Espaces Préhilbertiens Réels

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1 Résumé de Cours 14 Les espaces Préhilbertiens I Espaces Préhilbertiens Réels Soit E un espace vectoriel réel On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive sur E, que l on note généralement <, > Ici, positive signifie que pour tout x E, < x, x > 0 et définie signifie que pour tout x E, si < x, x >= 0, alors x = 0 E On dit que ( E, <, > ) est un espace préhilbertien réel S il est de plus de dimension finie, il est dit euclidien Puisque la forme bilinéaire est positive, on peut poser x E, x = < x, x >, que l on appelle norme euclidienne (ou hilbertienne) de x, associée au produit scalaire <, > Elle vérifie pour tous x, y E : < x, y >= 1 ) ( x + y 2 x y 2 Identité de polarisation 4 x + y 2 x y 2 = 2 x y 2 x + y 2 = x 2 + y < x, y > Identité du parallélogramme Identité d Al-Kachi Le théorème de représentation de Riesz : Si E est un espace euclidien, pour toute forme linéaire ϕ : E R, il existe un unique vecteur x 0 E tel que pour tout x E, ϕ(x) =< x 0, x > Exemples : Le produit scalaire usuel sur R n Le produit scalaire usuel sur M n,p (R) : ϕ : (X, Y ) (R n ) 2 x i y i R ϕ : (M, N) M n,p (R) M n,p (R) Trace (t MN ) On remarque que ce produit scalaire est le ps défini ci-dessus lorsque l on identifie l espace des matrices à l espace des vecteurs de R np, ie Trace (t MN ) p = m i,j n i,j j=1 En utilisant les propriétés de la trace, on peut prouver que toute matrice symétrique est orthogonale aux matrices antismétriques Soit E = L 1 (I, R) l espace des fonctions intégrables sur l intervalle I à valeurs réelles L application ϕ : (f, g) E E f(t)g(t)dt est un produit scalaire sur E I Résumé 14 : Préhilbertiens 1 Page 1/8

2 II Espaces Préhilbertiens Complexes Ici, E est un espace vectoriel sur C Un produit scalaire hermitien sur E est une application <, > de E E dans C qui est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche (ie pour tous x, y, z E et α C, < αx + y, z >= ᾱ < x, z > + < y, z >), hermitienne (ie pour tous x, y E, < x, y > =< y, x >), et définie positive (même définition que dans le cas réel) On dit que E est un espace préhilbertien complexe S il est de plus de dimension finie, il est dit hermitien On appelle norme hermitienne d un vecteur x de E le réel x = < x, x > Les deux identités de polarisation et du parallélogramme sont encore valides ici De plus, pour tous x, y E, ( x + y 2 x y 2 i x + iy 2 + i x iy 2 ) < x, y > = 1 4 x + y 2 = x 2 + y 2 + 2Re < x, y > A noter que la première est très rarement utilisée Exemples : Le produit scalaire usuel sur C n ϕ : (X, Y ) (C n ) 2 x i y i R Le produit scalaire usuel sur M n,p (C) : ϕ : (M, N) M n,p (C) M n,p (C) Trace ( ) t MN Soit E = L 1 (I, C) l espace des fonctions intégrables sur l intervalle I à valeurs complexes L application ϕ : (f, g) E E f(t)g(t)dt I III Orthogonalité Ici, E est un espace préhilbertien sur K = R ou C ENTRE VECTEURS : Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux lorsque < x, y >= 0, et x est dit unitaire ou normé lorsque x = 1, ce qui est le cas de y/ y pour tout y E non nul Une famille de vecteurs est orthogonale lorsque ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux, et elle est orthonormale lorsqu elle est orthogonale et que tous ses vecteurs sont unitaires Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre, donc en particulier une famille orthonormale De plus, si (e 1,, e p ) est orthogonale, alors le théorème de Pythagore s applique : p 2 p e i = e i 2 ENTRE SOUS-ESPACES VECTORIELS : Soit Ω une partie non vide de E On définit Ω est un sous-espace vectoriel de E Ω = {x E tels que pour tout ω Ω, < x, ω >= 0} On a Ω ( Ω ), mais l autre inclusion n est pas toujours vérifiée en dimension infinie De plus, si A B, alors B A Résumé 14 : Préhilbertiens 2 Page 2/8

