Construction de deux-bulles pour les équations wave maps et Yang-Mills critiques

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1 Construction de deux-bulles pour les équations wave maps et Yang-Mills critiques Jacek Jendrej Université de Chicago Journées Jeunes EDPistes, Autrans, le 22 mars 2017 Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

2 Wave maps critiques (I) L équation des ondes des applications harmoniques de R 1+2 à valeurs dans une variété riemannienne N : L (Ψ) := α Ψ, α Ψ N dt dx R 1+2 Si N R N : Ψ T Ψ N. On considère le cas particulier N = S 2. Les solutions stationnaires correspondent aux applications harmoniques d énergie finie entre R 2 to S 2. Ce sont des applications holomorphes ou anti-holomorphes (Eells-Wood) et ont l énergie E = 4dπ avec d 1 étant le degré topologique. On les appelle les bulles (d énergie). Théorème Sterbenz et Tataru Soit Ψ une solution d énergie < 4π. Alors Ψ existe pour tout temps et il y a dispersion dans les deux directions du temps. Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

3 Wave maps critiques (II) Ce théorème est un corollaire du résultat suivant de bubbling: Théorème Sterbenz et Tataru Soit Ψ une solution qui explose en temps T + < +. Alors il existe des suites x n R 2, λ n > 0 avec λ n 0 et t n T + telles que Ψ n (t, x) := Ψ(t n + λ n t, x n + λ n x) Ψ (t, x), où Ψ est une transformée de Lorentz d une solution stationnaire non-constante. La convergence est forte dans H 1 loc (( 1, 1) R2 ). La situation est similaire si T + = + et la solution ne disperse pas. dispersion implique homotopie avec une application constante en particulier, le degré est égal à 0 si l on se restreint aux applications de degré 0, le seuil n est pas 4π Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

4 Seuil amélioré Théorème Lawrie et Oh Soit Ψ une solution de degré 0 et d énergie < 8π. Alors Ψ existe pour tout temps et il y a dispersion dans les deux directions du temps. Remarque. Les théorèmes de Sterbenz-Tataru et de Lawrie-Oh restent vrais pour des applications à valeurs dans une sphère avec une métrique arbitraire. le seuil 8π vient du fait que l on a besoin d une bulle et d une anti-bulle pour que le degré s annulle il existe des solutions explosives d énergie 8π + ε que se passe-t-il au niveau d énergie 8π? Problème (ouvert). Il existe une solution explosive de degré 0 et d énergie 8π (probablement elle n est pas lisse...). Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

5 Wave maps équivariantes (ou corotationnelles) Cas particulier solutions k-equivariantes (k Z): Ψ(t, r cos θ, r sin θ) = ( sin(u(t, r)) cos kθ, sin(u(t, r)) sin kθ, cos(u(t, r)) ). L équation se transforme en un problème semi-linéaire scalaire: { t 2 u(t, r) = r 2 u(t, r) + 1 r r u(t, r) + k2 sin(2u(t, r)), 2r 2 (u(t 0, r), t u(t 0, r)) = (u 0 (r), u 0 (r)). (WMAP) Notation: u 0 := (u 0, u 0 ), u 2 L := + ( 2 0 u 2 ) r dr, u 2 H := ( + 0 ( r u) u )r 2 dr, E := H L 2. r 2 E(u) := π + 0 ( u 2 + ( r u) 2 + k2 r 2 (sin(u))2) r dr. Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

6 Commentaires Conditionnellement localement bien-posé dans E Grillakis (1991), Shatah et Tahvildar-Zadeh (1992) Ginibre, Soffer et Velo (1992) Shatah et Struwe (1994) u 0 E,!u C((T, T + ); E), T < t 0 < T +. L énergie est conservée; le flot est réversible. Soit λ > 0. Pour v = (v, v) E on écrit ( v λ (x) := v ( x λ ) 1, λ v( x ) ). λ On a les relations v λ E = v E et E(v λ ) = E(v). En plus, si u(t) est une solution de l équation (WMAP) sur l intervalle de temps [0, T + ), alors w(t) := u( t λ ) λ est une solution sur [0, λt + ). Bubbling dans ce cas particulier a été démontré par Struwe (2000). Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

