Sujet n o 1. Consignes pour le candidat. Exercice 1. Exercice 2

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1 Sujet n o 1 Consignes pour le candidat La calculatrice est autorisée Pendant la préparation, il est souhaitable d aborder toutes les questions La rédaction ne sera pas évaluée La pertinence des réponses et l évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en compte 1. Simplifier pour tout x R : ( e 2x (e x 2 e x 2. Résoudre dans R : 4e x 7=5 x= ln(3 3. Étudier les variations de f (x=(1 2x e x sur R. f (x= (2x+ 1e x Exercice 2 1. a. Déterminer les entiers relatifs n tels que n+ 4 n+ 17.n n+ 4= 1 n= 5, n+ 4= 13 n= 17, n+ 4=1 n= 3, n+ 4=13 n= 9 b. Pour k N, démontrer que si un entier naturel d divise 10k+ 3 et 6k+ 1 alors d divise Pour tout n N, démontrer que 3 2n 2 n est divisible par Démontrer que : Si n 0 (mod 4 alors 2 n 1 (mod 5 Si n 1 (mod 4 alors 2 n 2 (mod 5 Si n 2 (mod 4 alors 2 n 4 (mod 5 Si n 3 (mod 4 alors 2 n 3 (mod 5 1

2 Année Cours 2 Terminale S

3 Sujet n o 2 Consignes pour le candidat La calculatrice est autorisée Pendant la préparation, il est souhaitable d aborder toutes les questions La rédaction ne sera pas évaluée La pertinence des réponses et l évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en compte f est une fonction définie sur ] ; 0[ ]0 ; + [ par f (x=1+ 1 x + 1 x 2. C est sa représentation graphique et son tableau de variation est donnée ci-dessous : x f 0, Lire dans le tableau de variation les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 2. En déduire l existence de deux asymptotes à C. 3. Avec la calculatrice, représenter C et son asymptote horizontale D puis conjecturer la position de C 2 1 par rapport à D Démontrer cette conjecture. f (x 1= 1 x + 1 x 2 = x+ 1 x 2 x< 1 alors C est en dessous de D, 1< x< 0 ou x> 0 alors C est au dessus de D Exercice 2 1. Sachant que 1159 = , en déduire le quotient q et le reste r de la division euclidienne de : a par 47 ; b par 24 ;1159= = c par = = =

4 Année a. La division euclidienne de 523 par un entier naturel non nul b a un quotient égal à 17. Déterminer les valeurs possibles de b et du reste r.523 = 17b+ r et 0 r < b b < b, 17b 523<18b, b<, b= 30, r = b = b. Soit n N, effectuer la division euclidienne de a par b pour a = 3n 2 + n et b = n+ 1.Soit n 1, 3n 2 + n= (n+ 1(3n 2+2 avec 0 2<n+ 1 Si n= 1, a= 4 et b= 2, q = 2 et r = 0 Cours 4 Terminale S

5 Sujet n o 3 Consignes pour le candidat La calculatrice est autorisée Pendant la préparation, il est souhaitable d aborder toutes les questions La rédaction ne sera pas évaluée La pertinence des réponses et l évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en compte Soient les fonctions f et F définies sur ]0 ; + [ par : f (x= ln(x et F (x= 1 x 2 (ln(x2 1. Démontrer que F est une primitive de f sur ]0 ; + [ 2. Trouver la primitive de f sur ]0 ; + [ qui s annule pour x= e. G(x= 1 2 (ln(x Déterminer le signe de l intégrale Exercice 2 1. Critère de divisibilité par 3 : 1 0 e x2 dx sans la calculer. a. Soit un entier N dont l écriture en base 10 est a n a n 1 a n 2...a 1 a 0 10, i {0, 1, 2, 3,..., n 1} : 0 a i 9 et a n 0 On a en base 10 : i=n N = a i 10 i Montrer que pour tout entier i : 10 i 1 (mod 3 b. Montrer que : c. En déduire le critère de divisibilité par Reste de la division euclidienne de 2 n par 5 : a. Démontrer que : Si n 0 (mod 4 alors 2 n 1 (mod 5 Si n 1 (mod 4 alors 2 n 2 (mod 5 Si n 2 (mod 4 alors 2 n 4 (mod 5 Si n 3 (mod 4 alors 2 n 3 (mod 5 i=0 i=n N a i (mod 3 b. En déduire le reste de la division euclidienne de par (mod 4 d où r = 3 i=0 5

