Fonctions de deux variables

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1 Chapitre Fonctions de deu variables Sommaire. Rappels Généralités Représentation graphique d une fonction de deu variables Optimisation sous contrainte Eercices Rappels.. Généralités Définition.. Une fonction numérique de deu variables est une fonction qui à deu nombres et associe un nombre noté = f (, ). Une telle fonction est représentée dans l espace par l ensemble des points M ( ; ; ) où = f (, ). Cet ensemble est appelé surface, d équation = f (, ). Définition.. Soit S une surface d équation = f (, ). On appelle ligne de niveau = k, la courbe formée par l intersection du plan d équation = k et de la surface d équation = f (, ). { = k C est donc l ensemble des points dont les coordonnées vérifient le sstème = f (, ) Remarque. On définit de la même manière les lignes de niveau = k et = k. Propriété.. Soit S une surface d équation = f (, ). Si { la ligne de niveau = k est équivalente à un sstème de la forme : = k alors c est une droite (contenue dans le plan d équation = k) ; a+ b = c { = k + = r alors c est un cercle de centre Ω(; k) et de raon r (contenu dans le plan d équation = k) ; { { = k = k = a ou + b+ c = a alors c est une parabole (contenue dans le plan d équation = k) ; + b+ c { { { = k = k = k = ou = ou bien encore où u est une fonction associée à la fonction inverse alors c est une = u() hperbole (contenue dans le plan d équation = k). On l admettra. Remarque. On obtient des propriétés équivalentes pour les lignes de niveau = k et = k en permutant les lettres. 75

2 . Rappels Terminale ES spécialité.. Représentation graphique d une fonction de deu variables Pour toute la suite nous considèrerons la fonction de deu variables f définie par : f (, )= ( + ) Une première représentation Un logiciel en donne la représentation suivante : Une deuième représentation Une telle représentation n est guère eploitable. Si l on peut deviner (éventuellement) les coordonnées du sommet (; ; ), quasiment aucun autre point n est lisible. Pour pouvoir procéder plus facilement à des lectures graphiques, on fait apparaître sur cette surface des lignes de niveau = k, = k et = k où k prend des valeurs entières (,,, 3, etc. ou bien, 5,, etc.), c est-à-dire l ensemble des points appartenant à cette surface tels que =, =, etc. =, = etc. et =, = etc. On colore en général les espaces entre deu lignes de niveau =, = etc. Enfin on place les aes à l etérieur. On obtient alors, avec un autre logiciel la figure. de la présente page. FIGURE. Deuième représentation Remarque. La surface semble présenter des «angles», mais cela est dû au logiciel, la surface étant parfaitement «lisse». 7 http ://perpendiculaires.free.fr/

3 Terminale ES spécialité. Rappels Les lignes joignant l ae des «de droite» à l ae des «de gauche» sont les lignes de niveau = k, avec ici k variant de 5 (devant) à 5 (derrière). Les lignes joignant l ae des «de devant» à l ae des «de derrière» sont les lignes de niveau = k, avec ici k variant de 5 (gauche) à 5 (droite). Enfin les autres lignes délimitant les couleurs sont les lignes de niveau = k, avec ici k variant de 5 (bas) à (haut). Le point A est sur la surface au croisements des lignes de niveau =, = et =. Ses coordonnées sont donc A(; ; ). Le calcul le confirme : f ( A, A )= f (,)= ( + )= = = A. Le point B est sur la surface au croisements des lignes de niveau =, = 3 et =. Ses coordonnées sont donc B(; 3; ). Le calcul le confirme : f ( B, B )= f (,3)= ( + 3 )= 5= = B. Représentations des lignes de niveau On peut avoir besoin de visualiser la surface «d en haut», «de droite» ou «de face». On obtient les projections des lignes de niveau comme le montre la figure. page ci-contre (les «angles» sont dûs au logiciel). FIGURE. Représentations des lignes de niveau Montrons que la ligne de niveau = est un cercle pour notre fonction f (, )= ( + ). Par définition, la ligne de niveau = est constituée des points dont les coordonnées vérifient : { = = f (, ) { = = ( + ) { = = ( + ) { = = + C est donc un cercle de centre (; ; ) et de raon =. David ROBERT 77