3 Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits orthogonaux entre eux lorsque l une des assertions équivalentes suivantes est vérifiée : F G G F (a, b) F G, < a, b >= 0 IV Bases orthonormées Tout espace euclidien ou hermitien posséde au moins une base orthonormée L intérêt des bases orthonormées provient du fait que dans celles-ci, les composantes, les normes, les matrices d endomorphismes se calculent aisément Soit B = (e 1, e n ) une base orthonormée de E 1 Pour tout vecteur x de E, x = < e i, x > e i 2 Soient x, y E Notons x = n x i e i et y = n y i e i Alors : < x, y >= x i y i, et x 2 = x i 2 Remarque : Bien évidemment, si K = R, les conjugués et les modules dans ces expressions sont inutiles < e 1, x > < e 2, x > Autrement dit, Mat B (x) = < e n, x > On en déduit une interprétation matricielle très pratique : 1 Soient x, y E et X = Mat B (x) et Y Mat B (y) R n les vecteur des composantes de x et y dans B Alors < x, y >= t XY ( ou t XY sur C) 2 Soit f un endomorphisme de E Notons M = ( m i,j sa matrice dans B Alors )1 i,j n i, j [[1, n]], m i,j =< e i, f(e j ) > V Projections Orthogonales E est toujours un préhilbertien réel ou complexe Soit F un sous-espace vectoriel de E On dit que F admet un supplémentaire orthogonal lorsqu il existe un sous-espace vectoriel G de E qui est à la fois supplémentaire de F et orthogonal à F 1 On montre que s il existe, ce sous-espace vectoriel est F, si bien que les assertions F admet un supplémentaire orthogonal et F F = E sont équivalentes Attention : en dimension infinie, certains sous-espaces vectoriels n admettent pas de supplémetaire orthogonal En revanche, tout sous-espace vectoriel F de E de dimension finie admet un supplémentaire orthogonal : F F = E 1 Avouez que la dénomination est bien trouvée! Résumé 14 : Préhilbertiens 3 Page 3/8

4 Parmi les projecteurs de E, certains se distinguent par le fait que leur noyau et leur image sont orthogonaux entre eux : Soit F un sous-espace vectoriel tel que F F = E On appelle projection orthogonale sur F le projecteur sur F parallèlement à F Dans le cas où F est de dimension finie, pour toute base orthonormale (e 1,, e p ) de E, on a alors : p x E, p(x) = < e k, x > e k Remarque : On a de jolies caractérisations des projecteurs orthogonaux parmi les projecteurs Par exemple, si p est un projecteur de E (qu on supposera de dimension finie), alors on a équivalence entre 1 ker (Im p) 2 p = 1 3 p est auto-adjoint Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que F F = E On appelle symétrie orthogonale s par rapport à F la symétrie par rapport à F parallèlement à F On appelle réflexion par rapport à l hyperplan H la symétrie orthogonale par rapport à H k=1 Remarque : La réflexion par rapport à H = ( Vect (x 0 ) ), si x0 est unitaire, admet pour expression s E E x x 2 < x, x 0 > x 0 LE THÉORÈME DIT DE LA PROJECTION ORTHOGONALE : Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que F F = E Notons f la projection orthogonale sur F Alors : x E, y F, x y x f(x), et il y a égalité si et seulement si y = f(x) VI Orthonormalisation de Gramm-Schmitt Nous présentons un procédé de construction de bases orthonormées à partir d une base de E : Soit E un espace préhilbertien et E = (e 1,, e p ) une famille libre de E Alors il existe une unique famille V = (v 1, v p ) de vecteurs de E qui vérifie (v 1,, v p ) est orthonormée, k [[1, p]], Vect (e 1,, e k ) = Vect (v 1,, v k ), k [[1, p]], < e k, v k >> 0 On appelle cette famille V orthonormalisée de E par le procédé de Gram-Schmitt Résumé 14 : Préhilbertiens 4 Page 4/8

