EXERCICES VARIABLES A DENSITE

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1 EXERCICE 1 : Soit la fonction f définie sur par f t EXERCICES VARIABLES A DENSITE 1 0 si t 0. si t 0 1 t 1) Montrer que f est une densité de probabilité d une variable aléatoire X ) Déterminer la fonction de répartition de X. EXERCICE : (EN VETERINAIRES 1997) La nuit, dans la savane, le lion se rend à la rivière pour boire et y reste un quart d heure. Après de nombreuses observations, on estime que l instantt d arrivée du lion à la rivière se situe entre 0 et heures.t, eprimée en heures, est une variable aléatoire réelle dont une si t,0, f t 0 3 densité de probabilité est la fonction définie sur par : si t 0,, f t t t 4 si t,, f t 0 1) Vérifier que la fonction f est une densité de probabilité. ) Déterminer la fonction de répartition F de la variable aléatoire T 1 3 3) Calculer P T 4 4 4) Un observateur se présente à la rivière à 0 heure 30 minutes et y reste un quart d heure. Quelle est la probabilité pour qu il aperçoive le lion? EXERCICE 3 : (EMLYON 1987) si t 0, f t 0 3 Soit la fonction f définie sur par : si t 0,1, f t 1t t si t 1, f t 0 1) Montrer que la fonction f est continue sur.montrer que la fonction f est une densité de probabilité. Soit X la variable aléatoire qui admet pour densité f ) Déterminer la fonction de répartition F de X.Montrer que la fonction F est dérivable sur EXERCICE 4 : Première loi de Laplace 1 t e. 1) Montrer que f est une densité de probabilité d une variable aléatoire X ) Déterminer la fonction de répartition de X. 3) Montrer que X admet des moments à tout ordre et les calculer. Préciser l espérance et la variance de X Soit la fonction f définie sur par f t

2 EXERCICE 5 : e 1) Montrer que la fonction F définie sur par : F est la fonction de 1 e répartition d une variable aléatoire à densité X dont on donnera une densité. P X ln, P ln X ln, P X ln3 ) Déterminer X ln 3) Montrer que X admet une espérance que l on déterminera. X 4) Soit la variable aléatoirey e. a) Déterminer la fonction de répartition de Y. b) Montrer que la variable aléatoire Y est une variable aléatoire à densité. c) Y admet-elle une espérance? EXERCICE 6 : f si 1 3 Soit la fonction f définie sur par : f 0 sinon 1) Vérifier que la fonction f est une densité de probabilité. On considère alors une variable aléatoire X admettant f pour densité. ) Déterminer la fonction de répartition F de la variable aléatoire X 3) La variable aléatoire X admet-elle une espérance? Si oui la calculer 4) La variable aléatoire X admet-elle une variance? Si oui la calculer On considère la variable aléatoirey ln X 5) Montrer que la variable aléatoire Y est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité EXERCICE 7 : (EMLYON 1996) Soit f la fonction définie sur par : f() = e - si -ln () ln () et f() = 0 sinon l. Etudier les variations de f et tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé.. Montrer que f est une densité de probabilité. 3. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f comme densité. a. Déterminer la fonction de répartition F de X. b. Montrer que X admet une espérance et calculer l'espérance de X c. On pose Y = X. Déterminer la fonction de répartition G de Y. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité g de Y. EXERCICE 8 : Soit X une variable suivant la loi uniforme sur0;1. 1) Montrer que la variable aléatoire Y X donnera une densité. ) Calculer l espérance et la variance de EXERCICE 9 : X est une variable aléatoire à densité dont on Soit X une variable suivant la loi uniforme sur 0,1. 1 1) Montrer que la variable aléatoirey est une variable aléatoire à densité dont on X donnera une densité. ) La variable aléatoire Y admet-elle une espérance?