4 . Optimisation sous contrainte Terminale ES spécialité. Optimisation sous contrainte Les fonctions de deu variables sont généralement utilisées en économie pour mathématiser la satisfaction (on dit aussi l utilité) associée pour un consommateur à la possession de deu quantités de biens consommables A et B. Ainsi est le nombre de biens A, le nombre de biens B et f (, ) la modélisation de la satisfaction engendrée che le consommateur par biens de tpe A et biens de tpe B. Ce consommateur peut avoir des contraintes (de budget en général) et peut chercher à optimiser sa satisfaction sous ses contraintes (la théorie économique suppose que les individus sont parfaitement rationnels). Ainsi si, par eemple, le bien A coûte et le bien B coûte et que le consommateur dispose d un budget total de 5, on aura comme contrainte : + = 5. On cherche alors les et tels que la satisfaction f (, ) est maimale. On a alors : { + = 5 = ( + ) { = 5, = ( + (5,) ) Il ne reste plus qu à étudier la fonction f () = ( + (5,) ) (et souvent ses variations), pour savoir si elle admet un maimum et en quelle valeur de il est atteint. f ()= ( + (5,) ) = ( , ) =, +,5 f est une fonction trinôme de la forme a + b+ c avec a =,< donc elle admet un maimum atteint en = b a =, 7,3. On aura alors = 5,,5. Et la satisfaction sera f (, ) 5, { + = 5 Remarque. Le sstème = ( + s interprête géométriquement de la façon suivante : + = 5 est ) l équation d un plan (parallèle à l ae (O)) et = ( + ) est l équation de la surface S. L ensemble des points vérifiant ce sstème est donc l intersection entre ce plan et la surface. C est une courbe et on admettra que, dans le cas présent, c est une parabole. La recherche du maimum de satisfaction est la recherche des coordonnées du plus haut point de cette courbe, donc du sommet de la parabole. EXERCICE. Déterminer, pour que la satisfaction soit maimale quand les pri des biens de tpe A et B sont de et que le consommateur dispose de. On indiquera quelle est cette satisfaction. 7 http ://perpendiculaires.free.fr/

5 Terminale ES spécialité.3 Eercices.3 Eercices EXERCICE. (Asie Juin ). On a représenté de la présente page la surface (S) d équation = 3( + ), avec appartenant à l intervalle [;,5], et appartenant à l intervalle [;, 5]. Partie A Eploitation du graphique. On considère le plan (P) d équation =.. Sur la figure donnée, placer le point A de coordonnées (; ; ).. Surligne en couleur la partie visible de l intersection de la surface (S) et du plan (P) sur la figure donnée. Partie B Recherche d un coût minimum. Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs. On appelle le nombre (eprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et le nombre (eprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois. Le coût mensuel de production, eprimé en milliers d euros, est donné par : C( ; )=3 ( + ) On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût.. La production mensuelle totale est de deu milliers de composants. On a donc + =. Eprimer C( ; ) en fonction de la seule variable. On note f la fonction ainsi obtenue. Vérifier que f ()= Montrer que sur l intervalle [;, 5], la fonction f admet un minimum atteint pour =, Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production? Quel est ce coût?. Placer sur la figure donnée le point K correspondant au coût minimum. FIGURE.3 Figure de l eercice.,5,5,5,5 David ROBERT 79