7 Sujet n o 4 Consignes pour le candidat La calculatrice est autorisée Pendant la préparation, il est souhaitable d aborder toutes les questions La rédaction ne sera pas évaluée La pertinence des réponses et l évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en compte 1. Étudier les variations de la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f (x=ln(x+ x. f (x=1+ 1 x > 0 2. Soit la fonction f définie sur R par f (x= x 3 6x a. Étudier les variations de f sur R puis dresser le tableau de variation de f sur R f (x=3x 2 12x = 3x (x 4 x f b. Démontrer que l équation f (x = 0 admet exactement deux solutions dans l intervalle ] ; 4]. Exercice 2 1. a. En utilisant l algorithme d Euclide, montrer que 99 et 56 sont premiers entre eux Quotients Diviseurs Restes PGC D(99, 56=1 b. En déduire une couple de coefficients de Bézout de 99 et = 13 3( = = 10( = = ( = 1 2. Soit n N. En utilisant l identité de Bézout, montrer que 2n+1 et 3n+2 sont premiers entre eux. 3(2n+ 1+ 2(3n+ 2=1 7

9 Sujet n o 5 Consignes pour le candidat La calculatrice est autorisée Pendant la préparation, il est souhaitable d aborder toutes les questions La rédaction ne sera pas évaluée La pertinence des réponses et l évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en compte On considère deux événements A et B liés à une expérience aléatoire modélisé par l arbre ci-dessous : 0,8 A 0,7 B B A 0,5 B B 1. Indiquer la signification des nombres 0,8 ; 0,7 et 0,5. 2. Compléter l arbre précédent avec les probabilités manquantes. 3. Déterminer la probabilité de l événement B.p (B=0,7 0,8+0,2 0,5= 0,66 Exercice 2 ( 1 Soit la suite de matrices colonnes (U n définies par U 0 = 1 ( 0,3 0,1 U n+1 = AU n avec A= 0,2 0 ( 2 1. Montrer que A n = 0,1 n n n 2 n n [ ] ai j = A n+1 et par la relation de récurrence. En déduire l expression deu n en fonction de n.récurrence a 11 = 0,1 n ( 0,3 ( 2 n ,2(1 2 n = 0,1 n (0,6 2 n 0,2 2 n 0,1=0,1 n ( 0,1 2 n+2 0,1 ( 2 u n = A n U 0 = 0,1 n n n ( 2 =0,1 2 n n n n n ( ( 1 0,2 n 2 n n = 1 0,2 n ( 0 2. La suite (U n est-elle convergente. lim U n = n + 0 9

11 Sujet n o 6 Consignes pour le candidat La calculatrice est autorisée Pendant la préparation, il est souhaitable d aborder toutes les questions La rédaction ne sera pas évaluée La pertinence des réponses et l évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en compte La durée d attente, en minutes, au départ d une remontée mécanique dans une station de ski est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ=0, Calculer en minutes, le temps d attente moyen au départ de cette remontée mécanique.(t =20 2. Calculer, à 10 2 près, la probabilité d attendre au départ de cette remontée mécanique entre 10 et 30 minutes.p (20 T 30=e 10λ e 30λ 0,38 3. Un skieur arrive à la remontée mécanique. Un panneau indique que le temps d attente est d au moins 10 minutes. Calculer à 10 2 p (20 T 30 près la probabilité qu il soit inférieur à 30 minutes.p T 10 (T 30= = p (T 10 e 10λ e 30λ e 10λ = 1 e 20λ 0,63 Exercice 2 Un couple part en voyage chaque année. S il est resté en France une année donnée, la probabilité que ce couple voyage à l étranger l année suivante est 0, 4. Dans le cas contraire, la probabilité qu il voyage à nouveau à l étranger est 0,7. En 2012, ce couple est allé à l étranger. 1. Représenter cette marche aléatoire à l aide d un graphe. 2. Écrire la matrice de transition M de cette marche aléatoire.m = ( 0,6 0,4 0,3 0,7 3. Quelle est la probabilité que ce couple parte à l étranger en 2017?u 5 = u 0 M 5 = ( 0 1 M 5 ( 0,43 0,57 11