3 EXERCICE 10 : Soit X une variable aléatoire de densité f définie sur par f e si 0. 0 si 0 1) Vérifier que f est une densité de probabilité. ) Montrer que la variable aléatoirey X est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité. EXERCICE 11: (ECRICOME 003) f t si t 0 3 Soit f la fonction définie sur par : 1 t f t 0 si t 0 1) Montrer que f est une densité d une variable aléatoire Z. ) Déterminer la fonction de répartition F Z de Z. t 3) Justifier la convergence de l intégrale : dt 0 1 t 3 4) La calculer en effectuant le changement de variable ut 1. 5) Prouver que Z admet une espérance et la déterminer. 6) Z admet-elle une variance? 7) Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, eprimé en minutes, d une pièce par la chaîne A (respectivement B) est une variable aléatoire Z 1 (respectivement Z ) où Z 1 et Z sont deu variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que Z. a) On considère les événements : C = le temps de fabrication d une pièce sur la chaîne B est supérieur à minutes D = le temps de fabrication d une pièce sur la chaîne B est inférieur à 3 minutes Calculer les probabilités suivantes : p(c), p (D), p (D/C). b) On note T = ma Z1, Z et G T la fonction de répartition de T. i) Eprimer l événement T en fonction des événements Z etz. ii) Montrer que :, GT F Z a) En déduire que T est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité. EXERCICE 1 : Soient X et Y deu variables indépendantes suivant une loi eponentielle de paramètres respectifs et réels strictement positifs ma, min XY,. Préciser la loi de S = XY et I = EXERCICE 13 : 1 si 1;1 0 sinon 1) Montrer que f est la densité d une variable aléatoire X.Déterminer sa fonction de répartition. Soit la fonction f définie sur par : f 1

4 Miss Elizabeth Bennet et Mr Darcy se rendent chaque jour, indépendamment l un de l autre, dans le même restaurant entre 1 heures et 14 heures. En prenant comme origine des temps 13 heures, l heure d arrivée de Mr Darcy est la variable aléatoire X de densité f.l heure d arrivée de Miss Elizabeth Bennet est une variable Y qui suit la loi uniforme sur l intervalle 1,1 On note Z la variable aléatoire égale à l heure du premier arrivé. ) Déterminer la fonction de répartition de Z et montrer que la variable Z est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité. Densité du ma et min de deu variables aléatoires à densité indépendantes Méthode à connaître : Soient X ety sont deu variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé (,, p) Z ma X, Y : Z ma X, Y,Z X Y Comme X ety sont indépendantes, on a, pz p X py Soit F F F où F,, variables X, Y, Z, Z X Y F F désignent les fonctions de répartition des X Y Z T min X, Y : T min X, Y,T X Y Comme X ety sont indépendantes, on a, pt p X py On en déduit que, pt 1 pt 11 p X 1 py Soit, F 1 (1 F ) (1 F ) où F,, Z X Y répartition des variables X, Y, Z Rappel : à connaître et savoir redémontrer min X, Y ma X, Y X Y ma, min, X Y X Y X Y F F désignent les fonctions de X Y Z

5 EXERCICE 14: (EMLYON 003) 1 1) Montrer que l intégrale d est convergente et calculer sa valeur. f 0 si Soit f : définie par : 1 f si ) Montrer que la fonction f est une densité de probabilité. 3) Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité. a) Déterminer la fonction de répartition de X b) La variable aléatoire X admet-elle une espérance? On considère trois variables aléatoires T1, T, T 3 chacune de même loi X 4) On considère la variable U min T1, T, T3 définie par : t, U t T1 tt tt3 t a) Déterminer la fonction de répartition G de U b) Montrer que U admet une densité et déterminer une densité g de U c) Montrer que la variable U admet une espérance et calculer EU 5) On considère la variable V ma T1, T, T3 par : t, V t T tt tt t 1 3 définie a) Déterminer la fonction de répartition H de V b) Montrer quev admet une densité et déterminer une densité h dev c) La variable aléatoire V admet-elle une espérance? EXERCICE 15: (ECRICOME 009) 1. Le nombre d appels reçus par le standard d une société de tais pendant une période de durée t suit une loi de Poisson Yt de paramètre t où est un réel strictement positif.une origine des temps étant choisie, on note T la variable aléatoire réelle représentant le temps d attente du premier appel vers ce standard. Par conséquent P T t pourt 0. 0 a. Pour tout entier naturel k, rappeler la valeur de la probabilité de l événement Yt k, ainsi que l espérance et la variance dey t b. Que peut-on dire des événements Yt 0et T t probabilité des événements T t ett t pour t 0.En déduire la pour t 0 c. Epliciter la fonction de répartition FT det.reconnaître la loi de T et donner son espérance et sa variance. La durée, eprimée en heures, du transport d un client par la société est une variable aléatoire U à densité dont une densité est la fonction g définie sur t g t te si t 0 par : g t 0 si t 0 a. Vérifier que g est bien une densité de probabilité b. Montrer que la variableu admet une espérance que l on déterminera. Que représente cette espérance?

