Estimation et Intervalle de Confiance
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1 Estimation et Intervalle de Confiance Jean-Jacques Daudin AgroParisTech October 26, 2011 Document disponible sur J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
2 introduction 1 introduction 2 Définitions de base 3 Maximum de Vraisemblance 4 Intervalle de confiance 5 Références J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
3 Plan introduction 1 introduction 2 Définitions de base 3 Maximum de Vraisemblance 4 Intervalle de confiance 5 Références J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
4 Statistique inférentielle introduction transporte (fero : porter, transporter) les conclusions concernant les résultats d un échantillon vers la population dont il est issu. Estimation d un paramètre, intervalle de confiance : théorie de l estimation Réponse à une question concernant un ou des paramètres, test d hypothèse : théorie des tests statistiques J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
5 introduction Avertissement Le cadre est (un peu) différent de celui du cours de l échantillonnage: Dans le cours précédent on considérait une population finie constituée de N < unités sciences sociales: citoyens, clients, agents économiques écologie: espèces vivantes dans un environnement donné épidémiologie: nombre de personnes atteintes A partir de ce cours on se place dans une cadre dit de population infinie, N = 1 le tirage de l échantillon est fait avec remise, les tirages sont indépendants 1 on utilise des modèles probabilistes plus complexes permettant de prendre en compte l allure de la distribution de la variable étudiée on se contente d un mode d échantillonnage aléatoire simple (pas stratifié ni à deux dégrés). 1 sauf cas particuliers qui seront précisés J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
6 Plan Définitions de base 1 introduction 2 Définitions de base 3 Maximum de Vraisemblance 4 Intervalle de confiance 5 Références J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
7 Définitions de base Définitions Données : échantillon x 1, x 2,...x n réalisations de n variables aléatoires X 1, X 2,...X n Modèle de l expérience : loi de probabilité des variables aléatoires de l expérience : X i P θ. Paramètres : paramètres des lois de probabilité du modèle de l expérience. Souvent noté θ. S il y a plusieurs paramètres θ est un vecteur. Estimateur : une fonction des variables aléatoires de l expérience, T = f(x 1, X 2,...X n ) Estimation : une réalisation de la variable aléatoire Estimateur, t = T (ω) Notation θ: estimation (t) ou estimateur (T ) selon le contexte. J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
8 Définitions de base Combien de tanks? 1 numéro de série sur 3 tanks : 133, 502, 433 Données : échantillon x 1 = 133, x 2 = 502, x 3 = 433, réalisations de X 1, X 2, X 3 Modèle de l expérience : X i loi uniforme sur les entiers de 1 à ν. Paramètre : θ = ν, nombre de tanks fabriqués. Estimateurs de ν : T 1 = X max, où X max = max(x 1, X 2, X 3 ) T 2 = 2 X 1 où X est la moyenne T 3 = 2 X 1 où X est la médiane T 4 = X max + X min 1 où X min = min(x 1, X 2, X 3 ) T 5 = 4 3 X max 1 Estimation : t 1 =502, t 2 =711, t 3 =865, t 4 =636, t 5 =668 1 cas en population finie J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
9 Définitions de base Quel taux de germination? 40 graines de tournesol (issues d un lot de 5 tonnes) sur du papier buvard humide on compte le nombre de germes normaux au bout de huit jours. Données : échantillon x=36, réalisation de X : nombre de germes normaux Modèle de l expérience : X loi binomiale B(n, π) Paramètres : n=40, θ = π : taux de germination du lot Estimateur de π : T = X n Estimation : t=0.9 J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
10 Quel taux de viscosité? Définitions de base 4 mesures de la viscosité d un polymère pour la fabrication de microprocesseurs. Données : échantillon x 1 =78, x 2 =85, x 3 =91, x 4 =76, réalisations de X 1, X 2, X 3, X 4, Modèle de l expérience : X i N(µ, σ 2 ) indépendantes Paramètres : θ = (θ 1, θ 2 ), θ 1 = µ, θ 2 = σ 2 estimateur de µ : T 1 = X 1+X 2 +X 3 +X 4 n 4 i=1 (X i X) 2 estimateur de σ 2 : T 2 = n 1 Estimation : t 1 =82,5 et t 2 =46,9 J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
