(ξk 1:N ) = 1 N N i=1 ξi k covariance empirique: Γ(ξ 1:N k ) = 1 N 1 on dispose de N états : attention N est petit N i=1 [ξi k µ(ξ1:n k )] [ ] [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 24/28

25 prévision (prédiction) on se donne un ensemble d état à l instant k 1: ξ 1:N k 1 dans l étape de prévision: Monte Carlo ξk i = f k (ξk 1) i +w i k i = 1 N }{{} code de simu [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 25/28

26 analyse (correction) on s inspire de ˆx k = ˆx k + P k H k [H k P k H k + Q v k] 1 [y k H k ˆx k ] ensemble de mesures analyse ξ 1:N k = ξ 1:N k + Γ(ξ 1:N k ) H k y i k = y k + v i k [ ] 1 [ ] H k Γ(ξk 1:N ) H k + Γ(vk 1:N ) yk 1:N H k ξk 1:N [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 26/28

27 analyse (correction) (suite) l inversion de M = H k Γ(ξ 1:N k ) H k + Γ(v 1:N k ) décomposition M = Z Λ Z (Λ matrice diagonale) le rang de M est N, donc moins de N termes sont non nuls dans Λ on ne conserve en mémoire que les N premières colonnes de Z [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 27/28

28 Pham échantillonnage au second ordre: w 1:N iid N(0, Q) tels que { µ(w 1:N ) = 0 Γ(w 1:N ) = Q (réduire le nombre de particules sans dégrader les performances) [filtrage non linéaire [Kalman [particulaire [EnKF 28/28

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