5 Remarque : Puisque V est orthonormale, la matrice de passage de la base V à la base E est < e 1, v 1 > < e 1, v 1 > < e p, v 1 > 0 < e 2, v 2 > GL p(r) T n + (R) 0 0 < e p, v p > On appelle génériquement polynômes orthogonaux la problématique suivante : Soit w C 0 ([a, b], R) une fonction strictement positive sur [a, b] On définit alors le produit scalaire suivant sur E = R[X] : < P, Q >= b a P (t)q(t)w(t)dt La famille des polynômes orthogonaux est l orthonormalisée de Gram-Schmit de la base canonique de E VII Automorphismes orthogonaux VII1 Dans tout ce paragraphe, E sera un espace vectoriel euclidien Endomorphismes orthogonaux Soit f L (E) on dit que f est un endomorphisme orthogonal, ou une isométrie vectorielle lorsque x, y E, < f(x), f(y) >=< x, y > On note O(E) l ensemble des endomorphismes orthogonaux Pour montrer qu un endomorphisme est une isométrie, nous uiliserons plutôt : f O(E) x E, f(x) = x Les endomorphismes orthogonaux sont des automorphismes : O(E) GL(E) Exemples : Les symétries orthogonales sont des endomorphismes orthogonaux, mais attention aux faux amis : aucun projecteur orthogonal autre que Id E, n en est un On montre que si f (E), alors det f = ±1 et le spectre de f est inclus dans { 1, 1} Plusieurs propriétés (injectivité, surjectivité) d un endomorphisme f de E se lisent sur les propriétés de l image d une base de E par f (libre, génératrice) Il en est de même du caractère orthogonal de f : Soit f L (E) Alors on a l équivalence entre les prédicats suivants : f O(E) une BON B de E dont l image par f est une BON de E B BON de E, l image par f de B est une BON de E L ensemble O(E) est un sous-groupe compact de (GL(E), ), appelé groupe orthogonal de E Il en est de même pour SO(E) qui est l ensemble des isométries de E de déterminant 1 VII2 Matrices orthogonales Ici, n N, et R n sera toujours muni du produit scalaire canonique Soit M M n (R) M est dite orthogonale lorsque l endomorphisme de R n L M R n R n est une isométrie de R n On note O n (R) l ensemble des matrices orthogonales Soit M M n (R) Sont équivalentes : X MX Résumé 14 : Préhilbertiens 5 Page 5/8

6 1 M O n (R) 2 t MM = I n 3 M t M = I n 4 Les colonnes de M forment une base orthonormée de R n 5 Les lignes de M forment une base orthonormée de R n Remarque : En particulier, inverser une( matrice orthogonale ) est très simple : il suffit de la transposer cos x sin x Toute matrice de rotation est orthogonale sin x cos x Il y a un lien évident entre les endomorphismes orthogonaux et les matrices orthogonales : Soit E un espace euclidien et f L (E) Alors on a l équivalence entre les affirmations suivantes : f O(E) B BON de E, Mat B (f) O n (R) Soit B 0 une BON de E, et B 1 une base de E Alors B BON de E, Mat B (f) O n (R) B 1 est une BON de E la matrice de passage P B 1 B 0 O n (R) En particulier, la matrice de passage entre deux BON de E est une matrice orthogonale VIII Géométrie Vectorielle euclidienne Soit n = 2 ou 3 Rappelons qu un espace euclidien orienté de diemnsion n est un espace euclidien dont on s est donné une base de référence B 0 Toute base B de E est ainsi orienté ; elle est dite directe si det P B B 0 > 0, et indirecte si det P B B 0 < 0 En particulier, R 2 et R 3 sont orientés par leur base canonique VIII1 Dans le plan orienté Nous noterons pour tout réel x : ( ) cos x sin x R x = sin x cos x ( ) cos x sin x et S x = sin x cos x Commençons, avant d étudier ces deux ensembles de matrices, par prouver qu elles constituent tout O 2 (R) : RÉDUCTION DE O 2 (R) : Soit Ω O 2 (R) det Ω = 1 θ R tel que Ω = R θ det Ω = 1 θ R tel que Ω = S θ PROPRIÉTÉS DES RÉFLEXIONS : Soit x R Alors ( ) cos x S x est la réflexion par rapport à la droite vectorielle engendrée par 2 sin x 2 S x est semblable à la matrice Diag(1, 1) Précisément, S x = R x/2 Diag(1, 1) t R x/2 Résumé 14 : Préhilbertiens 6 Page 6/8