11 Définitions de base Qualités d un estimateur T n = f(x 1, X 2,...X n ) estimateur de θ T n θ : erreur d estimation Décomposition de l erreur T n θ = (T n E(T n )) + (E(T n ) θ) premier terme : erreur aléatoire deuxième terme : erreur systématique ou biais J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
12 Définitions de base Définitions Biais de T n : B = E(T n ) θ T n estimateur sans biais E(T n ) = θ B = 0 Ecart Quadratique Moyen de T n 1 : EQM(T n ) = E(T n θ) 2 EQM(Tn ) : erreur moyenne d estimation bonne précision EQM(T n ) faible Propriété 2 : EQM(T n ) = V (T n ) + B 2 T n estimateur convergent (ou consistant ) lim n T n = θ 1 Calcul au tableau dans le cas de la loi Binomiale 2 Démonstration au tableau J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
13 Biais et Variance Définitions de base Biais nul, grande variance Biais non nul, petite variance nul, vari- Biais petite ance J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
14 Définitions de base Combien de Tanks? C = ν n n+2 Estimateur Biais EQM T 1 = X max 1 ν+1 n+1 C T 2 = 2 X 1 0 C [ ] 2ν n n+1 [ ] (ν+1)(n+2) 3n T 3 = 2 X 1 0 C [ν + 1] T 4 = X max + X min 1 0 2C [ ] ν+1 n+1 T 5 = n+1 n X max 1 0 C [ ] ν+1 n J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
15 Définitions de base Combien de Tanks?, ν = 500 et n = 20 Estimateur Biais EQM T 1 = X max T 2 = 2 X T 3 = 2 X T 4 = X max + X min T 5 = n+1 n X max J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
16 Définitions de base Evolution de EQM quand n augmente, ν = 1000 Estimateur n = 3 n = 30 n = 100 T T T T T J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
17 Plan Maximum de Vraisemblance 1 introduction 2 Définitions de base 3 Maximum de Vraisemblance 4 Intervalle de confiance 5 Références J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
18 Maximum de Vraisemblance Y-a-t-il une méthode générale pour estimer des paramètres? Qui fonctionne quelle que soit la loi P θ Qui donne un estimateur Consistant Qui donne un estimateur ayant un bon EQM J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
19 Maximum de Vraisemblance Vraisemblance de l échantillon pour des variables discrètes 1 Cas général V (x 1, x 2,...x n, θ) = P θ (X 1 = x 1,...X n = x n ) Cas de variables indépendantes et de même loi (i.i.d) n V (x 1, x 2,...x n, θ) = P θ (X i = x i ) Dans ce cas: n L(x 1, x 2,...x n, θ) = ln(v (x 1, x 2,...x n, θ)) = ln(p θ (X i = x i )) i=1 i=1 1 Cas de la Binomiale au tableau J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
20 Maximum de Vraisemblance Vraisemblance de l échantillon pour des variables continues 1 Cas général V (x 1, x 2,...x n, θ) = f θ (x 1, x 2,...x n ), densité conjointe de X 1, X 2,...X n Cas de variables indépendantes et de même loi (i.i.d) n V (x 1, x 2,...x n, θ) = f θ (x i ) où f θ (x i ) est la densité de X au point x i. Dans ce cas: i=1 L(x 1, x 2,...x n, θ) = ln(v (x 1, x 2,...x n, θ)) = 1 Cas de la loi Normale au tableau n ln(f θ (x i )) J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33 i=1
21 Maximum de Vraisemblance Estimation du maximum de vraisemblance Estimation t de θ définie par : V (x 1, x 2,...x n, t) = max θ Θ (V (x 1, x 2,...x n, θ) t est la valeur de θ qui maximise la vraisemblance. Dans la suite on suppose que t est unique. t est une fonction des données : t = g(x 1,...x n ) 1 Estimateur du maximum de vraisemblance : T mv n = g(x 1,...X n ). 1 Cas de la Binomiale au tableau J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
22 Maximum de Vraisemblance Propriétés des estimateurs du maximum de vraisemblance Sous les conditions suivantes : x, f θ (x) > 0 x, f θ (x) fonction de θ deux fois différentiable θ Θ, intervalle ouvert de R ne dépendant pas de θ On peut dériver 2 fois f θ par rapport à θ sous le signe I(θ) = E( [ln(f θ(x))] θ ) 2 > 0, (I(θ) information de Fisher ) 1 Alors on a des propriétés quand n : est un estimateur convergent de θ B n biais de Tn mv. On a lim n B n = 0 Loi( n(tn mv θ)) N(0, I(θ) 1 ) (n ). I(θ) 1 est la borne de Cramer-Rao : sous certaines conditions de régularité de f, aucun estimateur sans biais ne peut avoir de variance inférieure à cette borne. T mv n Si T mv n est un estimateur MV de θ alors g(tn mv ) est un estimateur MV de g(θ) 1 Calcul au tableau pour la loi Binomiale J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