6 .3 Eercices Terminale ES spécialité EXERCICE. (D après Asie Juin 5). Pour fabriquer un alliage une usine utilise deu métau A et B en quantités et eprimées en tonnes. Le coût de production qui en résulte, eprimé en milliers d euros, est donné par la formule : C( ; )=+,5 +. La page suivante comporte deu figures. La figure. représente la surface d équation = C( ; ) pour et. La figure.5 représente les courbes de niveau de cette surface pour variant de en. Partie. Lequel des points donnés ci-dessous est un point de la surface d équation = C( ; )? (a) M(3; 9; ) (b) N (; ; ) (c) R(; ; ) (d) S(5; ; ). La courbe de niveau = est : (a) une parabole (b) une droite (c) une hperbole (d) autre réponse 3. Déterminer la nature de la courbe de niveau =.. (a) Déterminer la nature des courbes de niveau = k pour k =, k = 5, k =, k = 5, k =. (b) Représenter leurs projections dans le plan (O) Partie Les métau A et B sont achetés respectivement,5 et millier d euros la tonne. L entreprise affecte milliers d euros à l achat des métau.. Un eemple : Si l entreprise achète tonnes de métal A, combien de tonnes de métal B achète-t-elle?. Cas général Soit la quantité de métal A et la quantité de métal achetées. Montrer que et sont liés par la relation + =. 3. (a) Tracer sur la figure.5 l ensemble des points dont l équation est + =. (b) En déduire, graphiquement le coût minimum de production des alliages pour un investissement de milliers d euros, et les quantités.correspondantes de métau A et B achetées. EXERCICE.3. Soit f la fonction définie pour tout réel élément de [ ; ] et pour tout réel élément de ( [ ; ] par : f ( ; )=(+). On donne page la représentation graphique de la surface = f ( ; ) dans un repère O; ı, j, ) k. Pour financer un projet humanitaire, les adhérents d une association décident de fabriquer des cartes de voeu. Pour produire une quantité de paquets de cartes, ils utilisent décilitres d encre A et décilitres d encre B. On admet que, et sont liés par la relation = (+) où est un nombre entier compris entre et, et un nombre entier compris entre et. Dans tout l eercice, les quantités d encre seront eprimées en décilitres. Partie A. (a) Combien de paquets de cartes peut-on fabriquer avec 7 décilitres d encre A et décilitres d encre B? (b) Donner la quantité d encre A, la quantité d encre B, et le nombre de paquets de cartes associés respectivement au points M, P et R à coordon- nées entières, de la surface donnée ci-dessous. (. Quelle est la nature de la section de la surface par le plan d équation =, parallèle au plan O, j, ) k? Justifier la réponse. Partie B Le pri d un décilitre d encre A est et celui d un décilitre d encre B est. L association décide d investir dans l achat des encres.. Donner la relation entre les quantités et d encres A et B achetées pour un montant de.. Montrer alors que = (a) Quelle quantité d encre A l association achètera-t-elle pour fabriquer le maimum de paquets de cartes? (b) Combien de paquets de cartes seront alors fabriqués? (c) Quelle quantité d encre B sera alors utilisée? http ://perpendiculaires.free.fr/

7 Terminale ES spécialité.3 Eercices FIGURE. Surface d équation = C( ; ) FIGURE.5 Courbes de niveau David ROBERT

8 .3 Eercices Terminale ES spécialité FIGURE. Surface de l eercice.3 P M R EXERCICE. (France Septembre 3). Les questions et 3 sont indépendantes. Une entreprise fabrique deu produits E et F en quantités respectives et eprimées en tonnes, pour lesquelles le coût de production est donné par = où est eprimé en milliers d euros avec [; 7] et [; 7].. La surface représentant ce coût est donnée dans le repère de l espace situé sur de la présente page qui sera rendue avec la copie. (a) Placer sur cette surface le point A d abscisse et d ordonnée. (b) Donner graphiquement un encadrement d amplitude de la cote du point A. (c) Vérifier par le calcul.. (a) Montrer que l on a = ( 3) + ( ) +. (b) En déduire la production pour laquelle ce coût est minimal. Quel est ce coût en euros? (c) Placer le point B correspondant à cette production sur la surface. 3. L entreprise doit fabriquer une quantité du produit E et une quantité du produit F avec la contrainte + = 7. (a) Vérifier que peut s écrire sous la forme = g () avec [; 7] et g ()= (b) Déterminer la valeur de pour laquelle g admet un minimum. Quel est alors le coût de production en euros? (c) Placer le point C correspondant à cette production sur la surface. EXERCICE.5 (Liban Juin 5). ( ) Dans l espace muni d un repère orthonormal O ; ı, j, k, on désigne par S l ensemble des points M( ; ; ) de l espace tel que = 3. On dit que S est la surface d équation = 3. Une courbe de niveau de cote est l intersection d un plan d équation =, parallèle au plan (O ), avec la surface S. On définit de façon identique une courbe de niveau d abscisse et une courbe de niveau d ordonnée.. Soient les courbes de niveau d abscisse, d abscisse 3 et d abscisse. Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan (O).. (a) Quelle est la nature des courbes de niveau d abscisse constante? (b) Montrer que les courbes de niveau de cote constante non nulle sont des hperboles. 3. Sur la figure. de la présente page sont représentées trois courbes C, C et C 3 représentant les projections orthogonales dans le plan (O) de trois courbes de niveau de cote constante k. Préciser, en le justifiant, la valeur de k associée à chaque courbe. http ://perpendiculaires.free.fr/

