TD4. Indépendance, probabilités conditionnelles. Variables aléatoires à densité.

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1 Université Pierre & Marie Curie Liene de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémentaires Année TD4. Indépendane, probabilités onditionnelles. Variables aléatoires à densité.. Que peut-on dire d un événement qui est indépendant de lui-même? Solution de l exerie. Soit A un événement de Ω. Par définition, si A est indépendant de lui-même, alors P(A) 2 P(A). Ainsi, on a soit P(A) 0 ou P(A). 2. Faux positifs Une maladie M affete une personne sur 000 dans une population donnée. Un test sanguin permet de déteter ette maladie ave une fiabilité de 99% (lorsque ette maladie est effetivement présente). En revanhe, pour un individu sain, la probabilité que le test soit positif est de 0.% (on dit que 0.% est le taux de faux positifs). Si un test est positif, quelle est la probabilité que l individu soit réellement malade? Solution de l exerie 2. On hoisit omme espae des états Ω l ensemble des individus de la population. On appelle M l événement l individu est malade, et P l événement le test est positif. Alors, l énoné nous dit que : P(M) 000, d où P(M ) , P M(P ) 99 00, P M (P ) 000. On herhe P P (M). D après la formule de Bayes, nous avons : P P (M) P M (P )P(M) P M (P )P(M) + P M (P )P(M ) 990 0, Si le test est positif, la probabilité que l individu est réellement malade est de 0, 5. Don attention avant de tirer des onlusions trop hâtives. 3. Une généralisation de l exerie préédent Soit (Ω, F, P) un espae probabilisé. Soit (B i ) i n une partition de Ω en n événements de probabilité non nulle. Montrer que pour tout A F de probabilité non nulle, et pour tout i, P(B i A) P(A B i )P(B i ) n i P(A B i)p(b i ).

2 Solution de l exerie 3. Comme les (B i ) i n forment une partition de Ω, on a d après les formules des probabilités totales et elle des probabilités onditionnelles : P(A) n P(A B i ) i n P Bi (A)P(B i ). () i D après la définition des probabilités onditionnelles toujours, on a : P A (B i ) P(A B i) P(A) P B i (A)P(B i ). P(A) On onlut en remplaçant P(A) par (). 4. On effetue des laners suessifs et indépendants d une pièe qui tombe sur pile ave probabilité p et sur fae ave probabilité p. a) Dérire le modèle probabiliste utilisé pour modéliser ette situation. b) On appelle T le numéro du premier laner où l on obtient pile. Déterminer la loi de T. ) Pour tout i, on appelle T i le numéro du laner où l on obtient pile pour la i-ième fois. Déterminer la loi de T i pour tout i. d) Caluler la probabilité que pile ne sorte jamais. Solution de l exerie 4. a) On hoisit omme univers Ω {P, F } N. On munit Ω de la probabilité P orrespondant à ette expériene. Soit (X i ) i la suite de variables aléatoires telle que, pour tout i, X i vaut si l issue du i-ième laner est pile et 0 sinon. Étant donné que les laners sont indépendants, les variables aléatoires (X i ) i sont indépendantes. D après les onditions de l expériene, la loi de X i est donnée par : P(X i ) P({obtenir P au i-ième laner}) p, P(X i 0) P({obtenir F au i-ième laner}) p. Ainsi (X i ) i est une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre p. b) Soit k un entier. On a, {T k} {X 0, X 2 0,..., X k 0, X k }. Ainsi, en utilisant l indépendane, on a : P(T k) ( p) k p. Autrement dit, T suit une loi géométrique de paramètre p. 2

3 ) En reprenant e que l on a fait lors du TD2, on obtient : ( ) k k i, P(T i k) p i ( p) k i. i Il s agit de la loi binomiale négative de paramètre i et p. Remarquer que ( ) k ( ) k p i ( p) k i p i ( p) k (i ) p i. i i ( ( p)) (i )+ ki ki d) Soit A n l événement Pile ne sort pas jusqu à l instant n. Alors A n {X 0,..., X n 0} et P(A n ) ( p) n. De plus, l événement A, Pile ne sort jamais s érit, A n N A n. Comme la suite d événement est déroissante, on a d après le ours que : P(A) lim n P(A n ) Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p ]0, [. Montrer qu ave probabilité, la suite (X n ) n prend une infinité de fois la valeur et une infinité de fois la valeur 0. Solution de l exerie 5. Pour tout n, posons A n {X n } et B n {X n 0}. Les événements (A n ) n sont indépendants et tous de probabilité p > 0. En partiulier, n P(A n) +. La deuxième partie du lemme de Borel-Cantelli entraîne don que P(lim sup A n ). Le même raisonnement s applique aux événements B n qui sont de probabilité p > 0. Don P(lim sup B n ), et P(lim sup A n lim sup B n ). Or l événement lim sup A n lim sup B n est préisément l événement où la suite (X n ) n prend une infinité de fois la valeur et une infinité de fois la valeur Soient α, β ]0, [ deux réels. Pour tout (i, j) N 2, on pose p i,j αβ( α) i ( β) j. a) Montrer qu en posant P({(i, j)}) p ij pour tout (i, j) N 2, on définit une mesure de probabilités sur N 2 muni de la tribu P(N 2 ). Pour tout (i, j) N 2, on pose X((i, j)) i et Y ((i, j)) j. b) Déterminer la loi de X et la loi de Y. ) Caluler P(X < Y ), P(X Y ) et P(X > Y ). Solution de l exerie 6. a) Il s agit de vérifier que (i, j) N 2, p i,j 0 et (i,j) N p 2 i,j. La positivité des p i,j est évidente d après leur définition. Comme α, β ]0, [, on peut utiliser la somme d une série géométrique : i N xi /( x) ave x α et x β, on obtient : ( )( ) p i,j αβ( α) i ( β) j αβ ( α) i ( β) j. (i,j) N 2 i N j N i N j N 3