23 Maximum de Vraisemblance Méthode des moments 1 Moment d ordre k: m k = x k f θ (x)dx Moment empirique d ordre k: ˆm k = 1 n ˆm k m k (n ) i=1,n xk i Les paramètres d une loi de probabilité sont reliés aux moments, (m 1, m 2,...m p ) = h(θ). Pour une loi à p paramètres, on peut exprimer ces paramètres en fonction des p premiers moments, θ = h 1 (m 1, m 2,...m p ). On estime les p premiers moments par les moments empiriques. On en déduit les estimateurs des paramètres, θ = h 1 ( ˆm 1, ˆm 2,... ˆm p ). Pas de propriété générale analogue à celles obtenues pour le maximum de vraisemblance. 1 Cas des lois Normale et Binomiale au tableau J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
24 Plan Intervalle de confiance 1 introduction 2 Définitions de base 3 Maximum de Vraisemblance 4 Intervalle de confiance 5 Références J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
25 Intervalle de confiance Intervalle de confiance 1 Intervalle de probabilité pour le paramètre θ B 1 = f 1 (X 1, X 2,...X n ), B 2 = f 2 (X 1, X 2,...X n ). P (B 1 < θ < B 2 ) est la probabilité de recouvrement. Intervalle de confiance de niveau 1 α pour le paramètre θ Soit b 1 = f 1 (x 1, x 2,...x n ) et b 2 = f 2 (x 1, x 2,...x n ) des réalisations de B 1 et B 2, avec P (B 1 < θ < B 2 ) = 1 α. b 1, b 2 est l intervalle de confiance. α est la probabilité de non recouvrement La largeur de l intervalle de confiance est une fonction décroissante de α et de n. 1 Construction de l IC de µ en modèle gaussien au tableau J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
26 Intervalle de confiance Intervalle de probabilité 1 α pour µ X 1, X 2,...X n n variables aléatoires iid,x i N(µ, σ 2 ) X = 1 n n i=1 X i S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X) 2 u p est le quantile d ordre p pour la loi normale N(0,1) t ν;p est le quantile d ordre p pour la loi de Student à ν degrés de liberté σ connu B 1 = Ȳ u 1 α 2 σ n, B 2 = Ȳ + u 1 α 2 σ n σ inconnu B 1 = Ȳ t n 1;1 α 2 S n, B 2 = Ȳ + t n 1;1 α 2 S n Si la loi de X i n est pas normale les intervalles précédents restent approximativement corrects à cause du théorème limite central. Cette approximation est d autant meilleure que n est grand et que la loi de X est proche de la loi normale. J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
27 Loi de Student(n 1) Intervalle de confiance Définition et densité X 1, X 2,...X n iid, X 1 N (µ, σ 2 ), X = 1 n n i=1 X i, et S 2 = Alors n i=1 (X i X) 2 n 1. T = X µ S n T (n 1). densité : f(t) = K(ν) [1+ t2 n 1 ] n 2 Espérance : E(T ) = 0 pour n > 2 Variance : V (T ) = n 1 n 3 pour n > 3 J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
28 Intervalle de confiance Allure de la densité de la loi de Student à k degrés de liberté (from Wikipedia) J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
29 Intervalle de confiance Intervalle de probabilité 1 α pour une variance 1 Mêmes hypothèses et notations que pour le cas d une moyenne, χ 2 ν;p est le quantile d ordre p pour la loi du χ 2 à ν degrés de liberté Intervalle de probabilité 1 α pour σ 2 B 1 = (n 1)s2, χ 2 n 1;1 α 2 B 2 = (n 1)s2 χ 2 n 1; α 2 On en déduit l intervalle de probabilité pour σ en prenant la racine. 1 Construction de l IC de σ en modèle gaussien et A.N. au tableau J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
30 Intervalle de confiance Loi du χ 2 (n 1) Définition et densité Z 1,...Z n iid, Z 1 N (0, 1), alors X = n Zi 2 χ 2 (n 1). i=1 densité : f(x) = K(n 1)x ν 2 2 e x 2 Espérance : E(X) = n 1 Variance : V (X) = 2(n 1) J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
31 Intervalle de confiance Allure de la densité du χ 2 (k) (from Wikipedia) J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
32 Intervalle de confiance I.C. pour une proportion 1 X loi binomiale B(n, π) Intervalle de probabilité approché 1 α de π B 1 = X n u 1 α 2 B 1 = X n + u 1 α 2 X n (1 X n ) n, X n (1 X n ) n. Approximation d autant plus valable que n est grand et que π est proche de 1 2. Il existe d autres méthodes plus précises 1 Application Numérique au tableau J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
33 Plan Références 1 introduction 2 Définitions de base 3 Maximum de Vraisemblance 4 Intervalle de confiance 5 Références J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
34 Références Références ouvrage théorique : Cours de statistique mathématique A. Monfort, Economica ouvrage pratique : Aide-mémoire pratique des techniques statistiques Ceresta J.J. Daudin () Estimation et Intervalle de Confiance October 26, / 33
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