7 États stationnaires applications harmoniques k-equivariantes solutions explicites de 2 r u(r) + 1 r r u(r) + k2 2r 2 sin(2u(r)) = 0 : W λ (r) := 2 arctan ( r k λ k ) elles correspondent aux applications holomorphes z zk λ k W λ := (W λ, 0), E(W λ ) = 4kπ Théorème Côte, Kenig, Lawrie, Schlag (2015) Soit u 0 tel que E(u 0 ) < 8kπ et lim r 0 u 0 (r) = lim r u 0 (r). Alors la solution u(t) de l équation (WMAP) pour la donnée initiale u(0) = u 0 existe pour tout temps et disperse dans les deux directions du temps. (en suivant l approche de Kenig-Merle) que se passe-t-il au niveau critique, donc E(u 0 ) = 8kπ? Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

8 Solutions formant deux bulles Théorème J. (2016) Soit k 3. Il existe une solution u : (, T 0 ] E de l équation (WMAP) telle que lim u(t) ( ) W + W E t 2 k 2 = 0, κ constante > 0. 2κ (κ t ) k 2 un résultat analogue serait vrai pour k = 2, avec le taux exponentiel de concentration c est un exemple d un arbre de bulles (ou d une tour de bulles) pour l équation (WMAP), dont l existence était inconnue ces solutions dispersent pour les temps positifs (travail en cours avec Andrew Lawrie), ce qui donne un exemple du phénomène de reconnection d orbites pour wave maps Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

9 Schéma général Construire une suite de solutions u n (t) qui vérifient les bornes uniformes suivantes: où u n (t) ( W + W λapp(t)) E e(t) for t [T n, T 0 ], Tn, λapp (t) et e(t) ne dépendent pas de n, limt λ app (t) = lim t e(t) = 0. Imposer une condition initiale en temps T n et contrôler l évolution jusqu à un certain temps T 0 indépendant de T n. Passer à une limite faible, en utilisant la réversibilité et la continuité faible du flot. Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

10 Contrôle de u n Ici, n est fixe et on écrit u = u n. On décompose u = W + W λ + g, en utilisant des conditions d orthogonalité bien choisies: + ( 0 λ W λ) g r dr = 0. L équation pour u mène à une équation différentielle pour le paramètre de modulation λ(t): λ (t) = C 0 λ(t) k (λ(t), λ (t), g(t)) La conservation d énergie implique g(t) 2 E λ(t)k. Il s avère que cette borne nous permet de traiter g comme une petite perturbation dans les équations de modulation, après un changement des inconnues annulant le terme principal (quadratique en g): b(t) = λ (t) C 1 Q(g(t), g(t)), b (t) C 0 λ(t) k 1 + l.o.t. La situation est ainsi réduite à une analyse de la stabilité des équations de modulation, ce qui est standard. Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

11 Cas de l équation de Yang-Mills critique Une équation d évolution de connections sur R 4 R 4 : L (A) := F µν, F µν dt dx, R 1+4 où D = d + A et F µν = 1 2 ( µa ν ν A µ + [A µ, A ν ]) est la courbure. Charge topologique: N := 1 8π 2 R 4 tr(f F ). Bubbling a été démontré récemment par Oh et Tataru (malgré cela le seuil pour charge 0 est inconnu) Réduction équivariante : A ij µ(x) = (δ i µx j δ j µx i ) 1 r 2 u(t, r), 2 t u(t, r) = 2 r u(t, r) + 1 r r u(t, r) 4 r 2 u(1 u)( u) Existence de deux-bulles de charge topologique 0, avec le taux exponentiel de concentration. (YM) Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

12 Autres résultats concernant deux-bulles Theorem J. (2016) Il existe une solution u : (, T 0 ] E de l équation des ondes énergie-critique en dimension N = 6 telle que lim u(t) ( ) W + W 1 E = 0, avec κ constante > 0. κ e κ t t Theorem J. (2016) Il existe une solution u : (, T 0 ] E de l équation de Schrödinger non linéaire énergie-critique en dimension N 7 telle que lim u(t) ( ) iw + W E t 2 1 = 0, avec κ constante > 0. κ (κ t ) N 6 l interaction entre les bulles influence la dynamique de la solution Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

13 Travaux antérieurs Concentration d une bulle: Krieger, Schlag and Tataru (2008) (et extensions) Donninger et Krieger (2013) Ortoleva et Perelman (2013) mon article (2015) Schéma général: Merle (1990) Martel (2005) Solutions explosives de masse minimale: Raphaël et Szeftel (2011) Martel, Marle et Raphaël (2014) Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14

14 Merci! Jacek Jendrej Construction de deux-bulles 22/03/ / 14