4 b) Remarquons que la loi jointe du veteur (X, Y ) est p i,j. En effet, P[X i, Y j] P[{(i, j) N 2 : X((i, j)) i, Y ((i, j)) j}] P[{(i, j)}] p. D après le ours (formule des probabilités totales), la loi marginale de X est donnée par : i N, P[X i] P[X i, Y j] α( α) i β( β) j α( α) i. j N j N Ainsi, X suit une loi géométrique de paramètre α. De même, P(Y j) β( β) j, autrement dit Y suit une loi géométrique de paramètre β. ) P[X < Y ] E[ {X<Y } ] (i,j) N 2 {i<j} P[X i, Y j] (i,j) N 2 i<j p i,j p i,j. i0 ji+ Comme pour tout i N, ji+ β( β)j ( β) i+, ela donne P[X < Y ] α( α) i ( β) i+ i0 α( β) (( α)( β)) i i0 α( β) ( α)( β) α αβ α + β αβ. De même (en éhangeant les rôles de X et Y, don de α et β), on obtient P[X > Y ] β αβ α + β αβ. On peut aluler P[X Y ] diretement en sommant les p i,i, ou alors on peut utiliser le fait que les parties {X Y }, {X < Y } et {X > Y } forment une partition de N 2 et les résultats préédents : P[X Y ] P[X > Y ] P[X < Y ] α + β αβ (β αβ) (α αβ) α + β αβ αβ α + β αβ. 7. Un exemple d urne de Polya. Une urne ontient au départ 5 boules blanhes et 7 noires. Chaque fois que l on tire une boule, on la réintroduit en rajoutant deux nouvelles boules de la même ouleur que elle tirée. Quelle est la probabilité que les deux premières boules tirées soient noires? Que la deuxième boule tirée soit noire? Solution de l exerie 7. On hoisit omme univers Ω {(B, B), (B, N), (N, B), (N, N)}, où la première (resp. deuxième) oordonnée représente l issue du premier (resp. deuxième) 4

5 tirage. On munit Ω de la tribu F P(Ω). On note P la probabilité sur (Ω, F ) orrespondant à ette expériene. Soit k {, 2}, on note B k (resp. N k ) l événement la boule tirée au k-ième tirage est blanhe (resp. noire). Alors, la donnée de l exerie nous dit que : P(B ) 5 2, P(N ) 7 2. Comme es deux probabilités sont stritement positives, on peut onditionner par rapport aux événements B et N. D après l énoné, nous savons que : P B (B 2 ) 7 4, P B (N 2 ) 7 4, P N (B 2 ) 5 4, P N (N 2 ) 9 4. La réponse à la première question est P(N N 2 ) et à la deuxième, P(N 2 ). Calulons es probabilités. D après la définition des probabilités onditionnelles, nous savons que : P(N N 2 ) P N (N 2 )P(N ) De manière analogue, nous pouvons aluler : P(B N 2 ) P B (N 2 )P(B ) Comme {B, N } forme une partition de Ω, nous déduisons de la formule des probabilités totales : P(N 2 ) P(N N 2 ) + P(B N 2 ) Loi gaussienne Rappeler la densité de la loi N (µ, σ 2 ). Soit X N (µ, σ 2 ), quelle est la loi de X µ σ. Solution de l exerie 8. La loi N (µ, σ2 ) a pour densité : Soit Y X µ σ x R, p(x) (x µ)2 e 2σ 2. 2πσ 2. Alors, la fontion de répartition de Y est, pour tout y R : [ ] X µ F Y (y) P[Y y] P y P[X σy + µ] σ σy+µ p(x)dx 2π e x2 2 dx. y p(σx + µ)σdx 5

6 On déduit que Y suit une loi normale entrée réduite. 9. Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, ]. Déterminer la loi de log U. Solution de l exerie 9. On remarque que P( log U 0) 0. De plus, si x 0, P[ log U x] P[U exp( x)] e x dy exp( x). On reonnaît la fontion de répartition d une variable aléatoire exponentielle de paramètre. Comme la fontion de répartition d une variable aléatoire réelle aratérise la loi, on onlut que log U suit une loi exponentielle de paramètre. 0. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre θ. Soit > 0 un réel. Déterminer la loi de X. Solution de l exerie 0. Pour tout réel x, on a [ P[X x] P X x ] x ( ( [0,+ [ (x) θe θx dx exp θx 0 )) [0,+ [ (x). On reonnaît la fontion de répartition d une variable aléatoire exponentielle de paramètre θ. La fontion de répartition aratérisant la loi, on en déduit que X suit une loi exponentielle de paramètre θ.. On rappelle qu une variable aléatoire X de loi de Cauhy standard admet pour fontion de répartition F X définie par : x R, F X (x) 2 + artan x. π Déterminer la fontion de répartition de la variable aléatoire Y X 2. Si elle existe, déterminer sa densité. Solution de l exerie. La variable aléatoire Y étant positive, F Y (t) 0 pour tout 6

7 t 0. Soit don t > 0. [ ] [ ] F Y (t) P[Y t] P X t P 2 t X2 (ar t > 0) [ P X 2 < ] P [ t < X < ] t t ( ) ( F X π + F X ), ar X est à densité π ) 2 artan t + artan ( t π 2 + π 2 artan t π L appliation F Y est ontinue sur R, et C en tout point sauf en 0. Don, Y admet une densité p Y donnée par : p Y (t) { 0 si t 0; π t t + t π t (+t) si t > 0. 7