6 EXERCICE 16: (EDHEC 00) Pour tout nombre réel, on note [] la partie entière de, c'est-à-dire l'unique nombre entier vérifiant :[] < [] + 1.Soit X une variable aléatoire suivant la loi eponentielle de paramètre ( > 0). On pose Y = [X], Y est donc la partie entière de X et on a : k Z, (Y = k) = (k X < k + 1). 1) a. Montrer que Y prend ses valeurs dans. b. Pour tout k de *, calculer P (Y = k 1). c. En déduire que la variable aléatoire Y + 1 suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre. d. Donner l espérance et la variance de la variable aléatoire Y + 1. En déduire l espérance et la variance de Y. ) On pose Z = X Y. a. Déterminer Z ( ). b. En utilisant le système complet d événements (Y = k) kin, montrer que : [0, 1[, P (Z ) = 1 e.en déduire une densité f de Z. 1 e c. Déterminer l espérance E (Z) de Z de deu manières différentes. EXERCICE 17 : Un commerçant vend des objets manufacturés.soit X la variable aléatoire qui, à chaque semaine, associe le nombre d objets demandés.on considère que X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 168 et d écart type 50. 1) Calculer la probabilité que la demande hebdomadaire soit supérieure à ;18 ) Calculer la probabilité que la demande hebdomadaire appartienne à 3) Calculer le stock minimal s pour que la probabilité de rupture de stock soit inférieure à 0.05 EXERCICE 18: (ECRICOME 009) Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l avance) sur l horaire officiel du bus à une station donnée, peut être représenté(e) par une variable aléatoire réelle, notée X, eprimée en minutes, qui suit une loi normale m, On admet de plus que la probabilité que le retard soit inférieur à 7minutes est égale à p et que l espérance de X est de 5 mn 1) Déterminer la valeur de en utilisant la table jointe ) Quelle est la probabilité que le retard soit supérieur à 9 mn? 3) Sachant que le retard est supérieur à 3mn, quelle est la probabilité que le retard soir inférieur à 7mn? EXERCICE 19 : Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale de paramètres 0 et 1. Montrer que la variable aléatoire Y X est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité (la loi de Y s appelle loi de Gibrat) Calculer l espérance et la variance.de la variable aléatoire Y

7 EXERCICE 0 : (EMLYON006) 1. Soit U une variable aléatoire suivant une loi normale d espérance nulle et de variance 1 a) Rappeler l epression d une densité de U. b) En utilisant la définition de la variance de U, montrer que l intégrale convergente et que 0 F 0 si 0 Soit F la fonction définie sur par : F 1 e si 0 e d = 4 e d est 0 1. Montrer que la fonction F définit une fonction de répartition d une variable aléatoire dont on déterminera une densité f.. Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité. a) Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance et que E X b) Déterminer, pour tout réel y, la probabilité P( X y) (On distinguera les cas où y 0 et y>0) c) Montrer que la variable aléatoire X suit une loi eponentielle dont on précisera le paramètre. En déduire que X admet une variance que l on calculera EXERCICE 1 : EDHEC S 006 1) En utilisant une densité de la loi normale d espérance nulle et de variance 1, montrer que l intégrale t e dt converge et que t t e dt e dt On considère deu variables aléatoires X ety, définies sur un même espace probabilisé, AP,, indépendantes et suivant toutes deu la loi normale centrée et réduite (de densité notée et de fonction de répartition notée ) On pose Z ma( X, Y) et l on se propose de déterminer la loi de Z, ainsi que son espérance et sa variance ) Montrer que Z est une variable à densité et vérifier que Z admet pour densité la f fonction f définie pour tout réel par : 3) a) En remarquant que, pour tout réel, ' 0, montrer que, grâce à une 1 1 intégration par parties, que f d e d b) Montrer de même que f d e d c) En déduire que la variable Z a une espérance et donner sa valeur 4) a) Montrer que X et Z sont des variables aléatoires à densité qui ont même fonction de répartition puis donner la valeur de la variance de Z b) En déduire EZ

8 EXERCICE : Loi de Rayleigh Soit X une variable aléatoire qui admet pour densité f définie sur si 0 ( ) e f 0 si 0 où désigne un réel strictement positif. 1) Vérifier que f est bien une densité de probabilité. ) Déterminer la fonction de répartition F de X 3) Calculer p ( 1 X 1) 4) Calculer E(X) et V(X) 5) Déterminer la loi de X. par EXERCICE 3 : Soit X n n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale centrée réduite 1) Déterminer la loi de S X 1 X ) Déterminer la loi de S X1 X... X Sn 3) Déterminer la loi de n EXERCICE 4 : n Soit deu variables aléatoires X ety qui suivent une loi normale centrée réduite X 1) Déterminer la loi de la variable aléatoire ) Déterminer la loi de X Y EXERCICE 5 : ln 1 X 1) Montrer que si X U 0,1 alors Y suit la loi eponentielle de paramètre 0 ) Déterminer la loi de X si Y suit une loi eponentielle de paramètre 0 n