R ij = ( ) 3. On trouve la matrice E (une colonne de taille 1 N) des tensions des générateurs.

Transcription

1 xercice ) L algorithme de l application de la méthode matricielle est le suivant: Tout d abord il faut fixer les mailles en lesquelles on décomposera le circuit Il faut aussi fixer la direction du courant dans chaque maille (cette direction peut être choisie arbitrairement; si elle n est pas bonne, le résultat final pour le courant concerné aura un signe ) nsuite on calcule la matrice des résistances Pour N mailles, ce sera une matrice de taille N N Ses élements diagonaux ii (i =,,, N) sont donnés par ii = résistances dans la maille numéro i Pour les élements ij hors la diagonale (donc i j): ij = ( ) résistances qui appartiennent simultanément (±) à la maille i et à la maille j On choisit le signe + si les directions des courants dans les mailles i et j (à travers la résistance considérée) coïncident Si les directions sont opposées, on prends le signe On trouve la matrice (une colonne de taille N) des tensions des générateurs Ses élements i (i =,, N) s écrivent comme i = (±) fem dans la maille i Comme avant, on choisit le signe + si la direction du courant dans la maille coïncide avec la direction de la fem en question, et le signe si ces directions sont opposées 4 nsuite il faut resoudre le système d équations linéaires I =, et trouver I, où I note la matrice des courants (une colonne de taille N) n général, cette dernière matrice nous permettra de répondre, plus oú moins facilement, aux questions posées dans l exercice ppliquons maintenant cet algorithme à l x: On décompose notre circuit en trois mailles et on fixe les directions des courants comme présenté sur la Fig b Calculons la matrice des résistances On trouve = = 7, = =, = =, = = 8, = =, = + + = 6,

2 V Ω Ω Ω i Ω Ω V V V Ω Ω V Ω I I I (a) (b) Fig et donc la matrice s écrit sous la forme 7 = 8 6 Les élements de la matrice des fem sont donnés par = = 0, = =, = + = et donc = 0 4 On obtient alors le système suivant: Sa solution donne: I = det I I I = / det = ( après le calcul ) = ( 46) 4, =

3 I = det I = det / det / det = ( 06) 4 = ( 4) 4 n effet, la valeur de I nous permet de répondre à toutes questions de l exercice: i = I = 7 I + (ϕ ϕ ) = = ϕ ϕ = + I = 76 9 V ) L algorithme de l application des équations de Kirchhoff: On introduit une notation pour les intensités de courant dans chaque partie du circuit (on pourra choisir les directions arbitraires) Si le circuit contient N noeuds, on écrit les équations de Kirchoff ( courants dans un noeud = 0) en N noeuds Ces N noeuds, eux aussi, peuvent être choisit arbitrairement De plus, on écrit les équations de maille (la somme des tensions = la somme des fem) Le nombre de ces équations doit être suffisant pour pouvoir déterminer les courants, donc: ce nombre + (N ) doit être égal au nombre des intensités inconnues 4 Les étapes et donnent un système d équations linéaires pour les intensités nsuite il faut resoudre ce système et repondre aux questions de l exercice ppliquons cette méthode à notre cas: On note les intensités comme indiqué sur la Fig Nous avons 4 noeuds lors il suffit d écrire les équations de Kirchhoff en noeuds, par exemple, en, et C: en : I = I + I 6, (0) en : I = I + I 4, (0) en C: I = I + I 5 (0) Nous avons 6 intensités inconnues lors il suffit de considérer mailles Par exemple, on pourra encore considérer les mailles, et, représentées sur la Fig b On obtient les équations suivantes: pour la maille : I 6 + I 5 + ( + ) I = = 0, (04) pour la maille : ( + ) I I 5 I 4 = =, (05) pour la maille : I 4 + I 6 + I = + = (06),

4 V Ω C Ω I I Ω Ω Ω V V V Ω I 5 Ω I I 6 Ω I 4 V Fig 4 Nous avons 6 inconnues I I 6 et 6 équations Pour résoudre ce système, on va exprimer I 4, I 5, I 6 en fonction de I, I, I, en utilisant les équations de Kirchhoff (0) (0): I 4 = I I, I 5 = I I, I 6 = I I nsuite, en substituant ces relations en (04) (06), on obtient: Simplifions ces dernières équations: (I I ) + (I I ) + I = 0, I (I I ) (I I ) =, (I I ) + (I I ) + I = 7I I I = 0, I + 8I I =, I I + 6I = On peut écrire ce système sous la forme matricielle: 7 I 0 8 I = 6 I lors on a obtenu exactement le même système qu à l étape 4 de la première méthode Donc la suite est complétement identique à cette étape (emarque: pour un autre choix des noeuds et des mailles on obtient en général un système différent; mais ce systême aura bien sûr les mêmes solutions) 4

5 I Fig xercice ) Considérons le sous-système contenu entre les points et (il est composé de et : voir Fig ) L idée du théorème de Thevenin est qu on peut remplacer la partie exterieure à ce sous-système par une résistance et une fem équivalente (voir Fig 4) I eq eq Fig 4 Donc l intensité de courant traversant est donnée par D après le théorème de Thevenin: I = eq + eq (07) pour trouver la résistance équivalente, il faut: ) supprimer la partie intérieure ) dans la partie exterieure, supprimer les fem ) brancher aux points et un générateur imaginaire Dans notre cas, ça donne la Fig 5 Donc la résistance eq coïncide avec la résistance équivalente des deux résistances et, branchées en dérivation: eq = + (08) 5

6 Fig 5 pour déterminer eq, il faut supprimer la partie intérieure et ensuite calculer la ddp entre et Dans notre cas, ça donne la Fig 6: I 0 Fig 6 Pour trouver U = eq, notons I 0 l intensité de courant dans le circuit représenté sur la Fig 6 (attention! ce n est pas un vrai courant, et il n a rien à voir avec le schéma initial sur la Fig ; c est plutot une quantité auxiliaire qu on introduit pour déterminer eq ) On a De plus, comme alors I 0 = + U + I 0 =, eq = U = I 0 = + + (09) Finalement, en remplaçant (08) et (09) en (07), on trouve I = ( + ) ( + ) + 6

7 ) ppliquons maintenant la méthode matricielle selon l algorithme présenté dans l x On décompose notre circuit en deux mailles et on fixe les directions des courants comme indiqué sur la Fig 7 I I Fig 7 La matrice des résistances (il y a mailles, donc elle est de taille ) s écrit alors comme ceci: ( ) + = + De façon analogue, on trouve la matrice des fem: ( ) = 4 On obtient donc le système suivant: ( + + ) ( I I ) ( = ) Sa solution donne ( I = det + ) / ( + det + ) = = ( + ), + + ( ) / ( + I = det + det + ) = = + ( + ) + + De plus, on pourra écrire l équation de Kirchhoff en un des deux noeuds, et cette équation (+ deux dernières relations) nous donne I = I I = ( + ) + + 7