9 Terminale ES spécialité.3 Eercices FIGURE.7 Figure de l eercice.. Le point A représenté sur la courbe C de la figure ci-dessous est la projection orthogonale dans le plan (O ) d un point A( ; ; ), de la surface S. ( (a) Déterminer les coordonnées du point A dans le repère O; ı, j, ) k. (b) Préciser les coordonnées du point A, projeté orthogonal de A dans le plan (O), puis placer ce point A sur la figure.. 5. Soit P le plan d équation 3+ =. (a) Montrer que le point A appartient au plan P. (b) Montrer que le plan P contient la courbe de niveau d abscisse. (c) Démontrer que l intersection de la surface S et du plan P est la réunion de deu droites : la courbe de niveau d abscisse et une autre droite que l on déterminera par un sstème d équations cartésiennes. On pourra utiliser la factorisation + = ( )( ). FIGURE. Figure de l eercice.5 3 A C 3 C C O 3 5 David ROBERT 3

10 .3 Eercices Terminale ES spécialité EXERCICE. (Nouvelle-Calédonie Novembre 5). Le bénéfice B d une entreprise déepend à la fois des investissements et de la production. On appelle le montant des investissements en millions d euros et la quantité produite en milliers d unités. On admet que le bénéfice B de cette entreprise, eprimé en millions d euros, est modélisé par la fonction B définie par B( ; )= e On donne de la présente page une vue de la surface (S) d équation = e, avec élément de l intervalle [; 5] et élément de l intervalle [; ], dans un repère orthogonal de l espace.. Déterminer par lecture graphique le montant des investissements et la valeur de la production qui permettent d obtenir un bénéfice maimal quand appartient à l intervalle [; 5] et appartient à l intervalle [; ]. Calculer la valeur correspondante de ce bénéfice.. (a) Sur la figure ci-dessus, on a placé le point A appartenant à la surface (S), aant pour abscisse A = et pour ordonnée A =. Calculer la troisième coordonnée A du point A. (b) Sur la figure ci-dessus, on a placé le point E appartenant à la surface (S), aant pour abscisse E = et pour troisième coordonnée E = A. Calculer la valeur eacte E de l ordonnée du point E. 3. Quelle est la nature de l intersection de la surface (S) avec le plan d équation =? Justifier. Tracer cette intersection dans un plan muni d un repère orthonormal d unité graphique cm, appartenant à l intervalle [; ]. Déterminer, à l euro près, le montant en euros du bénéfice maimal réalisé par l entreprise quand le montant des investissements est fié à million d euros.. Déterminer une équation de la courbe d intersection de la surface (S) avec le plan d équation =. Epliquer alors comment retrouver le résultat de la question. FIGURE.9 Figure de l eercice. A E http ://perpendiculaires.free.fr/

11 Terminale ES spécialité.3 Eercices EXERCICE.7 (Nouvelle-Calédonie Novembre ). Pour modéliser la production d une entreprise les économistes utilisent des fonctions qui suivent le modèle dit de COBB-DOUGLAS : = A α β (A, α, β réels strictement positifs), où désigne une quantité obtenue à partir de deu quantités variables et. Partie A On considère les fonctions f et h définies pour [; ] et [; ] respectivement par f ( ; )= 3 et h( ; )=.. Vérifier que f et h sont deu fonctions de COBB-DOUGLAS en donnant pour chacune d elles les valeurs A, α, β.. Les représentations graphiques de f et h figurent parmi les trois représentations graphiques de la figure. de la présente page. Associer à chaque fonction sa représentation graphique. Les choi seront justifiés. Partie B La fabrication d un produit dépend des durées de fonctionnement de deu machines M et M. Les durées de fonctionnement des machines M et M eprimées en centaines d heures sont respectivement égales à et. La quantité produite, eprimée en tonnes, est = h(, ), où h est la fonction définie à la partie A.. Dans cette question la quantité produite est fiée à 5 tonnes. Quelle est, parmi les trois représentations graphiques de la figure. page ci-contre, celle de la section du plan d équation = 5 avec la surface d équation =?. Les horaires de travail font que la somme des durées de fonctionnement des deu machines M et M est de huit centaines d heures. (a) Montrer que = 3. (b) Soit la fonction g définie par g ()= 3 pour [; ]. Étudier les variations de g et en déduire les durées de fonctionnement et qui assurent une production maimum. FIGURE. Figure de l eercice.7 5, représentation représentation représentation 3 David ROBERT 5

12 .3 Eercices Terminale ES spécialité FIGURE. Figure de l eercice.7 O O O http ://perpendiculaires.free.fr/