13 Sujet n o 7 Consignes pour le candidat La calculatrice est autorisée Pendant la préparation, il est souhaitable d aborder toutes les questions La rédaction ne sera pas évaluée La pertinence des réponses et l évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en compte Un candidat sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N (120, 225. Les probabilités seront arrondies au millième. 1. Quel est le poids moyen d une ration de viande. Le poids moyen est de 120 g 2. Quelle est la probabilité pour que le poids d une ration de viande soit compris entre 110 g et 135 g? σ= 225=15 p (110< X < 135 0, Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas. À combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont le poids dépassait 130 g? p (X > 130 0,252, le nombre de repas est de 850 0, Exercice 2 Un coucou annonce l heure en sortant de sa maison. Celui ci, un peu vieillissant est capricieux : S il est sorti de sa maison à l heure exacte, il sort une heure plus tard avec la probabilité 0,9 ; S il n est pas sorti à l heure exacte, il sort une heure plus tard avec la probabilité 0,8. Ces probabilités sont indépendantes de l heure. À huit heures, le coucou a chanté. On note S l état «le coucou est sorti»et N l état «le coucou n est pas sorti». 1. Représenter cette marche aléatoire à l aide d un graphe. 2. Écrire la matrice de transition de cette marche aléatoire, les états étant dans l ordre S, N.M = ( 0,9 0,1 0,2 0,8 3. Quelle est la probabilité, à 10 3 près, que le coucou chante à midi.u 4 = u 0 M 4 = ( 1 0 M 4 ( 0,743 0,253 13

15 Sujet n o 8 Consignes pour le candidat La calculatrice est autorisée Pendant la préparation, il est souhaitable d aborder toutes les questions La rédaction ne sera pas évaluée La pertinence des réponses et l évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en compte On considère qu une machine à former des pilules fonctionne de façon satisfaisante si le pourcentage de pilules défectueuses est de 1 pour Sur un échantillon de pilules, on a trouvé 15 pilules défectueuses. On veut savoir si la machine est bien réglée. 1. Les conditions d utilisation d un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont elles remplies? 2. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 de la fréquence de pilules défectueuses dans les échantillons de taille , prélevés au hasard et avec remise. Arrondir au millième. 3. Énoncer la règle de décision permettant d accepter ou non l hypothèse p = 0,001 au seuil de risque 5 %. Conclure. On considère qu une machine à former des pilules fonctionne de façon satisfaisante si le pourcentage de pilules défectueuses est de 1 pour Sur un échantillon de pilules, on a trouvé 15 pilules défectueuses. On veut savoir si la machine est bien réglée. 1. Les conditions d utilisation d un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont elles remplies?n = , np= 10 5 et n ( 1 p = Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 de la fréquence de pilules défectueuses dans les échantillons de taille , prélevés au hasard et avec remise. Arrondir au millième.un intervalle est [0, 0004 ; 0, 0016] 3. Énoncer la règle de décision permettant d accepter ou non l hypothèse p = 0,001 au seuil de risque 5 %. Conclure.Soit f la fréquence observée des pilules défectueuses dans un échantillon de taille : Si f I : on accepte l hypothèse p = 0,001 Si f I : on rejette l hypothèse p = 0,001 au seuil de risque 5 % f = 0, 0015 I la machine est bien réglée 15

16 Année Exercice 2 Afin d être performant lors d une grande compétition, Christophe, champion d athlétisme spécialiste du sprint, s entraîne chaque jour de l année et réalise quotidiennement une course à pleine vitesse sur 100 mètres en tentant de courir en moins de 10 secondes. On constate que : S il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres un jour, la probabilité qu il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres le lendemain est égale à 0,75. S il ne réalise pas moins de 10 secondes sur 100 mètres un jour, la probabilité qu il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres le lendemain est égale à 0,5. Le premier jour de l année, Christophe n a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse. Soit n un entier naturel non nul. On note : a n, la probabilité que Christophe réalise moins de 10 secondes le n-ième jour, b n, la probabilité que Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes le n-ième jour. P n = (a n b n, la matrice ligne traduisant l état probabiliste le n-ième jour. 1. Écrire la matrice ligne P 1 de l état probabiliste initial. P 1 = ( Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l état «Christophe réalise moins de 10 secondes au 100 mètres», B représentant l état «Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes au 100 mètres». ( 0,75 0,25 3. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l ordre alphabétique.m = 0,5 0,5 4. Déterminer la matrice ligne P 3. Comment peut-on interpréter ce résultat pour Christophe? P 3 = P 1 M 2 = ( 0,625 0,375 Cours 16 Terminale S