7 PROPRIÉTÉS DES ROTATIONS : Soit x R Alors R x est la rotation vectorielle de centre 0 et d angle x x, y R, R x R y = R x+y et Rx 1 R y R x = R y De ces propriétés et du théorème de réduction de O 2, on déduit le théorème suivant : Soit E un plan euclidien orienté et f O(E) Si det f = 1, alors 1 θ R tel que pour toute BOND B de E, Mat B (f) = R θ cos θ =< u, f(u) > 2 Pour tout vecteur unitaire u E, sin θ = det(u, f(u)) Si det f = 1, alors 1 Il existe une BON directe B de E dans laquelle Mat B (f) = ( ) Pour tout BON directe B de E, il existe θ R tel que Mat B (f) = S θ Enfin, le produit de deux réflexions est une rotation (pourquoi?), et la réciproque est vraie : Soient X, X deux vecteurs non nuls de E, S la réflexion par rapport à Vect X et S la réflexion par rapport à Vect (X ) Alors S S est la rotation d angle 2θor(X, X ) VIII2 Dans l espace orienté Le cas de la dimension 3 est légèrement plus délicat à étudier car les éléments caractéristiques d une rotation par exemple n apparaissent pas du premier coup d oeil Conformément au programme, nous ne nous intéresserons qu aux rotations, ie aux isométries vectorielles qui conservent l orientation On rappelle que E est un espace euclidien orienté de dimension 3, et que SO 3 (E) est l ensemble des endomorphismes orthogonaux de E de déterminant 1 RÉDUCTION DE O 3 (R) : Soit f SO 3 (E) Alors il existe une base orthonormée directe B = (O, e 1, e 2, e 3 ) et un réel θ tels que Mat B (f) = 0 cos θ sin θ Une telle isométrie est appelée 0 sin θ cos θ rotation de demi-axe R + e1 et d angle θ, et notée Rot e1,θ Si θ = π, on dit de f que c est un retournement, ou un demi-tour Remarque : 1 Pratiquement, les éléments caractéristiques de cette rotation se retrouvent grâce à : e 1 ker(f Id) Trace (f) = cos θ, Pour tout vecteur unitaire u orthogonal à e 1, sin θ = det ( u, f( u ), e 1 ) 2 Une symétrie orthogonale est une isométrie, mais c est un élément de SO 3 (R) si et seulement si ker(f + Id) est de dimension paire (réduire cette matrice dans une base adaptée pour calculer son déterminant) ie ssi f = Id, ou f est une symétrie par rapport à une droite R u, auquel cas f = R u,π Soit u R 3 un vecteur unitaire et θ R L image d un vecteur x orthogonal à u par la rotation de demi-axe u et d angle θ est donné par : R(x) = (cos θ) x + (sin θ) u x Résumé 14 : Préhilbertiens 7 Page 7/8

8 IX Les preuves à connaitre Toutes! Je n arrive pas à trancher X Quelques exercices classiques Un projecteur est un projecteur orthogonal p = 1 < p(x), y >=< x, p(y) > pour tous x, y E Pour toute matrice M Gl n (R) il existe un unique couple (Ω, T ) O n (R) T n + (R) tel que T a des coefficients diagonaux positifs et M = ΩT Calculer inf (a,b) R e t [t 2 at b] 2dt Résumé 14 : Préhilbertiens 8 Page 8/8